二次函数中考经典试题
1 二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程2
0ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）
A ．3-
B ．3
C ．6-
D ．9
2 二次函数2
()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）
A ． 第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象
3 设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2
(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．213y y y >>
B ．312y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >> 4 二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是（ ）
A ．0＜t ＜1
B ．0＜t ＜2
C ．1＜t ＜2
D ．﹣1＜t ＜1
5 如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断：
①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小；
③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．
其中正确的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
6 已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7 抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2 8 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 9 当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）
A ．
B ．
C
D 10 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
11 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21(4)312
y x =--+，由此可知铅球推出的距离是 m 。
12 如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 1 ．
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 初三数学二次函数测试附详细答案 一、选择题：（把正确答案的序号填在下表中，每题3分，共24分） 1．（3分）与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（） ．C D 2 22 2 5．（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其 2 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（） 8．（3分）（2008?长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（） ．C D． 二、填空题：（每空2分，共50分） 9．（10分）已知抛物线y=x2+4x+3，请回答以下问题： （1）它的开口向_________，对称轴是直线_________，顶点坐标为_________； （2）图象与x轴的交点为_________，与y轴的交点为_________． 10．（6分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a_________0，b_________0，c_________ 0． 11．（4分）抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向_________平移_________个单位得到． 12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为_________． 13．（2分）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为_________． 14．（2分）抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是_________． 15．（2分）抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点，则m=_________． 16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m_________． 17．（2分）已知二次函数y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2，则当m=_________时，其最大值为0． 18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a_________0，b2﹣4ac_________0． 19．（8分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C （0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． （1）二次函数的解析式为_________； （2）当自变量x_________时，两函数的函数值都随x增大而增大； （3）当自变量_________时，一次函数值大于二次函数值； （4）当自变量x_________时，两函数的函数值的积小于0． 20．（2分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第_________象限． 21．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=_________． 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1）， 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 龙文教育学科教师辅导讲义 解：（1）根据题意，得?????+?-?=-+-?--?=. 0405, )1(4)1(02 2c a c a …2分 解得 ? ? ?-==.5, 1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542 --=x x y ．……4分 （2）令y =0，得二次函数542 --=x x y 的图象与x 轴 的另一个交点坐标C （5, 0）.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点， 连结AB ，由于262 2= +=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得? ? ?+=-=.50,5b k b 解得???-==.5, 1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组? ? ?-==5,2x y x 的解，解得???-==.3, 2y x 所求的点P 的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值. A D 、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a 二 次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 )2 h k +方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 历届中考二次函数试题精选 一、填空题 1．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >> 3．（2012潜江）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0； ④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 4. （2011湖北襄阳）已知函数12)3(2 ++-=x x k y 的图象与x 轴有交 点，则k 的取值范围是（ ） A.4 A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>- 初中数学二次函数经典测试题及答案 一、选择题 1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】 解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+?? =++? 解得：13 23b c ? =????=-?? ∴二次函数的解析式为：2 21212533636 ??=+-=+ ???-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为25 36 -，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意； C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1 2 01b b c ?-=???=-+? 解得：23b c =-??=-? ∴223y x x =-- 当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ） 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标． 选择 1.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=1 2 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ） A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.二次函数y= a (x+m)2-m (a ≠0) 无论m 为什么实数，图象的顶点必在 ( ) A.直线y=-x 上 B. 直线y=x 上 C.y 轴上 D.x 轴上 4. 如图2，抛物线 ，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( ) A ．ac+1=b B ．ab+1=c C ．bc+1=a D ．b a +1=c 5.如图6，是二次函数的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，则S 取值最接近（ ）． A.4 B.16 3 C.2π D.8 6．如图7，记抛物线 2 1y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为1P ，2P ，…1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点 2 y ax bx c =+ +21 2 2y x =- + 1Q ，2Q ，…1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，122PP Q 的面积分别为1S ，2S ，这样就有 21312n S n -=，22342n S n -= ，…；记121 n W S S S -=+++… ，当n 越来越大时，你猜想W 最 接近的常数是（ ） A. 23 B. 12 C. 1 3 D.14 7.定义[]为函数 的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于； ③ 当m < 0时，函数在x >时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 8. （2010宿迁改编）如图11，在矩形ABCD 中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边线段 MP=A ， 设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP=x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ） ,,a b c 2 y ax bx c =++3138 23 41 C B A D中考二次函数压轴题经典题型
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