数学（理科）

本试卷分第?卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其他题为必考题。考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第 I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1. 复数2

31i i -??= ?+??

A. i 43－

B. i 43+－

C. i 43－－

D. i 43+

2. 给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x

y e e -=-，其中是奇函数的是

A. ①②

B. ①④

C. ②④

D. ③④

3. 集合?

?????∈≤+=Z x x x x P ,21|，集合{}

032|2

>-+=x x x Q ,则=Q C P R

A.[)03，－

B.{}123－，－，－

C.{}10123，，－，－，－

D.{}1123，－，－，－

4. 已知点(),P x y 在不等式组??

?

??≥-+≤-≤-022010

2y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是

A. []2,1--

B. []2,1-

C. []1,2-

D. []1,2

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

6.某几何体的三视图如图所示，其正视图，侧视图，俯视图均为全等的正方形，则该几何体的体积为

A. 34

B. 3

8 C.

6

D. 62

7.若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则b

a 1

21+的最小值为

A ．

21

B ．

2

5

C ．23

D ．

2

2

23+ 8. 为了得到函数)6

2sin(π

-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象

A.向右平移

6π个单位长度 B. 向右平移3π

个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3

π

个单位长度

9. 中心为)0,0(, 一个焦点为)25,0(F 的椭圆 , 截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为2

1

，则该椭圆方程是

A. 125275222=+y x

B. 1257522=+y x

C. 1752522=+y x

D. 175

22522

2=+y x

10.下列说法错误．．

的是 6题图

A. 10≠xy 是5≠x 或2≠y 的充分不必要条件

B ．若命题:p 012≠++∈?x x R x ，，则:p ?012

=++∈?x x R x ，

C. 已知随机变量),2(~2σN X ,且84.0)4(=≤X P ,则16.0)0(=≤X P

D. 相关指数2

R 越接近1，表示残差平方和越大.

11. 已知x x x f 3)(3

-=，并设：

:p R c ∈?，c x f f =))((至少有3个实根； :q 当)2,2(-∈c 时，方程c x f f =))((有9个实根；

:r 当2=c 时，方程c x f f =))((有5个实根。

则下列命题为真命题的是 A.r p ?∨? B.

r q ∧? C. 仅有r D. q p Λ

12. 设圆1O 和圆2O 是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是

① ② ③ ④ ⑤ A ．①③⑤ B ．②④⑤ C ．①②④ D ．①②③

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13. 若()6

x a +的展开式中3

x 的系数为160，则

1

a

a x dx ?的值为____________.

14. 在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相

关关系)

现已知其线性回归方程为∧

∧

+=a x y 36.0，则根据此线性回归方程估计数学

得90分的同学的物理成绩为 .（四舍五入到整数） 15. 下列命题中正确的是 .（填上你认为所有正确的选项） ① 空间中三个平面γβα,,，若βγβα⊥⊥,，则α∥γ；

② 若c ,b ,a 为三条两两异面的直线，则存在无数条直线与c ,b ,a 都相交；

③ 球O 与棱长为a 正四面体各面都相切，则该球的表面积为

26

a π

；

④ 三棱锥ABC P -中，AC PB ,BC PA ⊥⊥则AB PC ⊥. 16. 在ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足bc a c b

=-+222

，

0>?BC AB ,2

3

=

a ,则c

b +的取值范围是 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的+∈N n ，点 (,)n n S ，均在函数2x y r =+的图像上.

（Ⅰ）求r 的值； （Ⅱ）记n n a a a b 2log 2log 2log 22212+++= 求数列?

??

???n b 1的前n 项和n T .

18. （本小题12分）

某班同学在“十八大”期间进行社会实践活动，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次当前投资生活方式----“房地产投资”的调查，得到如下统计和各年龄段人数频率．．．．．．．分布直方图： （Ⅰ）求n ，a ，p 的值；

（Ⅱ）从年龄在[40,50)岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取9人参加投资管理学习活动，

其中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望

EX .

0.01

0.02 0.03 0.04 0.05

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形， AB ⊥BC ，AB ∥CD ， 222===CD BC AB .

（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PAB ； （Ⅱ）若二面角D PC B --的余弦值为求PA .

P A

B C

D

20. (本小题满分12分)

设F 为抛物线px y 22

= (0>p )的焦点，,,R S T 为该抛物线上三点，若

=++6=++

（Ⅰ）求抛物线2

2y px =的方程；

（Ⅱ）M 点的坐标为(m ,0)其中0>m ，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，

A 、

B 两点的横坐标均不为m ，连结AM 、BM 并延长交抛物线于

C 、

D 两点，设直

线CD 的斜率为2k ．若

42

1

=k k ，求m 的值.

21. (本小题满分12分)

已知定义在)2,2(π

π-

的函数()tan ax f x e x =)0(>a ，在4

π=x 处的切线斜率 为πe 6

（Ⅰ）求a 及

)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）当)2

,0[π

∈x 时，mx x f ≥)(恒成立，求m 的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.如图，设AB ，CD 为⊙O 的两直径，过B 作PB 垂直于AB ，并与CD 延长线相交于点P ，过P 作直线与⊙O 分别交于E ，F 两点，连结AE ，AF 分别与CD 交于G ，H （Ⅰ）设EF 中点为

1C ，求证：O 、1C 、B 、P 四点共圆.

（Ⅱ）求证:OG =OH .

23.极坐标系中椭圆C 的方程为

θ

θρ222sin 2cos 2

+=

以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系， 且两坐标系取相同的单位长度.

（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为),(y x P ，

求y x 2+

的取值范围；

（Ⅱ）若椭圆的两条弦CD AB ,交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，

求证:QD QC QB QA ?=?.

24. 设()|3||4|.f x x x =-+- （Ⅰ）求函数)(2)(x f x g -=

的定义域；

（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.

命题、校对：董博、凌志永、纪丽、王玉梅、孙长青

吉林市普通中学2012—2013学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学(理科)参考答案

一、选择题．CBDCA ADBCD AD

二、填空题. 13．37；14．73；15．②③④；16．???

? ??23,23． 三、解答题：

17. 解:（Ⅰ）依题r S n n +=2

………………………………1分

当1n =时, r S a +==1112,

………………………………2分

当2n ≥时, 11

1222---=-=-=n n n

n n n S S a ,………………………………4分

又因为{n a }为等比数列,1221

1==+-r …………………………………5分

所以1r =-. …………………………………6分 （Ⅰ）另解：r S n

n +=2

………………………………1分

当1n =时, r S a +==1

112, …………………………………2分

当2n ≥时, 11

1222---=-=-=n n n

n n n S S a .…………………………………4分

∴ 4,232

==a a

∵ {n a }是等比数列，∴ 312

2a a a ?=，解得1-=r ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）12-=n n

a ……………………………………7分

∴ 2

)

1(212log 2log 2log 22212+=

+++=+++=n n n a a a b n n …9分 即

1

221+-=n n b n ． 所以 1

2)1113121211(2+=+-++-+-

=n n n n T n ……………………12分 18．解:年龄在[25,30)的总人数为

2006

.0120

=， …………………………1分 根据频率分布直方图，总人数为

100004

.05200

=?人 ………………2分 年龄在[40,45)的人数为15003.051000=??人

所以 604.0150=?=a …………………………………4分 因为年龄在[30,35)的人数的频率为3.0)01.002.003.004.004.0(51=++++?-

所以

年龄在[30,35)的人数为3003.01000=?人

所以065.0300

195

==

p ， ………………………………………6分 依题抽取年龄在[40,45) 之间6人，

抽取年龄在[45,50)之间3人，…………………………………7分

3210、、、=X

……………………………………………8分

841)0(3933===C C X P ,8418

)1(3

9

2316===C C C X P , 8445)2(391326===C C C X P ,84

20

)3(393

6===C C X P ……………………………11分 所以 284

20384452841818410=?+?+?+?

=EX …………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，

又AB ⊥BC ，PA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ， ∵BC ?平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PAB ．…5分 （Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴、AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ． 则B (2，0，0)，C (2，1，0)，D (1，1，0)．

设P (0，0，a )（a ＞0），

则BC →＝(0，1，0)，PC →＝(2，1，－a )， DC →＝(1，0，0)

………………8分

设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面BPC 的一个法向量， 则n 1·BC →＝n 1·PC →＝0，

即???y 1＝0，

2x 1＋y 1－az 1＝0，

取x 1＝a ，y 1＝0，z 1＝2，得n 1＝(a ，0，2)． 同理，n 2＝(0，a ，1)为面DPC 的一个法向量． ……………………………10分

依题意， |cos ?n 1，n 2?|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝2(a 2＋4)(a 2＋1)＝2

3

，

解得a 2＝2，或a 2＝－7（舍去），所以PA ＝2． ……………………12分 20．解：(Ⅰ)设),(R R y x R ,),(S S y x S ,),(T T y x T 则)0,0()2

22,222(=-+-+--+-+-

=++p

y p y p y p x p x p

x

T S R

T S R …2分 02

22=-+-+-

p

x p x p x T S R ， 所以p x x x T S R 23=++ ．

632

22==+++++

=+p p

x p x p x T S R …………………………4分 所以

2=p ，所以x y 42=为所求．

………………………

5分

（Ⅱ）设),(11y x A ,),(22y x B ,),(33y x C ,),(44y x D

则212

221212121144

y y y y y y x x y y k +=--=--=

，同理4

324

y y k +=……………………7分 所以)(4

1

4321y y y y +=

+ 设AC 所在直线方程为m ty x +=， 联立

x y 42=得，0442=--m ty y ，所以 m y y 431-=，…………………9分

同理m y y 442-=，)44(412

121y m

y m y y -+-=+ ． 所以

m y y -=21 ……………………………………11分

设AB 所在直线方程为1+=ty x ，联立x y 42=得，0442=--ty y ，421-=y y

所以 4=m

……………………………………12分

21解：

(Ⅰ))cos 1cos sin (cos cos sin cos sin )(222

2'x

x x a e x x x e x x ae x f ax ax ax +=++= ……2分 由题可知 π

π

π

e a e

f a

6)2()4

(4'

=+=，易知4=a

，……………………………3分

令 )2()(4

+=a e

a t a

π

，则0)2(4

)(4

4

'

>++=

a

a

e

a e

a t π

π

π

，则 )2()(4

+=a e

a t a

π

为增函数所以

4=a 为ππ

e a e a

6)2(4=+的唯一解. ………………………………………4分

令0cos 12sin 2)cos 1cos sin 4()cos 1cos sin 4

()(242424'

<+=+=+=x

x e x x x e x x x e x f x x x

可知)(x f 的减区间为（12

,125π

π--

） 同理增区间为（125,2

ππ

-

-），（2

,12π

π-

） ……………………………………6分 （Ⅱ）令=-=

mx x f x g )()(mx x

x

e x

-cos sin 4 m m e m x

e m x x e m x

f x

g x x

x

-≥-≥->-+=-=1cos 1cos 12sin 2)()(42

424'' 注：此过程为求)('

x g 最小值过程，方法不唯一，只要论述合理就给分，

若01≥-m 则0)('

≥x g ，mx x f x g -=)()(在

)2

,0(π为增函数， 则0)0()(=≥g x g 满足题意；…………………………………………………9分

若01<-m 则010

cos 1

0sin 2)0()0(2

''<-=-+=-=m m e

m f g m x m x e m x

x e m x f x g x

x

-≥->-+=-=tan 4tan 4cos 12sin 2)()(42

4''

因为)2

,

0[π

∈x ，),0[tan +∞∈x

使得0)('>k g

则对于任意1>m ，必存在），（2

0π

∈k ，

必存在),0(0k x ∈使得0)(0'=x g 则)('x g 在)

,0(0x 为负数，

0)2

(

)(x g 在),0(0x 为减函数，则

盾，…………………………………11分 注：此过程为论述当1>m 时)(x g 存在减区间，方法不

唯一，只要论述合理就给分；

综上所述1≤m …………………………………12分

注：若有同学论述)(x f 在)2

,0(π

为增函数，并求1)0('

=f ，所以1≤m ，相当于利用图象解题

扣3分.

22．证明：(Ⅰ)

易知?

=∠=∠901PBO P OC ，

所以B C P O ，，，1四点共圆. ………3分 （Ⅱ）由(Ⅰ)11OBC OPC ∠=∠ 过F 作AE FE ⊥1于1E ,交AB 于1D 连结BF BC C D 、、111

由F D 1∥DC , 111FC D OPC ∠=∠ 所以1OBC ∠11FC D ∠=

所以11,,,D C F B 四点共圆.……………6分

所以FEA D FC FBA ∠=∠=∠11,由此11C D ∥AE ,………………………8分

1C 是FE 的中点，1D 是1FE 的中点，所以

F

D OH

AD AO E D OG 1111=

=，所以OG =OH …10分23. (Ⅰ)该椭圆的直角标方程为12

22

=+y x ，…………………………………………2分 设θcos 2=

x ，θsin 2=y

)4sin(2sin 2cos 22π

θθθ+

=+=+y x

所以y x 2+的取值范围是]2,2[- ………………………………………4分 （Ⅱ）设直线

AB

的倾斜角为α，直线CD 的倾斜角为απ-，),(00y x Q

则直线AB 的参数方程为?

??+=+=αα

sin cos 00t y x t x x （t 为参数），（5分）

代入2222

=+y x

得：02)sin (2)cos (2020=-+++ααt y t x

即0)22()sin 4cos 2()sin 2(cos

2

02000222

=-+++++y x t y x t αααα …7分

设B A 、对应参数分别为21t t 、，则αα2

22

02021sin 2cos 2

2+-+==?y x t t QB QA ，……8分 同理α

ααπαπ2

22020222020sin 2cos 2

2)(sin 2)(cos 22+-+=-+--+=?y x y x QD QC ……………9分 所以QD QC QB QA ?=?（10分）

24．解：（Ⅰ）f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝?????7－2x ，x ＜3，

1，

3≤x ≤4，2x －7，x ＞4．

………………………………2分 作函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为 5 2和 9

2，由图象知 不等式)(2)(x f x g -=

的定义域为[ 5

2， 9

2]． …………………………5分

＝ 1 2

当且仅当函数y＝f(x)与直线y＝ax－1有公共点时，存在题设的x．

由图象知，a取值范围为(－∞，－2)∪[1

2，＋∞)．…………………………10分