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吉林省吉林市2013届高三三模数学理试题

吉林省吉林市2013届高三三模数学理试题

数学(理科)

本试卷分第?卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22题~第24题为选考题,其他题为必考题。考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 注意事项:

1、答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号,并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁,不折叠、不破损。

第 I 卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的。

1. 复数2

31i i -??= ?+??

A. i 43-

B. i 43+-

C. i 43--

D. i 43+

2. 给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x

y e e -=-,其中是奇函数的是

A. ①②

B. ①④

C. ②④

D. ③④

3. 集合?

?????∈≤+=Z x x x x P ,21|,集合{}

032|2

>-+=x x x Q ,则=Q C P R

A.[)03,-

B.{}123-,-,-

C.{}10123,,-,-,-

D.{}1123,-,-,-

4. 已知点(),P x y 在不等式组??

?

??≥-+≤-≤-022010

2y x y x 表示的平面区域上运动,则z x y =-的取值范围是

A. []2,1--

B. []2,1-

C. []1,2-

D. []1,2

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A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

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6.某几何体的三视图如图所示,其正视图,侧视图,俯视图均为全等的正方形,则该几何体的体积为

A. 34

B. 3

8 C.

6

D. 62

7.若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长,则b

a 1

21+的最小值为

A .

21

B .

2

5

C .23

D .

2

2

23+ 8. 为了得到函数)6

2sin(π

-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象

A.向右平移

6π个单位长度 B. 向右平移3π

个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3

π

个单位长度

9. 中心为)0,0(, 一个焦点为)25,0(F 的椭圆 , 截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为2

1

,则该椭圆方程是

A. 125275222=+y x

B. 1257522=+y x

C. 1752522=+y x

D. 175

22522

2=+y x

10.下列说法错误..

的是 6题图

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A. 10≠xy 是5≠x 或2≠y 的充分不必要条件

B .若命题:p 012≠++∈?x x R x ,,则:p ?012

=++∈?x x R x ,

C. 已知随机变量),2(~2σN X ,且84.0)4(=≤X P ,则16.0)0(=≤X P

D. 相关指数2

R 越接近1,表示残差平方和越大.

11. 已知x x x f 3)(3

-=,并设:

:p R c ∈?,c x f f =))((至少有3个实根; :q 当)2,2(-∈c 时,方程c x f f =))((有9个实根;

:r 当2=c 时,方程c x f f =))((有5个实根。

则下列命题为真命题的是 A.r p ?∨? B.

r q ∧? C. 仅有r D. q p Λ

12. 设圆1O 和圆2O 是两个定圆,动圆P 与这两个定圆都相切,则圆P 的圆心轨迹可能是

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① ② ③ ④ ⑤ A .①③⑤ B .②④⑤ C .①②④ D .①②③

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13. 若()6

x a +的展开式中3

x 的系数为160,则

1

a

a x dx ?的值为____________.

14. 在一次考试中,5名学生的数学和物理成绩如下表:(已知学生的数学和物理成绩具有线性相

关关系)

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现已知其线性回归方程为∧

+=a x y 36.0,则根据此线性回归方程估计数学

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得90分的同学的物理成绩为 .(四舍五入到整数) 15. 下列命题中正确的是 .(填上你认为所有正确的选项) ① 空间中三个平面γβα,,,若βγβα⊥⊥,,则α∥γ;

② 若c ,b ,a 为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与c ,b ,a 都相交;

③ 球O 与棱长为a 正四面体各面都相切,则该球的表面积为

26

a π

④ 三棱锥ABC P -中,AC PB ,BC PA ⊥⊥则AB PC ⊥. 16. 在ABC ?中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足bc a c b

=-+222

0>?BC AB ,2

3

=

a ,则c

b +的取值范围是 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

设等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知对任意的+∈N n ,点 (,)n n S ,均在函数2x y r =+的图像上.

(Ⅰ)求r 的值; (Ⅱ)记n n a a a b 2log 2log 2log 22212+++= 求数列?

??

???n b 1的前n 项和n T .

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18. (本小题12分)

某班同学在“十八大”期间进行社会实践活动,对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次当前投资生活方式----“房地产投资”的调查,得到如下统计和各年龄段人数频率.......分布直方图: (Ⅰ)求n ,a ,p 的值;

(Ⅱ)从年龄在[40,50)岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取9人参加投资管理学习活动,

其中选取3人作为代表发言,记选取的3名代表中年龄在[40,45)岁的人数为X ,求X 的分布列和期望

EX .

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0.01

0.02 0.03 0.04 0.05

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19.(本小题满分12分)

如图,在四棱锥ABCD P -中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 是直角梯形, AB ⊥BC ,AB ∥CD , 222===CD BC AB .

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(Ⅰ)求证:平面PBC ⊥平面PAB ; (Ⅱ)若二面角D PC B --的余弦值为求PA .

P A

B C

D

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20. (本小题满分12分)

设F 为抛物线px y 22

= (0>p )的焦点,,,R S T 为该抛物线上三点,若

=++6=++

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(Ⅰ)求抛物线2

2y px =的方程;

(Ⅱ)M 点的坐标为(m ,0)其中0>m ,过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点,

A 、

B 两点的横坐标均不为m ,连结AM 、BM 并延长交抛物线于

C 、

D 两点,设直

线CD 的斜率为2k .若

42

1

=k k ,求m 的值.

21. (本小题满分12分)

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已知定义在)2,2(π

π-

的函数()tan ax f x e x =)0(>a ,在4

π=x 处的切线斜率 为πe 6

(Ⅰ)求a 及

)(x f 的单调区间;

(Ⅱ)当)2

,0[π

∈x 时,mx x f ≥)(恒成立,求m 的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.如图,设AB ,CD 为⊙O 的两直径,过B 作PB 垂直于AB ,并与CD 延长线相交于点P ,过P 作直线与⊙O 分别交于E ,F 两点,连结AE ,AF 分别与CD 交于G ,H (Ⅰ)设EF 中点为

1C ,求证:O 、1C 、B 、P 四点共圆.

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(Ⅱ)求证:OG =OH .

23.极坐标系中椭圆C 的方程为

θ

θρ222sin 2cos 2

+=

以极点为原点,极轴为x 轴非负半轴,建立平面直角坐标系, 且两坐标系取相同的单位长度.

(Ⅰ)求该椭圆的直角标方程,若椭圆上任一点坐标为),(y x P ,

求y x 2+

的取值范围;

(Ⅱ)若椭圆的两条弦CD AB ,交于点Q ,且直线AB 与CD 的倾斜角互补,

求证:QD QC QB QA ?=?.

24. 设()|3||4|.f x x x =-+- (Ⅰ)求函数)(2)(x f x g -=

的定义域;

(Ⅱ)若存在实数x 满足()1f x ax ≤-,试求实数a 的取值范围.

命题、校对:董博、凌志永、纪丽、王玉梅、孙长青

吉林市普通中学2012—2013学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学(理科)参考答案

一、选择题.CBDCA ADBCD AD

二、填空题. 13.37;14.73;15.②③④;16.???

? ??23,23. 三、解答题:

17. 解:(Ⅰ)依题r S n n +=2

………………………………1分

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当1n =时, r S a +==1112,

………………………………2分

当2n ≥时, 11

1222---=-=-=n n n

n n n S S a ,………………………………4分

又因为{n a }为等比数列,1221

1==+-r …………………………………5分

所以1r =-. …………………………………6分 (Ⅰ)另解:r S n

n +=2

………………………………1分

当1n =时, r S a +==1

112, …………………………………2分

当2n ≥时, 11

1222---=-=-=n n n

n n n S S a .…………………………………4分

∴ 4,232

==a a

∵ {n a }是等比数列,∴ 312

2a a a ?=,解得1-=r ………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)12-=n n

a ……………………………………7分

∴ 2

)

1(212log 2log 2log 22212+=

+++=+++=n n n a a a b n n …9分 即

1

221+-=n n b n . 所以 1

2)1113121211(2+=+-++-+-

=n n n n T n ……………………12分 18.解:年龄在[25,30)的总人数为

2006

.0120

=, …………………………1分 根据频率分布直方图,总人数为

100004

.05200

=?人 ………………2分 年龄在[40,45)的人数为15003.051000=??人

所以 604.0150=?=a …………………………………4分 因为年龄在[30,35)的人数的频率为3.0)01.002.003.004.004.0(51=++++?-

所以

年龄在[30,35)的人数为3003.01000=?人

所以065.0300

195

==

p , ………………………………………6分 依题抽取年龄在[40,45) 之间6人,

抽取年龄在[45,50)之间3人,…………………………………7分

3210、、、=X

……………………………………………8分

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841)0(3933===C C X P ,8418

)1(3

9

2316===C C C X P , 8445)2(391326===C C C X P ,84

20

)3(393

6===C C X P ……………………………11分 所以 284

20384452841818410=?+?+?+?

=EX …………………………12分 19.解:(Ⅰ)∵PA ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,∴PA ⊥BC ,

又AB ⊥BC ,PA ∩AB =A , ∴BC ⊥平面PAB , ∵BC ?平面PBC , ∴平面PBC ⊥平面PAB .…5分 (Ⅱ)以A 为原点,AB 为x 轴、AP 为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz . 则B (2,0,0),C (2,1,0),D (1,1,0).

设P (0,0,a )(a >0),

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则BC →=(0,1,0),PC →=(2,1,-a ), DC →=(1,0,0)

………………8分

设n 1=(x 1,y 1,z 1)为面BPC 的一个法向量, 则n 1·BC →=n 1·PC →=0,

即???y 1=0,

2x 1+y 1-az 1=0,

取x 1=a ,y 1=0,z 1=2,得n 1=(a ,0,2). 同理,n 2=(0,a ,1)为面DPC 的一个法向量. ……………………………10分

依题意, |cos ?n 1,n 2?|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=2(a 2+4)(a 2+1)=2

3

解得a 2=2,或a 2=-7(舍去),所以PA =2. ……………………12分 20.解:(Ⅰ)设),(R R y x R ,),(S S y x S ,),(T T y x T 则)0,0()2

22,222(=-+-+--+-+-

=++p

y p y p y p x p x p

x

T S R

T S R …2分 02

22=-+-+-

p

x p x p x T S R , 所以p x x x T S R 23=++ .

632

22==+++++

=+p p

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x p x p x T S R …………………………4分 所以

2=p ,所以x y 42=为所求.

………………………

5分

(Ⅱ)设),(11y x A ,),(22y x B ,),(33y x C ,),(44y x D

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则212

221212121144

y y y y y y x x y y k +=--=--=

,同理4

324

y y k +=……………………7分 所以)(4

1

4321y y y y +=

+ 设AC 所在直线方程为m ty x +=, 联立

x y 42=得,0442=--m ty y ,所以 m y y 431-=,…………………9分

同理m y y 442-=,)44(412

121y m

y m y y -+-=+ . 所以

m y y -=21 ……………………………………11分

设AB 所在直线方程为1+=ty x ,联立x y 42=得,0442=--ty y ,421-=y y

所以 4=m

……………………………………12分

21解:

(Ⅰ))cos 1cos sin (cos cos sin cos sin )(222

2'x

x x a e x x x e x x ae x f ax ax ax +=++= ……2分 由题可知 π

π

π

e a e

f a

6)2()4

(4'

=+=,易知4=a

,……………………………3分

令 )2()(4

+=a e

a t a

π

,则0)2(4

)(4

4

'

>++=

a

a

e

a e

a t π

π

π

,则 )2()(4

+=a e

a t a

π

为增函数所以

4=a 为ππ

e a e a

6)2(4=+的唯一解. ………………………………………4分

令0cos 12sin 2)cos 1cos sin 4()cos 1cos sin 4

()(242424'

<+=+=+=x

x e x x x e x x x e x f x x x

可知)(x f 的减区间为(12

,125π

π--

) 同理增区间为(125,2

ππ

-

-),(2

,12π

π-

) ……………………………………6分 (Ⅱ)令=-=

mx x f x g )()(mx x

x

e x

-cos sin 4 m m e m x

e m x x e m x

f x

g x x

x

-≥-≥->-+=-=1cos 1cos 12sin 2)()(42

424'' 注:此过程为求)('

x g 最小值过程,方法不唯一,只要论述合理就给分,

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若01≥-m 则0)('

≥x g ,mx x f x g -=)()(在

)2

,0(π为增函数, 则0)0()(=≥g x g 满足题意;…………………………………………………9分

若01<-m 则010

cos 1

0sin 2)0()0(2

''<-=-+=-=m m e

m f g m x m x e m x

x e m x f x g x

x

-≥->-+=-=tan 4tan 4cos 12sin 2)()(42

4''

因为)2

,

0[π

∈x ,),0[tan +∞∈x

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使得0)('>k g

则对于任意1>m ,必存在),(2

∈k ,

必存在),0(0k x ∈使得0)(0'=x g 则)('x g 在)

,0(0x 为负数,

0)2

(

)(x g 在),0(0x 为减函数,则

盾,…………………………………11分 注:此过程为论述当1>m 时)(x g 存在减区间,方法不

唯一,只要论述合理就给分;

综上所述1≤m …………………………………12分

注:若有同学论述)(x f 在)2

,0(π

为增函数,并求1)0('

=f ,所以1≤m ,相当于利用图象解题

扣3分.

22.证明:(Ⅰ)

易知?

=∠=∠901PBO P OC ,

所以B C P O ,,,1四点共圆. ………3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)11OBC OPC ∠=∠ 过F 作AE FE ⊥1于1E ,交AB 于1D 连结BF BC C D 、、111

由F D 1∥DC , 111FC D OPC ∠=∠ 所以1OBC ∠11FC D ∠=

所以11,,,D C F B 四点共圆.……………6分

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所以FEA D FC FBA ∠=∠=∠11,由此11C D ∥AE ,………………………8分

1C 是FE 的中点,1D 是1FE 的中点,所以

F

D OH

AD AO E D OG 1111=

=,所以OG =OH …10分23. (Ⅰ)该椭圆的直角标方程为12

22

=+y x ,…………………………………………2分 设θcos 2=

x ,θsin 2=y

)4sin(2sin 2cos 22π

θθθ+

=+=+y x

所以y x 2+的取值范围是]2,2[- ………………………………………4分 (Ⅱ)设直线

AB

的倾斜角为α,直线CD 的倾斜角为απ-,),(00y x Q

则直线AB 的参数方程为?

??+=+=αα

sin cos 00t y x t x x (t 为参数),(5分)

代入2222

=+y x

得:02)sin (2)cos (2020=-+++ααt y t x

即0)22()sin 4cos 2()sin 2(cos

2

02000222

=-+++++y x t y x t αααα …7分

设B A 、对应参数分别为21t t 、,则αα2

22

02021sin 2cos 2

2+-+==?y x t t QB QA ,……8分 同理α

ααπαπ2

22020222020sin 2cos 2

2)(sin 2)(cos 22+-+=-+--+=?y x y x QD QC ……………9分 所以QD QC QB QA ?=?(10分)

24.解:(Ⅰ)f (x )=|x -3|+|x -4|=?????7-2x ,x <3,

1,

3≤x ≤4,2x -7,x >4.

………………………………2分 作函数y =f (x )的图象,它与直线y =2交点的横坐标为 5 2和 9

2,由图象知 不等式)(2)(x f x g -=

的定义域为[ 5

2, 9

2]. …………………………5分

= 1 2

当且仅当函数y=f(x)与直线y=ax-1有公共点时,存在题设的x.

由图象知,a取值范围为(-∞,-2)∪[1

2,+∞).…………………………10分

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