误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题答案.doc
《误差理论与数据处理》(第七版 )
习题及参考答案
第一章绪论
1－ 5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相
对误差
解：
绝对误差等于：180o00 02 180o 2
相对误差等于：
2 2
2 ＝0.00000308641 0.000031%
180o 180 60 60 648000
1-8 在测量某一长度时，读数值为 2.31m ，其最大绝对误差为20 m
，试求
其最大相对误差。
相对误差 max 绝对误差max 100%
测得值
20 10-6
100%
2.31
8.66 10- 4%
1-10 检定级（即引用误差为%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格
最大引用误差某量程最大示值误差
100% 测量范围上限
2
2% 2.5%
100%
100
该电压表合格
1-12 用两种方法分别测量L1=50mm， L2=80mm。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差
L1:50mm I 1 50.004 50 100% 0.008%
50
L2:80mm I 2 80.006 80
100% 0.0075%
80
I1 I2 所以 L2=80mm 方法测量精度高。
1－ 13 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过，优秀射手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射
击精度高 解：
多级火箭的相对误差为：
0.1
0.00001 0.001%
10000
射手的相对误差为：
1cm 0.01m
0.002%
50m
0.0002
50m
多级火箭的射击精度高。
1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度
L1=110mm ，其测量误差分别为
11 m
和
9 m
；而用第三种测量方法测量另一零件的长度
L2=150mm 。
其测量误差为
12 m
，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差
I 1
11 m
0.01%
110mm I 2
9 m 0.0082%
110mm I 3
12 m 0.008%
150mm
I 3 I 2 I 1 第三种方法的测量精度最高
第二章误差的基本性质与处理
2-6 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为，，，，。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
x 168.41 168.54 168.59 168.40 168.50
5
168.488( mA)
5
v i2
i 1 0.082( )
5 mA
1
x
0.082
0.037( mA) n 5
或然误差：R 0.6745 平均误差： T 0.7979 x
x
0.6745 0.0370.025( mA)
0.7979 0.0370.030( mA)
2-7 在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量 5 次，测得数据（单位为mm）为，，，，。若测量值服从正态分布，试以 99%的置信概率确定测量结果。
x 20.0015 20.0016 20.0018 20.001520.0011
5
20.0015( mm)
5
2
i 1
v i
0.00025
5 1
正态分布p=99%时，t 2.58
lim x
t
x
0.00025
2.58
5
0.0003( mm)
测量结果：X x(20.00150.0003)mm
lim x
2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差
0.004mm
，若要求测量结果的置信限为0.005mm
，当置信概率为
99%时，试求必要的测量次数。
正态分布p=99%时，t 2.58
lim x t
n
n 2.58 0.004
2.064
0.005
n 4.26
取n 5
2－ 9 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝，若要求测量的允许极限误差为±，而置信概率 P 为时，应测量多少次
解：根据极限误差的意义，有
t x 根据题目给定得已知条件，有t0.0015 n
t 0.0015 n 1.5
0.001
查教材附录表 3 有
若 n＝ 5， v＝ 4，α＝，有t ＝，
t 2.78 2.78
1.24
n5 2.236
若 n＝ 4， v＝ 3，α＝，有t ＝，
t 3.18 3.18
1.59
n4 2
即要达题意要求，必须至少测量 5 次。
2-12 某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为，，，，，，，，其权各为1，3， 5， 7， 8，6， 4， 2，试求加权算术平均值及其标准差。
8
i 1 p i x i
x 102028.34(Pa)
8
p i
i 1
8
p i v xi 2
i 1
86.95( Pa)
x 8
(8 1) p i
i 1
2-13 测量某角度共两次，测得值为1241336 ， 2 24 13'24'' ，其标准差分别为 1 3.1 , 2 13.8 ，试求加权算术平均值及其标准差。
p1 : p2 12 : 1 2 19044 : 961
1 2
x 24 13'20'' 19044 16' ' 961 4' ' 24 13'35''
19044 961
p i 3.1'' 19044 3.0''
x x i 2
p i 19044 961
i 1
2-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量 5 次，测得值如下：
甲
:7220,7 30 ,7235,7220,7 215;
乙
:7225,7 225,7220,7250,7245;
试求其测量结果。
甲： x 甲
7o 2' 20" 60" 35" 20" 15"
7o 2'30"
5
5
v i 2
（
2 2 5" 2 （-10"
2 2
i 1
-10" ） （ 30" ） ） （ -15" ）
甲
5
1
4
18.4"
甲
18.4"
8.23"
x 甲
5 5
乙： x 乙
7o 2' 25" 25" 20" 50" 45" 7o
2'33"
5
5
2
v i
2
2
2
2
2
i 1
（-8" ）（-8" ）（
" ） （17" ） （12"
）
乙
13
5 1
4
13.5"
乙
13.5"
6.04"
x 乙
5 5
p 甲 : p 乙 1 2
:
1 2
1 2 :
1 2 3648: 6773
x 甲
x
乙
8.23 6.04
p 甲 x
甲
p 乙 x
乙
3648 30" 6773 33"
7o 2' 7o
2'32"
x p 甲
p 乙
3648 6773
p 甲
8.23
3648
4.87
x
x 甲
p 甲 p 乙
3648
6773
X x 3 x
7 2'32'' 15' '
2-16 重力加速度的 20
次 测 量具 有 平 均 值 为
9.811m
/ s 2
、标准差为 0.014m / s 2
。另外 30
次 测 量 具 有 平 均 值 为
9.802m / s 2
，标准差为
0.022m / s 2 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此
50 次测量的平均
值和标准差。
p 1 : p 2
1
2 : 12
1 2 :
1 2 242 :147
x 12
x 2
2
0.014
0.022
20
30
x
242 9.811 147 9.802 9.808( m/ s 2 )
242 147
0.014
242 （
2
）
x
242 147 0.0025 m/s
20
2-19 对某量进行
10 次测量，测得数据为， ，，，，，，，，，试判断该测量列中是
否存在系统误差。
x 14.96
按贝塞尔公式
1
0.2633
10
v i
0.2642
按别捷尔斯法
2
1.253
i 1
10(10
1)
由
2
1 u
得 u
2
1 0.0034
1
1
2 u
0.67
所以测量列中无系差存在。
n 1
2-18 对一线圈电感测量 10 次，前 4 次是和一个标准线圈比较得到的，后 6
次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为 mH ）：
，，，； ，，，，，。
试判断前 4 次与后 6 次测量中是否存在系统误差。
使用秩和检验法：
排序：
序号
1 2 3 4 5
第一组
第二组
序号
6 7 8 9 10
第一组
第二组
T=+7+9+10=
查表 T 14 T 30
T T
所以两组间存在系差
2－ 21 对某量进行两组测量，测得数据如下：
x i
y i
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 解：
按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：
T 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x i y i
T 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x i y i
T 21
22
23
24
25
26
27
28 x i y i
现 n x
y
i
的数据计算 T ，得 T ＝ 154。由
＝ 14，n ＝ 14，取 x
a
(
n 1
(n 1
n
2
1) ) 203 ；
(
n 1
n 2
(n 1
n
2
1) ) 474 求出：
2
12
T
a
0.1
t
现取概率 2 (t ) 0.95 ，即 (t)
0.475 ，查教材附表 1 有 t 1.96 。由
于 t t ，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。
第三章误差的合成与分配
3-1 相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合
而成，它们的基本尺寸为l
1 40 mm ， l
2 12mm ，
l
3 1.25mm ，
l 4 1.005mm
。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为
l 1 0.7 m
, l 2 0.5 m l 30.3 m
, ,
l 4 0.1 m, lim l
1 0.35 m, lim l 20.25
m,
lim
l
3 0.20 m,
lim l 40.20 m
。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量
带来的测量误差。
修正值= ( l1 l 2 l 3 l 4 )
= ( 0.7 0.5 0.3 0.1)
=( m)
测量误差 :
l = 2 2 2 2
lim l1 lim l 2 lim l 3 lim l4
= (0.35) 2 (0.25) 2 (0.20) 2 (0.20) 2
=0.51( m)
3-2 为求长方体体积V
，直接测量其各边长为
a 161.6mm
，
b 44.5mm ,
c 11.2mm
, 已知测量的系统误差为 a 1.2mm ，
b 0.8mm，
c 0.5mm
，测量的极限误差为 a 0.8mm ，
b 0.5mm ，
c
0.5mm
，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
V abc V f (a, b,c)
V 0 abc 161.6 44.5 11.2
80541 .44( mm 3 )
体积 V 系统误差
V 为：
V bc a ac b ab c
2745.744(mm 3 ) 2745.74(mm 3 )
立方体体积实际大小为：
V V 0 V
77795.70(mm 3 )
lim V
( f ) 2
a ( f ) 2
b
( f ) 2
c
2
2
2
a
b
c
(bc)
2
2 (ac)
2
2
(ab)
2
2
a
b
c
3729.11(mm 3 )
测量体积最后结果表示为
:
V V 0 V
lim V
(77795.70 3729.11)mm 3
3-4 测量某电路的电流 I 22.5mA ，电压 U
12.6V ，测量的标准差分别
为
I
0.5mA ， U
0.1V
，求所耗功率 P
UI
及其标准差
P
。
P UI
12.6 22.5 283.5(mw)
P
f (U , I ) U 、I 成线性关系
UI
1
( f
) 2
2
f ) 2
2
f
)( f ) u
P
U
( I
2(
I U
I
U I
f
f
I U U I 22.5
0.1 12.6 0.5
U
I
U
I
8.55(mw)
3— 12 按公式 V=πr2h 求圆柱体体积，若已知r 约为 2cm， h 约为 20cm ，要使体积的相对误差等于1％，试问 r 和 h 测量时误差应为多少
解：
若不考虑测量误差，圆柱体积为
V r 2 h 3.14 22 20 251.2cm3 根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
V
1%
即V 1% 251.2 1% 2.51
现按等作用原则分配误差，可以求出
测定 r 的误差应为：
r 测定 h 的误差应为：
1 2.51 1
2 V / r
0.007cm
1.41 2 hr
h
1 2.51 1
0.142cm 2 V / h 1.41 r 2
3-14 对某一质量进行 4 次重复测量，测得数据 (单位 g)为，，，。已知测量的已
定系统误差2.6g,
测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表
所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。
极限误差／ g
序号误差传递系数
随机误差未定系统误差
1 － 1
2 － 1
3 － 1
4 － 1
5 － 1
6 －
7 －
8 － 1
428.6 429.2 426.5 430.8
x
4
428.775( g) 428.8(g)
最可信赖值x x 428.8 2.6 431.4(g)
5 2
3
( f )2
x
(
f
) e i 21 i 2
i 1
x i 4 i 1 x i
4.9( g)
测量结果表示为: x x x(431.4 4.9) g
第四章 测量不确定度
4— 1 某圆球的半径为 r ，若重复 10 次测量得 r ±σ r =±cm ，试求该圆球
最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率 P=99％。
解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度
已知圆球的最大截面的圆周为： D 2 r
其
标
准
不
确
定
度 应
为 ：
D u
r
2
2 2 2
4 3.14159 2
0.005 2
r
2
r
＝
确定包含因子。查
t 分布表（ 9）＝，及 K ＝
故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：
U ＝ Ku ＝×＝
②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为： V
4
r 3
3
其标准不确定度应为：
u
V
r
2
2
4 r 2 2 2 16 3.14159 2
3.132 4
0.005 2
0.616
r
r
确定包含因子。查
t 分布表（ 9）＝，及 K ＝
最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U ＝ Ku ＝×＝
4-4 某校准证书说明，标称值
10 的标准电阻器的电阻
R 在 20 C 时为
10.000742 129
（ P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属
于哪一类评定的不确定度。
Q 由校准证书说明给定
属于 B 类评定的不确定度
Q R 在 [
， +129 ]范围内概率为 99%，不为 100%
不属于均匀分布，属于正态分布
a 129 当p=99%时，K p 2.58
a 129
)
U R 50(
K p 2.58
4-5 在光学计上用52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由
三块量块研合而成，其尺寸分别是：l
1 40mm ，l
2 10mm ，
l 32.5mm
，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过
0.45m
、0.30 m
、
0.25 m
（取置信概率P=%的正态分布），求该
量块组引起的测量不确定度。L 52.5mm l140mm l 210mm l3 2.5mm
L l1 l 2 l 3 Q p 99.73% K p 3
U
l1 a 0.45
0.15(
m)U
l2
a 0.30
k p 3 k p
0.10( m)
3
U
l3 a 0.25
0.08( m) k p 3
U L U l
1 U l
2
U l 0.152 0.102 0.082 3
0.20( m)
第五章 线性参数的最小二乘法处理
5-1 测量方程为
3x y 2.9
x 2y 0.9
2x 3y 1.9
试求 x 、 y 的最小二乘法处理及其相应精度。
v 1 2.9 (3x y)
误差方程为 v 2
0.9 ( x 2y)
v 3 1.9 (2 x 3 y)
n
n
n
a i 1
a i1
x
a i1
a i 2
y
a i1l
i
列正规方程
i 1 i 1
i 1
代入数据得
n
n
n
a i 2
a i1
x
a i 2
a i 2
y
a i 2l
i
i 1
i
1
i 1
14x 5 y 13.4 x 0.962
5x 14y
解得
y 0.015
4.6
v 1 2.9 (3
0.962 0.015) 0.001 将 x 、 y 代入误差方程式v 2 0.9
(0.962 2 0.015)
0.032
v 3 1.9 (2
0.962 3 0.015) 0.021
n
3
v i
2
v i 2
测量数据的标准差为
i 1
i 1
0.038
n t 3 2
14d 11 5d 12 1 d
11
d
12
5d 11 14d 12 0
求解不定乘数
d
21
d
22
14d 21 5d 22 0 5d 21 14d 22 1
解得 d 11 d 22 0.082
x 、 y 的精度分别为
x
d 11 0.01
y
d 22 0.01
x 3y 5.6, p 1 1 5-7 不等精度测量的方程组如下：
4x y 8.1, p 2 2
2x y
0.5, p 3
3
试求 x 、 y 的最小二乘法处理及其相应精度。
v 1
5.6 (x 3y), p 1 1 列误差方程 v 2
8.1 (4 x y), p 2
2
v 3 0.5 (2 x y), p 3 3
3
3
3
p i a i 1a i1
x
p i a i1 a i 2
y
p i
a i1l
i
正规方程为
i 1
i 1
i 1
3
3
3
p i a i 2a i1
x
p i
a i 2a i 2
y
p i
a i 2l
i
i 1
i 1
i 1
代入数据得
45x y
62.2
x 1.434
x 14y
解得
y 2.352
31.5
v 1 0.022 将 x 、 y 代入误差方程可得v 2
0.012 v 3
0.016
3
p i v i 2
i 1
则测量数据单位权标准差为
0.039
3 2
45d 11
d
12
1
d
d
d
11
14d 12
求解不定乘数
11
12
d
21
d
22
45d
d
21
22
d
21
14d 22
1
解得
d 11 0.022
d 22
0.072
x 、 y 的精度分别为x
d 11 0.006
y
d 22 0.010
第六章回归分析
6-1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下：正应力x/Pa
抗剪强度y/Pa
正应力x/Pa
抗剪强度y/Pa
假设正应力的数值是正确的，求
（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。
（2）当正应力为时，抗剪强度的估计值是多少
（1）设一元线形回归方程
y b0 bx N 12
b l
xy
l
xx
l
xx 43.047 l xy 29.533
b0 y b x
x 1
25.97
311.6
l xy
12
29.533 0.69 y 1 297.2 24.77
b
43.047 12
l xx
b0 24.77 0.69 25.97 42.69
?
42.69 0.69x
y
（2）当 X=
y? 42.69 0.69 24.525.79(Pa )
6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线y ab x表示。
x 30 35 40 45 50 55 60 y -3802 y ab x log( y) log( a) log b x
Z1 log( y) Z2 x
取点做下表
Z230405060
Z1
以 Z1与 Z2画图
所得到图形为一条直线，故选用函数类型y ab x合适