人教版数学七年级上册第3章 一元一次方程 能力拓展(一)

七年级上册第3章能力拓展（一）

一．选择题

1．下列等式是一元一次方程的是（）

A．3+8＝11B．3x+2＝6C ．＝3D．3x+2y＝6

2．若ax＝ay，那么下列等式一定成立的是（）

A．x＝y B．x＝|y|

C．（a﹣1）x＝（a﹣1）y D．3﹣ax＝3﹣ay

3．方程2x＝﹣4的解是（）

A．x＝2B．x＝﹣2C．x ＝﹣D．x＝﹣6

4．某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（）

A．30元B．31元C．32元D．33元

5．若整数a使关于x的方程ax+3＝﹣9﹣x有负整数解，且a也是四条直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有a的个数为（）

A．3B．4C．5D．6

6．下列等式变形正确的是（）

A．若﹣2x＝5，则x ＝

B．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+1﹣2x＝1

C．若5x﹣6＝﹣2x﹣8，则5x+2x＝8+6

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D ．若，则2x+3（x﹣1）＝6

7．解一元一次方程（x+1）＝1﹣x时，去分母正确的是（）

A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x

C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x

8．已知关于x的一元一次方程（3﹣a）x﹣x+2﹣a＝0的解是的倒数，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2

9．设x，y，a是实数，正确的是（）

A．若x＝y，则x+a＝y﹣a

B．若x＝y，则3ax＝3ay

C．若ax＝ay，则x＝y

D．若3x＝4y ，则（a≠0）

10．已知方程（a﹣3）x|a|﹣2+1＝0是关于x的一元一次方程，则关于y的方程ay+6＝0的解是（）

A．y＝2B．y＝﹣2C．y＝2或y＝﹣2D．y＝1

二．填空题

11．已知关于x的一元一次方程mx＝5x﹣2的解为x＝2，则m值为．

12．足球比赛计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．今年武汉黄鹤楼队经过26轮激战，以42分获“中超”联赛第五名，其中负6场，那么胜场数为．

13．解方程5（x﹣2）＝6（﹣）．有以下四个步骤，其中第①步的依据是．

解：①去括号，得5x﹣10＝3x﹣2．

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②移项，得5x﹣3x＝10﹣2．

③合并同类项，得2x＝8．

④系数化为1，得x＝4．

14．定义新运算：a?b＝a﹣b+ab，例如：（﹣4）?3＝﹣4﹣3+（﹣4）×3＝﹣19，那么当（﹣x）?（﹣2）＝2x时，x＝．

15．若关于x的方程3x﹣7＝5x+2的解与关于y的方程4y+3a＝7a﹣8的解互为倒数，则a 的值为．

三．解答题

16．解方程：

（1）2x﹣1＝3（x﹣1）；

（2）﹣＝2．

17．小王离岗创业，销售某品牌电脑，1月份的销售量为100台，每台电脑售价相同，2月份的销售量比1月份增加10%，每台售价比1月份降低了400元，2月份与1月份的销售总额相同，求每台电脑1月份的售价．

18．已知多项式3m3n2﹣2mn3﹣2中，四次项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且4b、﹣10c3、﹣（a+b）2bc的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从原点O 出发，沿OC方向以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点P，Q其中有一点停止运动，另一点同时停止运动），两点同时出发．

（1）分别求4b、﹣10c3、﹣（a+b）2bc的值；

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（2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距70；

（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F ，试问的值是否变化，若变化，求出其范围：若不变，求出其值．

19．以下是圆圆解方程＝1的解答过程．

解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．

去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

20．在数轴上，若A、B、C三点满足AC＝2CB，则称C是线段AB的相关点．当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段

AB的外相关点．

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如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数﹣1的点D是线段AB的外相关点．

（1）如图2，A、B表示的数分别为5和﹣1，则线段AB的内相关点表示的数为，线段AB的外相关点表示的数为．

（2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒．

①当PQ＝7时，求t值．

②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N．直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值．

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参考答案

一．选择题

1．解：A、3+8＝11，不含有未知数，不是一元一次方程；

B、3x+2＝6，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，是一元一次方程；

C、分母含有未知数是分式方程，不是一元一次方程；

D、含有两个未知数，不是一元一次方程；

故选：B．

2．解：A、当a＝0时，x与y不一定相等，故本选项错误；

B、当a＝0时，x与|y|不一定相等，故本选项错误；

C、当a＝0时，x与y不一定相等，故本选项错误；

D、等式ax＝ay的两边同时乘﹣1，再同时加上3，该等式仍然成立，故本选项正确．

故选：D．

3．解：方程2x＝﹣4，

解得：x＝﹣2．

故选：B．

4．解：设这本新书的标价为x元，

依题意得：0.8x﹣24＝24×10%，

解得：x＝33．

故选：D．

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5．解：（1）当四条直线平行时，无交点，

（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点，

（3）当两两直线平行时，有4个交点，

（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点，

（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点，

（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点，

（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点，故四条直线在平面内交点的个数是0或1或3或4或5或6；

解方程ax+3＝﹣9﹣x得x ＝﹣，

∵x是负整数，a是整数，

∴a+1＝1或2或3或4或6或12，

解得a＝0或1或2或3或5或11．

综上所述，a＝0或1或3或5，满足条件的所有a的个数为4．

故选：B．

6．解：A、若﹣2x＝5，则x ＝﹣，错误，故本选项不符合题意；

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B、若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1，错误，故本选项不符合题意；

C、若5x﹣6＝﹣2x﹣8，则5x+2x＝﹣8+6，错误，故本选项不符合题意；

D、若+＝1，则2x+3（x﹣1）＝6，正确，故本选项符合题意；

故选：D．

7．解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，

故选：D．

8．解：的倒数是3，

把x＝3代入方程（3﹣a）x﹣x+2﹣a＝0得：3（3﹣a）﹣3+2﹣a＝0，解得：a＝2，

故选：D．

9．解：∵若x＝y，则x+a＝y+a，

∴选项A不符合题意；

∵若x＝y，则3ax＝3ay，

∴选项B符合题意；

∵等式左右两边同时除以a，但这里没有规定a的范围，a不能为0，∴选项C不符合题意；

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∵若3x＝4y ，则＝，

∴选项D不符合题意．

故选：B．

10．解：∵（a﹣3）x|a|﹣2+1＝0，

∴|a|﹣2＝1，a﹣3≠0，

解得：a＝﹣3，

可得：﹣3y+6＝0，

解得：y＝2．

故选：A．

二．填空题

11．解：∵关于x的一元一次方程mx＝5x﹣2的解为x＝2，∴2m＝10﹣2，

解得：m＝4．

故答案为：4．

12．解：设胜场数为x场，则平场数为（26﹣6﹣x）场，依题意得：3x+（26﹣6﹣x）＝42

解得：x＝11

那么胜场数为11场．

故答案为：11．

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13．解：第①步去括号的依据是：乘法分配律．故答案是：乘法分配律．

14．解：∵a?b＝a﹣b+ab，（﹣x）?（﹣2）＝2x，∴﹣x+2+2x＝2x，

解得x＝2．

故答案为：2．

15．解：解方程3x﹣7＝5x+2得x ＝﹣，

根据题意得，方程4y+3a＝7a﹣8的解为y ＝﹣，所以4×（﹣）+3a＝7a﹣8，

解得a ＝．

故答案为．

三．解答题

16．解：（1）∵2x﹣1＝3（x﹣1），

∴2x﹣1＝3x﹣3，

∴2x﹣3x＝1﹣3，

∴﹣x＝﹣2，

∴x＝2．

（2）∵﹣＝2，

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∴2x+15﹣＝2，

∴3（2x+15）﹣（10x﹣1）＝6，

∴6x+45﹣10x+1＝6，

∴﹣4x+46＝6，

∴﹣4x＝﹣40，

∴x＝10．

17．解：设每台电脑1月份的售价为x元，

根据题意得，100（1+10%）（x﹣400）＝100x，

解得：x＝4400，

答：每台电脑1月份的售价为4400元．

18．解：（1）∵多项式3m3n2﹣2mn3﹣2中，四次项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，

∴a＝﹣2，b＝5，c＝﹣2，

∴4b＝4×5＝20；﹣10c3＝﹣10×（﹣2）3＝80；﹣（a+b）2bc＝﹣（﹣2+5）2×5×（﹣2）＝90；

（2）设运动时间为t秒，则OP＝t，CQ＝3t，

当P、Q两点相遇前：90﹣t﹣3t＝70，

解得：t＝5；

当P、Q两点相遇后：t+3t﹣70＝90，

解得：t＝40＞30（所以此情况舍去），

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∴经过5秒的时间P、Q两点相距70；

（3）由题意可知：当点P运动到线段AB上时，OB＝80，AP＝t﹣20，

又∵分别取OP和AB的中点E、F，

∴点F 表示的数是，点E 表示的数是，

∴EF ＝，

∴，

∴的值不变，＝2．

19．解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．

去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．

移项，合并同类项，得x＝﹣3．

20．解：（1）设点C所表示的数为x，

①当点C是线段AB的内相关点时，有5﹣x＝2（x+1），解得，x＝1，

②当点C是线段AB的外相关点时，有5﹣x＝2（﹣1﹣x），解得，x＝﹣7，

故答案为：1，﹣7；

（2）由题意，运动时间为t秒时，P点对应的数为5+3t，Q对应的数为﹣1+2t，且P点在Q点右侧．

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所以PQ＝5+3t﹣（﹣1+2t）＝t+6．

①当PQ＝7时，t+6＝7，解得t＝1；

②设M、N所对应的数分别为a、b．

∵线段PQ的内相关点为M，PM＝2MQ，

∴5+3t﹣a＝2[a﹣（﹣1+2t）]，解得a ＝，∵线段PQ的外相关点为N，PN＝2QN，

∴5+3t﹣b＝2（﹣1+2t﹣b），解得b＝t﹣7，

∵M、N所对应的数为相反数，

∴+t﹣7＝0，

解得t＝1.8．

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