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2016年学业水平考试-数学-经典118题—含答案

2016年学业水平考试经典118题—含答案

1、已知全集}6,5,4,3,2,1{=U 集合{}6,4,3,1=A ,{}6,5,4,2=B ,则B C A U ?等于( ) A.{}3,1 B.{}5,2 C.{}4 D.?

【答案】A

2、已知集合{}

22A x x =-<<,{

}

20B x x x =-≤,则A B 等于 ( )

A.()0,2

B.(]0,2

C.[)0,2

D.[]0,2

【答案】C

3、已知集合1},032|{=<-=a x x P ，则下列正确的是

（）

（A ）P a ? （B ）P a ∈ （C ）P a ? （D ）P a ∈}{

【答案】B

4、函数1

()lg(1+x 1-x

f x =

+）的定义域是( ) A.(,-1)-∞ B.(1,+)∞ C.(1,1)+-∞U （1，）

D.(,+)-∞∞

【答案】C

5、下列哪组中的两个函数是同一函数

A.2y =与y x =

B.3y =与y x =

C.y =

y =

D.y =2

x y x

【答案】B

6、已知f(x)=??

???<-=->)0(32)0(1)0(0x x x x 则f{f[f(5)]}=

A 、0

B 、-1

C 、5

D 、-5 【答案】D

7、下列四个函数中,在区间(0,)+∞上是减函数的是 ( ) A.3log y x = B.3x y =

C.12

y x =

D.1y x

【答案】D

8、设f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=2x

+2x+b(b 为常数),则f(-1)=

(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】答案D

解析:因为()f x 为定义在R 上的奇函数,所以有0

(0)2200f b =+?+=,解得1b =-,所以当0x ≥时,()221x

f x x =+-,则有()1

(1)1(2211)3f f -=-=-+?-=-,故选D

9、

函数y =

(A)[0,)+∞ (B)[0,4]

(C)[0,4) (D)(0,4)

【答案】C 10

、2

log 的值为

12-

D. 12

【答案】D

11、在同一坐标系中画出函数log a y x =,x y a =,y x a =+的图象,可能正确的是( )

【答案】D 12、如果函数

()log (1)a f x x a =>在区间[, 2]a a 上的最大值是最小值的3倍,那么a 的

值为( ).

2 D.3

【答案】参考答案:A

13、

x A.)0,1(- 【答案】 C

14、设函数6ln 2)(-+=x x x f 的零点为x ,则m 的所在区间为( ) (A) ()1

,0 (B) ()2,1 (C) (

)3,2 (D) )4,3( 【答案】C

15、一个角的度数是

405,化为弧度数是( ). A.

π3683 B. π47 C. π613 D. π4

9 【答案】参考答案:D

考查内容:弧度制的概念,弧度与角度的互化

16、已知sin 20α<,且cos 0α>,则α的终边落在( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限【答案】D

17、sin 240

的值为 A.12-

【答案】C

18、6

sin π

等于 A. 23-

B. 21-

C. 21

D. 2

【答案】B

B A

C D

19、计算sin 43cos13cos 43sin13-

的结果等于( )

12【答案】A

20、

30sin 75cos 30cos 75sin -的值为( )

A.1

21 C.22 D.2

【答案】C

21、函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是

2π B.4

C.π2

D.π

【答案】A 22、函数)5

2sin(π

=x y 的最小正周期是

(A)

(B) π (C)2π (D) 4π 【答案】B

23、函数()sin()4

f x x π

=-的一个单调增区间为 ( ) (A) 37(,

)44ππ (B) 3(,)44ππ- (C)(,)22ππ- (D)3(,)44

ππ

- 【答案】A 24、函数x cos 4x sin

3y 2

--=的最小值为( )

(A)-2 (B)-1 (C)-6 (D)-3

【答案】B

25、tan 2y x =的定义域是

A 、|,,2x x k x R k Z ππ??≠

+∈∈???? B 、|+2,,2x x k x R k Z ππ??≠∈∈???? C 、|,,42k x x x R k Z ππ??≠+∈∈???? D 、|,,4x x k x R k Z ππ??

≠+∈∈????

【答案】C

26、函数f (x )=2sin x cos x 是

A.最小正周期为2π的奇函数

B.最小正周期为2π的偶函数

C.最小正周期为π的奇函数

D.最小正周期为π的偶函数

【答案】C

27、为了得到函数sin(2)3

y x π

的图像,只需把函数sin(2)6

y x π

的图像 ( )

(A)向左平移

4π个长度单位 (B)向右平移4π

个长度单位 (C)向左平移

2π个长度单位 (D)向右平移2

个长度单位

【答案】B

28、设ABC ?的三内角A 、B 、C 成等差数列,sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列,则这个三

角形的形状是( )

A.等腰直角三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形【答案】B

29、已知ABC ?中,1,a b =45B = ,则角A 等于

( )

A.150

B.90

C.60

D.30

【答案】 D

30、若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则△ABC

(A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形.

(C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 【答案】解析:由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13

由余弦定理得011

5213115cos 2

c ,所以角C 为钝角 31、在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对边分别为a,b,c,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是

( )

A.等腰三角形或直角三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等边三角形

【答案】A

32、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且

2()()a c a c b bc +-=+,则A 等于

A.150?

B.120?

C. 60?

D. 30?

【答案】B 33、若向量(12)=，a ,(3,4)-b =,则()()?a b a +b 等于( )

A.20

B.(10,30)-

C.54

D.(8,24)- 【答案】B

34、已知)1 2a = ，,()2b m =- ，,若//a b ,则|23|a b +

等于 ( )

B. C. D.【答案】B

35、已知平面向量a ,b 的夹角为60°,=a ,||1=b ,则|2|+=a b

(A) 2 (C) (D) 【答案】C

36、已知向量(1, 2)=a ,(3, 2)=-b ,如果k +a b 与3-a b 垂直,那么实数k 的值为 (A)19- (B)13-

(D)19 【答案】D

37、已知向量(1,2),(1,)a b k ==-

,若a b ⊥ ,则k =

A.-2

B. 2

C.-12

D. 1

【答案】D

38、已知a =(1,0),b =(,1)x ,若a b ?=则x 的值为

B. 1 【答案】D 39、已知点(1,1)A -,点(2,)B y ,向量=(1,2)a ,若//AB

a ,则实数y 的值为

( )

A.5

B.6

C.7

D.8

【答案】 C

40、已知向量a = (6, 2 ) ,向量 = (x ,3 ) ,且a //, 则x 等于

A.9

B. 6

C.5

D.3 【答案】A

41、已知向量a =(1,k ),=b (2,1),若a 与b 的夹角大小为?

90,则实数k 的值为( )A.12-

B.12

C.2-

D.2【答案】C

42、已知向量a

=(1,k ),=b (2,1),若a 与b 的夹角为?90,则实数k 的值为 A.12- B.1

C.2-

D.2

【答案】C

43、已知}{a n 为等差数列,且1247-=-a a ,03=a ,则公差=d ( ).

A.2-

B.2

C.21

D. 2

【答案】B

44、已知等差数列{n a }中,,2,164142==+a a a 则11S 的值为

A. 15

B.33

C.55

D. 99

【答案】C

45、已知{}n a 是由正数组成的等比数列,n S 表示{}n a 的前n 项的和,若13a =,24144a a =,则5S 的值是 (A)

(B) 69 (C)93 (D)189 【答案】C 46、设n S 为等比数列

{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则

S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-

【答案】答案：D

解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为083

22=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选D ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题

47、设0a b <<,则下列不等式中正确的是

A.2a b

a b +<<

B.2a b

a b +<

C.2

a b

a b +<<<

a b

a b +<< 【答案】B

48、已知正整数a ,b 满足304=+b a ,使得

a 1

1+取得最小值时的实数对),(b a 是( ). A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7.,2) 【答案】A

49、若函数1

()(2)2

f x x x x =+

>-在x a =处有最小值,则a =

(A)1

1 【答案】C

50、已知0,0a b >>,2a b +=则14

y a b

+的最小值是 (A)

72 (B)4 (C)9

(D)5 【答案】C

51、不等式(1)(2)x x +-0>的解集为

A.(,1)(2,)-∞-+∞

B.(,2)(1,)-∞-+∞

C.(1,2)-

D.(2,1)- 【答案】C

52、不等式2

60x x -->的解集为( ).

A.{}

23x x x <->或 B.{}23x x -<<

C.{}32x x x <->或

D.{}32x x -<<

【答案】参考答案:A

53、设变量y x ,满足约束条件:,222??

??-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的最小值( )

A. 2-

B. 4-

C. 6-

D. 8-【答案】D

54、设变量x,y 满足约束条件250200x y x y x +-≤??

--≤??≥?

,则目标函数231z x y =++的最大值为

(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5

【答案】B 【解析】根据题意,在两直线交点处取得最大值.由25020x y x y ì+-=?í--=??得31x y ì

=?í=?

代入目标函数231z x y =++,得z=10

55、如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为

A.942π+

B.3618π+

C.9122π+

D.9182

π+

【答案】D

56、1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是

(A)12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ? (B)12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥

解析:由12l l ⊥,23//l l ,根据异面直线所成角知3l 与3l 所成角为90°,选B.

57、设a 、b 是两条不同直线,α、β是两个不同平面,则下列命题错误．．

的是 A.若a α⊥,//b α,则a b ⊥ B.若a α⊥,//b a ,b β?,则αβ⊥ C.若a α⊥,b β⊥,//αβ,则//a b D.若//a α,//a β,则//αβ 【答案】D

58、在下列命题中,正确的是 ( ) A.垂直于同一个平面的两个平面互相平行 B.垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C.平行于同一个平面的两条直线互相平行 D.平行于同一条直线的两个平面互相平行【答案】B

59、设l ,m ,n 为不同的直线,α,β为不同的平面,有如下四个命题:

①若,l αβα⊥⊥,则//l β ②若,,l αβα⊥?则l β⊥

③若,,l m m n ⊥⊥则//l n ④若,//m n αβ⊥且//αβ,则m n ⊥ 其中正确命题的个数是

( )

A.1

B.2

C. 3

D. 4 【答案】A

60、已知直线l 的斜率为2,且过点),3(),2,1(m B A --,则m 的值为( ) A.6 B.10 C.2 D.0 【答案】A

61、直线20x -=的倾斜角为 ( )

A. 6π

B. 3π

C. 23π

D. 56

【答案】 D

62、不论a 为何实数,直线(3)(21)70a x a y ++-+=恒过

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【答案】解析:一般做法把含参数的写在一起,不含参数的写在一起.

原直线方程可变形为a(x+2y)+(3x-y+7)=0,令x+2y=0,3x-y+7=0,则得x=-2,y=1,即直线恒过定点(-2,1),而它在第二象限.

63、经过两点A (4,0),B (0,-3)的直线方程是( ).

A.34120x y --=

B.34120x y +-=

C.43120x y -+=

D.43120x y ++= 【答案】参考答案:A

64、经过点(1,－3)，且倾斜角的正切值为3

-的直线的方程是（）

（A ）01034=--y x （B ）0234=++y x （C ）034=+y x

（D ）0534=++y x

【答案】D

65、过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是

(A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0 【答案】A

66、已知直线1l :()()02y 2m x 2m =+--+,直线2l :01my 3x =-+,且21l l ⊥, 则m 等于 ( ) A.1- B. 6或1- C. 6- D. 6-或1 【答案】B

67、如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,那么系数a 等于( ). A.-3 B.-6

C.-

23 D.3

2 【答案】B 68、若直线023:04)1(2:21

=-+=+++y mx l y m x l 与直线平行,则m 的值为

A. -2

B. -3

C. 2或-3

D. –2或-3

【答案】C

69、若P )1,2(- 为圆2

2(1)25x y -+=的弦AB 的中点, 则直线AB 的方程是( ).

A.230x y +-=

B.10x y +-=

C.30x y --=

D.250x y --=

【答案】C

70、圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是

(A)(2,3) (B)(-2,3) (C)(-2,-3) (D)(2,-3) 【答案】答案:D

解析:圆方程化为22(2)(3)13x y -++=,圆心(2,-3),选D.

71、已知圆C :x 2+y 2

-2x +4y +1=0,那么与圆C 有相同的圆心,且经过点(-2,2)的圆的方程是( ).

A.22(1)(2)5x y -++=

B. 22(1)(2)25x y -++=

C.22(1)(2)5x y ++-=

D. 22(1)(2)25x y ++-= 【答案】参考答案:B

72、直线0=+++b a by ax 与圆222

=+y x

的位置关系为

(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)相交或相切【答案】D

73、圆1C :2

22880x

y x y +++-=与圆2C :224420x y x y +-+-=的位置关系是( )

A. 相交

B. 外切

C. 内切

D. 相离【答案】A

74、同时掷两个骰子,向上点数和为5的概率是( ) A. 4; B. ;91 C.

121; D. 21

2 【答案】B

75、连续投掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ,作向量(,)a m n =

.则向量a 与向量(1,1)b =-

的夹角成为直角三角形内角的概率是( )

712 B.512 C.12

D.61

【答案】A

76、甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,

把乙猜想的数字记为b ,其中{}6,5,4,3,2,1,∈b a ,若|a-b |≤1,则称甲乙“心有灵犀”?现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A.

91 B.92 C. 187 D.9

4 【答案】D

77、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、 n 作为P 点的坐标，求点P 落在圆2

216x

y +=

外部的概率是 A ．

59 B ．23 C ．79 D ．89

【答案】C

78、先后抛掷两枚骰子, 骰子朝上的点数分别为,x y , 则满足2log 1x

y =的概率为

（）

136

112

【答案】C

79、如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96

颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 (A)7.68 (B)8.68 (C)16.32 (D)17.32

【答案】C

80、某校高三一班有学生54人,二班有学生42人,现在要用分层抽样的方法从这两个班随

机选出16人参加军训表演,则一班和二班分别选出的人数是 (A)8人,8人 (B)15人,1人 (C)9人,7人 (D)12人,4人【答案】C

81、一个单位有职工800人,期中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是

(A )12,24,15,9 (B )9,12,12,7 (C )8,15,12,5 (D )8,16,10,6

【答案】解析:因为

401

80020

故各层中依次抽取的人数分别是160820=,3201620=,200

1020

=,120620= 答案:D

82、在频率分布直方图中,小矩形的高表示

A.频率/样本容量

B.组距×频率

C.频率

D.频率/组距

【答案】D

83、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表

根据上表可得回归方程??y

bx a =+中的b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元【答案】【命题立意】本小题主要考察线性回归方程的性质,过定点的应用.

B 【解析】线性回归方程过定点(x y ，),49263954

424

y +++=

=,x =3.5,带入42=9.4×

3.5+ a

,得 429.4 3.59.1a =-?,∴69.49.165.5y =?=. 84、已知x

,y 的取值如下表:

从散点图可以看出y 与x 线性相关,且回归方程为0.95y x a =+,则a = (A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0

【答案】B 本题就是考查回归方程过定点(,)x y ?

85、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为4-,

则输出y 的值为

A.0.5

【答案】C

86、函数

()322+-=kx x x f 在[)∞+,2上是增函数,则k 的取值范围是________.

【答案】(]8，

∞-

87、若2)1(2)(2+--=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数,则实数a 的值的集合是

______________.

【答案】3-≤a

88、设()f x 是定义R 上的奇函数,当0x ≤时,()f x =2

2x x -, 则(1)f =_______.

【答案】3-

89、已知函数2(0)

()(3)(0)x x f x f x x ?>=?+≤?

,则f(-8)=_______.

【答案】2 ; 90、函数)10(23≠>+=-a a a y

x 且恒过定点____________

【答案】(3,3)

91、已知a =2lg ,b =3lg 则=12log 2_________________________(请用a,b 表示结果).

【答案】

2+a b

(也可写为:a

a b 2+)

92、若点在幂函数)(x f y =的图象上,则()f x =___________ .

【答案】

93、已知角的终边过点(4, 3)P -,那么2sin cos αα+的值为__________. 【答案】参考答案:5

2- 94、已知3

cos 5

x =,(),2x ππ∈,则tan x =__________ 【答案】4

95、已知α是锐角,且2)4

tan(=+π

α,则

=-+α

αα

αcos sin cos sin ___________.

【答案】 2-;

96、已知α为第二象限角,且1

sin 3

α=,则sin 2α=________.

【答案】9

97、在△ABC 中,如果::3:2:4a b c =,那么cos C =__.

【答案】1

98、已知函数()223px f x q x

+=-是奇函数,且()5

23f =-.

(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;

(Ⅱ)用定义证明函数()f x 在()0,1上的单调性.

【答案】解:(Ⅰ)因为()f x 是奇函数,所以对定义域内的任意x ,都有()()f x f x ∴-=-,

即2222

33px px q x q x

++=-+-

整理得33q x q x +=-+,所以0q =.又因为()523

f =-

, 所以()425

263

p f +=

=--,解得2p =. 故所求解析式为()222

3x f x x +=-.

(Ⅱ)由(1)得()2222133x f x x x x +??

==-+ ?-??

设1201x x <<<,则

()121221122112

12112

()()33x x f x f x x x x x x x x x ??????--=

+-+==-?

?? ? ???????… . 因为1201x x <<<,所以1201x x <<,120x x -<,1210x x ->, 从而得到12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <. 所以函数()f x 在()0,1上是增函数. -

99、已知函数21log 1x

f x x

+=-（

），x ∈（- 1，1）. （Ⅰ）判断f （x ）的奇偶性，并证明；

（Ⅱ）判断f （x ）在（- 1，1）上的单调性，并证明.

【答案】证明：（Ⅰ）

2221()111()log log log ()log ()1()111x x x x

f x f x x x x x

-+--++-====-=---+--

又x ∈（-1，1），所以函数f （x ）是奇函数

（Ⅱ）设 -1＜x 1＜x 2＜1，

2112212

211211(1)(1)

()()log log log 11(1)(1)

x x x x f x f x x x x x ++-+-=-=--+- 因为1- x 1＞1- x 2＞0；1+x 2＞1+x 1＞0

所以

1212(1)(1)1(1)(1)x x x x -+>+- 所以12212(1)(1)log 0(1)(1)

x x x x -+>+-

所以函数21()log 1x

f x x

+=-在（- 1，1）上是增函数

100、用定义证明：函数21

()2f x x x -=+在(0,1]上是减函数。【答案】证明：设]1,0(,,2121∈?x x x x 且则，

()()=-21x f x f 221+x 1

22112----x x x =(

)

()()021122121122122

21????

???+--=???? ??-+-x x x x x x x x x x 所以()1

22-+=x x x f 在(]1,0上是减函数。

101、已知函数(),m

f x x x

=+ 且此函数图象过点（1，5）.

（1）求实数m 的值；（2）判断()f x 奇偶性；

（3）讨论函数()f x 在[2,)+∞上的单调性？并证明你的结论.

【答案】4m =；奇函数；增函数；证明略（关键是分解后的因式及符号判别） 102、已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k 为可值时：

（1）ka+b 与a-3b 垂直；

（2）ka+b 与a-3b 平行，平行时它们是同向还是反向？

【答案】解：(3,22)ka b k k +=-+ ，3(10,4)a b -=-

（1）ka b +⊥ 3a b -

，则()()31022(4)0k k -?++?-=，得19k =

（2）//ka b + 3a b - ，则()()3(4)22100k k -?--+?=，得1

k =-

此时13

a b -+ 与3a b -

反向

103、已知)1,1(),0,1(==b a ．当λ为何值时，b a λ+与a 垂直？【答案】).,1()1,1()0,1(),1,1(),0,1(λλλλ+=+=+∴==b a b a

由于b a λ+与a 垂直，则有.1,001,0)0,1(),1(-=∴=++∴=?+λλλλ ∴当1-=λ时，b a λ+与a 垂直．

104、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2,O 是AC 与BD 的交点,E 为1BB 的中点.

(Ⅰ)求证:直线1B D ∥平面AEC ; (Ⅱ)求证:⊥D B 1平面AC D 1; (Ⅲ)求三棱锥1D D OC -的体积.

C 1

D 1

A 1

【答案】(Ⅰ)连接OE ,在1B BD ?中,

∵E 为1BB 的中点,O 为BD 的中点, ∴OE ∥1B D 又∵1B D ?平面AEC ∴直线1B D ∥平面AEC

(Ⅱ)在正方体1111D C B A ABCD -中,

1B B ⊥ 平面ABCD , AC ?平面ABCD ∴1B B AC ⊥. BD AC ⊥

且1BB BD B ?= ∴1B D AC ⊥

∴1AC B D ⊥ 同理可证11B D AD ⊥ ∵1AC AD A ?= ∴⊥D B 1平面AC D 1

(Ⅲ)11111221333

D D OC D DOC DOC V V DD S --?==??=??= 105、如图,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是菱形,SA ABCD ⊥底面,M 为SA 的中

点,N 为CD 的中点.

(Ⅰ)证明:平面SBD ⊥平面SAC ; (Ⅱ)证明:直线MN SBC 平面‖.

【答案】证明:(Ⅰ)∵ABCD 是菱形, ∴BD ⊥AC,

∵SA ABCD ⊥底面,∴BD ⊥SA, ∵SA 与AC 交于A, ∴BD ⊥平面SAC, ∵BD ?平面SBD

∴平面SBD ⊥平面SAC (Ⅱ)取SB 中点E,连接ME,CE, ∵M 为SA 中点,∴ME AB 且ME=

AB, 又∵ABCD 是菱形,N 为CD 的中点, ∴CN AB 且CN=

12CD=1

AB, ∴CN EM,且CN=EM,

∴四边形CNME 是平行四边形, ∴MN CE,

又MN ?平面SBC, CE ?平面SBC, ∴直线MN SBC 平面‖

106、已知数列}{n a 是等差数列,34-=n a n ,求首项1a ,公差d 及前n 项和n S

【答案】n n s d a n -===21

2,4,1

107、已知等差数列

{}n a 中，21531=++a a a ，94=a ,

求：（I ）首项1a 和公差d ；

（II ）该数列的前8项的和8S 的值．

【答案】解 (Ⅰ) 由等差数列{}n a 的通项公式：

n a =d n a )1(1-+，

得??

?=+=++++.

93,

21)4()2(1111d a d a d a a

解得 1a =3，d =2. (Ⅱ) 由等差数列{}n a 的前n 项和公式：

d n n na S n 2

)

1(1-+

=，得 2

78388??+

?=S 805624=+=. 108、已知等差数列}{n a 中，16,24524=+=a a S ，求通项公式n a 和前n 项和n S 。【答案】解；设等差数列的首项和公差分别是1a 和d ，则有?????=+++=?+16

)4()(242

344111

d a d a d a 整理得???=+=+16

52123211d a d a ，解得2,31==d a ，所以n n S n a n n 2,122+=+=

109、在等比数列{}n a 中142,54a a ==- ,求n a 及前n 项和n S .

【答案】

()

()34

27,31323,

n n n a q q a a s -=

=-∴=---=-=

则

110、在等比数列{}n a 中，首项11a =，48a =，求该数列的前10项的和10S . 【答案】设公比为q ，由已知1

1a =，33418a a q q ===，得2q =

所以10101(12)

S ?-=-10211023=-=

111、在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．

【答案】解：由已知，得

5111

3162,(13)242,13

n a a -??=?

?-=?

-?①

②

由①得181162a =，

解得 12a =．

将12a =代入②得

()

21324213

=-－，

即 3243n

=，解得 n ＝5．

∴数列{}n a 的首项12a =，

项数n ＝5．

112、已知一个圆的圆心坐标为C （－1，2），且过点P （2，－2），求这个圆的标准方程【答案】解：依题意可设所求圆的方程为

(x ＋1)2+(y －2)2= r 2

因为点P （2，－2）在圆上，所以 r 2 =(2＋1)2+(－2－2)2

=25 因此，所求的圆的标准方程是

(x ＋1)2+(y －2)2=5 2

113、求过)1,3(A 、)6,1(-B ，且圆心在直线0=+y x 上的圆的方程．

【答案】解：设圆的方程022

=++++F Ey Dx y x

，则

??????

=-+-=++-=+++0

)2()2

(06370310E D F E D F E D ???

??-=-==?1633F E D

0163322=--++∴y x y x

114、一颗骰子连续抛掷两次，计算：

(Ⅰ) 向上的点数之和是5的概率；

(Ⅱ) 向上的点数之和不大于4的概率．

【答案】解：(Ⅰ)记“一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和等于5”为事件A ∵一颗骰子连续抛掷2次，共有以下36种结果： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6) (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6) (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)

而向上的点数之和为5的结果有(4,1)，(3,2)，(2,3)，(1,4)等4种情况 ∴9

1364)(==

A P ，故一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和等于5的概率为

1 (Ⅱ)记“一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和不大于4”为事件B ，“向上的点数之和为2”记作事件1C ，“向上的点数之和为3”记作事件2C ，“向上的点数之和为4”记作事件3C ，则321C C C B =．

∵事件321,,C C C 不可能同时发生，∴事件321,,C C C 是两两互斥事件 ∴6

1366363362361)()()()(321==++=

++=C P C P C P B P 故一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和不大于4的概率为

． 115、有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4．

试求：

(1)他乘火车或飞机来的概率； (2)他不乘轮船来的概率；

(3)如果他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？

【答案】解：设＂朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来＂分别为事件Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，则()0.3P A =，

()0.2P B =，()0.1P C =，()0.4P D =，且事件Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ之间是互斥的。 (1)他乘火车或飞机来的概率为1()()()0.30.40.7P P A D P A P D ==+=+=

(2)他乘轮船来的概率是()0.2P B =，所以他不乘轮船来的概率

为()1()10.20.8P B P B =-=-=

(3)由于0.4()P D ==()P A +()P C ，所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的。 116、先后投两枚骰子，观察向上的方向，问（1）共有多少种不同的结果？（2）所得点数之和是5的概率？

（3）所得点数之和是3的倍数的概率是多少？【答案】解：（1）共有36种不同的结果（2）设所得点数之和是5 为事件A 则P （A ）＝

1 （3）设所得点数之和是3的倍数为事件B

则P （B ）＝

1 117、已知函数x

x x f -+=22)( （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性；

（Ⅱ）证明明)(x f 在),0(+∞上是增函数. 【答案】解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为R

又)(22)(x f x f x x =+=-- R 为)(x f ∴上的偶函数（Ⅱ）任取),0(,21+∞∈x x 且设21x x > 则)22(2

2)()(221

121x x x x

x f x f --+-+=-

212122)22(x x x x ---+-=212122)22(x x x x ---+-=2

1212

2122x x x x ---+-= ]2211)[22(212

x x x x ?--=]22122)22(2

1212

1x x x x x x ?-??-=

021>>x x 12221>>∴x x

0122,0222

>-?>-∴x x x x 02

22)22(21212

>?-??-∴x x x x x x

)()(21x f x f >即

),0()(+∞∴在x f 上为增函数

118、对于函数f (x )= a -

+(a ∈R )：（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？【答案】解：（1）函数f (x )的定义域是R ，

设x 1 < x 2 ，则 f (x 1) – f (x 2) = a -1221x +-( a -2221x +)=12122(22)(21)(21)

x x x x -++，

由x 1

-< 0，得f (x 1) – f (x 2) < 0，所以f (x 1) < f (x 2).

故，f (x )在R 上是增函数. （2）由f (-x )= -f (x )，求得a =1.