第5章静电场
第5章 静电场
5-1 两小球处于如题5-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T ，重力mg 以及库仑力F
的作用，则有mg T =θcos 和F T =θsin ,∴θmgtg
F =,由于θ很小，故 l
x
mg
mg mg x q F 2sin tg 41
220=≈==θθπε ∴
3
/1022?
??
?
??m g l q πε
5-2 设q 1,q 2在C 点的场强分别为1E 和2E
，则有
2
1
0141
AC r q E πε=
1
429
9
m V 108.103.0108.1109--??=??
?=
方向沿AC 方向 2
2
0241
BC r q E πε=
1
42
99
m V 107.204
.0108.1109--??=???= 方向沿CB 方向
∴ C 点的合场强E
的大小为：
24242
221)107.2()108.1(?+?=+=
E E E 14m V 1024.3-??=
设E 的方向与CB 的夹角为α，则有
?===--7.337
.28
.11211
tg E E tg α 5-3 坐标如题5-3图所示，带电圆弧上取一电荷元l q d d λ=，它在圆心O 处的场强为
2
01d 41d R
l
E λπε=
，方向如题5-3图所示，由于对称性，上、下两
带电圆弧中对应电荷元在圆心O 处产生的d E 1和d E 2在x 方向分量相
互抵消。
习题5-1图
习题5-3图
习题5-2图
0=∴x E ，圆心O 处场强E 的y 分量为
???
?
??-=
==??2312sin d 412sin d 41202
6
2
6
0R R R R l
E y πελθθ
λπεθλπεπ
π
方向沿y 轴正向。
5-4 （1）如题5-4图(a)，取与棒端相距d 1的P 点为坐标原点,x 轴向右为正。设带电细棒电荷元x q d d λ=至P 点的距离x ，它在P 点的场强大小为 2
0d 41d x x
E P λπε=
方向沿x 轴正向
各电荷元在P 点产生的场强方向相同，于是 ?
?-+-=
=1
1)(20d 41
d d L d P P x
x
E E πε 1
3228
9
110
m V 1041.2102811081103109114----??=??
?
???-????=???
? ??+-=
L d d πελ
方向沿x 轴方向。
（2）坐标如题5-4图(b)所示，在带电细棒上取电荷元x q d d λ=与Q 点距离为r ，电荷元在Q 点所产生的场强2
0d 41d r
x
E λπε=，由于对称性，场d E 的x 方向分量相互抵消，所
以E x =0,场强d E 的y 分量为
θλπεθsin d 41sin d d 2
0r x
E E y =
=
因θθθπθθd csc d d ,d 2d ,csc d 2
2222=-=??
?
?
?
-
==x ctg tg x r ∴ θθπελ
θλπεd sin d 4sin d 41d 202
==
r x
E y
)c o s (c o s d 4d s i n d 4d 212
0202
1
θθπελθθπελθθ
-==
=??y y E E 其中 2
2
2
22
2
2
1)
2/(d 2/c o s ,
)
2/(d 2/c o s L L L L +-
=+=
θθ
习题5-4图（a ）
习题5-4图（b ）
代入上式得
2
22
2
0)
2/(4L d L d E y +=
πελ
[
]
132
12
22
891027.5)
2/2.0()108(1082.0103109----??=+??????=
m V
方向沿y 轴正向。
5-5 带电圆弧长m d R l 12.302.050.04.322=-??=-=π,电荷线密度
199
m C 100.112
.31012.3---??=?==l q λ。带电圆弧在圆心O 处的场强等价于一个闭合带电
圆环（线密度为λ）和一长为d 、电荷线密度为-λ的小段圆弧在O 处场强的矢量和。带电闭合圆环在圆心处的场强为零，而d< C d q 11910202.0100.1--?=?=='λ，故圆心处的场强， 1 2 11920m V 72.05 .010210941 -?=???='=R q E πε,方向由圆心指向空隙中心。 5-6 （1）点电荷q 位于一立方体中心，则通过立方体每一面的电通量相等，∴ 通过每一面的电通量1Φ为总通量Φ的 6 1 ,即 0 01661d 61d 1 εεq q S E S E S = =?=?=Φ?? （2）如果这点电荷移到立方体的一个角上，则电荷q 所在顶角的三个面上，因为各点E 平行于该面，所以这三个面的电通量均为零，另三个面的电通量相等。如果要把q 全部包围需要有8个立方体，相当于有24个面，每一面上通过的电通量为总通量的 24 1 ，即 ??=?=?=?=Φ1 0124241d 241d S q q S E S E εε 5-7 解法（一）通过圆形平面的电通量与通过以A 为球心，r R x AB =+= 22为半径， 以圆平面的周界为周界的球冠面的电通量相等，该球冠面的面积rH S π2=，通过整个球面 204r S π=的电通量0 0εq = Φ，所以通过该球冠面的电通量为 r H q r rH q S S 02000 242εππε==Φ=Φ 习题5-7图（a ） r r r q α εcos 20-= ???? ? ? +-=-= 220012)cos 1(2R x x q q εαε 解法（二）在图形平面上取一同心面元环，设其中半径为r ，宽为d r ,此面元的面积 r r s d 2d π=。设此面元对A 点的半张角为θ，见图所示，由通量公式可得 ? ? ? += +=?=ΦS R R r x r r qx r r r x q S E 0 2 /3202 20 )2(d 2d 2cos 14d επθπε ??? ? ? ?+-= 220 12R x x q ε 5-8 通过此半球面的电通量与通过以O 为圆心的圆平面电通量相等，无限大平面外任一点的场强为 2εσ ，∴ 通过该球面的电通量为 0 22 022εσππεσR R S E = =?=Φ 5-9 设想地球表面为一均匀带电球面，则它所带总电量为 E R S E S d E q 20004πεεε-=-=?=? C 1092.5130)104.6(41085.85 2612?-=?????-=-π 5-10 设均匀带电球壳内、外半径分别为R 1和R 2，它所产生的电场具有球对称性，以任意半径r 作一与均匀带电球壳同心的高斯球面S ，由高斯定理可得 2 4d επi q E r S E ∑=?=?? ∴ 2 04r q E i πε∑= 当15R cm r <=时，0=∑i q ,∴01=E 218R cm r R <=< ??-===∑r R r R i R r r r V q 1 1)(3 4 d 4d 3132πρπρρ ??? ? ??-= -=2312 313234) (34 r R r r R r E ερ πεπρ 习题5-7(b)图 ????? ???-????= -----22322 12 5 )108()106(1081085.83102 1 4 m V 1048.3-??= )(3 4cm 12313 22 R R q R r i -=∑>=πρ ∴ 2 0313 220313233)(4)(34r R R r R R E ερπεπρ-=-= 1 42 12335m V 101.412 .01085.83)06.01.0(102---??=???-?= 5-11 无限长均匀带电圆柱面产生的电场具有轴对称性，方向垂直柱面，以斜半径r 作一与两无限长圆柱面的同车圆柱面以及两个垂直轴线的平面所形成的闭合面为高斯面，由高斯定理可得 ? ∑==?S i q rlE S E 0 2d επ ∴ rl q E i ∑= 021 πε （1）当r rl l E 002221πελ λπε= = ; （3）当2R r >时，0=∑i q ,∴ 03=E 5-12 见题5-12图所示，由于平面无限大，电荷分布均匀，且对中心面S 0（图中虚线）对称，电场分布也应具有均匀性和对称性，即在与带电板平行且位于中心面S 0两侧距离相等的平面上场强大小应处处相等，且方向垂直该平面。过板内P 点或板外Q 点作轴线与x 轴平行，两底面积为S 且相对中心面S 0对称的闭合正圆柱面为高斯面，由高斯定理可得： （1）平板内 ?= ∑==?0 022d ερ εxS q S E S E i 内 ∴ ?? ? ??≤=2d 0 x x E ερ 内 方向垂直板面向外 （2）平板外 ?==?0 2ερd s S E S d E 外 ∴ ??? ? ? ≥= 220d x d E ερ 外 方向垂直板面向外。 5-13 由于电荷分布具有轴对称性，故其场强必沿柱体的径向，其大小也具有轴对称性，故在圆柱体内取下同心薄圆筒，其半径为r ，厚度d r ，长l ，见右图示，根据高斯定理可得 ? ?= ?S v v S d E d 10 ρε () ?+= r r rl a r rl E 0 2 20 2d 2)/(11 2πρεπ ∴ ? +=+= r r a r a r a r r r a E 0 2 200222200 4) (2)(d ερερ 5-14 设想原来不带电的小空腔内同时存在电荷体密度为ρ±的两种电荷，则原带电荷等价 于一个半径为R ，电荷体密度为ρ+的均匀带电球体和一个半径为r ，电荷体密度为ρ-的均匀带电球体的组合，空间各处的场强等于这两个均匀带电球体产生场强的矢量和。对于球心O 处，210E E E +=，由于均匀带电球体球心处的场强为零，所以 2 03 23 02020d 3d 3441d 4ερρ ππεπεr r q E E ==== 方向由O 指向O '。 对于球心O '处，121E E E E O =+=' ∴ 03 033013d 434 d 4d ερπερ ππε===='R R R q E E O 方向由O 指向O '。 对于空腔内的任一点P ，位置如图所示。 3 0330330302143443444r b r R a R r b q R a q E E E περππερππεπε -='+=+= d b a b a 0 0003)(333ερερερερ=-=-= 习题5-13图 习题5-14图 以上计算表明空腔任意点的场强大小均为 3d ερ且方向均由O 指向O '，所以，空腔内为匀强电场。 5-15 电偶极子在均匀电场中所受的力矩为 θsin PE M = θ为电矩P 与E 两方向间的夹角，当2 π θ=时，外电场作用于电偶极子上 的力矩最大 356max 102100.1100.1--?????==qEd M m N 100.24 ??=- 5-16 外力所作的功为 ? ?? ? ??-=-=-=1202201121124141)(r q r q q u u q W W A πεπε J 1056.642.0125.01109100.310 5.11146988 120 21---?=?? ? ??-?????=? ??? ? ?-= r r q q πε 5-17 （1）氢原子内负电荷的总电量为 ? ? --=+ =0 2 /230 2 d 4d 4)(a a r e e a e r r e a q q r r r q q πππρ ? ==- =--0 00 22/230 67.05d 4a e e a r e e q e q r r e a q q （2）由于负电荷呈球状对称分布，故可采用高斯定理计算负电荷产生的电场强度1 E 的大小为 ?? = ?v S E S d 1d 0 1ρε ?-= r a r e r r e a q r E 02/23002 1d 41 40 ππεπ ? -= r a r e r r e a r q E 0 2/23 201d 0πε 习题5-15图 2 /2020220412240r q e a r a r r q e a r e πεπε+???? ??++-=- 正电荷e q +在球心，其产生的电场强度2E 的大小为 2 024r q E e πε= 则在距球心r 处的总电场强度为21E E E +=，其大小为 0/2020220121224a r e e a r a r r q E E E -???? ??++= -=πε E 的方向沿径向向外。 5-18 电场力的功 ??? ??????? ? ?--=-=R q R q q u u q A c c 000000413410)(πεπε R q q 006πε= 5-19 由高斯定理可求得是空间场强分布（略） ?????? ?≥≤=R r r Q R r R rQ E 2 304141πεπε 离球心为)(R r r <处的电势 ?? ∞+=R R r r r Q r R rQ u d 41d 41 203 0πεπε 3 02 2 022308) 3(4)(214R r R Q R Q r R R Q πεπεπε-= + -= 5-20 （1）电荷线密度l q 2= λ，坐标如题5-20图(a)所示，距原点O 为x 处取电荷元x q d d λ=，它在P 点的电势) (d 41d 0.x r x u -= λπε ∴ P 点的总电势 习题5-20图(a) ?? -==-x r x u u l l d 41d 0λπε l r l r -+= ln 40πελ l r l r l q -+= ln 80πε （2）坐标如题5-20图(b)所示，电荷元x q d d λ=在Q 点的 电势2 2 d 41d x r x u += λπε Q 点的总电势 ? ?++=+==l r r l x r dx du u 0 220220 1ln 2412πελλπε r r l l q 2 20ln 4++=πε 5-21 半圆环中心O 的场强（或电势）是两段带电直线和带电半圆环在该处场强（或电势） 的迭加，由于两直线对O 对称，所以两带电直线在O 处的场强大小相等，方向相反，相互抵消，因而O 处的场强就是带电半圆环在O 处的场强，取电荷元l q d d λ=,它在O 处场强 2 0d 41d R l E λπε= ，由于对称性，各E d 的x 分量相互抵消。∴ E d E x ,0=的y 分量为 θsin d d E E y = ∴ ???===πθθπελ θλπε0 020d sin 4sin d 41d R R l E E y y R 02πελ = O 处的电势 ? ? += +=++=R R R R R R l x x u u u u πππελπελλπελπε0 0002032142ln 2d 41d 41 2 0 042ln 2ελ πελ+= 习题5-20图（b ） 习题5-21图 5-22 由高斯定理可求得两无限长同轴圆柱面间的场强为 r 02πελ ，所以两圆柱面间的电势差 1 200ln 2d 22 1 R R r r u R R πελ πελ== ?? 5-23 静电平衡时，导体球壳内、外表面均有感应电荷，由于带电系统具有球对称性，所以 内表面均匀分布有-q 电荷，外表面均匀分布+q 电荷，可判断电场分布具有球对称性，以任意半径r 作一与球壳同心的高斯球面S ，由高斯定理可得 ? ∑==?0 2 4d επi q E r S E 2 04r q E i πε∑= 当q q R r i =∑<1 ∴ 2 014r q E πε= 021=-+=∑< ∴ 2 034r q E πε= 由电势定义式可求得电势分布 1R r < ???∞ ++=12 1 2 d d d 3211R r R R R r E r E r E u 2 0102 02 041114d 4d 41 2 R q R r q r r q r r q R r R πεπεπεπε+???? ??-= +=? ? ∞ 21R r R << ??∞ +=2 2 d d 322R r R r E r E u 2 2 041d 42 R q r r q R ? == ? ∞ πεπε 2R r > ?? ∞ ∞ ==r r r r r E u d 41d 2 33πε r q 041 πε= 5-24 （1）内球电荷q 均匀分布在外表面，外球内表面均匀感应电荷-q ，外表面均匀分布电荷q+Q ，由高斯定理可求得电场分布（略） 011= 2022141 r q E R r R πε= << 0332=< 2 043 41 r Q q E R r += >πε 由电势定义可求得内球电势 ? ?∞++=2 1 3d 41d 41 202 0R R R r r Q q r r q u πεπε内 V 1030.304.010*******.0101.01100.11094111421091093 0210?=???+?? ? ??-???=++???? ??-=--R Q q R R q πεπε ?∞ -???=+=+=304.010*******d 41 109 3 020R R Q q r r Q q u πεπε外 V 1070.22 ?= （2）用导线把两球连接起来时，内球和外球内表面电荷中和，这时只有外球的外表面 带有q+Q 电荷，外球壳外场强不变，外球电势不变，这时两球是等势体，其电势均为原外球壳电势270V 。 （3）若外球壳接地，外球电势为零，外球外表面电荷为零，内球的电荷以及外球内表面电荷分布不变，所以内球的电势 ? ???? ??-= =2 1 21 20114d 41 R R R R q r r q u πεπε内 V 6003.0101.01 10 0.110910 9 =?? ? ??-????=- 5-25 由于带电系统具有轴对称性，所以电荷分布和电场分布也应具有轴对称，静电平衡时，圆柱形导体电荷均匀分布在其外表面，单位长度电量为1λ，导体圆筒内表面均匀分布有感 应电荷，其单位长度的电量为1λ-，外表面电荷均匀分布，单位长度的电量为21λλ+。以任意半径r 作同轴封闭圆柱面为高斯面，则由高斯定理得： ?∑= ∑= =?rl q E q rlE S E i i 00 22d πεεπ 当0=∑ r ∴ 01=E 1λl q b r a i =∑<< ∴ r rl l E 01 01222πλπελ= = 0=∑<l q c r i ∴ r rl l E 02 1021422)(πελλπελλ+= += 5-26 （1）A 板带正电荷q 分布在左右两表面上，设B 板感应电荷为-q 1，C 板感应电荷为 -q 2，则 q q q =+21 AB 、AC 间均可视为匀强电场 S q E S q E AC AB 02 01εε= = AC AB E E q q = 21 依题意 C A B A u u u u -=- AC AC AB AB E d E d = 可得 2 1 d d ==AB AC AC AB E E ∴ C 100.2C 100.1727 1--?=?=q q 即B 板上感应电荷为C 100.17 1-?-=-q ,C 板上感应电荷为C 100.27 2-?-=-q A 板的电势 AB AB AB A S q E u d d 1 ε= = V 103.210 2001085.8100.4100.13 4 1237?=??????=---- （2）当AB 间充以电介质时，则有下列关系 q q q =+21 S q E S q E AC r AB 02 01 εεε= = 2 521===AB AC r AC AB r d d E E q q εε 仍可解得 C 1014.271-?=q , C 1086.072-?=q 所以B 板上的感应电荷为 C 1014.271-?-=q C 板上感应电荷为 C q 721086.0-?-= A 板上电势 AB r AB AB A S q E u d d 01 εε= ?= V 107.910 2001085.85100.41014.224 123 7?=???????=---- 5-27 设AB 两板各面上的电荷面密度分别为4321σσσσ、、、，空间各处场强方向应与板面垂直，作如题5-27图所示的闭合圆柱面为高斯面，由于导体内场强处处为零，A 、B 两板间场强方向平行于圆柱侧面，所以通过高斯面的电通量为零，由高斯定理 ?=+= ?0d 0 1 312εσσS S S E ∴ 32σσ-= （1） A 板内的P 点场强为 022220 4 030201=---= εσεσεσεσp E ∴ 41σσ= （2） 若A 板带电Q A ，B 板带电Q B ，板面积为S ，则有 A Q S =+)(21σσ （3） Q =+)(σσ （4） 习题5-27图 由（1）、（2）、（3）、（4）式可得 S Q Q B A 241+= =σσ 2 64 88m C 10510 1002104106-----??=???+?= S Q Q B A 232-= -=σσ 2 64 88m C 100.110 1002104106-----??=???-?= 5-28 点电荷q 使金属球上产生感应电荷q '，由于金属球与地相联，其电势为零，球心处的电势应是点电荷q 和球上感应电荷q '在此处产生电势之和，即 0434141341 00000='+='+= ?'R q R q R q d R q u q πεπεπεπε ∴ 3/q q -=' 即金属球上感应q /3的负电荷。 5-29 （1） F 1077.110 0.12.01085.810 21200---?=???==d S C ε （2） C 1031.51031077.1731000--?=???==u C Q （3）152300m V 103100.1103--??=??==d u E （4） C 1031.5100.11031.510 37--?=??==u Q C 152 3 m V 100.110 0.1100.1--??=??==d u E （5） 设极化电荷产生的场强为E '，则0 000εσσεσεσ'-='-='-=E E E ，其中σ'为极板上极化电荷面密度，E 0εσσ-='，则极化电荷 ES Q ES S S Q 00εεσσ-=-='=' C 1054.32.0101085.81031.57 5127---?=???-?= （6） 310 0.110355 0=??==E E r ε 或 377 .131.50=== c c r ε 5-30 （1）以任意r 为半径作金属球的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理得 2 244r q D q D r S d D i i ππ∑= ∑==?? 2 004r q D E r i r επεεε∑= = 当00 011===∑ 2 022 244r Q E r Q D Q q R r R r i επεπ== =∑' << 2 032 344r Q E r Q D Q q R r i πεπ= = =∑' > （2）由电势定义式可得 ? ? ' ∞ +=R r R r r r Q r r Q u d 4d 42 02 0πεεπε内 R Q R r Q r '+ ??? ??'-= 004114πεεπε ??? ??'-+= R r Q r r 1140εεπε ? ∞ = =r r Q r r Q u 02 04d 4πεπε外 （3） ? ? ' ∞ ' += R R R r r r Q r r Q u d 4d 42 02 0πεεπε球 ? ? ? ??'-+=' +? ?? ??'-= R R Q R Q R R Q r r r 1144114000εεπεπεεπε 5-31 （1） 6120100.131085.8????===-E E D r εεε 2 5 m C 1066.2--??= （2） 250m C 1066.2--??==D σ （3） 0 00εσσ' -='-=E E E 612500100.11085.81066.2???-?=-='--E εσσ 2 5 m C 1078.1--??= （4） 1612 5 000m V 100.31085.81066.2---??=??==εσE 1 612 50m V 100.210 85.81078.1---??=??='='εσE 5-32 设A 、B 两导体球分别带有电荷Q 和-Q ，则两球的电势差为 ???? ??--???? ??-=-a Q L Q L Q a Q u u B A 000041414141πεπεπεπε a Q L Q a Q 000222πεπεπε≈ - = a u u Q C B A 02πε=-= 5-33 用导线连接二导体，这相当将电容C 1和C 2并联，此时等效电容和总电量分别为 221121u c u c Q C C C +=+= 根据电容u Q C /=，故联接二导体后它们的电势为 2 12 211/C C u C u C C Q u ++= = 这时电容2C 上的电量为 )(22112 12 22 u C u C C C C u C Q ++==' 则由导体1流向导体2的电量为 1122112 12 22 )(u C u C u C C C C Q Q Q -++=-'=? )(212 12 1u u C C C C -+= 5-34 （1）以任意半径r 作金属球的同心球面为高斯面，由介质中的高斯定理可得： ?∑=?=?i q r D S D 2 4d π 2 002 4,4r q D E r q D r i r i επεεεπ∑= = ∑= 当00 11===∑ r i 2 022244r Q E r Q D Q q a r R i πεπ= = =∑<< 2 032344r Q E r Q D Q q b r a r i επεπ= ==∑<< 2042 444r Q E r Q D Q q b r i πεπ= ==∑> （2）电势分布： R r < ????∞?+?+?+?=R r a R b a b r E r E r E r D u d d d d 4321 ?? ? ???--+= ?? ????+??? ??-+??? ??-= ++=? ??∞r r r a R b a b r ab b a R Q b b a a R Q r r Q r r Q r r Q εεπεεπεπεεπεπε))(1(141111 114d 4d 44d 00202020 a r R << ? ??∞?+?+?=a r b b a r E r E r E u d d d 4322 ?? ????--+=?? ? ???+??? ??-+??? ??-= r r r ab a b r Q b b a a r Q εεπεεπε))(1(14111111400 b r a << ? ??+=∞b r b r d E r d E u 433 ??? ??-+=?? ? ???+??? ??-= b r Q b b r Q r r 1141111400εεπεεπε b r > r Q r d E u r 0444πε= ?=? ∞ （3）这相当于内外半径分别为R 与a 的球形空气电容器C 1与内外半径分别为a 与b 的球形介质电容器C 2，二者相串联，其等效电容为 2 12 1C C C C C +?= 其中a b ab C R a Ra C r -= -=επεπε02014,4 将C 1、C 2代入上式) ()(40R a b a b R Rab C r r -+-= εεπε 5-35 （1）在介质中以任意半径r 作圆柱体同轴的闭合圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得 ?==?λπl rlDl S D 2d ∴ r D E r D r r επελ εεπλ0022= = = （2）设介质内表面上单位长度的极化电荷为λ'-，则对上述高斯面应用高斯定理 ?'-== ?)(1 22d 00λλεπεπελl l rl r S E r )(1 0λλεεελ'-=r λελ??? ? ? ? - ='11 则介质内表面上的极化电荷面密度为 2 12)1(2R R r r πελ επλσ-= '-='内 介质外表面上的极化电荷密度为 2 22)1(2R R r r πελεπλ σ-== 外 5-36 （1）设两电介质中的电位移和场强分别为D 1、D 2和E 1、E 2，两板板间的电势差 ??? ? ??++=+=2 12102 0102 201 12211r r r r d d d D d D d E d E u εεεεσεεεε ∴ 1 2212 1 21002 01 r r r r r r d d u d d u εεεεεεεεεσ+= + = 则两介质中各点的能量体密度为 2 212020.2212020.210.1)(21212121122 1211r r r r r r r d d u E w εεεεεεεσεεσεεεε+==== 3 22332122m J 1011.1)41032102(2241085.8200-----??=??+???????= 2 212020.222020.220.2)(21212121122 12222r r r r r r r r d d u E w εεεεεεεσεεσεεεε+==== 3 22332122m J 1022.2)41032102(2421085.8200-----??=??+???????= （2） 4 3 2 11110401021011.1---?????==S d w W J 1088.88-?= 4 3222210401031022.2d ---?????==s w W J 1066.27 -?= （3） J 1055.31066.210 88.8778 21---?=?+?=+=W W W 5-37 （1）由高斯定理可求得电场分布 2 2 14r Q E R r R πε= << 0,1= 3R r > 2 04r Q E πε= 0,32=< V E V E W W W R R R d 21d 2 1 20202132 1 ?? ∞+=+=εε J 1082.11051104110211085.814.38)103(1118d 41621d 41621422212283210 2 2 430220242022032 1 ------∞?=??? ???+?-?????=???? ??+-= +=?? R R R Q r r r Q r r r Q R R R πεπεπεπεπε （2）导体球壳接地，导体球壳外表面不带电，球壳外场强为零，这时电场的能量 ?? ==212 1 d 41621d 212 42022020R R R R r r r Q V E W πεπεε J 1001.110411021 1085.814.38)103(118422122821 2-----?=?? ? ???-?????=? ??? ??-= R R Q πε 由C Q W 2 21= 得 F W Q C 12 4 2821046.410 01.12)103(2---?=???== 5-38 （1）平行板电容器抽出金属板后的电容为1 00d S C ε= ，插入金属板时的电容为 2 10d d S C -= ε，当充电到V u 600=后拆去电源，然后抽出金属板，除金属板秘在位置外的 空间场强不变，均为 153 m V 10310 )13(600 --??=?-=-= d d u E 第一章 《静电场 》单元测试题 班级 姓名 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．关于电场强度与电势的关系，下面各种说法中正确的是( ) A ．电场强度大的地方，电势一定高 B ．电场强度不变，电势也不变 C ．电场强度为零时，电势一定为零 D ．电场强度的方向是电势降低最快的方向 2．如图1所示，空间有一电场，电场中有两个点a 和b .下列表述正确的是 A ．该电场是匀强电场 B ．a 点的电场强度比b 点的大 C ．a 点的电势比b 点的高 D ．正电荷在a 、b 两点受力方向相同 3．如图2空中有两个等量的正电荷q 1和q 2，分别固定于A 、B 两点，DC 为AB 连线的中垂线，C 为A 、B 两点连线的中点，将一正电荷q 3由C 点沿着中垂线移至无穷远处的过程中，下列结论 正确的有( ) A ．电势能逐渐减小 B ．电势能逐渐增大 C ．q 3受到的电场力逐渐减小 D ．q 3受到的电场力逐渐增大 图2 4．如图3所示，a 、b 、c 为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c 为ab 的中点，a 、b 电势分别为φa ＝5 V 、φb ＝3 V ．下列叙述正确的是( ) A ．该电场在c 点处的电势一定为4 V B ．a 点处的场强E a 一定大于b 点处的场强E b C ．一正电荷从c 点运动到b 点电势能一定减少 D ．一正电荷运动到c 点时受到的静电力由c 指向a 图3 5．空间存在甲、乙两相邻的金属球，甲球带正电，乙球原来不带电，由于静 电感应，两球在空间形成了如图4所示稳定的静电场．实线为其电场线， 虚线为其等势线，A 、B 两点与两球球心连线位于同一直线上，C 、D 两 点关于直线AB 对称，则( ) A ．A 点和 B 点的电势相同 B ． C 点和 D 点的电场强度相同 C ．正电荷从A 点移至B 点，静电力做正功 D ．负电荷从C 点沿直线CD 移至D 点，电势能先增大后减小 图4 6．如图5所示，一半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷量为Q 的电荷， 在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a 、 b 、d 三个点，a 和b 、b 和 c 、 c 和 d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q (q >0)的固定点 电荷．已知b 点处的场强为零，则d 点处场强的大小为(k 为静电力 常量)( )． 图5 A ．k 3q R 2 B ．k 10q 9R 2 C ．k Q ＋q R 2 D ．k 9Q ＋q 9R 2 二、多项选择题(本题共4小题，每小题8分，共32分) 7．下列各量中，与检验电荷无关的物理量是( ) A ．电场力F B ．电场强度E C ．电势差U D ．电场力做的功W 图1 高中物理学习材料 选修3-1第一章静电场综合测试题 本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，时间90分钟． 第Ⅰ卷(选择题共40分) 一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项符合题目要求，有些小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分) 1．(2009·江苏淮阴高二检测)最早提出用电场线描述电场的物理学家是 ( ) A．牛顿 B．伽利略 C．法拉第 D．阿基米德 2．如图所示，静电计垫放在绝缘物上，开关S1一端与金属球A连接，另一端与金属外壳B相接．开关S2一端与金属球连接，另一端与大地相接．当S1与S2都断开时，使A球带电，看到静电计指针张开一个角度．然后合上S1后再断开，再合上S2，可看到指针张角 ( ) A．先减小，之后不变 B．先减为零，之后又张开 C．先减为零，之后不再张开 D．先不变，之后变为零 3．(2009·河南宝丰一中高二检测)关于电场强度和电势，下列说法正确的是 ( ) A．由公式可知E与F成正比，与q成反比 B．由公式U＝Ed可知，在匀强电场中，E为恒值，任意两点间的电势差与这两点间的距离成正比 C．电场强度为零处，电势不一定为零 D．无论是正电荷还是负电荷，当它在电场中移动时，若电场力做功，它一定是从电势高处移到电势低处，并且它的电势能一定减少 4．如图所示，在A板附近有一电子由静止开始向B板运动，则关于电子到达了B板时的速率，下列解释正确的是( ) A．两板间距越大，加速的时间就越长，则获得的速率越大 B．两板间距越小，加速度就越大，则获得的速率越大 C．与两板间的距离无关，仅与加速电压U有关 D．以上解释都不正确 5．如图所示，图中K、L、M为静电场中的3个相距较近的等势面．一带电粒子射入此静电场中后，沿abcde轨迹运动．已知φK<φL<φM，且粒子在ab段做减速运动．下列判断中正确的是 ( ) A．粒子带负电 B．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度 C．粒子在a点与e点的速度大小相等 D．粒子在a点的电势能小于在d点的电势能 6．如图所示，C为中间插有电介质的电容器，a和b为其两极板，a板接地；P和Q为两竖直放置的平行金属板，在两板间用绝缘线悬挂一带电小球；P板与b板用导线相连，Q板接地．开始悬线静止在竖直方向，在b板带电后，悬线偏转了角度α.在以下方法中，能使悬线的偏角α变大的是 ( ) A．缩小a、b间的距离 B．加大a、b间的距离 C．取出a、b两极板间的电介质 D．换一块形状大小相同、介电常数更大的电介质 7．如图所示，O点置一个正点电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m，带电量为q，小球落下的轨迹如图中的实线所示，它与以O点为圆心、R 为半径的圆(图中虚线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距OC的高度为h，若小球通过B点的速度为v，则下列叙述正确的是 ( ) ①小球通过C点的速度大小是2gh； ②小球通过C点的速度大小是v2＋gR； ③小球由A到C电场力做功是mgh－ 1 2 mv2； ④小球由A到C电场力做功是 1 2 mv2＋mg ? ? ?? ? R 2 －h. A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 8．带电粒子以速度v0沿竖直方向垂直进入匀强电场E中，如图所示，经过一段时间后，其速度变为水平方向，大小仍为v0，则一定有( ) A．电场力与重力大小相等 B．粒子运动的水平位移大小等于竖直位移大小 C．电场力所做的功一定等于重力做的功的负值 D．电势能的减小一定等于重力势能的增大 9．(2009·海门模拟)一个质量为m，电荷量为＋q的小球以初速度v0水平抛出，在小球经过的竖直平面内，存在着若干个如图所示的无电场区和有理想上下边界的匀强电场区，两区域相互间隔，竖直高度相等，电场区水平方向无限长．已知每一电场区的场强大小相等，方向均竖直向上，不计空气阻力，下列说法正确的是( ) A．小球在水平方向一直做匀速直线运动 B．若场强大小等于 mg q ，则小球经过每一电场区的时间均相同 C．若场强大小等于 2mg q ，则小球经过每一无电场区的时间均相同 D．无论场强大小如何，小球通过所 有无电场区的时间均相同 10．静电透镜是利用电场使电子束 会聚或发散的一种装置，其中某部分有 静电场的分布如图所示，虚线表示这个 静电场在xOy平面内的一簇等势线，等 势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称．等 势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两 鑫达捷 《静电场》章末检测题 一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。将所有符合题意的选项选出，将其序号填入答卷页的表格中。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有错选或不选的得O 分。） 1．下列关于起电的说法错误的是（ ） A ．静电感应不是创造电荷，只是电荷从物体的一个部分转移到了另一个部分 B ．摩擦起电时，失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电 C ．摩擦和感应都能使电子转移，只不过前者使电子从一个物体转移到另一个物体上，而后者则使电子从物体的一部分转移到另一部分 D ．一个带电体接触一个不带电的物体，两个物体可能带上异种电荷 2．两个完全相同的金属球A 和B 带电量之比为1：7 ，相距为r 。两者接触一下放回原来的位置，则后来两小球之间的静电力大小与原来之比可能是（ ） A ．16：7 B ．9：7 C ．4：7 D ．3：7 3．下列关于场强和电势的叙述正确的是（ ） A ．在匀强电场中，场强处处相同，电势也处处相等 B ．在正点电荷形成的电场中，离点电荷越远，电势越高，场强越小 C ．等量异种点电荷形成的电场中，两电荷连线中点的电势为零，场强不为零 D ．在任何电场中，场强越大的地方，电势也越高 4． 关于q W U AB AB 的理解，正确的是（ ） A ．电场中的A 、B 两点的电势差和两点间移动电荷的电量q 成反比 B ．在电场中A 、B 两点间沿不同路径移动相同电荷，路径长时W AB 较大 C ．U AB 与q 、W AB 无关，甚至与是否移动电荷都没有关系 D ．W AB 与q 、U AB 无关，与电荷移动的路径无关 5．如图所示，a 、b 、c 为电场中同一条电场线上的三点，其中c 为线段ab 的中点。若 一个运动的正电荷仅在电场力的作用下先后经过a 、b 两点，a 、b 两点的电势分别为 a = -3 V 、 b = 7 V ，则（ ） A ．c 点电势为2 V B ．a 点的场强小于b 点的场强 C ．正电荷在a 点的动能小于在b 点的动能 D ．正电荷在a 点的电势能小于在b 点的电势能 6． 一平行板电容器接在电源上，当两极板间的距离增大时，如图所示，则（ ） A ．两极板间的电场强度将减小，极板上的电量也将减小； B ．两极板间的电场强度将减小，极板上的电量将增大； C ．两极板间的电场强度将增大，极板上的电量将减小； D ．两极板间的电场强度将增大，极板上的电量也将增大。 O P 1 P 2 X b O 一、两个相距为2a 、带电量为q +的点电荷，在其连线的垂直平分线上放置另一个点电荷0q ，且0q 与连线相距为b 。试求：（1）连线中点处的电场强度和电势；（2）0q 所受电场力；（3）0q 放在哪一位置处，所受的电场力最大。 二、均匀带电量为Q 的细棒，长为L ，求其延长线上距杆端点为L 的位置A 的场强和电势；若将其置于电荷线密度为λ的无限长直导线旁边并使其与长直导线垂直，左端点与导线相距为a ，试求它们之间的相互作用力。 三、如图所示，半径为R 的带电圆盘，其电荷面密度沿半径呈线性变化0(1)r R σσ=- ，试求圆盘轴线上距圆盘中心为O 为x 处的场强E . 四、宽度为b 的无限大非均匀带正电板，电荷体密度为,(0)kx x b ρ=≤≤， 如图所示。试求：（1）平板外两侧任意一点1P 、2P 处的电场强度E ； （2）平板内与其表面上O 点相距为X 的点P 处的电场强度E . 五、半径为R 的无限长圆柱，柱内电荷体密度2 ar br ρ=-，r 为某点到圆柱轴线的距离，a 、b 为常量。（1）求带电圆柱内外的电场分布；（2）若择选距离轴线1m 处为零电势点（1R <），则圆柱内外的电势分布如何？ 六、实验发现，在地球大气层的一个大区域中存在方向竖直向下的电场。在200m 高度的场强21 1.010E V m =?， 在300m 高度的场强220.610E V m =?。试求从离地面200m 到300m 间大气中平均电荷体密度ρ。 七、如图所示，将一个电荷量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球心为d 。设无穷远处为零电势，求：导体球球心O 点的电场和电势。 八、大多数生物细胞的细胞膜可以用分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。设半径为R 1和R 2（R 1< R 2）球壳上分别带有电荷Q 1和Q 2 .求：（1）r< R 1；R 1 第一章静电场单元测试卷 一、选择题（1-8题单选，每题3分，9-13题多选，每题4分） 1．下列选项中的各 1/4圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各 1/4 圆环间彼此绝缘．坐标原点O 处电场强度最大的是 （ ） 2．将一电荷量为 +Q 的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图所示，金属球表面的电势处处相等．a 、b 为电场中的两点，则 如图所示，M 、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，∠MOP = 60°．电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M 、N 两点，这时O 点电场强度的大小为E 1；若将N 点处的点电荷移至P 点，则O 点的场强大小变为E 2，E 1与E 2之比为（ ） A ．1∶2 B ．2∶1 C ．2∶ 3 D ．4∶ 3 3.点电荷A 和B ，分别带正电和负电，电量分别为4Q 和Q ，在AB 连线上，如图1-69所示，电场强度为零的地方在 ( ) A ．A 和 B 之间 B ．A 右侧 C ．B 左侧 D ．A 的右侧及B 的左侧 4．如图1-70所示，平行板电容器的两极板A 、B 接于电池两极，一带正电的小球悬挂在电容器内部，闭合S ，电容器充电，这时悬线偏离竖直方向的夹角为θ，则下列说法正确的是（ ） A ．保持S 闭合，将A 板向B 板靠近，则θ增大 B ．保持S 闭合，将A 板向B 板靠近，则θ不变 C ．断开S ，将A 板向B 板靠近，则θ增大 D ．断开S ，将A 板向B 板靠近，则θ不变 图1-69 B A Q 4Q 图1-70 图1-71 A B C D 5．如图1-71所示，一带电小球用丝线悬挂在水平方向的匀强电场中，当小球静止后把悬线烧断，则小球在电场中将作（ ） A ．自由落体运动 B ．曲线运动 C ．沿着悬线的延长线作匀加速运动 D ．变加速直线运动 6.如图是表示在一个电场中的a 、b 、c 、d 四点分别引入检验电荷时，测得的检验电荷的电量跟它所受电场力的函数关系图象，那么下列叙述正确的是（ ） A ．这个电场是匀强电场 B ．a 、b 、c 、d 四点的场强大小关系是E d >E a >E b >E c C ．a 、b 、c 、d 四点的场强大小关系是E a >E b >E c >E d D ．无法确定这四个点的场强大小关系 7．以下说法正确的是（ ） A ．由q F E = 可知此场中某点的电场强度E 与F 成正比 B ．由公式q E P = φ可知电场中某点的电势φ与q 成反比 C ．由U ab =Ed 可知，匀强电场中的任意两点a 、b 间的距离越大，则两点间的电势差也一定越大 D ．公式C=Q/U ，电容器的电容大小C 与电容器两极板间电势差U 无关 8.如图1-75所示，质量为m ，带电量为q 的粒子，以初速度v 0，从A 点竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B 点时，速率v B =2v 0，方向与电场的方向一致，则A ，B 两点的电势差为：( ) 9.两个用相同材料制成的半径相等的带电金属小球,其中一个球的带电量的绝对值是另一个的5倍,它们间的库仑力大小是F ,现将两球接触后再放回原处,它们间库仑力的大小可能是（ ） A.5 F /9 B.4F /5 C.5F /4 D.9F /5 10. A 、B 在两个等量异种点电荷连线的中垂线上,且到连线的距离相等,如 图1-75 A B 一． 选择题 [ B ]1 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别 为＋λ(x ＜0)和－λ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E 为 (A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D) ()j i a +π04ελ． 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为： E E +-== 矢量叠加后，合场强大小为： 02E a λ πε= 合，方向如图。 ［ B ］2 半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距离r 的关系曲线为： 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r ，高度为L ）为高斯面，据Guass 定理： S E dS= i i q ε∑? r R ≤时，有：20 r 2rL= L E ρππε，即：0=r 2E ρε r R >时，有：20R 2rL= L E ρππε，即：2 0R =2r E ρε ［ C ］3 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为 q ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于 24εq 。 ［ D ］4 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-． 【提示】：2 20048P a M M a q q V E dl dr r a πεπε-= ==? ? ［ C ］5 已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M 点移到N 点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度E M ＜E N ． (B) 电势U M ＜U N ． (C) 电势能W M ＜W N ． (D) 电场力的功A ＞0． 【提示】：静电力做负功，电势能增加。 二．填空题 1 已知空气的击穿场强为30 kV/cm ，空气中一带电球壳直径为1 m ，以无限远处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是1.5?106V ． 【提示】：球壳电势为：04Q V R πε= 球壳表面处的场强为：200 4Q E R σεπε== 第5章静电场中的电介质 ◆本章学习目标 理解：电介质的概念和分类；电介质对电场的影响；电介质的极化和极化电荷；D的高斯定理；电容器和电容的概念，电容器的能量。 ◆本章教学内容 1．电介质对电场的影响 2．电介质的极化 3．D的高斯定律 4．电容器和它的电容 5．电容器的能量 ◆本章重点 用D的高斯定理计算电介质中静电场的分布和电介质的极化电荷密度； 电容和电容器能量的计算。 ◆本章难点 电介质的极化机制、电位移矢量。 5. 1 电介质对电场的影响 如果介质是均匀的，极化的介质内部仍然没有净电荷，但介质的表面会出现面电荷，称为极化电荷。极化电荷不是自由电荷，不能自由流动（有时也称为束缚电荷），但极化电荷仍能产生一个附加电场使介质中的电场减小。 介质中的电场是自由电荷电场与极化电荷的电场迭加的结果。下面考虑一种比较简单而常见的情况，即各向同性介质均匀地充满电场的情况来定量地说明这种迭加的规律。所谓介质均匀地充满电场，举例来说，对于平板电容器，只需要一种各向同性的均匀介质充满两板之间就够了；而对于点电荷，原则上要充满到无穷远的地方。实验证明，若自由电荷的分布不变，当介质均匀地充满电场后，介质中任一点的和场的电场强度E为原来真空中的电场强度的分之一，即 其中为介质的相对介电常量，取决于介质的电学性质。对于“真空”， ，对于空气，近似有，对其它介质，。 加入介质以后场强的变化是由于介质中产生的极化电荷激发的附加电场参与迭加而形成的。在介质均匀地充满电场这种简单条件下，我们可以通过真空中的电场和介质中的电场的比较，由自由电荷分布推算出极化电荷的分布。以点电荷为例，真空中的点电荷在其周围空间任一点p激发的电场为 充满介质以后，点电荷本身激发的场强并不会因极化电荷的出现而改变，即仍为上式。极化电荷是分布在介质表面上，即介质与点电荷交界面上。这是一个很小的范围，从观察p看去，极化电荷也是一个点电荷，设其电量为，它在p 点激发的电场应为 介质中的场强应是与迭加的结果 【典型例题】 [例1] 如图中虚线表示等势面，相邻两等势面间电势差相等。有一带正电 的粒子在电场中运动，实线表示该带正电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹， 粒子在a点的动能为20 eV，运动到b点时的动能为2 eV。若取c点为零势点， 则当粒子的电势能为一6 eV时，它的动能是（） A. 16 eV B. 14 eV C. 6 eV D. 4 eV 解析：因该带正电的粒子从a点运动到b点动能减少了18eV，则运动至c等势面时的动能Ekc＝20 eV一＝8eV，带电粒子的总能量E＝Ekc+Ec＝8eV+0＝8eV。当粒子的电势能为-6eV时，动能Ek＝8eV一（一6）eV＝14eV，选项B正确。 说明：带电粒子只在电场力作用下运动，动能和电势能相互转化，总能量守恒。 [例2] 如图所示，在真空中，两条长为60 cm的丝线一端固定于O点，另一 端分别系一质量均为0.1g的小球A和B。当两小球带相同的电荷量时，A球被光 滑的绝缘挡板挡住，且使OB线保持与竖直方向成60?角而静止。求： （1）小球所带电荷量；（2）OB线受到的拉力。 解析：作B 球的受力分析图如图所示，B受G、F、T三力作用，三力平衡时 表示三力的有向线段依次相接可以组成一个封闭的力三角形。由图可知，该力三角形与几何三角形AOB 相似，由于ΔAOB为等边三角形，故力三角形也是等边三角形。 设AB长为l，则（1）由F＝＝mg，得小球电荷量为 Q＝＝＝2.0×10－6 C （2）OB线受的拉力为T＝G＝mg＝0.1×10—3×10 N＝10—3 N [例3] 如图所示，用电池对电容器充电，电路a、b之间接有一灵敏电流表，两极板之间有一个电荷q处于静止状态。现将两极板的间距变大，则（） A. 电荷将向上加速运动 B. 电荷将向下加速运动 C。电流表中将有从a到b的电流 D。电流表中将有从b到a的电流 班级 姓名 学号 静电场作业 一、填空题 1. 一均匀带正电的空心橡皮球，在维持球状吹大的过程中，球内任意点的场强 不变 。球内任意点的电势 变小 。始终在球外任意点的电势 不变 。（填写变大、变小或不变） 解： 2. 真空中有一半径为R ，带电量为 +Q 的均匀带电球面。今在球面上挖掉很小一块面积△S ，则球心处的 电场强度E = 。 解：电荷面密度 3. 点电荷q 1、q 2、q 3和q 4在真空中的分布如图所示。S 为闭合曲面， 则通过该闭合曲面的电通量为 。 0 4 2εq q + 解：高斯定理 ；其中 为S 闭合面内所包围的所有电荷的代数和 4. 边长为a 的正六边形每个顶点处有一个点电荷 +q ，取无限远处 作为电势零点，则正六边形中心O 点电势为 V 。 a q 023πε 解：O 点电势为6个点电荷电势之和。每个q 产生的电势为 q +q 2 041 r Q E ?=πε0 =E （r ＞ R 球外） （r ＜ R 球内） 均匀带电 球面 r Q U ?=041 πεR Q U ?=041 πεs 2 4R Q πσ= 2 4R s Q q π?= ∴4 022 022*******R s Q R R s Q r q E εππεππε?=??==4 0216R s Q επ?0 εφ∑?= ?=i S q S d E ρρ∑i q a q r q U 0044πεπε= = a q a q U o 002364πεπε= ?= ∴ 5. 两点电荷等量异号，相距为a ，电量为q ，两点电荷连线中点O 处的电场强度大小E = 。 2 02a q πε 解： 6. 电量为－5.0×10－9 C 的试验电荷放在电场中某点时，受到20.0×10－9 N 的向下的力，则该点的电场强度 大小为 4 N/C 。 解：由电场强度定义知， 7. 一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d （d << R ），环上均匀 带正电，总电量为q ，如图所示，则圆心O 处的场强大小E ＝__________ __。 ) 2(420d R R qd -ππε 解：根据圆环中心E=0可知，相当于缺口处对应电荷在O 点处产生的电场 电荷线密度为 ； 缺口处电荷 8. 如图所示，将一电量为-Q 的试验电荷从一对等量异号点电荷连线的中点 O 处，沿任意路径移到无穷远处，则电场力对它作功为 0 J 。 解：根据电场力做功与电势差之间的关系可求 其中 d -Q O q +q -?E 2 a 2 a 2 02 022422a q a q E E q πεπε= ? ? ? ??? ==+4 ==q F E d R q -= πλ2d d R q q ?-='π2) 2(4412420202 0d R R qd R d R qd R q E -= ?-= '= ππεπεππε) (∞-=U U q A O ; 0=∞U ; 04400=+ -= r q r q U o πεπε0 )(=--=∴∞U U Q A O 第五章 静电场 §5-1电荷的基本性质 1． 电的定义：基本粒子的一种属性。（质子带正电，电子带负电，中子不带电） 物体之间由于相互作用而得到或失去一些电子，从而显示出带电性质。 2．电的基本性质： （1） 物体所带电量只能是基本电荷电量的整数倍。基本电荷电量：)(10 602.119 c e -?= （2） 电可以在物体之间(由于交换电子)转移，在转移过程中，代数量守恒。 （3） 带电物体之间存在着相互作用力，服从库仑定律。 （4） 电分为正电和负电两种。两带电体之间作用力的方向，同性相斥；异性相吸。 §5-2 库仑定律 1． 点电荷：当带电体的大小形状在所研究的问题中可忽略不计时，该带电体可看成点电荷。 2． 库仑定律：在真空中，两点电荷之间的相互作用力大小为 （平方反比律，有源场） ，真空的电容率：2211201085.8C m N ---?=ε §5-3 电场强度 1． 电场： （1） 定义：电荷之间产生力的作用的媒介。 （2） 特征：是一种特殊的物质，无形无质，充满整个空间。服从叠加原理。 2． 场强： （1） 定义：0/q = （单位正电荷所受到的静电场力，描述场对电荷的施力本领） （2） 方向：正电荷受到的静电场力的方向 （3） 大小：由产生电场的电荷决定，与试探电荷0q 无关，是空间的分布函数。 （4） 测量：若试探电荷的电量不是足够少，0q 的存在将影响产生电场的电量分布，从而达不到 预期的测量目的。若试探电荷的体积不是足够小，则测量只能反映试探电荷所在区域场强的平均值。 （5） 受力：q 0= 0q 为作用对象，E 为其它电荷（除0q 外）在0q 所在位置产生的电场。 （6） 叠加原理：空间中某点的场强由所有电荷共同激发。（每个电荷产生的电场占据整个空间） 3． 电场（力）线：为描述电场的分布而人为引入的有向曲线。 （1） 用电力线的疏密程度来描述场强的大小。 （2） 用有向曲线的切线方向（向前）来描述场强的方向。 （3） 电力线的特征是：有源，无旋。 第一章：静电场经典题目检测 (90分钟共100分) 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项符 合题目要求，有的小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选不全的得2分，有选错或不答的得 0分) 1．如图所示，上端固定在天花板上的绝缘轻绳连接带电小球a，带电小球b固定在绝缘水平面上，可能 让轻绳伸直且a球保持静止状态的情景是( ) 2．如图所示，实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出a、b两个带电粒子， a、b的运动轨迹如图中的虚线所示(a、b只受电场力作用)，则( ) A．a一定带正电，b一定带负电 B．电场力对a做正功，对b做负功 ~ C．a的速度将减小，b的速度将增大 D．a的加速度将减小，b的加速度将增大 3．如图，在场强为E的匀强电场中有一个质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，当小球静止时， 细线与竖直方向成30°角，已知此电场方向恰使小球受到的电场力最小，则小球所带的电量应为( ) A． mg E B． 3mg E C． 2mg E D． mg 2E 4．一带电粒子从某点电荷电场中的A点运动到B点，径迹如图中虚线所示，不计粒子所受重力，则下列 说法正确的是( ) A．该电场是某正点电荷电场B．粒子的速度逐渐增大 ; C．粒子的加速度逐渐增大D．粒子的电势能逐渐增大 5．位于A、B处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内电势分布如图所示，图中实线表示等势线，则 ( ) A．a点和b点的电场强度相同 B．正电荷从c点移到d点，电场力做正功 C．负电荷从a点移到c点，电场力做正功 D．正电荷从e点沿图中虚线移到f点电势能不变 6．在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点， 小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b，不计空气阻力，则( ) （ A．小球带负电 B．电场力跟重力平衡 C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小 D．小球在运动过程中机械能守恒 7．如图所示的匀强电场E的区域内，由A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作为顶点构成一正方体空间， 电场方向与面ABCD垂直，下列说法正确的是( ) 高中物理--静电场测试题（含答案） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分。在每个小题给出的四个选项中，至少有一个选项是正确的，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分） 1．下列物理量中哪些与检验电荷无关？ （ ） A ．电场强度E B ．电势U C ．电势能ε D ．电场力F 2．真空中两个同性的点电荷q 1、q 2 ,它们相距较近，保持静止。今释放q 2 且q 2只在q 1的库 仑力作用下运动，则q 2在运动过程中受到的库仑力（ ） A ．不断减小 B ．不断增加 C ．始终保持不变 D ．先增大后减小 3．如图所示，在直线MN 上有一个点电荷，A 、B 是直线MN 上的两点，两点的间距为L ， 场强大小分别为E 和2E.则（ ） A ．该点电荷一定在A 点的右侧 B ．该点电荷一定在A 点的左侧 C ．A 点场强方向一定沿直线向左 D ．A 点的电势一定低于B 点的电势 4．在点电荷 Q 形成的电场中有一点A ，当一个－q 的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A 点时，电场力做的功为W ，则检验电荷在A 点的电势能及电场中A 点的电势分别为（ ） A ．,A A W W U q ε=-= B ．,A A W W U q ε==- C ．,A A W W U q ε== D ．,A A W U W q ε=-=- 5．平行金属板水平放置，板间距为0.6cm ，两板接上6×103V 电压，板间有一个带电液滴质量为4.8×10-10 g ，处于静止状态，则油滴上有元电荷数目是（g 取10m/s 2）（ ） A ．3×106 B ．30 C ．10 D ．3×104 6．两个等量异种电荷的连线的垂直平分线上有A 、B 、C 三点，如图所示，下列说法正确的是 第五章静电场 内容提要： 一．库仑定律 二．静电场、电场强度的叠加原理 三．电场强度的定义；点电荷系的电场强度叠加原理；连续带电体的电场强度叠加原理；连续带电体的电场强度叠加原理。 四．电场的图示法--电场线；通量；曲面的法线；电通量的定义； 五．高斯定理的意义；高斯定理的应用 六．静电场的保守性和环流定理 七．电势差和电势 八．静电场中的导体 九．电容、电容器 十、电介质及其极化 目的要求： 1．了解电荷的基本性质，理解库仑定律。 2．掌握描述电场的参量：电场强度、电势及它们间的关系，掌握场强叠加原理。 3．理解电场的高斯定理，掌握用高斯定理计算电场强度的条件和方法。 4．理解电场的环流定理，掌握用两种方法计算电势和由电势计算电场强度的条件和方法。 5．了解导体的静电平衡条件及由于导体的存在对电场分布的影响。 6．理解电容器的电容，了解电容器储存电能的表达式。理解电容器储存的静电场能量；会计算电场的能量和能量密度。 7．了解电介质的极化现象，了解各向同性电介质中D 和E 间的关系和区别，了解电介质中的高斯定理，了解电介质对电容器电容的影响。 重点与难点: 1．库仑定律的意义及应用。 2．电场强度矢量是从力的角度描述电场的物理量； 3．用高斯定理计算电场强度的条件和方法； 4．高斯定理反映的电场性质，库仑定律和高斯定理是用不同形式表示电场与场源电荷关系的同一规律。 5．?=?0 l d E 说明静电场是保守力场，可引入电势的概念。 6．用两种方法计算电势和由电势计算电场强度的条件和方法 7．导体的静电感应平衡条件及性质； 8．求电容的一般方法 9．电位移矢量D 的意义，电场线和电位移线的区别。 教学思路及实施方案： 本课应强调： 1．强调库仑定律是静电学的基本实验规律。说明库仑定律只适用于点电荷，当0→r 时，任何带电体已不能看作点电荷了；两点电荷之间的作用力在它们的连线上，所以电场力是有心力，可引入电势和电势能的概念。 2．电场力是通过一种特殊的物质—电场来传递的。场强叠加原理是计算电场强度的第一种方法的理论基础，应重点讲解。 3．高斯定理是麦克斯韦电磁场理论的重要组成部分，高斯定理来源于库仑力与距离的严格平方反比。库仑定律和高斯定理是用不同形式表示电场与场源电荷关系的同一规律。 4．用高斯定理计算电场强度的条件是电场分布具有某种对称性，这就要求电荷分布具有某种对称性。用高斯定理计算电场强度实际上是对某些对称分布的场强已知场强的方向，求场强的大小。 5．由于静电场是保守力场，才能引入电势能和电势的概念 6．求解静电平衡的导体问题的基本出发点是电荷守恒定律和导体内部的合场强处处为零。 7．对于线性电介质，只要将真空中的公式的εε→0，即可得到电介质中的相应公式。 教学内容： 第一节 第一节 电荷 库仑定律 一、电荷守恒定律 正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。 二、库仑定律 0221 r r q q k F = 实验原理库仑的扭秤是由一根悬挂在细长线上 的轻棒和在轻棒两端附着的两只平衡球构成的。当球 上没有力作用时，棒取一定的平衡位置。如果两球中 有一个带电，同时把另一个带同种电荷的小球放在它 附近，则会有电力作用在这个球上，球可以移动，使 棒绕着悬挂点转动，直到悬线的扭力与电的作用力达 到平衡时为止。因为悬线很细，很小的力作用在球上 就能使棒显著地偏离其原来位置，转动的角度与力的 大小成正比。库仑让这个可移动球和固定的球带上不 同量的电荷，并改变它们之间的距离： 第一次，两球相距36个刻度，测得银线的旋转角 度为36度。 第二次，两球相距18个刻度，测得银线的旋转角 第一章 静电场 1. 已知空气中，某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标系中的表达式为 ()e br a r r ?=(a ，b 均为常数)，单位V ，求体电荷密度ρ。 2. 已知某空间电场强度(2)x y z E yz x e xze xye =-++，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是静电场，求与之对应的电位分布。 3. 一个半径为6cm 的导体球，要使得它在空气中带电且不放电，试求导体球所能带的最大电荷量及导体球表面电位。已知空气的击穿场强为6310V/m ?。 4. 从静电场基本方程出发，证明当电介质均匀时，极化电荷密度p ρ存在的条件是自由电荷的体密度ρ不为零，且有关系式0(1/)p ρεερ=--。 5. 试证明不均匀电介质在没有自由电荷体密度时可能有极化电荷体密度，并导出极化电荷体密度p ρ的表达式。 6. 一个半径为R 介质球，介电常数为ε，球内的极化强度r K P e r = ，其中K 为常数。试计算(1)束缚电荷体密度和面密度；(2)自由电荷密度；(3)球内、外的电场和电位分布。 (说明：虽然介质是均匀的，但极化强度P 不是常矢量，所以介质的极化是非均匀的。因此，介质体内可能有极化电荷，此即意味着介质内有自由电荷分布，但介质表面上通常不存在面分布的自由电荷) 7. 一个空气平行板电容器的板间距为d ，极板面积为S ，两板之间所加电压为0U 。如果保持所加电源不变，使两板的间距扩大到10d 。求下面每一个量变化的倍数：0U 、C 、E 、D 、Q 、极板面电荷密度σ、电容器储存的能量e W 。 8. 高压同轴线的最佳尺寸设计：一个高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为2cm ，内外导体间电介质的击穿场强为200kV/cm 。内导体的半径a ，其值可以自由选定，但有一最佳值。因为若a 太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过电介质的击穿场强。另一方面，由于E 的最大值m E 总是在内导体表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压值？ (击穿场强：当电场增大到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够脱离它们的分子而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为被击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿场强)。 9. 有一分区均匀电介质电场，区域1(0z <)中的相对介电常数为1r ε，区域2(0z >)中的相对介电常数为2r ε。已知1201050x y z E e e e =-+，求1D ，2E 和2D 。 班级 姓名 学号 静电场作业 一、填空题 1. 一均匀带正电的空心橡皮球，在维持球状吹大的过程中，球内任意点的场强 不变 。球内任意点的电势 变小 。始终在球外任意点的电势 不变 。（填写变大、变小或不变） 解： 2. 真空中有一半径为R ，带电量为 +Q 的均匀带电球面。今在球面上挖掉很小一块面积△S ，则球心 处的电场强度E = 。 解：电荷面密度 3. 点电荷q 1、q 2、q 3和q 4在真空中的分布如图所示。S 为闭合曲面， 则通过该闭合曲面的电通量为 。 4 2εq q + 解：高斯定理 ；其中 为S 闭合面内所包围的所有电荷的代数和 4. 边长为a 的正六边形每个顶点处有一个点电荷 +q ，取无限远处 作为电势零点，则正六边形中心O 点电势为 V 。 a q 023πε 解：O 点电势为6个点电荷电势之和。每个q 产生的电势为 +2 041 r Q E ?=πε0 =E （r ＞ R 球 （r ＜ R 球 均匀带 电 球面 r Q U ?=041 πεR Q U ? =041 πεs 2 4R Q πσ= 2 4R s Q q π?= ∴4 022 022*******R s Q R R s Q r q E εππεππε?=??==4 0216R s Q επ?0 εφ∑? = ?=i S q S d E ∑i q a q r q U 0044πεπε= = q q U o 36= ?= ∴ 5. 两点电荷等量异号，相距为a ，电量为q ，两点电荷连线中点O 处的电场强度大小E = 。 2 02a q πε 解： 6. 电量为－×10－9 C 的试验电荷放在电场中某点时，受到×10－9 N 的向下的力，则该点的电场强度 大小为 4 N/C 。 解：由电场强度定义知， 7. 一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d （d << R ），环上均匀 带正电，总电量为q ，如图所示，则圆心O 处的场强大小E ＝__________ __。 ) 2(420d R R qd -ππε 解：根据圆环中心E=0可知，相当于缺口处对应电荷在O 点处产生的电场 电荷线密度为 ； 缺口处电荷 8. 如图所示，将一电量为-Q 的试验电荷从一对等量异号点电荷连线的中点 O 处，沿任意路径移到无穷远处，则电场力对它作功为 0 J 。 解：根据电场力做功与电势差之间的关系可求 其中 d + - O q +q -?E 2 a 2 a 2 02 022422a q a q E E q πεπε= ? ? ? ??? ==+4 ==q F E d R q -=πλ2d d R q q ?-='π2) 2(4412420202 0d R R qd R d R qd R q E -= ?-= '=ππεπεππε) (∞-=U U q A O ; 0=∞U ; 04400=+ -= r q r q U o πεπε0 )(=--=∴∞U U Q A O 第五章静电场 习题5-9 若电荷均匀地分布在长为L的细棒上，求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为 （2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为 若棒为无限长（即L→），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。 证明：（1） 延长线上一点P的电场强度，故由几何关系可得 电场强度方向：沿x轴。 （2） 若点P在棒的垂直平分线上，如图所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此点P的电场强度E方向沿y轴，大小为利用几何关系，，则 当L→时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P点电场强度 其结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。 习题5-10 一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。 解：将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在点O 激发的电场强度为 （圆环电场强度） 由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系，，，统一积分变量，电场强度大小为 积分得 习题5-12 两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。 解：（1）设点P在导线构成的平面上，E+E-分别表示正负电导线在P点的 电场强度，则有 （2）设F+，F-分别表示正负带电导线单位长度所受的电场力，则有 显然有，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。 习题5-15 边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度E= (E1+kx)i+E2j (k，E1，E2为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。 解：如图所示，由题意E与Oxy面平行，所以任何相对Oxy面平行的立方体表面，电场强度的通量为零，即。而 考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有 同理 因此，整个立方体表面的电场强度通量 习题5-18 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。 分析：本题的电场强度分布虽然不具备对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带圆盘的电场叠加，求出电场的分布，要回灵活应用。 若把小圆孔看做由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度）的小圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和。 解：（由5-4例4可知，）在无限大带点平面附近 为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场 它们的合电场强度为 习题5-20 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。球电场分《静电场》-单元测试题(含答案)
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