第七章 万有引力与航天

第七章 万有引力与航天

本章综述

对于万有引力与航天这一章，关键要掌握解题的基本思路。实质就是牛顿第二定律在曲线运动中的应用。在此充当向心力的就是天体间的万有引力。下面就本章的几个难点及解题的基本思路介绍如下： （1）近地表近似公式的由来

设地球的质量为M ，半径为R ,自转的角速度为0ω,质量为m 的物体，在赤道表面随地球转动，则物体的受力如图,因而有：

mg N R Mm G

F mR N F ===-,,2

2

ω

由于地球的自转角速度很小，因而2

0ωmR 很小，所以 在地面附近有mg R

Mm

G

=2这便是近地表近似公式。 （2）在一般性的位置处，万有引力与物体重力的关系

设地球的质量为M ，半径为R ,自转的角速度为0ω,质量为m 的物体，在图示位置处随地球转动，则物体的受力如图,因而有：

2

012

)sin (,ωθR m F R Mm G

F ==皆为定值，因而此时重力

的大小和方向便有平行四边形定则唯一确定，如图所示。所以此时的万有引力便分解为两个力，力1F 充当向心力，力mg 便为物体的重力，与支持力N 平衡力。由此可见，随角θ的减小力1F 逐渐减小，力mg 逐渐增大，因而在两极物体所受重力最大，在赤道处所受重力最小。

（3）第一宇宙速度

设地球的质量为M ，半径为R ,自转的角速度为0ω,质量为m 的物体，在赤道表面绕地球转动，绕行的速度为v ,则物体的受力如图,因而有：

gR R

GM

v R v m

mg R

Mm G ==

==所以22 这便是第一宇宙速度，它是所有绕地球运动的卫星的最大绕行速度，又是最小的发射速度。

（4）同步卫星

设地球的质量为M ，半径为R ,自转的角速度为0ω,质量为m 的物体，在距地心为r 处

N

的赤道上空绕地球转动，绕行的速度为v ,绕行角速度为ω，则物体的受力如图,因而有：

222224T

mr mr r v m r Mm G πω===

所以GM r T r GM r GM v 3

23

4,,πω=

== 由此可见，随轨道半径r 的增大，卫星绕行的角速度ω逐渐减小。当ω＝0ω时，卫星与地球绕行同步，成为同步

卫星。所以地球的同步卫星，必须在赤道上空确定的高度处。离地面的高度为

R GM

R r h -=-=3

2

ω

（5）本章问题的解题思路

明确万有引力（或万有引力的一部分充当向心力），然后结合牛顿第二定律列式求解。即

222224T

mr mr r v m r Mm G πω===

有时，还要用到近地表近似公式转化求解。

本章内容分为三个单元：第一单元（第一、二、三节）介绍万有引力定律；第二单元（第四节、第五节）介绍万有引力定律的应用及其取得的巨大成就；第三单元（第六节）简单介绍万有引力定律的适用范围及经典物理学的局限性。 7.1 行星的运动

自主学习必备

1、开普勒第一定律（轨道定律）

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

2、开普勒第二定律（面积定律）

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积

如右图示，设某行星在A 处绕

行半径为r a 绕行速度为v a 在B 处绕

行半径为r b 绕行速度为v b ，

根据开普

半长轴a

勒第二定律，可得b b a a v r v r =。由此可见，行星在远日点速率最小，在近日点速率最大。

3、开普勒第三定律（周期定律）

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等

用公式表示为： k T

a =23

，式中k 是一个与行星无关、而在太阳系中仅与太阳有关的常量。

释疑解惑

例题1：哪位科学家第一次对天体做圆周运动产生了怀疑?（ ）

A ．布鲁诺

B ．伽利略

C ．开普勒

D ．第谷

解析：对于本题的解答，要了解基本的物理学史。了解人们对天体运动的认识过程。 答案：C

例题2：两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为T A : T B = 1: 8，则轨道半径之比是多少？

解析：对于本题的解答，要熟练掌握开普勒第三定律，并明确其物理意义。还要知道，它不仅适用于太阳系，对于其他的星系同样适用。

答案：R A 3/T A 2=R B 3/T B 2

R A :R B =1:4

能力迁移

1．关于日心说被人们所接受的原因是（ ） A ．以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题

B ．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星的运动的描述也变得简单了

C ．地球是围绕太阳转的

D ．太阳总是从东面升起从西面落下

2．关于太阳系中行星运动 ，以下说法正确的是（ ） A ．行星轨道的长半轴越长，自转周期就越大 B ．行星轨道的长半轴越长，公转周期就越大 C ．行星轨道的长半轴越短，公转周期就越大

D ．冥王星离太阳"最远"，绕太阳运动的公转周期最长 3．关于公式R 3

／ T 2

=k,下列说法中正确的是（ ）

A ．围绕同一星球运行的行星或卫星，k 值不相等

B ．不同星球的行星或卫星，k 值均相等

C ．公式只适用于围绕太阳运行的行星

D ．以上说法均错

4．设月球绕地球运动的周期为27天,则地球的同步卫星到地球中心的距离r 与月球中心到地球中心的距离R 之比r/R 为( )

A ．1/3

B ．1/9

C ．1/27

D ．1/18

7.2 太阳与行星间的引力 自主学习必备

如右图所示，设太阳的质量为M ，行星质量为m ，行星中心距太阳中心为r ，行星绕行

速度为v 。太阳对行星的引力为F ，行星对太阳的引力为F ，

。 1． 太阳对行星的引力

根据开普勒行星运动第一，第二定律，行星以太阳为中心做匀速圆周运动。太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的向心力。

因而有r mv F 2=，又因为T r v π2=,所以整理后可得2

24T

m r

F π= 。由开普勒第三定律变形得3

2

kr T =，代入前面的公式可得：224r

m

k F ?=π。该公式中除了m ,r 外，其余都是常量，对任何行星来说都是相同的，因而可以说太阳对行星的引力2r

m

F ∝

。该式表明，太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。 2． 行星对太阳的引力

根据牛顿第三定律，既然太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳。就行星对太阳的引力F

，

来说，太阳是受力星体。因此F ，

的大小应与太阳的质量M 成正比，与行星、太阳的距离的二次方成反比。也就是2r

M F ∝' 3． 太阳与行星间的引力

由于2r m F ∝

、2

r M

F ∝'，而F 和F '的大小又是相等的，所以我们可以概括的说，太

阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，既

2r Mm F ∝

写成等式就是2

r

Mm

G F =。式中G 是比例系数，与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着两者的连线。

释疑解惑

例题1：假如一个作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则

A ．根据公式ωr v =，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍。

B ．根据公式r

v m F 2

=，可知卫星所需的向心力将减小到原来的21。

C ．根据公式2

r Mm G

F =，可知地球提供的向心力将减小到原来的41

。

D ．根据上述B 和C 中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的

2

2

。

解析：解答这个问题不应靠想象和猜测，而应通过踏实地推导才能正确地选出答案。在推导的顺序上，可选择变量较少且不易出差错的选项入手。由于公式2

r Mm

G

F =中，

G 、M 、m 都是不变的量，因此推导F 和r 的关系不易出错。设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r 1，所受到的地球引力为F 1；当人造地球卫星的轨道半径增为r 2=2r 1时所受到的地球引力为

F 2，则：

F G

Mm r F G Mm r G Mm r G Mm r F 11221212121

2141

4=∴====()

由此可知：选项C 是正确的。

将向心力的来源公式和向心力的效果公式联系起来，可以写出下列二式：

G Mm

r m v r 12121= ①

G Mm

r m v r 2222

2= ② 将r 2=2r 1代入②式可得：

G Mm

r m

v r 421

2221= ③ 将①、③两式相除可导出：

1

14

2122

2=v v 即:4224121212221

2

2

2

2

2

121

2

21211

=∴====?=v v v v v v v v v

由此可知：选项D 也是正确的。

既然D 是正确的，那么其结果不同的A 显然是不正确的。

“卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的。既然C 是正确的，那么与其结果不同的B 显然是不正确的。

答案：CD

例题2：天文学家根据天文观察宣布了下列研究成果：银河系中心可能存在一个大黑洞，距黑洞60亿千米的星体以2000km/s 的速度绕其旋转；接近黑洞的所有物质，即使速度等于光速也被黑洞吸入．

求：1、“黑洞”的质量．

2、试计算黑洞的最大半径．

解析：1、由万有引力定律得：

解得：=3.6×1035kg

2、由题目：接近黑洞的所有物质，即使速度等于光速也被黑洞吸入．而脱离速度等于其环

绕黑洞运行的第一宇宙速度的倍．

得：

解得：=５.３×108m

答案：1、3.6×1035kg 2、５.３×108m

能力迁移

1.你能推导出地球绕太阳运行周期的公式吗？

2.你知道不同行星绕太阳运转的轨道半径与运行周期之间的比例关系吗？

试由本节我们所学的太阳与行星间的引力公式，结合前面所学的圆周运动的知识完成以上推导。

7.3 万有引力定律 自主学习必备

1、 万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2

的乘积成正比，与他们之间距离r 的二次方成反比，既2

r Mm

G

F =。式中质量的单位是kg ，r 的单位是m ，力的单位是N 。式中22111067259.6kg Nm

G -?=，称为引力常量，通常取22111067.6kg Nm G -?= 2、 万有引力定律应用思路：

（1）万有引力定律表达式：22

1r

m Gm F =，其中万有引力恒量G N m kg =??-667101122..

该公式适用于质点间的相互作用，当物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，距离r 应为物体质心间的距离。

（2）物体的重力随离地面高度h 的变化情况：物体重力近似等于地球对物体的万有引力，即等于

2

)

(h R GMm

+，可见重力随h 的增大而减小。 （3）设地面附近的重力加速度为g 0，离地面高度为h 处的重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响，则有

mg G

Mm R 02=

mg G Mm R h g R R h g

=+=+()()2

2

20可得

（4）分析天体运动时，把天体运动近似看成匀速圆周运动，万有引力提供所需的向心力，

即G Mm r m v r m r m T r m f r 2222222====ωπ

π()()。

卫星运行的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系

①由

G Mm r m v r v GM r 22==得，可见v 与r 成反比(r 越大，v 越小) ②由

G

Mm r m r GM r 22

3==ωω得，可见ω与r 3成反比(r 越大，ω越小)

③由

G Mm r m T r T r GM 22322==()ππ得可见T 与r 3成正比(r 越大,T 越大)

释疑解惑

例题1：两颗人造卫星A 、B 地球作圆周运动，周期之比为T A ∶T B =1∶8，求： (1)两颗人造卫星的轨道半径之比R A ∶R B =？ (2)两颗人造卫星的运动速率之比V A ∶V B =?

解析： 1．设人造卫星的周期为T 、轨道半径为R 、地球的质量为M 、卫星的质量为m 、万有引力常量为G 。

由于人造卫星所需的向心力来源于地球对卫星的万有引力，我们可以写出下式：

G

Mm R m R 22

=ω

将

ωπ

=

2T 代入上式可得：

G

Mm R m T R 22

2=()π

由上式可以化简为：

GM R T 32

24=π

∴==T R GM R GM 42233

ππ

这就是人造地球卫星运行周期的计算公式。由此式可看出：运行周期与卫星的质量m 无关。轨道半径越小周期就越短，运动周期T 与R 3

成正比。 2．对于人造卫星A 可以写出下式：

G Mm R m T R A A

A

22

2=()π

可导出：GM R T A A 32

24=π ①

同样的推导方法对于人造卫星B 也可写出下式：

GM R T A A 3224=π

②

将②、①两式相除：

GM R GM R T T B A B A 332

244=ππ

化简后可得：

R R T T A B A B 3322=

还可变化为：

R R T T A

B

A B =3

22

③

3．根据

v R

T =

2π,

对于A 、B 两颗卫星可以写出下列二式：

v R T A A

A =

2π ④

v R T B B

B =

2π

⑤

将④、⑤两式相除：

v v R T R T A B A

A

B

B =

22ππ 经化简后可得：

v v R R T T A B

A B B A =? ⑥

根据前面推导出的③式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星轨道半径之比：

R R T T A

B

A

B

====23

23

18

16414

()

根据前面推导出的⑥式，并将已知量代入就可得出两颗人造卫星运动速率之比：

v v R R T T A B

A B A B =?=?=148121 答案：1/4;2/1

例题2：如图所示：质量分别为m 1和m 2的两颗星围绕着一个共同的圆心O 在两个半径不同的同心圆轨道上作匀速圆周运动，并且它们之间的距离总是恒定不变也为L ，求这两颗星运行的轨道半径r 1和r 2。(圆心O 处无物体)

解析： 1.由于圆心O 处无物体存在，所以这两颗星作圆周运动所需的向心力只能由它们之间的万有引力互相提供──m 2给m 1的引力F 1使

m 1作圆周运动；m 1给m 2的引力F 2使m 2作圆周运动。而且根据牛顿第三定律可知：F 1=F 2，且方向相反，分别作用在m 1、m 2两颗星上。

2.由于这两颗星之间的距离总是恒定不变为L

，所以这两颗星的运行周期就必须相等，

即：T 1=T 2。

3.由于F 1和F 2承担着向心力的任务，所以它们都必须永远指向圆心O ，又因两颗星的距离总是L ，所以两颗星的连线必须始终通过圆心O ，于是：r 1+r 2=L 。(这在附图已经显示出了) 4 .在解题过程中还需运用下列的导出关系式：

F m r m T r mr

T ==?=

ωππ2

22224() 根据前面的导出关系式可以写出下列二式：

F m r T F m r T 1211

12

2222

2244=

=

ππ 根据1分析出的F 1=F 2，则可写出下式

442111222222

ππm r T m r T =

根据2分析出的T 1=T 2可以将上式中的T T 1222

与消去(并将等式两边的4π2也消去)，于是

写出了下式： m r m r 1122=

①

再把3分析出的r 1、r 2与L 的关系式写在下面： r r L 12+=

②

由②式导出r 2=L －r 1代入①式:

m r m L r m r m L m r m m r m L

r m m m L

112111221

121212

12=-=-+=∴=+()()※

由②式导出r 1=L －r 2代入①式:

m L r m r m L m r m r m m r m L

r m m m L

122211222

122121

12()()-=-=+=∴=+※

解题后的思考：

1.当m 1＞＞m 2时(注意:必须是远远地大于): 则:根据以上两个式可以得出 r 1→0；r 2→L

这种情况说明：质量小的m 2星围绕着质量很大的m 1星作圆周运动，而且m 1星近似地处

于圆心处。由此可知：地球绕着太阳转，而太阳并不绕着地球转的原因。(注意：这只是一种简化的、理想化的论证。由于太阳系内还有其它许多行星存在，它们都与太阳之间存在着相互作用，而且太阳也不是绝对不动的，所以实际比上述的讨论要复杂得多。对此特别有兴趣的同学，今后在大学中学习天体力学和天文学等知识时，就会有更深入的了解。) 2.当m 1=m 2时,根据以上两个式推论

则：

r r L 122==

这种情况如图所示：两颗星围绕着一个无物存在的共同圆心，在同一圆轨道上运动，在天文学上称为“双星运动”。 答案： L m m m r 2121+=

，L m m m r 2

11

2+=

例题3： 1999年11月21日，我国“神州”号宇宙飞船成功发射并收回，

这是我国航天史上重要的里程碑．新型“长征”运载火箭，将重达8.4t 的飞船向上送至近地轨道1，飞船与火箭分离后，在轨道1上以速度7.2km/s 绕地球作匀速圆周运动．试回答下列问题： （1）轨道1离地的高度约为：

A 、8000km

B 、1600km

C 、6400km

D 、42000km

（2）飞船在轨道1上运行几周后，在 点开启发动机短时间向外喷射高速气体使飞船加速，

关闭发动机后飞船沿椭圆轨道2运行，到达 点开启发动机再次使飞船加速，使飞船速率符合圆轨道3的要求，进入轨道3后绕地球作圆周运动，利用同样的方法使飞船离地球越来

越远，飞船在轨道2上从 点到 点过程中，速率将如何变化？ （3）飞船在轨道1、2、3上正常运行时：

①飞船在轨道1上的速率与轨道3上的速率哪个大？为什么？

②飞船在轨道1上经过 点的加速度与飞船在轨道2上经过 点的加速度哪个大？为什么？

③飞船在轨道1上经过 点的加速度与飞船在轨道3上经过

点的加速度哪个大？为什

么？

解析：（1）由万有引力定律得：r v m r

Mm G 2

2=

解得： =1600km

故选（B ）

（2）由万有引力定律得：r v m r

Mm G 22= 解得：r GM

v =

所以飞船在轨道2上从

点到

点过程中，速率将减小．

（3）①由万有引力定律得：r v m r

Mm G 22= 解得：r GM

v =

所以可得飞船在轨道1上的速率大；②由万有引力定律得：ma r

Mm

G =2可得飞船在轨道1

上经过

点的加速度与飞船在轨道2上经过

点的加速度一样大 ③由万有引力定律

得：ma r Mm

G

2

，所以飞船在轨道1上经过

点的加速度比飞船在轨道3上经过 点的

加速度大

答案： （1）B ，（2）从

点到

点过程中，速率将减小（3）①轨道1上的速率大．②

一样大 ③轨道1上的加速度大．

能力迁移

１、关于地球同步通讯卫星，下列说法中正确的是 （ ）

A.它一定在赤道上空运行

B.各国发射的这种卫星轨道半径都一样

C.它运行的线速度一定小于第一宇宙速度

D.它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间

2、设地面附近重力加速度为g 0，地球半径为R 0，人造地球卫星圆形运行轨道半径为R ，那么以下说法正确的是 （ ）

3、人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为v ，周期为T ，若要使卫星的周期变为2T ，可能的办法是 （ ）

A.R 不变，使线速度变为 v/2

B.v 不变，使轨道半径变为2R

D.无法实现

4、两颗靠得较近天体叫双星，它们以两者重心联线上的某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引在一起，以下关于双星的说法中正确的是（ ）

A.它们做圆周运动的角速度与其质量成反比

B.它们做圆周运动的线速度与其质量成反比

C.它们所受向心力与其质量成反比

D.它们做圆周运动的半径与其质量成反比

5、由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以（ ）

A.地球表面各处具有相同大小的线速度

B.地球表面各处具有相同大小的角速度

C.地球表面各处具有相同大小的向心加速度

D.地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心 6、以下说法中正确的是 （ ）

A.质量为m的物体在地球上任何地方其重力都一样

B.把质量为m的物体从地面移到高空中，其重力变小

C.同一物体在赤道上的重力比在两极处重力大

D.同一物体在任何地方质量都是相同的

7、两物体质量都是1kg，两物体相距1m，则两物体间的万有引力是多少？

8、已知地球质量大约是，地球半径为km，地球表面的重力加

速度．求：

（1）地球表面一质量为10kg物体受到的万有引力？

（2）地球表面一质量为10kg物体受到的重力？

（3）比较万有引力和重力？

7.4 万有引力理论的成就

自主学习必备

1、万有引力定律在天文学上的应用

A．万有引力是天体间的主要作用力，万有引力定律的发现对天文学的发展起到了巨大的推动作用．

B．计算中心天体的质量．①观测行星围绕恒星做匀速圆周运动的轨道半径（r）和运转周期（T），则可以根据万有引力为向心力的道理计算出中心天体（恒星）的质量（M）．②根据同样的道理，只要观测某行星的一颗卫星围绕行星做匀速圆周运动的轨道半径和周期，就能测出该中心天体（行星）的质量．

C．如果围绕中心天体运动的轨道半径（r）很小、与中心天体自身的半径（R）相差无

几，即，则可以进一步估算出中心天体的平均密度：

D．未知行星——海王星、冥王星的先后被发现，是天文学上应用万有引力定律的成功范例．

2、应用万有引力定律分析天体（人造卫星）的运动

A．基本方法：把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。

公式：

解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。

B．求天体的质量和密度的方法

通过观察天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力得：

得天体质量

（1）若天体的半径R，则天体的密度

（2）若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度

释疑解惑

例题1：已知地球表面的重力加速度为，地球半径为，万有引力恒量为，用以上各

量表示，地球质量为是多少？

解析：由

得：

答案：

例题2：已知地球表面的重力加速度为，地球半径为，万有引力恒量为，如果不考虑地球自转的影响，用以上各量表示，地球的平均密度是多少？

解析：由万有引力定律得：

得：

答案：

例题3：行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星的周期是T，试证明为一个常数．解析：将行星看作一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的问心力由万有引力提供．

答案：设半径为R，则密度为质量M与体积之比：

即：

对卫星，万有引力等于向心力

所以：

即：

G为引力常量，所以是一个对任何行星都适用的常数．从本题结论可因为

以看出，若能观察到某行星附近的卫星运行周期，我们就可以估算出该行星的密度．

例题4：两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同

的匀速圆周运动，现测得两行星中心距离为 ，其周期为 。求两行星的总质量。 解析：设两星球质量分别为M 和m ,绕行半径分别为R 1和R 2 ，根据万有引力定律可得

222212224,4R T m R Mm G R T M R Mm G ππ==，又因为2

32214GT

R m M R R R π=+=+所以 答案： 2

324GT R π

例题5：1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在太平洋．“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章．

“和平号”空间站总质量137t ，工作容积超过400m 3

．是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称．在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确降落在预定海域，这在人类历史上还是第一次．“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约是350km ．为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制．在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240km ．在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7km ．

设“和平号”空间站正常运行时沿高度为350km 圆形轨道运行，在坠落前沿高度240km 的指定圆形低空轨道运行．而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理．

（1）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？（计算时保留2位有效数字） （2）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？（计

算中取地球半径 ，计算时保留1位有效数字．）

解析：根据ma r Mm G

=2，得2

r M

G a =，所以97.0:21=a a 。由题意知空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化2.7km

答案：0.97;2.7km

能力迁移

1.航天飞机中的物体处于失重状态是指这个物体 A.不受地球的吸引力

B.地球吸引力和向心力平衡

C.对支持它的物体的压力为零

D.以上说法都不对

2.物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6,这说明了 A.地球半径是月球半径的6倍 B.地球质量是月球质量的6倍

C.月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6

D.物体在月球表面的重力是其在地球表面重力的1/6 3.两颗人造地球卫星，都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径之比ｒ１／ｒ２＝２，则它们的动能之比E １／Ｅ2等于 A.2 B.2 C.1/2 D.4

4.两颗行星A 和B 各有一卫星a 和b ,卫星的轨道接近各自行星的表面.如果行星质量之比ＭA ／ＭB ＝Ｐ，两行星半径之比R A ／ＲB ＝ｑ，则两卫星周期之比T ａ／Ｔｂ为 A.q

p

q

B.ｑp

C.Ｐq p

D.pq

5.某星球的质量约为地球的9倍，半球约为地球的一半，若从地球上高h 处平抛一物体，射程为60 ｍ，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，射程应为 A.10ｍ B.15ｍ C.90ｍ D.360ｍ

6.地球同步卫星到地心的距离r 可由ｒ3

＝2

2

224 c b a 求出，已知式中a 的单位是m,b 的单位

是s,c 的单位是m/s ２

，则

A.a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度

B.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星运动的加速度

C.a 是赤道周长，b 是地球自转周期，c 是同步卫星的加速度

D.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度 7.可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 A.当地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆 B.与地球上某一经线决定的圆是共面同心圆

C.与地球上赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面静止 8.有关人造地球卫星以下说法正确的是

A.人造卫星的轨道不可能通过地球南北上空

B.人造卫星就是指地球的同步卫星，可用于通讯

C.只要有三颗同步卫星就可以实现全世界(包括南、北极)的电视转播

D.同步卫星轨道只有一个，它属于全人类的有限资源，不能变成发达国家垄断的地方

7.5 宇宙航行

自主学习必备

人造卫星围绕地球转动时的速度究竟有多大呢？下面我们来计算一下，人造卫星沿圆形轨道绕地球运动时的速度.

设地球和卫星的质量分别为m′和m，卫星到地心的距离为r，卫星运动的速度为v.由于卫星运动所需的向心力是由万有引力提供的，所以

从（1）式可以看出，卫星距地心越远，它运行的速度越慢.虽然距地面高的卫星运行速度比靠近地面的卫星运行速度小，但是向高轨道发射卫星却比向低轨道发射卫星要困难.因为向高轨道发射卫星，火箭要克服地球对它的引力做更多的功.

对靠近地面运行的人造卫星，可以认为此时的r等于地球的半径R，在（1）式中把r 用地球半径R代入，可以求出

这就是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，又称第一宇宙速度，也叫环绕速度.

如果人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9 km／s，而小于11.2 km／s，它绕地球运动的轨迹就不是圆形，而是椭圆.当物体的速度等于或大于11.2 km／s时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行.我们把这个速度叫做第二宇宙速度，也叫脱离速度.

达到第二宇宙速度的物体还受到太阳的引力.要想使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去，必须使它的速度等于或者大于16.7km／s，这个速度叫做第三宇宙速度，也叫逃逸速度.

释疑解惑

例题1：用表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，表示它离地面的高度，表示地球的半径，表示地球表面处的重力加速度，表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受万有引力的大小为：

A、等于零

B、等于

C、等于

D、以上结果都不正确

解析：可以认为近地表面地重力近似等于万有引力大小：

，则得到：

即：

，这样，当通讯卫星在距离地面

高处运行时，其万有引力大小就是：

；选择选项B ；

另外同步卫星与地球自传角速度相等，因此：

解得： ,就得到了选项C ．因此选择BC ．

答案：BC

例题2：若在相距甚远的两颗行星

和

的表面附近，各发射一颗卫星 和

，测得卫星

绕行星

的周期为

，卫星

绕行星

的周期为

，求这两颗行星密度之比

是多大?

解析：设运动半径为

，行星质量为

，卫星质量为 ．

由万有引力定律及密度公式得： 解得： 所以

答案：

例题3：两个人造地球卫星，其轨道半径之比R 1∶R 2=2∶1，求两卫星的

（1）a 1∶a 2＝？ （2）v 1∶v 2=？ （3）ω1∶ω2=？ （4）T 1∶T 2=？

解析：在人造卫星的运动中，万有引力提供了所需的向心力，由此根据牛顿定律列出方程，再根据题意找出有关比例即可。 点评：求解卫星的物理参量之间的关系时应用万有引力提供向心力这一特定关系，是解题思路，也是方法。 答案：

例题4、2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。

解析：依题意，这颗同步卫星应定点在赤道上方，98°经面内的某一位置处，设该处距地心的距离为r，距嘉峪关的距离为L，电磁波的传播速度等于光速c，所以只要求出：L，就可计算出微波信号传输所用的时间。

设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地球中心转动的角速度，由万有引力提供卫星做圆运动的向心力，则：

设嘉峪关到同步卫星的距离为L，根据正弦定理。

微波信号传输所需时间

点评：这道联系实际的题，使有些同学确定不了卫星，嘉峪关与地心的位置关系，能够抽象出草图来，再运用数学公式解决物理问题，这是一种能力的考查。

能力迁移

1、用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，

R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转

的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小

高考物理万有引力与航天专题训练答案

高考物理万有引力与航天专题训练答案 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m -(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：2 22mv F mg l += ① 在最低点：2 11mv F mg l -= ② 由机械能守恒定律，得 221211222 mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1 2 6F F g m -= （2） 2 GMm mg R = 2GMm R =2 mv R 两式联立得：12()6F F R m -

（3）在星球表面：2 GMm mg R = ④ 星球密度：M V ρ= ⑤ 由④⑤，解得12 8F F GmR ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度． 2．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1 ）2 ，16（2）速度之比为2 【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解； 解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2 Mm G mg R = a 卫星 2 224a GMm m R R T π= 解得2a T =b 卫星2 2 24·4(4)b GMm m R R T π= 解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， a 卫星2 2a mv GMm R R =

(完整版)第六章万有引力与航天知识点总结

万有引力与航天 1、开普勒行星运动定律 (1).所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上. (2).对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积. (3).所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等. 3 2a K T = （K 只与中心天体质量M 有关） 行星轨道视为圆处理，开三变成3 2r K T =（K 只与中心天体质量M 有关） 2、万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体质量 的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比。 表达式：122,m m F G r =2211kg /m N 1067.6??=-G 适用于两个质点（两个天体）、一个质点和一个均匀球（卫星和地球）、两个均匀球。 (质量均匀分布的球可以看作质量在球心的质点) 3、万有引力定律的应用： （天体质量M , 卫星质量m ，天体半径R, 轨道半径r ，天体表面重力加速度g ，卫星运行 向心加速度n a ，卫星运行周期T) 两种基本思路： 1．万有引力=向心力 (一个天体绕另一个天体作圆周运动时，r=R+h ) 人造地球卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星r=R+h ）： r GM v =，r 越大，v 越小；3 r GM =ω，r 越大，ω越小；GM r T 324π=，r 越大，T 越大； 2n GM a r =，r 越大，n a 越小。 (1)求质量：①天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力：= G M m R 2→2 gR M G = ②当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M ，半径为R ，环绕 星球质量为m ，线速度为v ，公转周期为T ，两星球相距r ，由万有引力定律有： 2 222??? ??==T mr r mv r GMm π，可得出中心天体的质量：23224GT r G r v M π==

(完整版)万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习

第五讲 万有引力定律重点归纳讲练 知识梳理 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。 （2） 公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。 （3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?=

必修二第六章《万有引力与航天》知识点归纳与重点题型总结

高中物理必修二第六章 万有引力与航天 知识点归纳与重点题型总结 一、行星的运动 1、 开普勒行星运动三大定律 ①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 ②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。 ③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的 比值都相等。 即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例.有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径之比是1：2，则它们绕地球运转的周期之比为 。 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验 ③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律 ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成 正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 3 2 a k T =2 Mm F G r =1122 6.6710/G N m kg -=??12 2 m m F G r =2 R Mm G mg =

例.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度 地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法： 在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g 方法： （3）计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等 （注：结合 得到中心天体的密度） 例.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为V. 已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 。 例. 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球经时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为√3L ，已知两落地点在同一平面上，该星球的半径为R ，万有引力常量为G ，求该星球的质量M 。 经验总结———“天上”：万有引力提供向心力 2M ma=m m F G r πω??= ? ?? 2 22v 2一条龙：＝=mr =mr r T “地上”：万有引力近似等于重力 2GM gR 黄金代换：＝ （4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L 特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。 双星轨道半径之比： 双星的线速度之比： 三、宇宙航行 2 R Mm G mg =2')(h R Mm G mg +=2' '' '''R m M G mg =mg R Mm G =2r T m r m r v m r Mm G 222224πω===33 4 R M πρ?=1 2 2121m m v v R R ==

高中物理万有引力与航天专题训练答案及解析

高中物理万有引力与航天专题训练答案及解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天 1．如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L ．已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G ．求： (1)A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ； (2)两星球做圆周运动的周期． 【答案】（1） R=m M M +L, r=m M m +L,（2）()3L G M m + 【解析】 （1）令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L r R =+ 两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：22 22244mM G mR Mr L T T ππ== 可得 R M r m ＝ ，又因为L R r =+ 所以可以解得：M R L M m = +,m r L M m =+； （2）根据（1）可以得到：2222244mM M G m R m L L T T M m ππ==?+ 则：()()233 42L L T M m G G m M π= =++ 点睛：该题属于双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径． 2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v 0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G ，月球的半径为R ，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度大小g 月； (2)月球的质量M ； (3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T .

第六章 万有引力与航天教案

第六章万有引力与航天 第一节行星的运动 从古到今，人类不仅创作了关于星空的神话、史诗，也在 孜孜不倦地探索日月星辰的运动奥秘．所谓“斗转星移”，从古希腊科学家托勒密的地心说、波兰天文学家哥白尼的日心说到丹麦天文学家第谷的观测资料和德国天文学家开普勒的三大定律，人们终于认识到了行星运动的规律． 1．了解地心说和日心说的基本内容及其代表人物． 2．知道人类对行星运动的认识过程是漫长的，了解对天体运动正确认识的重要性．3．理解开普勒三定律，知道其科学价值，了解第三定律中k值的大小只与中心天体有关． 4．了解处理行星运动问题的基本思路，体会科学家的科学态度和科学精神． 一、两种学说

二、开普勒行星运动定律 的一 它与太 公式： a3 T2＝k，k是一个与行 星无关的常量 三、开普勒行星运动定律的实际应用 1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心． 2．对某一行星来说，它绕太阳转动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动． 3．所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方比值都相等． 行星运动的模型 一、模型特点 1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心． 2．对某一行星，它绕太阳运动的角速度(或环绕速度大小)不变，行星做匀速圆周运动．3．所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相同．若用r表示轨道半径，T表示公转周期，则 r3 T2＝k.

二、典例剖析 飞船沿半径为r 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示．如果地球半径为r 0，求飞船由A 点到B 点所需的时间． 解析：由开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周(半长轴和半短轴相等的特殊椭圆)运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时其半长轴的三次方跟周期平方的比值．飞船椭圆轨道的半长轴为r ＋r 02，设飞船沿椭圆轨道运动的周 期为T′，则有r 3T 2＝（r ＋r 0）3 8T ′2 .而飞船从A 到B 点所需的时间为：t ＝T ′2＝28???? 1＋r 0r 32·T. 答案：28 ???? 1＋r 0r 32·T 第二、三节 太阳与行星间的引力 万有引力定律 哥白尼说：“太阳坐在它的皇位上，管理着围绕着它的一切星球”，那么是什么原因使行星绕太阳运动呢？伽利略、开普勒以及法国数学家笛卡尔都提出过自己的解释．然而，只有牛顿才给出了正确的解释……

万有引力定律与航天练习题

万有引力定律与航天 练习题 Revised on November 25, 2020

万有引力定律与航天章节练习题 一、选择题 1．如图所示，火星和地球都在围绕太阳旋转，其运行轨道是椭圆，根据开普 勒行星运动定律可知( ) A. 火星绕太阳运动过程中，速率不变 B. 火星绕太阳运行一周的时间比地球的长 C. 地球靠近太阳的过程中，运行速率将减小 D. 火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大 2．经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星”的轨道均处在 火星和木星轨道之间，它们绕太阳沿椭圆轨道运行，其轨道参数如下表。 注：AU 是天文学中的长度单位，1AU=149 597 870 700m （大约是地球到太阳的平均距离）。“神舟星”和“杨利伟星”绕太阳运行的周期分别为T 1和T 2，它们在近日点的加速度分别为a 1和a 2。则下列说法正确的是( ) A. 1212,T T a a >< B. 1212,T T a a << C. 1212,T T a a >> D. 1212,T T a a 3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“31peg b” 的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“31peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运 动，周期大约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1 20，该中心恒星 与太阳的质量比约为( ) A. 1 10 B. 1 C. 5 D. 10 4．2013年6月13日，“神舟十号”与“天空一号”成功实施手控交会对接，下列关于“神舟十号”与“天空一号”的分析错误的是（ ） A ．“天空一号”的发射速度应介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间

万有引力与航天知识点总结

万有引力和航天 一. 天体运动： 1. 开普勒行星运动规律： （1） (2) (3) 二. 万有引力定律： ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成__________，与它们之间的距离________的二次方成反比。即：___________ 其中G =6. 67×10－11N ·m 2/kg 2 ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 2. 基本问题是研究星体（包括人造星体）在万有引力作用下做匀速圆周运动。 基本方法：将天体运动理想化为匀速圆周运动，所需的向心力由万有引力提供。即：G ·M ·m /r 2=m ·v 2/r =________=_________=m ·r ·（2πf ）2 3. 绕中心星体的运动的快慢与绕行半径的关系： （1）由G ·M ·m /r 2=m ·v 2/r 得v =M/r G ?，_______越大，v 越小。 （2）由G ·M ·m /r 2=m ·r ·ω2得3M/r G ?=ω，r 越大，______越小 （3）由G ·M ·m /r 2=m ·r ·（2π/T ）2得M G r T ??=/422π，r 越大，___越大。 在地表附近，可以认为T =g R /2π=83. 7h 。 例题1.、两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R ，a 卫星距地面的高度等于R ，b 卫星距地面的高度等于3R ，则a 、b 两卫星周期之比=b a T T :_________。 练习： 1．有人发现了一个小行星，测得它到太阳的平均距离是地球到太阳的平均距离的8倍，则这颗小行星绕太阳的公转周期将是地球的公转周期的 倍 4．关于公式k T R =23 中的常量k ，下列说法中正确的是 ( ) A ．公式适用于宇宙中所有围绕星球运行的行星或卫星 B ．不同星球的行星或卫星，k 值不相等 C ：k 值是一个与星球无关的常量 D ．k 值是—个与星球有关的常量 2R Mm G mg =

备战2021新高考物理-重点专题-万有引力与航天(三)(含解析)

备战2021新高考物理-重点专题-万有引力与航天（三） 一、单选题 1.三颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，运行方向如图所示.已知 ，则关于三颗卫星，下列说法错误的是（） A.卫星运行线速度关系为 B.卫星轨道半径与运行周期关系为 C.已知万有引力常量G，现测得卫星A的运行周期T A和轨道半径R A，可求地球的平均密度 D.为使A 与B同向对接，可对A适当加速 2.如图所示，A、B、C是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，下列说法中正确的是() A.B，C的角速度相等，且小于A的角速度 B.B，C的线速度大小相等，且大于A的线速度 C.B，C的向心加速度相等，且大于A的向心加速度 D.B，C的周期相等，且小于A的周期 3.2020年4月24日，国家航天局宣布，我国行星探测任务命名为“天问”，首次火星探测任务命名为“天问一号”。已知万有引力常量，为计算火星的质量，需要测量的数据是（） A.火星表面的重力加速度和火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 B.火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径和火星的公转周期 C.某卫星绕火星做匀速圆周运动的周期和火星的半径 D.某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径和公转周期 4.一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，F N表示人对秤的压力，下面说法中正确的是（）

A.g′=0 B.g′= C.F N=0 D.F N= 5.2019年11月23日8时55分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号“乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第50、51颗北斗导航卫星。两颗卫星均属于中圆轨道（MEO）卫星，是我国的“北斗三号”系统的组网卫星。这两颗卫星的中圆轨道（MEO）是一种周期为12小时，轨道面与赤道平面夹角为60°的圆轨道。是经过GPS和GLONASS运行证明性能优良的全球导航卫星轨道。关于这两颗卫星，下列说法正确的是（） A.这两颗卫星的动能一定相同 B.这两颗卫星绕地心运动的角速度是长城随地球自转角速度的4倍 C.这两颗卫星的轨道半径是同步卫星轨道半径的 D.其中一颗卫星每天会经过赤道正上方2次 6.如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相等且小于c的质量，则下列判断错误的是（） A.b所需向心力最小 B.b、c周期相等，且大于a的周期 C.b、c向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D.b、c线速度大小相等，且小于a的线速度 7.将地球看成质量均匀的球体，假如地球自转速度增大，下列说法中正确的是() A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力增大 B.放在两极地面上的物体所受的重力增大 C.放在赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力增大 D.放在赤道地面上的物体所受的重力增大 8.太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是（） A.2年 B.4年 C.8年 D.10年 9.若将八大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下表所示：从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( )

高一物理《万有引力与航天》知识点总结

高一物理《万有引力与航天》知识点总结 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 2、“日心说”的内容及代表人物： 二、开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律：v近v远 开普勒第三定律：K—与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体才可以列比例，太阳系：a地3a 火3a水3=2=2=...... 2T地T火T水 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 m42R32mF=4πKFFmr ①② FF③ K2222 rrTTF MMmMm FFGr2r2r2

2、表达式：FGm1m22r 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。 4、引力常量：-11N/m2/kg2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。 5、适用条件： ①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体，公式中的r就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r为两物体质心间的距离。 mM42R3GM

6、推导：G2m2R 22RTT4 四、万有引力定律的两个重要推论 1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。 2、在匀质球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体的引力。 五、黄金代换 六、双星系统 两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。 设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： M1：M1M2v12GM1M1r112 2Lr1

万有引力与航天专题

A O 万有引力与航天专题 1．【2012?湖北联考】经长期观测发现，A 行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧 还存在着一颗未知行星B ，则行星B 运动轨道半径为（ ） A ． 030002()2t R R t T =- B ．T t t R R -=000 C ． 3 20000)(T t t R R -= D ．300200T t t R R -= 2．【2012?北京朝阳期末】2011年12月美国宇航局发布声明宣布，通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星。该行星被命名为开普勒一22b （Kepler 一22b ），距离地球约600光年之遥，体积是地球的2．4倍。这是目前被证实的从大小和运行轨道来说最接近地球形态的行星，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一圈。若行星开普勒一22b 绕恒星做圆运动的轨道半径可测量，万有引力常量G 已知。根据以上数据可以估算的物理量有（ ） A.行星的质量 B ．行星的密度 C ．恒星的质量 D ．恒星的密度 3．【2012?江西联考】如右图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、 M （M>> m 1，M>> m 2）。在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内 绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ∶T b =1∶k ； 从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则 （ ） A ．a 、b 距离最近的次数为k 次 B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次 C ．a 、b 、c 共线的次数为2k D ．a 、b 、c 共线的次数为2k-2 4．【2012?安徽期末】2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全

第六章万有引力与航天

第六章 万有引力与航天 要点解读 一、天体的运动规律 从运动学的角度来看，开普勒行星运动定律提示了天体的运动规律，回答了天体做什么样的运动。 1．开普勒第一定律说明了不同行星的运动轨迹都是椭圆，太阳在不同行星椭圆轨道的一个焦点上； 2．开普勒第二定律表明：由于行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，所以行星在绕太阳公转过程中离太阳越近速率就越大，离太阳越远速率就越小。所以行星在近日点的速率最大，在远日点的速率最小； 3．开普勒第三定律告诉我们：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，比值是一个与行星无关的常量，仅与中心天体——太阳的质量有关。 开普勒行星运动定律同样适用于其他星体围绕中心天体的运动（如卫星围绕地球的运动），比值仅与该中心天体质量有关。 二、天体运动与万有引力的关系 从动力学的角度来看，星体所受中心天体的万有引力是星体作椭圆轨道运动或圆周运动的原因。若将星体的椭圆轨道运动简化为圆周运动，则可得如下规律： 1．加速度与轨道半径的关系：由2 Mm G ma r =得2r GM a = 2．线速度与轨道半径的关系：由22Mm v G m r r =得v = 3．角速度与轨道半径的关系：由22Mm G m r r ω=得ω=4．周期与轨道半径的关系：由r T m r Mm G 222?? ? ??=π得GM r T 32π= 若星体在中心天体表面附近做圆周运动，上述公式中的轨道半径r 为中心天体的半径R 。

学法指导 一、求解星体绕中心天体运动问题的基本思路 1．万有引力提供向心力； 2．星体在中心天体表面附近时，万有引力看成与重力相等。 二、几种问题类型 1．重力加速度的计算 由2 ()Mm G mg R h =+得2()GM g R h =+ 式中R 为中心天体的半径，h 为物体距中心天体表面的高度。 2．中心天体质量的计算 （1）由r T m r GMm 22)2(π=得23 24GT r M π= （2）由mg R Mm G =2得2gR M G = 式（2）说明了物体在中心天体表面或表面附近时，物体所受重力近似等于万有引力。该式给出了中心天体质量、半径及其表面附近的重力加速度之间的关系，是一个非常有用的代换式。 3．第一宇宙速度的计算 第一宇宙速度是星体在中心天体附近做匀速圆周运动的速度，是最大的环绕速度。 （1）由2R Mm G =R v m 21得1v = （2）由mg =R v m 2 1得1v =4．中心天体密度的计算

必修二万有引力与航天知识点总结完整版

第六章 万有引力与航天知识点总结 一. 万有引力定律： ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们 之间的距离r 的二次方成反比。即： 其中G =6. 67×10 －11N ·m 2/kg 2 ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 二. 重力和地球的万有引力： 1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果： （1）物体随地球自转的向心力： F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。 由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。 （2）重力约等于万有引力： 在赤道处：mg F F +=向，所以R m R GMm F F mg 22自向ω-=-=，因地球自转角速度很小，R m R GMm 22自ω>>，所以2R GM g =。 地球表面的物体所受到的向心力f 的大小不超过重力的0. 35%，因此在计算中可以认为万有引力和重 力大小相等。如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小， 就不能再认为重力等于万有引力了。如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰 好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。 在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即21)('h R Gm g += 。 强调：g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。 2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。 即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2 122 m m F G r =2 R Mm G mg =

万有引力与航天公式总结

注释： M 中心天体质量 m 中心天体上的物体质量或者围绕中心天体做匀速圆周运动的物体质量 R 中心天体半径（地球半径约为6400km ） r 两球心间距离或轨道半径 h 距离中心天体高度 R r h -=（同步卫星轨道半径约为36000km ） g 星球表面重力加速度 ρ中心天体密度 一、地面公式 当忽略中心天体自转影响时： 二、围绕中心天体做匀速圆周运动的卫星公式 结论：越远周期越大，剩下都小 三、万有引力与重力的关系 在南北极：万有引力等于重力极mg R GMm =2 在赤道：万有引力一小部分充当向心力?????????=-22224自自赤T R m R m ma mg R GMm n πω 四、宇宙速度 第一宇宙速度（环绕速度）s km gR R GM v /9.7≈==（最大的环绕速度，最小的发射速度） 第二宇宙速度（脱离速度）s km v /2.11=（使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度） 第三宇宙速度（逃逸速度）s km v /7.16=（使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度） 五、双星 1)双星系统的周期、角速度相同． 2)轨道半径之比与线速度成正比与质量成反比． 3)双星系统的周期与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关. 六、卫星变轨 速度：B ⅡB Ⅲv v > ⅡB ⅡA v v > A ⅠⅡA v v > ⅢB ⅠA v v > 加速度：ⅡA ⅠA a a = ⅢB ⅡB a a = B A a a > 周期：123T T T >> 机械能：123E E E >>

结论：低轨道变高轨道→加速，高轨道变低轨道→减速； 同一点加速度相等，越近加速度越大 越远周期越大，能量越高,一直在一个轨道上环绕时机械能守恒 七、开普勒行星定律 ①（轨道定律）所有行星绕太阳运动都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 ②（面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 ③（周期定律）所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 即：k T a 23 （圆轨道半长轴用R ，k 的大小与中心天体质量有关）

万有引力与航天公式总结

万有引力与航天重点规律方法总结 一.三种模型 1．匀速圆周运动模型： 无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型： 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。 3.“天体相遇”模型： 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二. 1.2/三.1. 2.1687⑴.⑵.⑶.a. b.当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算 c.认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的 ⑷．对定律的理解 a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力 b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。 c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物 体间,它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的 性质无关,与周期及有无其它物体无关. （5）引力常数G ：

①大小：kg m N G 2 2 11 /67.610??=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出 ②意义： 表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 1011 67.6-? 四.两条思路：即解决天体运动的两种方法 1.万有引力提供向心力：F F 向万=即：22 2224n Mm v F G ma m mr mr r r T πω=====万 2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力： 即2gR GM =（又叫黄金代换式） 注意： 五.1.a.c. 2.3.方法一：根据转动天体运动周期T 、转动半径r 和中心天体半径R 计算： R T r G 3 2 33πρ= （适合于有行星、卫星转动的中心天体） 方法二：根据中心天体半径R 和其表面的重力加速度g 计算： GR g πρ43=（适合于没有行星、卫星转动的天体） 4.计算第一宇宙速度（环绕速度） 简单说就是卫星或行星贴近中心天体表面的飞行速度，这时卫星或行星高度忽略r ≈R 方法一。根据中心天体质量M 和半径R 计算： 由→=R m Mm G v R 2 2 R GM v =

高一物理必修二第六章万有引力与航天复习练习题及参考答案

高一物理 期中考复习三 （万有引力与航天） 第一类问题：涉及重力加速度“ g ”的问题 解题思路：天体表面重力（或“轨道重力”）等于万有引力，即2R Mm G mg = 【题型一】两星球表面重力加速度的比较 1、一个行星的质量是地球质量的8倍，半径是地球半径的4倍，这颗行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的多少倍？ 【题型二】轨道重力加速度的计算 2、地球半径为R ，地球表面重力加速度为0g ，则离地高度为h 处的重力加速度是（ ） A ．202)(h R g h + B ．2 2)(h R g R + C ．20)(h R Rg + D ．20)(h R hg + 【题型三】求天体的质量或密度 3、已知下面的数据，可以求出地球质量M 的是（引力常数G 是已知的）（ ） A ．月球绕地球运行的周期T 1及月球到地球中心的距离R 1 B ．地球“同步卫星”离地面的高度 C ．地球绕太阳运行的周期T 2及地球到太阳中心的距离R 2 D ．人造地球卫星在地面附近的运行速度v 和运行周期T 3 4、若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，已知其周期为T ，引力常量为G ，那么该行星的平均密度为（ ） A.π32GT B.24GT π C.π 42 GT D.23GT π 第二类问题：圆周运动类的问题 解题思路：万有引力提供向心力，即r m r v m r T m ma r Mm G n 22 2224ωπ==== 【题型四】求天体的质量或密度 5、继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t 。试计算土星的质量和平均密度。 【题型五】求人造卫星的运动参量（线速度、角速度、周期等）问题 6、两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为8:1:=B A T T ，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ） A. 2:1:,1:4:==B A B A v v R R B. 1:2:,1:4:==B A B A v v R R C. 1:2:,4:1:==B A B A v v R R D. 2:1:,4:1:==B A B A v v R R

万有引力与航天重点知识归纳

r G Mm = mg ? g = GM ；在地球表面高度为 h 处： (R + h) 2 (R + h) 2 Mm = mg ? g = = 4 , r 万有引力与航天重点知识归纳 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： a 3 T 2 = k 。其中 k 值与太阳有关，与行星无关。 （4）推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星 旋转时， a 3 = k ，但 k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 T 2 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为 v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③ R 3 = k ，R ——轨道半径。 T 2 2. 万有引力定律 （1）内容：万有引力 F 与 m 1m 2 成正比，与 r 2 成反比。 （2）公式： F = G m 1m 2 ，G 叫万有引力常量， G = 6.67 ? 10 -11 N ? m 2 / k g 2 。 r 2 （3）适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体， 指两球心间的距离；③一个均匀 球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4）两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力 mg ，另一个是 物体随地球自转所需的向心力 f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即 mg = G Mm - m ω 2 R ； R 2 ②在两极 F=mg ，即 G Mm = mg ；故纬度越大，重力加速度越大。 R 2 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上， R 2 R 2 G GM ，所以 g = h h h R 2 (R + h ) 2 g ，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法： G Mm = mr ( 2π ) 2 ? M = 4π 2 r 3 ，再根据 r 2 T GT 2 V M 3πr 3 π R 3 , ρ = ? ρ = 3 V GT 2 R 3 ，当 r=R 时， ρ = 3π GT 2 2．g 、R 法： G Mm = mg ? M = R 2 g R 2 G ，再根据V = 4 πR 3 ρ = M ? ρ = 3g 3 V 4πGR 3．v 、r 法： G Mm = m v 2 ? M = rv 2 r 2 r G 4．v 、T 法： G Mm = m v 2 , G Mm = mr ( 2π ) 2 ? M = v 3 T r 2 r 2 T 2πG

万有引力与航天专题复习

万有引力与航天专题 复习 Revised on November 25, 2020

万有引力与航天 一、行星的运动 1、 开普勒行星运动三大定律 ①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 ②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。 ③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 值都相等。 即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。 推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。K 取决于中心天体的质量 例1. 据报道，美国计划从2021年开始每年送15 000名游客上太空旅游．如图所示，当航天器围绕地球沿椭圆轨道运行时，在近地点A 的速率 (填“大于”“小于”或“等于”)在远地点B 的速率。 例2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） 年 年 年 年 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律 ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正 比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 例3.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中G 为万有引力恒量） （2）计算重力加速度 3 2a k T =2Mm F G r =1122 6.6710/G N m kg -=??12 2m m F G r =2R Mm G mg =