数学分析中不等式的证明方法与举例论文
分院名称：数学学院
学生学号：0907140132
长春师范大学
本科毕业论文（设计）
（理工类）
题目：数学分析中不等式的证明方法与举例专业：数学与应用数学
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2013年 5 月
长春师范大学本科毕业论文（设计）作者承诺保证书
本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.
论文作者签名：
日期：年月日长春师范大学本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书
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指导教师签名：
日期：年月日
I
目录
承诺保证书...........................................................................I 前言 (1)
1 构造变限积分证明不等式 (1)
2 利用函数单调性证明不等式 (2)
3 利用微分中值定理证明不等式 (4)
4 利用积分中值定理证明不等式 (6)
5 利用泰勒公式证明不等式 (8)
6 利用函数极值证明不等式 (9)
7 利用函数凹凸性证明不等式 (11)
8 利用幂级数展开式证明不等式 (12)
9 利用著名不等式证明不等式 (13)
参考文献 (16)
致谢 (17)
英文摘要 (18)
数学分析中不等式的证明方法与举例
摘要：不等式不仅是数学分析中非常重要的工具，同时也是数学分析研究的主要问题之一，然而不等式的证明方法却是复杂多变的，因此，对于不等式的证明方法进行系统的分类与总结仍具有很大的现实意义.
本文首先简单介绍了不等式的研究背景，然后主要讨论了数学分析中证明不等式的若干方法，并对不等式的证明方法进行归类.同时，通过精选典型例题的证明，渗透了解不等式问题的多种解题技巧，深化了对不等式证明方法的认识，最终达到灵活应用的目的，以便于可以站在更高的角度来研究不等式.
关键字：数学分析不等式证明方法.
前言
不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用. 在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到1934年, 数学不等式理论及其应用的研究才正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论，成为数学基础理论的一个重要组成部分.
20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮.目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也取得了较丰富的成果.由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起了一系列广泛研究.
综上所述, 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达.
1 构造变限积分证明不等式
定义：设)(x f 在],[b a 上可积，对任何],[b a x ∈,)(x f 在],[x a 上也可积，于是，由
dt
f x x
a ?=Φ(x))(，],[
b a x ∈，
定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似地，又可
以定义变下限的定积分：
dt x f x b
x )()(?=ψ, ],[b a x ∈,
Φ与ψ统称为变限积分.
定理：若f 在],[b a 上连续，则其变限积分作为关于x 的函数，在],[b a 上处处可导，且
)())(()())((x f dt t f dx d
x f dt t f dx d b x
x a -==??，, 更一般的有
)()]([)()]([)()
()(x h x h f x g x g f dt t f dx
d x g x h '-'=?. 例1.证明柯西不等式 ???≤b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([22
2
.
证明：构造变上限辅助函数
???-=u
a
u
a
u
a
dx x g dx x f dx x g x f u )()(])()([)(22
2
ψ.
显然)(u ψ在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且
???--='u
a
u a
u a
dx x f u g dx x g u f dx x g x f u g u f )()()()()()()()(2(u)2222ψ
???--=u
a
u a
u a
dx
u g x f dx x g u f dx x g x f u g u f )()()()()()()()(22222
?+--=u
a dx
u g x f x g x f u g u f x g u f )]()()()()()(2)()([2222
?≤--=u a
dx u g x f x g u f 0)]()()()([2.
所以)(u ψ在],[b a 上单调减少，则0)()(=≤a b ψψ，即
0)()(])()([)(22
2
≤-=???b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f b ψ.
得到
???≤b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([22
2
.
例2. 设)(x f 在],[b a 上连续，且单调递增，试证明
??
+≥b
a
b
a
x f b a dx x xf )(2)(.
证明：构造变上限辅助函数：
dx x f t a dx x xf t F t
a t
a
??+-
=)(2
)()(. 显然0)(=a F ，对],[b a t ∈?，
)(2)(21)()(t f t
a dx x f t tf t F t a +--
='? dx x f t f a t t
a ?--=)(21)(2 []dx x f t f t
a
?-=)()(21, ),(t a x ∈.
因为)(x f 单调递增，则0)(≥'t F ，则)(t F 单调递增，所以
0)()(=≥a F b F ,)(a b ≥.
因此
??+≥
b
a b a
x f b a dx x xf )(2
)(.
2 利用函数单调性证明不等式
定理:设函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,则有
(1) 如果在),(b a 内0)(≥'x f ,那么,函数)(x f 在],[b a 上单调增加. (2) 如果在),(b a 内0)(≤'x f ,那么,函数)(x f 在],[b a 上单调减少. 例1. 证明不等式：
x e x +>1，0≠x .
证明： 设,1)(x e x f x --=则1)(-='x e x f ，故当0>x 时，0)(>'x f ，)(x f 严格递增；当0 0)0()(=>f x f . 即 01>--x e x . 故得证 0,1≠+>x x e x . 例2. 证明 b 1b a 1a b a 1 b a ++ +≤ +++. 证明：记()x x x f += 1，则()()011'2 >+=x x f ，所以()x x x f +=1单调递增，于是由b a b a +≤+知 )()(b a f b a f +≤+. 即 b 1b a 1a b a 1 b b a 1a b a 1 b a b a 1 b a ++ +≤ +++ ++= +++≤ +++. 3 利用微分中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理: 设函数f 满足如下条件: (1)f 在闭区间],[b a 上连续； (2)f 在开区间),(b a 内可导， 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ) ()()('ξ. 柯西中值定理: 设函数f 和g 满足： (1) 在[,]a b 上都连续； (2) 在(,)a b 内都可导； (3) )(x f '和)(x g '不同时为零； (4) ()()b g a g ≠， 则存在()b a ,∈ξ, 使得 ) ()() ()()()(''a g b g a f b f g f --=ξξ. 例1．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，且0)(=a f ，证明 |)(|max 2 )(|)(|],[2 x f a b dx x f b a x b a '-≤∈? . 证明：令|)(|max ] ,[x f M b a x '=∈，由拉格朗日中值定理知 ))(()()()(a x f a f x f x f -'=-=ξ. 从而 ],[),(|))((||)(|b a x a x M a x f x f ∈-≤-'=ξ. 所以 M a b dx a x M dx x f dx x f b a b a b a 2 )()(|)(||)(|2 -=-≤≤???. 例2. 当0>x 时,试证不等式x x x x <+<+)1ln(1. 证明:构造函数 )1ln()(x x f +=. 则在区间],0[x 上满足拉格朗中值定理,且 x x f += '11)(. 故有 )0)((1ln )1ln(-'=-+x f x ξ,),0(x ∈ξ. 即 ξ += +1)1ln(x x . 又),0(x ∈ξ, 则 x x x x x <+=+<+ξ 11)1ln(11. 即 x x x x <+<+)1ln(1. 例3. 设e a >，2 0π < < a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-. 证明：令t a t f =)(，t t g cos )(=, 由题设条件可知，)(),(t g t f 在],[y x )0(y x <<上满足柯西中值定理 ) () ()()()()(''ξξg f y g x g y f x f =--. 则 )sin(ln cos cos ξξ-= --a a y x a a y x ,2 0π ξ<<< ξ ξsin 1 ln )cos (cos a a y x a a x y -=-. 由于 2 0π ξ<<， 1sin 0<<ξ , 则 1sin 1 >ξ , 故 x y a a -a a y x ln )cos (cos ξ->a a y x x ln )cos (cos ->. 由此得证 a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-. 4 利用积分中值定理证明不等式 积分第一中值定理：若函数f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得 ?≤≤-=b a b a a b f dx x f )(),)(()(ξξ. 积分第二中值定理：设函数f 在],[b a 上可积，若g 为单调函数，则],[b a ∈?ξ，使得 ? ??+=b a a b dx x f b g dx x f a g dx x g x f ξξ )()()()()()(. 例1．设)(x f 为]1,0[上的非负单调非增连续函数（即当y x <时， )()(y f x f >），证明对于10<<<βα,有下面的不等式成立 ? ?≥α β α βα0 )()(dx x f dx x f . 证明：由积分第一中值定理有 ?≤≤-≤-=β αβξ ααβααβξ)(),)(())(()(1 1 f f dx x f . αξα )()(20 f x f =? ,)0(2αξ≤≤. 从而 ?? -> ≥β αα α βαα dx x f f dx x f )(1)()(1 . 因此可得 ??≥-αβαα β 0)()()1( dx x f dx x f . 即 ??≥ -αβ α β α βα0)()()1(dx x f dx x f . 又因10<<<βα,所以110<- <β α ,故 ? ?≥ α β αβ α0 )()(dx x f dx x f . 例2. 设)(x f 在],[b a 上连续，且单调递增，试证明 dx x f b a dx x xf b a b a ?? +≥ )(2 )(. 证明：要证该不等式只需证明 0)()2 (≥+- ? dx x f b a x b a . 由于)(x f 单调递增，利用积分第二中值定理，则存在],[b a ∈ξ，使 ??? +-++-=+- b a b a dx b a x b f dx b a x a f dx x f b a x ξξ)2 ()()2()()()2( ??+--++-=b b a dx b a x a f b f dx b a x a f ξ)2 ()]()([)2()( )] (22)][()([22ξξ-+---=b b a b a f b f 0)(2 )]()([≥---=a b a f b f ξξ . 故 0)()2 (≥+- ? dx x f b a x b a . 即 dx x f b a dx x xf b a b a ?? +≥)(2)(. 5 利用泰勒公式证明不等式 定理:若函数)(x f 在],[b a 上存在直至n 阶连续导函数，在),(b a 内存在) 1(+n 阶导函数,则对任意给定的x ，],[0b a x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ,使得: )(x f )(0x f =))((00x x x f -'+2 00)(!2)(x x x f -''+ +???+10) 1()(! )(++-n n x x n f ξ. 例1.设)(x f 在]1,0[存在二阶连续导数，0)1()0(==f f ，并且当)1,0(∈x 时， A x f ≤'')(，求证：)1,0(2 )(∈≤ 'x A x f ，. 证明:由于()f x 在[0,1]上有二阶连续导函，因此对任何)1,0(0∈x ，利用(1)f 和(0)f 在0x 点的二阶泰勒公式可得 ,)1(! 2) ('')1)((')()1(201000x f x x f x f f -+ -+=ξ)1,(01x ∈ξ. ,! 2)(''))((')()0(2 02000x f x x f x f f ξ+ -+=),0(02x ∈ξ. 由(1)(0)f f =可得 2012020)1(! 2) (''!2)('')('x f x f x f --= ξξ. 又A x f ≤'')(,所以 202 00)1(2 )('x x A x f -+≤ . 而)1,0(0∈x 时,1)1(202 0≤-+x x ，故2 )(0A x f ≤'. 又由0x 的任意性知 )1,0(2 )(∈≤ 'x A x f ， 例2．设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，|)(|max ] ,[x f M b a x ''=∈，证明 3)(24 |)2( )()(|a b M b a f a b dx x f b a -≤+--?. 证明：将)(x f 在2 0b a x += 处泰勒展开 2 )2 )((21)2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'++=ξ，],[b a ∈ξ. 两边在],[b a 上积分并注意到?=+-b a dx b a x 0)2 (，得 ??+-''++-=b a b a dx b a x f b a f a b dx x f 2 )2 )((21)2( )()(ξ. 从而得 ? ? +- ''=+b a b a dx b a x f b a f dx x f 2 )2 )((2 1 )2( a)-(b -)(ξ dx b a x M b a 2 )2 (2?+-≤ 24 )(3 a b M -=. 6 利用函数极值证明不等式 极值的第一充分条件：设f 在点0x 连续，在某邻域()δ;00x U 内可导. (1)若当),(00x x x δ-∈时0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≥'x f ,则f 在点0 x 取得极小值. (2)若当),(00x x x δ-∈时0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≤'x f ，则f 在点0 x 取得极大值. 极值的第二充分条件：设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f . (1)若0)(0<''x f ，则f 在0x 取得极大值. (2)若0)(0>''x f ，则f 在0x 取得极小值. 例1.证明：当0≥x ，n 为自然数时， ) 32)(22(1 sin )(20 2++≤ -? n n tdt t t n x . 证明：构造辅助函数 tdt t t x f n x 202sin )()(?-=. 则 x x x x f n 22sin )()(-='. 当10≤≤x 时，0)(≥'x f ,当1>x 时，除()?==,3,2,1k k x π时0)(='x f 外，均有 0)(<'x f ，故)(x f 在10≤≤x 时单调递增，在1≥x 时单调递减，因此)(x f 在[) +∞,0上取最大值)1(f .于是有tdt t t f x f n 21 2sin )()1()(?-=≤ dt t t t n 21 2)(?-≤ ?++-=1 2212)(dt t t n n 3 21 221+-+=n n ) 32)(22(1 ++= n n . 例2. 设1>p ,求证：]1,0[∈?x ，都有不等式 1)1(2 11 ≤-+≤-p p p x x . 证明: 令p p x x x F )1()(-+=. 有 )(x F '=])1([)1()1(1111------=--+p p p p x x p x p px . 令0)(=x F ，则2 1=x . 而 22)1)(1()1()(----+-=''p p x p p x p p x F . 又因为1>p , 故 0])2 1 ()21)[(1()21(22>+-=''--p p p p F . 故)(x F 在21=x 处取得极小值，又因为1)0()1(==F F ,12 1 )21(-=P F . 所以)(x F 在区间[0,1]上的最大值为1，最小值为12 1 -P . 因此 1)1(211 ≤++≤-p p p p x . 7 利用函数凹凸性证明不等式 定义:设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x ，和任 实数()1,0∈λ总有 ()()()()()2121-1-1x f x f x x f λλλλ+≤+, 则称f 为I 上的凸函数.反之，如果总有 ()()()()()2121-1-1x f x f x x f λλλλ+≥+, 则称f 为I 上的凹函数. 定理:设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数的充要 条件是 0)(≥''x f （()0≤''x f ），I x ∈. 例1.证明:y y x x y x y x ln ln )2 ln( )(+<++ ),0,0(y x y x ≠>>. 证明: 构造函数x x x f ln )(=，)0(>x ，这时,01 )(>=''x x f ,所以)(x f 在(0,+ ∞)上是凸函数.所以,y x y x ≠>>,0,0时，有 )2( y x f +≤2 ) ()(y f x f +. 即 )2ln(2y x y x ++≤2 ln ln y y x x +. 故 y y x x y x y x ln ln )2 ln( )(+<++),0,0(y x y x ≠>>. 例2：（著名的均值不等式）设),,2,1(n i R a i ?=∈+求证： n a a a a a a n n n +?+≤ ?2121. 证明：设)0(ln )(>=x x x f ,则01 )(2<-=''x x f . 所以()ln f x x =在),0(+∞上为凹函数，则由凹函数性质可知 n a a a n a a a n n +?++≤+?++2 121ln ln ln ln . 即 n a a a a a a n n n +?++≤?211 21ln )ln(. 即 n a a a a a a n n n +?+≤ ?2121. 8 利用幂级数展开式证明不等式 证明方法:根据几个重要的初等函数的幂级数展开式，如下： ),(,! 1 !2112+∞-∞∈++++ +=x x n x x e n x ； ),(,)! 12(1)1(!31sin 1213+∞-∞∈+--++- =--x x n x x x n n ； ),(,)! 2(1)1(!41!211cos 242+∞-∞∈+-++- =x x n x x x n n ； )1,0(,111 2∈+++++=-x x x x x n ； ]1,1(,)1(3121)1ln(132-∈+-+++-=+-x n x x x x x n n ． 例1.当)1,0(∈x ，证明x e x x 211>-+. 证明：因 x e x 2,11 -分别可写成幂级数展开式，有： )1,0(,2221)1)(1(1122∈+++++=++++++=-+x x x x x x x x x x n n )1,0(,! 2!2221222∈+++++=x x n x x e n n x ． 则不等式左边的一般项为n x 2，右边的一般项为! 2n x n n ，而当3≥n 时!22n n >， 所以，)1,0(,112∈>-+x e x x x . 9 利用著名不等式证明不等式 柯西不等式：设i i b a ,为任意实数（n i ,,1?=）则 ∑∑∑===?≤n i i n i i n i i i b a b a 1 21 2 2 1 )(， 其中当且仅当i i b a ,成比例时等号才成立. 施瓦兹不等式：若）在（b a x g x f ,)(),(上可积，则 ????≤?b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((22 2 ． 若）在（b a x g x f ,)(),(上连续，其中当且仅当存在常数βα,使得)()(x g x f βα=时等号才成立（βα,不同时为零）. 詹森不等式：若f 为],[b a 上凸函数，则对任意],[b a x i ∈，0>i λ ),,2,1(n i ?=，11=∑=n i i λ，有 ∑∑==≤n i i i n i i i x f x f 1 1 )()(λλ. 例1.设R a i ∈，1=i ，2，…，n ．求证：211 2)(1∑∑==≥n i i n i i a n a ． 证明 ：由柯西不等式 ∑∑∑∑∑======≤?=n i i n i n i i n i i n i i a n a a a 1 21 2 1 2 1 2 1 )1()()1()(． 两边同时除以n 即得证． 例2. 已知0)(≥x f ，在],[b a 上连续，k dx x f b a ,1)(=?为任意实数，求证 1)sin )(()cos )((22 ≤+??kxdx x f kxdx x f b a b a . 证明:所要证明的式子左端第一项应用施瓦兹不等式 2 2)cos )(()()cos )((） （dx kx x f x f kx x f b a b a ??=? ? dx kx x f dx x f b a b a ????≤2cos )()( ()kxdx x f b a 2cos ?=?. 同理可得 dx kx x f dx kx x f b a b a ??≤22sin )()sin )((. 两式相加得 ????+=+b a b a b a b a kxdx dx kx x f kxdx x f kxdx x f 22 2 2 sin cos )()sin )(()cos )(( ?==b a dx x f 1)(. 即得证. 例3. 证明不等式 ,) (3 c b a c b a c b a abc ≤++ 其中c b a ,,均为正数. 证明：设)0(,ln )(>=x x x x f .则11 )(>= ''x x f . x x f x x f 1)(,1ln )(= ''+=' 故x x x f ln )(=在0>x 时为严格凸函数.依詹森不等式有 ))()()((3 1 )3( c f b f a f c b a f ++≤++. 从而 )ln ln ln (3 13ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++. 即 c b a c b a c b a c b a ≤++++)3 ( . 又因3 3c b a ab c ++≤ ,所以 c b a c b a c b a c b a c b a abc ≤++≤++++)3 ( ) (3 . 即 .) (3 c b a c b a c b a abc ≤++ 参考文献： [1] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出版社, 2006. [2] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001. [3] 华东师范大学数学系. 数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2001. [4] 钱吉林等主编. 数学分析题解精粹.[M] 武汉：崇文书局，2011. [5] 蒙诗德.数学分析中证明不等式的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2009，25(9). [6] 贺彰雄.不等式证明的几种常见方法.湖北教育学报[J].2007，10(1). [7] 王晓峰，李静.证明不等式的若干方法.数理医药学杂志[J].2008.12(1). 致谢 毕业论文设计的这段时间是我学生生涯中非常重要的时光之一.通过这次论文写作，我不仅学到了很多专业知识，而且我的其他能力方面都有一定提高.所以，借此论文结束之际，向所有帮助过我的人表示我最诚挚的敬意和感谢. 本论文是在付老师的指导下和同学们的帮助下几经修改而完成的.所以,首先要感谢我的指导老师,我从她身上不仅学到了许多的专业知识，更感受到她在工作中的兢兢业业，生活中的平易近人.此外，她严谨的治学态度和忘我的工作精神更值得我去学习.同时，还要感谢我的同学,他们给我提供了很多有价值的材料和宝贵意见，所以我的论文才得以顺利完成. 总之，衷心地感谢所有帮助过我的人！ 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 议论文片断之举例论证 作文辅导 1006 2302 【概念诠释】 举例论证是通过举具体的事例加以论证，从而使论证更具体、更有说服力的一种论证方法。例证可以分为事例和语例两类。事例：以当前的或者历史的事件或人物作例证。语例：用专家、学者、知名人士等的话作例证。 【方法引领】 一、举例要简练概括。举例记事虽然也要用到记叙的表达方式，但和记叙文的写法不同，不需要对事件发生的时间、地点、背景以及人物之间的对话、神态、动作，故事发生的场景等做细致生动的描绘。议论文只是借事说理，所叙事例只要能证明观点即可，文章的重点是所论证的观点而不是用来说理的事例。如果不考虑论点的需要，信笔写去，甚至进行大段的记叙，那事例不但起不到应有的论证作用，还会使议论文变成“两头议、中间叙”的不伦不类的文章。 二、举例要紧扣论点。举例论证时，所举事例必须与所论证的观点紧密相扣，这才能起到论证的作用。要做到这样，首先在选择事例时，就要看事例本身是否蕴含着所要论证的观点。同时，由于事例本身往往具有多义性，因此，在叙述事例时，还要有意识地突出事例中与论点相扣的一面，不能泛泛地说事，即围绕论点定向复述事例。 三、举例要析理透辟。举例是为了说理，举例过程中或概述事例之后要对事例作适当的分析，将其中蕴含的道理围绕观点说清说透，这对于增强论证的力量也是很有必要的。切忌不加分析地信手拈来，随意罗列事例，这样必然会造成事理脱节，举例失当。 【片断赏析】 1、人皆愿己成才，于是，就有人羡慕那些一鸣惊人之才。其实，一鸣之前必有百鸣、千鸣、万鸣，只是未使人惊而已。（观点）达芬奇画《蒙娜丽莎》之前，作画何止万千，据说他画蛋就画了好几十天。莫泊桑的成名小说《羊脂球》发表前曾被退稿四十九次，稿纸堆起来有书桌般高。（事例）（《“一鸣”与“万鸣”》） 点评： 在这一段议论中，为了论证在惊人的一鸣之前，必有未能惊人的许多鸣，举了达芬奇画蛋与莫泊桑遭退稿的例子。在叙述事例时，特别点明达芬奇画了《蒙娜丽莎》，莫泊桑发表了《羊脂球》，以照应论点中“惊人的一鸣”，再以作画“万千”、画蛋“好几十天”、退稿“四十九次”等具体的数字照应未能惊人的“百鸣、千鸣、万鸣”，事例与论点紧紧相扣，十分有力地论证了的观点——有了量的积累才会有质的飞跃。 然而，这里举到的两个事例也都可以从别的角度去论证别的一些观点，而当论点不同时，叙述事例的角度也要作相应改变。例如，达芬奇画蛋也可以引用来证明练习基本功的重要，这时对事例的叙述就要从强调达芬奇的成功是从画蛋起步的角度来写了。莫泊桑的故事也是证明人不能怕遭遇挫折的绝好材料，而对事例的叙述可以改成“莫泊桑面对一次又一次的退稿毫不气馁，这才 关于用微积分理论证明不等式的方法 学校代码专业代码本科毕业论文(设计) 题目:关于用微积分理论证明不等式的方法 学院: 专业: 学号: 姓名: 指导教师: 年 5月 13日 填写说明 一、毕业论文(设计)须用70克A4纸计算机双面打印,具体打印格式参见教务处主页《山西财经大学普通全日制本科毕业论文(设计)写作指南》。 二、毕业论文(设计)必须按规定的要求进行装订。 1、装订顺序 封面 学术承诺 目录 中文摘要、关键词 英文摘要、英文关键词 正文 参考文献 附录(可选) 致谢 山西财经大学本科毕业论文(设计)指导教师评定表 山西财经大学本科毕业论文(设计)答辩成绩与总成绩评定表 2、装订。由学生自主装订。装订线在左侧。 3、理工科毕业设计的软件要以光盘的形式附在论文的后面(装入小袋,封口),不要单独保存,不能丢失。 4、如果毕业论文(设计)因专业特殊,无法打印的部分可以手写或手绘,但需保持页面整洁,布局合理。 毕业论文(设计)学术承诺 本人郑重承诺:所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不存在抄袭情况,论文中不包含其他人已经发表的研究成果,也不包含他人或其他教学机构取得研究成果。 作者签名:日期: 毕业论文(设计)使用授权的说明 本人了解并遵守山西财经大学有关保留、使用毕业论文的规定。 即:学校有权保留、向国家有关部门送交毕业论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 (保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名:指导教师签名: 日期:日期: 目录 中文摘要Ⅰ 英文摘要Ⅱ 第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法 1 第一节用可导函数的单调性证明不等式法 1 第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法 2 第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法 3 第四节用柯西中值定理证明不等式法 4 第五节上述几种方法小结 6 第二章用微积分理论证明不等式其他几种方法7 第一节用导数定义证明不等式法7 第二节用函数的凹凸性证明不等式8 第三节用泰勒公式证明不等式法9 第四节用幂级数展开式证明不等式法10 成绩评定表 课程设计任务书 摘要 汇率是在商品交易和货币运动越出国界时产生的，是一国货币价值在国际的又一表现。因为一国货币汇率受制于经济、政治、军事和心理等因素的影响，这些因素彼此之间既相互联系又相互制约，而且在不同时间，各因素产生作用的强度也会出现交替变化，所以很难准确地找出究竟哪些因素影响着一国货币汇率的变化，在开放经济中，汇率是一种重要的资源配置价格。汇率的失衡或错估，不仅会破坏经济的外部平衡，而且会给国内宏观经济稳定和经济可持续增长带来一系列不利影响。 另外，汇率的变化还能对人们的日常生活和企业的生产销售生产较大的影响。所以，对影响汇率的因素进行分析和探讨，对于指导汇率政策的制定、预测汇率变化趋势、优化投资策略，以及研究与汇率有关的生活消费等问题都有重要的应用价值。spss在经济、管理、医学及心理学等方面的研究起着很重要的作用，在我国的国民经济问题中，增加农民收入是我国扩大内需的关键，通过运用SPSS分析方法对我国人民币及其影响因素的相关分析以便能够更好地了解我国的汇率的情况。 关键词：spss;汇率;影响因素;回归 目录 1问题分析 (1) 2数据来源 (1) 3数据定义 (2) 4数据输入 (2) 5变量的标准化处理 (2) 5.1描述性分析选入变量及参数设置 (2) 5.2描述性分析 (2) 5.3描述性分析结果输出 (2) 6.1描述性分析选入变量及参数设置 (3) 6.2线性回归分析 (4) 7进一步的分析和应用 (11) 总结 (14) 参考文献 (14) 汇率影响因素分析 1问题分析 汇率是在商品交易和货币运动越出国界时产生的，是一国货币价值在国际上的又一表现。因为一国货币汇率受制于经济、政治、军事和心理等因素的影响，这些因素彼此之间既相互联系又相互制约，而且在不同时间，各种因素产生作用的强度也会出现交替变化，所以很准确地找出究竟哪些因素影响着一国货币汇率的变化。 在开放经济中，汇率是一种重要的资源配置价格。汇率的失衡或错估，不仅会破坏经济的外部平衡，而且会给国内宏观经济稳定和经济可持续增长带来一系列不利影响。另外，汇率的变化还能对人们的日常生活和企业的生产销售产生较大的影响。所以，对影响汇率的因素进行分析和探讨，对于指导汇率政策的制定、预测汇率变化趋势、优化投资策略，以及研究与汇率有关的生产消费等问题都有重要的应用价值。 2数据来源 所用数据参考自“人民币汇率研究”（陈瑨，CENET网刊，2005）、“汇率决定模型与中国汇率总分析”（孙煜，复旦大学<经济学人>，2004）和“人民币汇率的影响因素与走势分析”（徐晨，对外经济贸易大学硕士论文，2002），其中通货膨胀率、一年期名义利率、美元利率和汇率4个指标的数据来自于<中国统计年鉴>（2001，中国统计出版社）；2000年的部分数据来自于国家统计局官方网站。 成绩： 江西科技师范大学 毕业论文 题目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法 （外文）：On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院（系）：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：吴丹 学号：20091741 指导教师：樊陈 2013年3月20日 目录 1引言 (1) 2放缩法证明不等式 (1) 2.1放缩法 (1) 2.2（改变分子分母）放缩法 (1) 2.3拆补放缩法 (2) 2.4编组放缩法 (3) 2.5寻找“中介量”放缩法 (4) 3反正法证明不等式 (4) 3.1反证法定义 (4) 3.2反证法步骤 (5) 4．换元法证明不等式 (6) 4.1利用对称性换元，化繁为简 (6) 4.2三角换元法 (7) 4.3和差换元法 (8) 4.4分式换元法 (8) 5．综合法证明不等式 (9) 5.1综合法证明不等式的依据 (9) 5.2用综合法证明不等式的应用 (9) 5.3综合法与比较法的内在联系 (10) 6.分析法 (11) 6.1分析法的定义 (11) 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11) 6.3分析法证明不等式的应用 (11) 7．构造法证明不等式 (13) 7.1构造函数模型 (13) 7.2构造数列模型 (14) 8．数学归纳法证明不等式 (15) 8.1分析综合法 (16) 8.2放缩法 (16) 8.3递推法 (17) 9.判别式法证明不等式 (17) 10.导数法证明不等式 (18) 10.1利用函数的单调性证明不等式 (18) 9.2利用极值（或最值） (20) 11比较法证明不等式 (20) 11.1差值比较法 (20) 11.2商值比较法 (21) 11.3比较法的应用范围 (22) 12结束语： (22) 参考文献 (22) 修订日：2010.12.8实证论文数据分析方法详解 （周健敏整理） 名称变量类型在SPSS软件中的简称（自己设定的代号） 变革型领导自变量1 zbl1 交易型领导自变量2 zbl2 回避型领导自变量3 zbl3 认同和内部化调节变量 TJ 领导成员交换中介变量 ZJ 工作绩效因变量 YB 调节变量：如果自变量与因变量的关系是变量M的函数，称变量M为调节变量。也就是, 领 导风格（自变量）与工作绩效（因变量）的关系受到组织认同（调节变量）的影 响，或组织认同（调节变量）在领导风格（自变量）对工作绩效（因变量）影响 关系中起到调节作用。具体来说，对于组织认同高的员工，变革型领导对工作绩 效的影响力，要高于组织认同低的员工。 中介变量：如果自变量通过影响变量N 来实现对因变量的影响，则称N 为中介变量。也就 是，领导风格（自变量）对工作绩效（因变量）影响作用是通过领导成员交换（中 介变量）的中介而产生的。 研究思路及三个主要部分组成： （1）领导风格对于员工工作绩效的主效应（Main Effects）研究。 （2）组织认同对于不同领导风格与员工工作绩效之间关系的调节效应（Moderating Effects）研究。 （3）领导成员交换对于不同领导风格与员工工作绩效之间关系的中介效应（Mediator Effects）研究。 目录 1.《调查问卷表》中数据预先处理～～～～～～～～～～～～～～ 3 1.1 剔除无效问卷～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 3 1.2 重新定义控制变量～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 3 2. 把Excel数据导入到SPSS软件中的方法～～～～～～～～～～ 4 3. 确认所有的变量中有无“反向计分”项～～～～～～～～～～～4 3.1 无“反向计分”题～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 5 3.2 有“反向计分”题～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 5 4. 效度分析～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～6 5. 信度分析～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～8 6. 描述统计～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～9 7. 各变量相关系数～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 12 7.1 求均值～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～12 7.2 相关性～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～12 8. 回归分析～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～13 8.1 使用各均值来分别求Z值～～～～～～～～～～～～～～～13 8.2 自变量Z值与调节变量Z值的乘积～～～～～～～～～～～13 8.3 进行回归运算～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～14 8.3.1 调节作用分析～～～～～～～～～～～～～～～～～～14 8.3.2 中介作用分析～～～～～～～～～～～～～～～～～～18 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 数学分析中不等式证明方法论文 毕业论文(设计)开题报告 题目:数学分析中不等式证明方法 1 目录 摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((3 英文摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((4 第1章不等式的定义及研究背景(((((((((((((((((((((((((5 1.1不等式的定义((((((((((((((((((((((((((((((((((((5 1.2不等式的研究背景(((((((((((((((((((((((((((((((((5 第2章数学分析中不等式的证明方法与举例(((((((((((((((6 2.1?构造变上限积分函数(((((((((((((((((((((((((((((((6 2.2?利用拉格朗日中值定理进行证明(((((((((((((((((((((((((7 2.3?利用微分中值定理证明积分不等式((((((((((((((((((((((((8 2.4?积分中值定理解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((((9 2.5?利用泰勒公式证明不等式((((((((((((((((((((((((((((((((10 2.6?用函数的极值进行证明(((((((((((((((((((((((((((((((((12 2.7?用函数凹凸性进行不等式的证明((((((((((((((((((((((((((13 2.8利用函数单调性解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((13 2.9利用条件极值求解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((14 2.10利用两边夹法则证明不等式(((((((((((((((((((((((((((((15 第3章不等式证明方法的归纳总结(((((((((((((((((((((17 第4章论文的结论与展望(((((((((((((((((((((((((((((((18 致谢 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.wendangku.net/doc/9016613164.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/9016613164.html,) 原文地址： https://www.wendangku.net/doc/9016613164.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目占有一定的比例，命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面，现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力，证明不等式没有固定的程序，一个不等式的证法往往不止一种，证明过程往往是几种方法的综合运用，但无论是哪种方法，都离不开不等式的基本性质，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟记并能运用的话，在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法，主要有作差比较和作商比较两种形式。 （1）作差比较法的步骤一般为：①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论；在这些步骤中，最难的就是差式变形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 （2）作商比较法的步骤为：①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 （3）当不等式两边为多项式、分式或对数形式时，往往选择作差法；当不等式两边为指数时，常采用作商法。下面将列举例子进行 分析，以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<，则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即）（所以得于是有，所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法，把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小，形成新的不等式，而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的，同时，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放缩目标必须明确，从实际出发，从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若，求证：且3,0,,≥++>zx yz xy z y x 议论文如何举例论证 【一技】 举例论证是议论文写作最重要的论证手段，如何更好的发挥举例论证的作用呢？我们认为要做到“三有”，具体就是：例前有导语，叙例有方法，例后有分析。本次技法介绍的是前两有。 一、例前有导语。就是在举出事例之前要有观点和事例的联系的话语，不能在观点之后直接的很突然的举例，造成了内容的不连接，语言的不流畅，所以在举例之前要有一两句简短的过度语，让观点和例子有机的联系起来。如下文： 不同的角度看待事物，同样可以得出截然相反的结论。如果人们不能多角度多方面统筹看待问题，同样会闹出笑话。一家纺织公司新进了一种布，当拿到董事会桌子上时，桌子东边的人说它是红的，而西边的人说它是黄的。当桌子两边的人互换座位以后，他们才意识到自己刚才都只是从一个角度只看到了布的一方面。其实生活中何尝不是如此？多角度看问题的人才能得出正确的结论，一个角度看问题的人山重水复疑无路，总是自己欺骗了自己。 本段第一句是观点句。第二句则是一个过渡句，有了这一句就使观点和事例有机地联系起来了，不会使人觉得举例很突然，全段就形成了整体。 二、叙例有方法.（一）单个材料的叙述：剪裁取舍、概括叙述叙述材料要简明扼要。一般而言，议论文叙例应是针对构成论点的要素作概括的叙述，不使用描写，删去与论点关系不大的内容，不宜面面俱到，全盘照抄。更不能篡改材料。例: 的确，语言是伟大的，它能如阳光般把人与人之间那座沟通的冰山融化；它能如的谐的音符般把冷漠孤寂的心唤醒；它能如湿润的春雨般滋润人们之间的感情，让它更加坚固，更加深厚。 钱钟书教授曾这样婉约地拒绝一个很想跟他见面的记者：“如果你吃到一个鸡蛋味道很好，你会想去见那只下蛋的母鸡吗？”这是一句多么巧妙的语言，它既不失幽默又表达出了自己拒绝来访的意思，更重要的是，这句话没有使钱教授与那位记者的沟通陷入僵硬与冷漠的气氛之中，相反它使那位记者更加敬重这位渊博的老人了。 德兰修女莱丝一生中曾挽救过很多处在得与痛苦中的人，当人们惊奇于为何她能通过个人这么小的力量挽救过些人时，她只说了一句话：“我并没有做什么，我只是不断地用语言向他们表达我的关心，我的祝福。”就这样，凭着关爱的语言，莱丝打破了一道又一道沟通的铜墙，在战火纷飞的岁月，她凭着语言去安慰那些受伤的心灵，让他们从痛苦中走出；在瘟疫泛滥的年代，她凭着语言去鼓励那些与病魔斗争的人们，让他们拥有勇气去战胜困难。著有《人性的弱点》一书的著名心理学家卡耐基也是这样，他注重人与人之间语言的沟通，鼓励人们用语言打破隔阂，同时，他自身也停地给别人以鼓励以自信。 可见，语言的力量伟大的，它就如雨果所说的那样：“语言是人们沟通的桥梁，它能化解一切误会，让人们更亲近。”的确，巧妙的语言拉近人的距离；鼓励的语言让自己和他人都更有自信；关爱的语言则使人间充满阳光！ 广东考生作文《语言是风，沟通是帆》 这里都是叙述单个的事例，在使用这个方法的时候，要把最吸引人的部分加以认真的叙述，使读者对事例产生浓厚的兴趣，从而增加文章的吸引力。 （二）多个材料的叙述：列举排比、简短有力采用列举的方式，一口气铺陈若干个事例，形成流泻奔腾的气势，这成为高考作文常用手法。 忙是省略号。四季在有规律地进行着冷暧交替，大自然就一直按照这样的规律不停地忙，为目标而不停地忙，让这种忙一直忙下去，当目标已达成，那么再找一个目标，继续这种忙，就开历史的长卷，我们看见牛顿在忙着他的实验；爱迪生在忙着思考；徐霞客在忙着记载游玩；李时珍在忙着编写《本草纲目》；再看那位以笔为刀和枪在不停地奋斗。忙是省略号， 不等式的证明方法 麦盖提县库尔玛乡中学 买合木提·买买提 2012年12月30日 2 不等式的证明方法 不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。 1．证明不等式的基本方法 1．1比较法 比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下： 比差法。主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。即 ， 0,0,0a b a b a b a b a b a b ->?>- 欲证a b >只需证 1a b > 欲证a b <只需证1a b < 基本解题步骤是：作商——变形——判断。（与1的大小） 例1． 求证： 222(2)5a b a b +≥-- 2 2 2 2 4254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥ 2 2 (44)(21)0a a b b -++++≥ 3 2,1a b ==-时等号成立。 所以222(2)5a b a b +≥--成立。 例2． 已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥ 证： ,a b R +∈ 又 ()a b a b b a a b a a b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b -≥?≥ （1）当a b >时， 1a b >，0a b ->所以()1a b a b -> （2）当a b <时01,a a b o b < <-<所以()1a b a b -> （3）当a b =时不等式取等号。 所以（1），（2），（3）知，不等式a b b a a b a b ≥成立。 1.2．综合法 综合法就是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出，欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。 几个重要不等式：2222()0,(),2,(,a b a b a b ab a b ->≠+≥ 为实数） /2(0,0),//2,(,a b a b a b b a a b +≥ >>+≥同号） /3a b c ++≥a b c ==成立） 例3．已知 a b ≠ 且 ,a b R +∈ 求证： 3322 a b a b ab +>+ 论文的数据分析 大家现在都要写论文的数据分析了……很多同学都一点不会……所以把我知道的跟大家分享一下……下面以PASW18.0为例，也就是SPSS18.0…………什么？不是18.0，好吧……差不多的，凑合着看吧……要不去装个……= =……下面图片看不清的请右键查看图片…… 首先，要把问卷中的答案都输进SPSS中，强烈建议直接在SPSS中输入，不要在EXCEL中输入，再导入SPSS，这样可能会出问题……在输数据之前先要到变量视图中定义变量……如下图 所有类型都是数值，宽度默认，小数点看个人喜好，标签自定，其他默认……除了值…… 讲讲值的设定…… 点一下有三点的蓝色小框框……会跳出一个对话框，如果你的变量是性别，学历，那么就如下图 如果是五点维度的量表，那么就是 记住，每一题都是一个变量，可以取名Q1，Q2……设定好所有问卷上有的变量之后，就可以到数据视图中输入数据啦……如下图 都输完后……还有要做的就是计算你的每个维度的平均得分……如果你的问卷Q1-Q8是一个维度，那么就把Q1-Q8的得分加起来除以题目数8……那么得到的维度1分数会显示在数据视图中的最后……具体操作如下…… 转换——计算变量 点确定，就会在数据视图的最后一列出现计算后的变量……如果你的满意度有3个维度，那么就要计算3个维度，外加满意度这个总维度，满意度=3个维度的平均分=满意度量表的所有题目的平均分…………把你所有的维度变量都计算好之后就可以分析数据啦…… 1.描述性统计 将你要统计的变量都放到变量栏中，直接点确定…… 如果你要统计男女的人数比例，各个学历或者各个年级的比例，就要用描述统计中的频率……如果要统计男女中的年级分布，比如大一男的有几个，大二女的有几个，就用交叉表……不细说了……地球人都懂的………… 2.差异性分析 差异性分析主要做的就是人口学变量的差异影响，男女是否有差异，年级是否有差异，不做的就跳过…… 对于性别来说，差异分析采用独立样本T检验，也可以采用单因素ANOVA分析，下面以T检验为例…… 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 本科生毕业论文 学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 届别 2015 届 题目浅谈中学数学不等式的证明方法 学生姓名徐亚娟 学号 201111401138 指导教师吴万勤 教务处制 云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。本声明的法律结果由本人承担。 毕业论文(设计)作者签名： 日期：年月日 …………………………………………………………………………… 关于毕业论文(设计)使用授权的说明 本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。 （保密论文在解密后应遵守） 指导教师签名：论文(设计)作者签名： 日期：年月日 目录 摘要 (4) 引言 (6) 1、预备知识 (6) 1.1不等式的概念 (6) 1.2不等式的性质 (6) 1.3基本不等式 (7) 1.4几个重要不等式 (7) 1.4.1柯西不等式 (7) 1.4.2伯努利不等式 (7) 2、证明不等式的常用方法 (7) 2.1比较法 (8) 2.1.1求差法 (8) 2.1.2求商法 (8) 2.1.3过度比较法 (8) 2.2分析法 (9) 2.3综合法 (9) 2.4缩放法 (10) 2.4.1放缩法的常见技巧 (10) 2.5反推法 (10) 2.6数学归纳法 (11) 2.7反证法 (11) 2.7.1反证法的基本思路 (11) 2.7.2反证法的步骤 (11) 2.8判别式法 (12) 2.9等式法 (12) 2.10中值定理法 (12) 2.11排序法 (12) 2.12分解法 (13) 2.13函数极值法 (13) 3 .利用构造法证明不等式 (13) 3.1构造函数模型 (13) 3.1.1构造一次函数模型 (14) 3.1.2构造二次函数模型 (14) 3.1.3构造单调函数证明不等式 (14) 3.2构造复数模型 (14) 3.3构造方程法 (15) 4.换元法证明不等式 (15) 4.1.三角换元法 (15) 4.2均值换元 (16) 如何在议论文中事例的引用 一篇优秀的议论文除了要有深刻的主题、清晰的结构、飞扬的文采外，还需要对事例进行引用以及分析的艺术。只要我们这些“巧妇”巧运用、妙分析事例，就一定能烹制出诱 人的佳肴，谱写成优秀的华章。以下是学习啦小编为大家收集整理的全部内容了，希望大 家会喜欢。欢迎阅读参考! 引用事例以证明、阐析道理，这固然很重要。如果我们在陈述事例时改变一下常规的 叙述思路，就能够迎来一片新天地。古人讲“文质彬彬”，那么我们就从“文”和“质”的角度谈一点巧妙引用事例的技巧。 有的作者在陈述事例时语言枯燥乏味，让文章因之减色，实在令人惋惜。如果我们在 叙述事例时，巧妙地扮靓所用事例，就能使文章的语言闪烁出熠熠光彩，给人清风拂面之感，何乐而不为呢? 1、参差句式 我们根据表达内容的不同需要，有变化地、丰富地使用不同句式，以变换节奏，可以 使语言抑扬有致。变化而不呆板，丰富而不单一，能综合使用各种句式引例，文章既摇曳 多姿，又琅琅上口。例如一位考生在阐述“适合，才是最好的”这一主题时，例举了唐山十 三兄弟。他这样写道： 苍鹰自在地翱翔，因为它有适合自己飞翔的双翅去搏击天空;骏马奋力奔驰，因为它有适合腾奔的双腿来驰骋草原。感动中国十大人物之一――唐山十三兄弟，千里奔波，不是 归途;雪中送炭，不是亲戚;出手救援，不是邻居;迅速行动，不是命令。在他们心中只有适 合灾区才是最好的。 2、设问句式 运用设问句式自问自答，既能有力地凸显文章的观点，又给人耳目一新之感，收到良 好的效果。例如一位考生在阐述“拼搏方能成功”时，举了铁人王进喜的例子，他这样写道： 是谁?让自己的画像和雷锋、焦裕禄等名人并列在一起;是谁?让一代伟人毛泽东在外国 友人面前多次提起自己的名字;是谁?连续打破钻井的纪录;是他，号称铁人的王进喜。这一 切成功都是他靠拼搏取得的。 3、排比例举 不等式的证明方法 摘要 不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考． 关键词：不等式；证明；方法 Methods for Proving Inequality Abstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers. Key words: inequality; proof; method高中不等式的证明方法
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