答案 数列通项公式和求和的基本方法与技巧
数列通项公式的求法
一 求数列通项公式n a 常用方法 数列满足的递推公式 方法
由n S 求n a
?
??=n S
)(1n f a a n n =--（如n a a n n 21=--） 累加法 )(1n f a a n n =-（如n n n a a
21
=-） 累乘法
p qa a n n +=-1（如121+=-n n a a ） 构造数列{}λ+n a 为公比q 的等比数列 λ
λ+=
--11
n n n pa a a （如1211
+=
--n n n a a a ）
取倒数，构造数列?
??
??
?n a 1为等差数列 n n n q pa a +=-1（如n n n a a 221+=-） 在原递推等式两边同除n q ，构造数列
n n
n q
a b =
，再进一步解决。 注意：选择用哪一种方法求通项公式，关键是看已知条件数列满足的递推公式。 有时要用上两种以上方法才可以求解。 二.观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2） ,17
164,10
93,5
42,2
11
（3） ,5
2,2
1,3
2,1 （4） ,5
4,43,32,21--
三.公式法
例2. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）
(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n
(C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n
三.由n S 求n a ：??
?-=-11n n n S S S a )
2()1(≥=n n 例3.已知数列}{n a 的前n 项和，求n a
（1）212n n S n -= ; （2）n n S 2=
例4.若数列}{n a 的前n 项和32
3-=n n a S ，求该数列的通项公式。
已知数列{}n a 中，6,121==a a ，，其前n 项和n S 满足)3(23212≥+=+--n S S S n n n n 求数列{}n a 的通项公式；
例8、已知等差数列}{n a 的公差d=1，且1a ，3a ，9a 成等比数列。 （1）求}{n a 的通项公式； （2）求23741-++++n a a a a
例5.已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足21056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项.n a
例6 定义运算符号：“
∏
”，这个符号表示若干个数相乘，例如,可将1×2×3×…×n 记作
*
1
()n
i i n =∈∏N ，记∏=n i
i
n
a
T ，其中i a 为数列*
{}()n a n ∈N 中的第i 项．
若2*
2()n T n n =∈N ，则n a ＝ ．
设数列{}n a 满足211233333
n n n
a a a a -++++=
…，a ∈*N ．求数列{}n a 的通项；
例7.数列}{n a 的前n 项和记为S n ，已知).3,2,1(2
,111 =+=
=+n S n
n a a n n 证明： （Ⅰ）数列}{n
S n
是等比数列；
（Ⅱ）.41n n a S =+
四.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）
（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.
例7.已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,写出数列{}n a 的通项公式.
练习：1、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈，写出数列{}n a 的通项公式.
2、已知数列{}n a 满足()
(),211
,111≥-+
==-n n n a a a n n 写出该数列的一个通项公式
例8数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,证明 （Ⅰ）数列}{1n n a a -+是等比数列；（Ⅱ）数列{a n }的通项公式。
19. 已知数列{}n a 满足11a =，λλ,(2*1N n a a n n n ∈?+=+为常数，且1a ，22a +，3a 成等差数列.
（1）求λ的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设数列{}n b 满足2
3
n n n b a =+，求证：169≤n b .
19.(1)∵1a ，2+2a ，3a 成等差数列，∴()2132+2=+a a a （1）
∵+1=+2n n n a a λ?n N ∈*，那么21=+2a a λ（2） 32=+4a a λ（3） 将（2），（3）代入（1），得
21221112+4=++4+4=+4 +2+4=+42+4=42=4=2
a a a a a a a λλ
λλλλλλ?????
∴将=2λ?代入+1=+2n n n a a λ?，得+1+1=+2n n n a a ，即+1+12n n n a a -=
22133244312 2 2 2n
n n a a a a a a a a -∴-=-=-=-=
以上列等式的左边叠加得21324311 n n n a a a a a a a a a a --+-+-++-=- 以上列等式的右边叠加得()21234121222222412
n n n -+-++++=
=--
即1124n n a a +-=-，又∵11a =，∴1112423n n n a a ++=-+=- 检验知111231a +=-=也成立，故通项公式为1112423n n n a a ++=-+=-
（2）∵22211032332
n n n n n n n b a ++===>+-+
()()()()222
2
111111122
2
2
2
2
11122222111111 1222n n n n n n n n n b n b n n n n n n n
++++++++++∴=÷=?=++????=?=?=?+ ? ????? ∵2
1112n ??
?+ ???
在n N +∈上单调递减，
且当2n ≤时，2
11112n ??
?+> ???，即11n n b b +>，∴123b b b <<
当3n ≥时，2
11112n ??
?+< ???
，即11n n b b +<，∴345b b b >>>
可知数列{}n b 中3b 为最大项，而233139
162
b +==，
∴916
n b ≤
五.形如
)(1
n f a a n
n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：
q a a n
n =+1
（其中q 是不为0的常数）
，此数列为等比且n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.
例8.在数列}{n a 中111
,1-+==n n a n n
a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
练习：1、已知()
*11)(,1N n a a n a a n n n ∈-==+,求数列{}n a 通项公式。
2、求数列)2(1
232,11
1≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
六.形如s
ra pa a n n n +=
--11
型（取倒数法）
例9.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1
211
≥+=
--n a a a n n n ，求通项公式n a
2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .
七．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）
若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,利用待定系数法求出λ。 例10．已知数列}{n a 中，,2
12
1,211+==+n n a a a 求通项n a .
2、若数列}{n a 中，11=a ,13
21+=+n n a a ,求通项公式n a 。
八.形如n n n q pa a +=+1型（构造新的等比数列） 方法1：可构造等比数列{}1-+n n q a λ()是常数λ，可以用待定系数法确定常数λ。
方法2：两边同除以1
+n q
. 即：
q
q a q p q a n n n n 11
1+?=
++, 令n
n n q a b =,则可化为q b q p b n n 11+?=+.然后转化为类型七来解，
例。已知数列{}n a 满足111,33n n n a a a +==+，（1）证明数列{n
n
a 3}是等差数列；（2）求n a 的通项公式；
练习：已知数列{}n a 满足n n n a a a 32,111+==+，求n a ；
九.形如11-++=n n n qa pa a (其中p,q 为常数)型，可构造等比数列{}是常数）λλ(1n n a a ++ 例13.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a .
数列求和的基本方法与技巧
一、利用常用求和公式求和（定义法）
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q q a q na S n n n
例1 等比数列{}n a 中，（1）若.,8,7321321n a a a a a a a 求==++ （2）,2
9
,2333==
S a 求n a 及前n 项的和n S 。（用两种方法求公比q ）
例 求和：n
x x x x ++++ 32
练习 1.有穷数列{}n a ，n S 为其前n 项和，定义n
S S S S T n
n +???+++=
321为数列{}n a 的“凯森和”，
如果有99项的数列99321,,,,a a a a ??????的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，99321,,,a a a a ???的 “凯森和”=100T .
二、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：
（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)1
21121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n a n （3）()=+21n n （4）)
12)(12(211
--=+-n
n n n a =___________________ （5）n n n
n a n -+=++=
111
;（6）])2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
例2、求和：（1）n
++++
++++++3211
32112111。
例3等差数列{}n a 各项均为正整数，,31=a 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11=b ，且{}
n a b S b ,6422=是公比为64的等比数列。（1）求{}n a 与{}n b ；（2）证明：.4
31.......1121<+++n S S S
练习.A 组题 1.求数列
???++???++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和。
2.已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .
(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1
(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n .
B 组题3数列{}n a 的各项均为正数，n S 为为其前n 项和，
对于任意*N n ∈,总有2
,,n n n a S a 成等差数列。 （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21
n
n a b =
.求证：对任意的正整数n ，总有2 4.若{}n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n 均在函数y ＝x x 2 1 232-的图像上． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3 = b ，T 是数列{}b 的前n 项和，求使得m T <对所有n N *∈ 都成立的 最小正整数m ． C 组题5已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥，令1 1 n n n b a a += ?． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()12x f x -=，求证：()()()121126 n n T b f b f b f n =+++< （1n ≥）． 三、绝对值求和 例4设数列{}n a 的通项公式为() ,72*N n n a n ∈-= （1）求2021a a a +++。。。; (2)求n a a a +++。。。21 四、分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。【例如：数列n n n b a C ±=，其中数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列（如：n C n n +=2）】 （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ． （3）设n n a n c = ，求数列{}n c 前n 项和n H 练习1. 求 1 1111111111个n ???+???+++之和 2.123(235)(435)(635)...(235)n n S n ----=-?+-?+-?++-?； 五．错位相减求和法 数列n n n b a C =，其中数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，（如：n n n C 2=） 正确实施错位相减法的步骤与注意事项 ① 先写通项公式型如{}n n n n a b a c (,?=是等差数列，{}n b 是等比数列,公比为q ） ② 再列方程组??? ??++++=++++=+---1 132********.......n n n n n n n n n n b a b a b a b a qS b a b a b a b a S ，共写四项，错位排列！ ③ 实施相减，合并同类项，注意最后一项为负数! ④ 部分等比数列求和，注意项数!整理求出S n 。 例6．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n － 1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 例7设数列{}n a 是等比数列，对任意* n N ∈，()12335...21n n T a a a n a =++++-， 已知11T =，27T =。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求使得()1260n n T T +<+成立的最大正整数n 的值。 解 （2）()()2112335...2113252...212n n n T a a a n a n -=++++-=+?+?++-?。。。。。。① ()()2312123252...232212n n n T n n -=?+?+?++-?+-?。。。。。。② ①-②: ()()1 2 3 1 42221222222 (22) 212121212 n n n n n T n n ---??-=+?+?+?++?--?=+--?- ()3223n n =-?-，所以()2323n n T n =-?+。 【这是错位相减法】 练习A 组题 1已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，21a a +，()412a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列? ?? ?? ?-12n n a 的前n 项和为n S ，求证：6 212114()2()a a a a a ∴+=+，故有)62(2)22(1121+=+a a a ， 解得11=a ，12(1)21n a n n ∴=+?-=-. （2）1121 22---=n n n n a 12102 12...252321--++++=n n n S ① =n S 21 n n 212...252321321-++++ ② ①-②得n n n n S 212)21...212121(21211321--++++=-n n n 2122 11)21 1(21211----?+=- n n n 21221212---+=-)21224(3n n n -+-=n n 23 23+- = 123 62n n n S -+∴=-. 0232,1*>+∈-n n N n ，123 662n n n S -+∴=-<. B 组题 已知首项为 3 2 ，公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22S -，3S ，44S 成等差数 （1）解：由题意得324224S S S =-+， …………………………………………1分 即()()42430S S S S -+-=， 即()4340a a a ++=. ………………2分 ∴ 431 2 a a =-. …3分 ∴ 公比12q =-. …………4分 ∴ 1 3122n n a -?? =?- ? ?? . …………………………………………5分 另解：由题意得324224S S S =-+，1q ≠， …………………………………………1分 ∴ ()()()3241111121111a q a q a q q q q ---=- + ---. …………………………………………2分 化简得2 210q q --=，解得1 2 q =- ， …………………………………………4分 ∴1 3122n n a -??=?- ? ?? . …………………………………………5分 （2）解：1 313222n n n n n b n a n -?? ==??= ? ?? ， …………………………………………6分 ∴ 12312336932222 n n n n T b b b b =++++=++++ ， ① ……………………………7分 ()23131136 322222 n n n n n T +-=++++ ， ② …………………………………………8分 ①-②得，1231133333222222n n n n T +=++++- 1 11132231212 n n n +?? ?- ???=? -- 13632n n ++=-，………10分 ∴ 36 62n n n T +=-. ………………………………………12分 ∴ 6 662 n n n T b +=-<. C 组题.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11S =， 1n n S n c S n ++=（c 为常数，1c ≠，*n ∈N ），且123,,a a a 成等差数列．（1）求c 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n b 是首项为１，公比为c 的等比数列，记1122n n n A a b a b a b =++ + ，11122(1)n n n n B a b a b a b -=-++- ，*n ∈N ．证明：224 3(14)3 n n n A B +=-． 解： （1）∵1S =， 1n S n c ++=，∴11n n n n c a S S S ++=-=，-------------------------2分 ∴1121321,,(1)22 c c a S a cS c a S c ===== =+． ∵123,,a a a 成等差数列，∴2132a a a =+，即(1)212 c c c +=+ ，∴2 320c c -+=．----------5分 解得2c =，或1c =（舍去）．-----------------------------------------------------------------6分 （2）∵11S =， 12 n n S n S n ++= ， ∴2111341(1)1(2)1212 n n n S S n n n S S n S S n -++=? ??=????=≥- ，-------------------8分 ∴1(1)(1) (2)22 n n n n n n n a S S n n -+-=-= -=≥，------------------------------------------9分 又11a =，∴数列{}n a 的通项公式是()n a n n *=∈N ．-----------------------------------10分 （3）证明：∵数列{}n b 是首项为１，公比为c 的等比数列，∴1n n b c -=．---------11分 ∵2112222n n n A a b a b a b =+++ ，2112222n n n B a b a b a b =-+- ， ∴22113321212()n n n n A B a b a b a b --+=+++ ， ① 222244222()n n n n A B a b a b a b -=++ + ， ② ①式两边乘以c 得 221234212()2()n n n n c A B a b a b a b -+=+++ ③ 由②③得 ()()()222222212434221232122 (1)(1)()222(1)1n n n n n n n n n n n c A c B A B c A B a a b a a b a a b c c c c c c ----+=--+=-+-++-???? ?? =+++?? -= - 将2c =代入上式，得224 3(14)3 n n n A B += -．-----------------------------------------14分 另证: 先用错位相减法求,n n A B ,再验证2243(14)3 n n n A B +=-. ∵数列{}n b 是首项为１，公比为2c =的等比数列，∴12n n b -=． --------------11分 又()n a n n *=∈N ，所以 01212122222n n A n -=?+?++? ① 01212122222n n B n -=?-?+-? ② 将①乘以2得: 12222122222n n A n =?+?++? ③ ①－③得: 20 1 21 2221(12) 222 222212 n n n n n A n n ---=+++-?=-?- , 整理得: 24(21)1n n A n =-+ -------------------------12分 将②乘以2-得: 12222122222n n B n -=-?+?-+? ④ ②－④整理得: 20 1 2 212 2 21(12)14 32222222224 1(2) 3 n n n n n n n B n n n - --=-+-+ -? =-?=-?-- -----------------------------------------13分 ∴ 224 3(14)3 n n n A B += - -----------------------------------------14分 倒序相加法： 等差数列前n 项和公式的推导，是先将和式中各项反序编排得出另一个和式，然后再与原来的和式对应相加，从而解得等差数列的前n 项和公式，利用这种方法也可以求出某些数列的前n 项和. 例8.已知a xy =)lg(，求S ，其中n n n n y y x y x x S lg )lg()lg(lg 221 +???+++=-- 例9.设函数()x f 对任意R x ∈都有()().2 1 1=-+x f x f (1)求??? ??21f 及() * 11N n n n f n f ∈?? ? ??-+??? ??的值； (2)若数列{}n a 满足()()11210f n n f n f n f f a n +?? ? ??-+???+??? ??+?? ? ??+=，求数列{}n a 的通项公式； (3)若,1 41-=n n a b 证明：.22 232 221<+???+++n b b b b 数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 （1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列 的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式： （1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L 求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广） 数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； 【方 a n a S n 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 亠、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和 S i (n 1) S n S n 1 (n 2 ) S n 1 ”代入消兀消a n 【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况 ［例 U . ( 1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n , 且对 任意的正整数n 满足2\金 如1 ,求数列｛a n ｝的 通项公式。 (2)数列｛a n ｝中，印1对所有的正整数n 都有 a 1 a 2 a 3 L a n 『， 求数列 ｛a n ｝ 的通项公式 【作业一】 2 n 1 n * 1 — 1 ■数列 a n 满足 a 1 3a 2 3 a 3 L 3 a n - (n N ) , 求数列a n 的通项公式. (二).累加、累乘 a 型如 a a f(n) , am f (n ) 型一：a n a n 1 f (n)，用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 a n a n 1 f(n), a n 1 a n 2 f(n 1), a2 a1 f (2) n 2, 从而a n a1 f (n) f(n 1) L f (2),检验n 1 的情况型二：|电f(n)，用累乘法求通项公式(推导等比a n1 数列通项公式的方法) 【方法】n 2，亘也L邑f(n) f(n 1) L f(2) a n 1 a n 2 a i 即色f(n) f(n 1) L f(2)，检验n 1的情a1 况 【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有n 1个等式相加(相乘). 1 1 【例2】.(1)已知a1 2，a n a n1 ■n^[(n 2)，求 a n ■ n 2 (2)已知数列a n满足a n1 - 2a n，且a1 n 2 3 求a n . 常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数 列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈， 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法 例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ， 又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式 数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列. 1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 ｛an ｝ 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛ ｝ 2 十2十2+…十2 等比数列 ｛a n ｝ 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习 练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 ｛a n ｝ 是等差数列， ｛b n ｝ 是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 ｛a n ｝ , ｛ b n ｝ 的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21 数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - = 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a . 数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式． （二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 数列通项公式的十种求法 ｛a n ｝的通项公式。 二、累加法 例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3 (n 1)(n 2 n 、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n ， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。 解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開 a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2， 得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是 1(n 丐， 3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 a n 1)3，进而求出数列 -，说明数列 2 解：由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则 a n (a n [2(n 2[(n 2^ a n 1 ) (a n 1) 1) 1)n 2 1 a n 2 ) 1] [2(n 2) (n 2) 1] I 2 1] @3 a 2) L (2 2 1) 1 (a 2 a 1 ) 4 1) (2 1 1) 1 (n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式 为 a n 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3 a 2) (a ?印) a 1，即得数列｛a n ｝的通项公 式。 求数列｛a n ｝的通项公式。 1) 1 数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。 类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。 求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的 通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解 数列求和的基本方法和技巧 关键词：数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式： 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论． (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1 2 2 2-?+n ），……的前顶和为 n s ，则 n s 的值。 二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方 全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解） 1 专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法 学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法； 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法； 3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。 例：已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。 变题1：把①式改为;11+=+n n a a 变题2：把①式改为;21 n n n a a +=+ 小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？ 变题3：把①式改为;11n n a n n a += + 变题4：把①式改为;21 n n a a =+ 小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？ 挑战高考题： 1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+，)*∈N n （。 （1）求n a 2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n a a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？ 通过本节课的学习你收获了什么？ 求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故 11223211 2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1 333333 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++ 求数列通项公式的１1种方法方法 总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号)、 数学归纳法(少用) 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法 二.四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ －--－------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，,求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=++ +++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +,得 11 121 3333 n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结
求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)
数列的通项公式与求和的常见方法
数列求通项公式及求和9种方法
数列的通项公式与求和的常见方法
求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法
数列通项公式与求和的常见解法
数列的通项及求和公式
求数列通项公式及求和的基本方法
数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧
求数列通项公式累乘和累加法
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的11种方法
- 数列通项公式和求和公式总结
- 数列通项公式与求和的常见解法
- 用递推公式求数列通项公式的方法及数列求和的方法精讲与练习(含答案)
- 数列求通项公式及求和9种方法
- 数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)
- 求数列通项公式及数列求和的几种方法
- 数列求通项公式及求和9种方法
- 求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
- 数列通项公式与求和习题(经典)
- 求数列通项公式累乘和累加法
- 数列求通项公式及求和的方法
- 求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)
- 求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)
- 数列通项公式与求和习题
- 数列的通项和求和
- 常见数列通项公式的求法(超好)
- 数列通项公式和求和公式总结
- 求数列通项公式及求和的基本方法
- 数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)
- 数列通项公式与求和习题(经典)