高中数学最常用公式及结论(非常有用)
高中数学常用公式及结论
1. 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??
2.德摩根公式 :();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.
3.包含关系：
A B ??A B A A B B =?=U U C B C A ??U A C B ?=ΦU C A B R ?=
4.元素个数关系：
()()card A B cardA cardB card A B =+- ()card A B C cardA cardB cardC =++
()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.
5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；
非空的真子集有22n -个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2
()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2)顶点式2
()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3)零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为
12(,0),(,0)x x 时，设为此式）
（4）切线式：02
()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相
切且切点的横坐标为0x 时，设为此式）
7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式
()N f x M <
()0()f x N
M f x ->-()()f x N f x M
?>
8.方程)0(02
≠=++a c bx ax 在),(21k k 内有且只有一个实根,等价于12()()0f k f k <或
122240
b k k a b a
c ?
<-
??=-=?。 9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a
b
x 2-
=处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若[]q p a b
x ,2∈-
=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a
=-=； []q p a
b
x ,2?-
=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b
x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，
若[]q p a
b
x ,2?-
=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程2
()f x x px q =++＝0的实根分布
（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为()0f m <或2402
p q p m ?-≥?
?->??；
（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为
()()0f m f n <或22240()0p m n m p q f n +?<-??或22240()0m n p n p q f m +?≤-
-≥??>??
；
（3）方程0)(=x f 在区间(,)m -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402
p q p m ?-≥?
?-
11.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据
(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的不等式()f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (),()f x t x L ≥∈。
(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间L 上含参数的不等式()f x t ≤(t 为参数)恒成立的充要条件是max (),()f x t x L ≤∈。
(3) 在给定区间),(+∞-∞的子区间L 上含参数的不等式()f x t ≥(t 为参数)的有解充要条件是max (),()f x t x L ≥∈。
(4) 在给定区间),(+∞-∞的子区间L 上含参数的不等式()f x t ≤(t 为参数)有解的充要条件是min (),()f x t x L ≤∈。
对于参数a 及函数(),y f x x A =∈.若()a f x ≥恒成立，则max ()a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，则min ()a f x ≤；若()a f x ≥有解，则min ()a f x ≥；若()a f x ≤有解，则max ()a f x ≤；若()a f x =有解，则min max ()()f x a f x ≤≤.（若函数(),y f x x A =∈无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论）.
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否
互逆否互为逆
否
互
互逆
否
互12.真值表
15.充要条件（记p 表示条件，q 表示结论） （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性的等价关系 (1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(x f 和)(x g 都是增函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是增函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数； 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数；如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则
复合函数)]([x g f y =是减函数.
18．奇偶函数的图象特征
轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.常见函数的图像：
20.对于函数y (),)x -恒成立,2b a x +=
;两个函数)(a x f y +=与y 2
b a
x -=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)0,2
(a
对称;
若)()(a x f x f +-=,则函数y a 2的周期函数.
22．多项式函数()n n n P x a x a -=+
多项式函数()P x 是奇函数?(P x )的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?(P x )的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线)()a x f a x +=-(2)()f a x f x ?-=.
(2)函数()y f x =的图象关于直线()()f a mx f b mx +=-
()()f a b mx f mx ?+-=.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数(y f =-0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数y =2a b
x m
+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=对称.
25.若将函数)(x f y =的图象右移b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 0),(=--b y a x f 的图象.
26a b =-)(1
.
27.函数()y f x =与其反函数y f =y x =上。 28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数()f x cx =?(),(1)f x y f c +=. (2)指数函数()x
f x a =?((1)0f x y a +=≠.
(3)对数函数()log a f x x =?()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.
(4)幂函数()f x x α
=?()()(),(1)f xy f x f y f α'==.
(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，
0sin (0)1,lim
1x x
f x
→==.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；
（2）)0)(()(1
)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()
(1
1)(≠+-
=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))
()(1)
()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则)(x f 的
周期T=4a ； 30.分数指数幂
(1)m n
a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.
(2)1m n
m n
a
a
-
=
=
（0,,a m n N *
>∈，且1n >）.
31．根式的性质
（1
）n
a =.
（2）当n
a =；
当n
,0
||,0a a a a a ≥?==?-
.
32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r
s
r s
a a a
a r s Q +?=>∈.
(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r
r r
ab a b a b r Q =>>∈.
注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 34.对数的换底公式 :log log log m a m N
N a
= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
对数恒等式：log a N
a N =(0a >,且1a ≠, 0N >).
推论 log log m n
a a n
b b m
=
(0a >,且1a ≠, 0N >).
35．对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m n
a a n N N n m R m
=∈。
36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42
-=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a 且0a ，且0≥?。
37. 对数换底不等式及其推广：设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则
（1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2
a a a m n m n +<.
38. 平均增长率的问题（负增长时0p <）
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1
)x y N p =+. 39.数列的通项公式与前n 项的和的关系：11,
1,2
n n n s n a s s n -=?=?
-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为
12n n s a a a =+++).
40.等差数列的通项公式：*
11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；
其前n 项和公式为：1()2n n n a a s +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式：1*
11()n n n a a a q q n N q
-==?∈；
其前n 项的和公式为11
(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或11,11,1
n n a a q
q q s na q -?≠?
-=??=?.
42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为
1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=??
=+--?≠?-?
；
其前n 项和公式为：(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q d
b n q q q q +-=??
=-?-+≠?---?
. 43.分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1
n
n
ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式
（1）若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,
)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
45.同角三角函数的基本关系式 ：2
2
sin cos 1θθ+=，tan θ=θ
θ
cos sin ，tan 1cot θθ?=. 46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
2
12(1)sin ,()sin()2(1)s ,()n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数，212(1)s ,()s()2(1)sin ,()
n n co n n co n απαα+?-?+=??-?
为偶数为奇数 47.和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.
sin cos a b αα+
=
)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决
定,tan b
a
?= ).
48.二倍角公式及降幂公式
sin 2sin cos ααα=22tan 1tan α
α
=
+.
2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22
1tan 1tan α
α
-=+. 22tan tan 21tan α
αα=
-. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αα
αα-+==
sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα
-==
+ 49. 三倍角公式
3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππ
θθθθθθ=-=-+.
3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33
ππ
θθθθθθ=-=-+.
32
3tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33
θθππ
θθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式
函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=
；函数tan()y x ω?=+，,2
x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||
T πω=
. 三角函数的图像：
51.正弦定理 ：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?= 52.余弦定理 2222cos a b
c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.
53.面积定理
（1）111
222a b c S ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111
sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.
(3)
OAB S ?=2,2
a b c S r r a b c ?
??+==++斜边内切圆直角内切圆－
54.三角形内角和定理
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+
222
C A B
π+?
=-
222()C A B π?=-+. 55. 简单的三角方程的通解
sin (1)arcsin (,||1)k
x a x k a k Z a π=?=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=?=±∈≤.
tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=?=+∈∈.
特别地,有
sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=?=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=?=±∈.
tan tan ()k k Z αβαπβ=?=+∈.
56.最简单的三角不等式及其解集
sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤?∈++-∈.
sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤?∈-+∈.
cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈++-∈.
tan ()(arctan ,),2
x a a R x k a k k Z π
ππ>∈?∈++
∈.
tan ()(,arctan ),2
x a a R x k k a k Z π
ππ<∈?∈-
+∈.
57.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b = b ·a （交换律）;
(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;
(3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c . 59.平面向量基本定理
如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．
不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
三点A 、B 、C 共线的充要条件： (1)MC MA MB λλ=+-(M 为任意点)
60．向量平行的坐标表示
设a =
11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a
b (b ≠0)12210x y x y ?-=.
53. a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ。
61. a ·b 的几何意义：
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 向量b 在向量a 上的投影：|b |cos θ＝
||
a b
a ?．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.
(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式
12cos ||||
a b
a b x θ?=
=
?+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).
64.平面两点间的距离公式
,A B d =||AB AB AB =
?2(x =-11(,)x y ，B 22(,)x y ).
65.向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则
a ||
b ?b =λa 12210x y x y ?-=.
a ⊥
b (a ≠0)? a ·b =012120x x y y ?+=. 66.线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P
P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则12
12
11x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?
?12
1OP OP OP λλ+=+?12
(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是
123123
(
,)33
x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式
''''
x x h x x h y y k y y k
??=+=-?????=+=-????''
OP OP PP ?=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'
PP 的坐标为
(,)h k .
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'
(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'
C ,则'
C 的函数解析式为
()y f x h k =-+.
(3) 图象'
C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'
C 的函数解析
式为()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'
C ,则'
C 的方程为(,)0f x h y k --=.
(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ?的外心2
2
2
OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=.
（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 71.常用不等式：
（1）,a b R ∈?2
2
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +
∈?
2
a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）333
3(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>
（4）柯西不等式：22222
()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-.
（6）22ab a b a b +≤≤≤
+当且仅当a ＝b 时取“=”号)。 72.极值定理:已知y x ,都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24
1s . （3）已知,,,a b x y R +
∈，若1ax by +=则有
21111()()by ax ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++≥++=。 （4）已知,,,a b x y R +
∈，若1a b x y
+=则有
2()()a b ay bx
x y x y a b a b x y x y
+=++=+++≥++=
73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2
(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简
言之：同号两根之外，异号两根之间.
121212()()0()x x x x x x x x x <
121212,()()0()x x x x x x x x x x <>?--><或.
74.含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
22x a x a a x a
22x a x a x a >?>?>或x a <-.
75.无理不等式 （1
()0()0
()()f x g x f x g x ≥??
>?≥??>?
. （2
2()0
()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥?≥??
>?≥??
?>?
或2
()0()0()[()]()0g x f x f x g x g x ≥≥?????>
2()0()()0
()[()]f x g x g x f x g x ≥??
??
. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,
()()
()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??>?.
(2)当01a <<时,
()()
()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??
77.斜率公式
21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.
78.直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).
两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！）
(4)截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、)
（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '=，方向向量：(,)l B A =- 79.两条直线的平行和垂直
(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-.
(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111
12222
||A B C l l A B C ?
=≠
；②1212120l l A A B B ⊥?+=； 80.夹角公式
(1)21
21
tan |
|1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)12
21
1212
tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2
π. 81. 1l 到2l 的角公式
(1)21
21
tan 1k k k k α-=
+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是
2
π. 82．四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交： (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线
0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直
线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是
0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．
(5)直线系(,,)0F x y λ=与线段1122,(,),(,)AB A x y B x y 相交?1122(,,)(,,)0F x y F x y λλ?≤。 ⑹到定点000(,)P x y 距离为r 的直线系方程：00cos sin cos sin 0
x y r x y θθθθ++--=（其中?是待定的系数）．
83.点到直线的距离 ：
d =
(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域
设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：
若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左。
85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）。
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 2
2
2
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 2
20x y Dx Ey F ++++=(22
4D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ
=+??
=+?.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、
22(,)B x y ). 87. 圆系方程
(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是
1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=
1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ?--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的
方程,λ是待定的系数．
(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :2
2
0x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是
22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．
(3) 过圆1C :22
1110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的
圆系方程是2222
111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．
特别地，当1λ=-时，2222
111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是
121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示：
①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；
②向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴； 88.点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r
P 在圆内.
89.直线与圆的位置关系
1+r 2
r 2-r 直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(2
2
B
A C Bb Aa d +++=
):
0相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .
90.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21
条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .
91.圆的切线方程及切线长公式 (1)已知圆2
2
0x y Dx Ey F ++++=．
①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是
0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++
++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++++=表示过两个切点的切
点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。
②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆222
x y r +=．
①过圆上的000(,
)P x y 点的切线方程为2
00x x y y r +=;
②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±.
(3) 过圆2
2
x y Dx Ey F ++++=外一点00(,)x y 的切线长为l =92.椭圆22221(0)x y a b a b +=
>>的参数方程是cos sin x a y b θθ
=??=?. 离心率c e a ==，
准线到中心的距离为2
a c
，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2
2b a
.
93.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积
21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c =-=-；1221||tan 2
F PF P F PF
S c y b ?∠==。
高中数学常用公式及结论
高考数学常用公式及结论200条 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学公式大全(必备版)
高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐
高中数学公式结论大全(相当全)
高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为 时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或 。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则；
，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或. 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式 (为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是。 (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。
对于参数及函数.若恒成立，则；若 恒成立，则 ；若有 解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 .若函数 无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 13.四种命题的相互关系(上图): 14.充要条件记 表示条件，表示结论 1充分条件：若，则是充分条件. 2必要条件：若，则是必要条件. 3充要条件：若 ，且 ，则 是充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 15.函数的单调性的等价关系 (1)设 那么 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
高中数学常用公式汇总整理
高中数学常用公式汇总及结论 1 、元素与集合的关 系： 2 、集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 3 、二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式： (2) 顶点式：（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式） (3)零点式：（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式） （4）切线式：。（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时， 设为此式） 4、真值表：同真且真，同假或假 5 、常见结论的否定形式;
6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 充要条件： (1) 则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件； （2）且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3) p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件；（4）p ≠> p ，且则P是q的既不充分又不必要条件。 7、函数单调性: 增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。 （2）数学符号表述是：设f（x）在上有定义，若对任意的，都有成立， 则就叫在上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有 成立，则就叫f（x）在上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性： 等价关系： (1)设，那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。
高中数学公式及常见结论
高中数学公式及常见结论 1、有n 个元素的集合有2n 个子集，有（2n －1）个真子集 2、 常见的奇函数：f(x)=kx f(x)=ax 3 ＋bx f(x)= x k f(x)=ax ＋x b f(x)=1 1 +-x x a a f(x)=21121+-x f(x)=21121-+x f(x)=lg(12+x +x) f(x)=lg x x -+11 f(x)=|x+1|－|x-1| 3、 常见的偶函数：f(x)=c (c 为常数) f(x)=ax 2 ＋c f(x)= ax 4 ＋bx 2 ＋c f(x)=（ 21121+-x ）x f(x)=(2 1 121-+x )x f(x)=12+x 4、指数式与对数式： m n a = 1m n m n a a -=， 01a =， log 10a =， log 1 a a =， lg 2lg51 +=， log ln e x x =， log (0,1,0)b a a N N b a a N =?=>≠>， log a N a N =， log log log c a c b b a = ， log log m n a a n b b m = log ()log log a a a MN M N =+;log log log a a a M M N N =-;log log ()n a a M n M n R =∈ 5、若函数f(x)=kx ＋b 是奇函数，则b ＝０ 6、若f(x)= ax 2 ＋bx ＋c 是偶函数，则b ＝０； 若f(x)= ax 2＋bx ＋c 是奇函数，则a ＝c ＝０ 7、若一个函数是奇函数，且在x=０处有定义，则一定有f(０)=０ 8、 若一个函数是偶函数，则f(－x)＝ f(x)＝ f(｜x ｜) 9、 证明一个函数是奇函数的常用方法：①定义法：只要证明f(－x)＝－ f(x) ②求和法：只要证明f(－x)＋ f(x)＝０ 10、证明一个函数是偶函数的常用方法：①定义法：只要证明f(－x)＝ f(x) ②求差法：只要证明f(－x)－ f(x)＝０ 11、函数y= f(x)与函数y= f(－x)的图象关于y 轴对称 如y ＝log 2x 与y ＝log 2（－x ） y ＝２x 与y ＝２ x -＝（ 2 1）x １2、函数y= f(x)与函数y= －f(x)的图象关于x 轴对称
高中数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=，
高中数学常用公式及常用结论-掌门1对1
1 高中数学常用公式及常用结论-掌门1对1 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： 12.ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个 对所有x ， 成立 存在某x ， 不成立 p 或q p ?且q ? 对任何x ， 不成立 存在某x ， 成立 p 且q p ?或q ? 14.四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x += ; 21. 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 24.两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. (3)函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图 象. 26．互为反函数的两个函数的关系 a b f b a f =?=-)()(1. 30.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.
整理高中数学公式结论大全
高 中 数 学 公 式 结 论 大 全 20 年月日A4打印/ 可编辑
高等数学公式导数公式： 基本积分表：
三角函数的有理式积分： sinx= 2u 1+u2，cosx= 1?u2 1+u2，u=tg x 2，dx= 2du 1+u2 一些初等函数：两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A sin cos tg ctg -α-sinαcosα-tgα-ctgα 90°-αcosαsinαctgαtgα 90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα 180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα
180°+α-sinα-cosαtgαctgα 270°-α-cosα-sinαctgαtgα 270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα 360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式：·和差化积公式：
·倍角公式： ·半角公式： sin α2=±√1?cosα2 cos α2=±√1+cosα2 tg α2=±√1?cosα1+cosα=1?cosαsinα=sinα1+cosα ctg α2=±√1+cosα1?cosα=1+cosαsinα=sinα 1?cosα ·正弦定理：a sinA = b sinB = c sinC =2R ·余弦定理：c 2=a 2+b 2?2abcosC ·反三角函数性质：arcsinx =π2?arccosx arctgx =π 2?arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： (uv)(n)=∑C n k u (n?k)v (k) n k=0 u (n)v +nu (n?1)v ′+ n(n ?1)2!u (n?2)v ′′+?+n(n ?1)?(n ?k +1)k! u (n?k)v (k)+?+uv (n) 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)=f ′(ξ)(b ?a) 柯西中值定理：f(b)?f(a)F(b)?F(a)= f ′(ξ) F ′(ξ) 当F(x)=x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 曲率：
数学常用公式精致版
MBA 数学常用公式 初等数学 一、初等代数 1. 乘法公式与因式分解： （1） 222 )2a b a ab b ±=±+（ （2） 2222)222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（ （3）22()()a b a b a b -=-+ （4） 33223)33a b a a b ab b ±=±+±（ （5）3322()()a b a b a ab b ±=±+ 2. 指数 （1）m n m n a a a +?= （2）m n m n a a a -÷= （3）()m n mn a a = （4）()m m m ab a b = （5）()m m m a a b b = （6）1m m a a -= 3. 对数（log ,0,1a N a a >≠） （1）对数恒等式 log a N N a =，更常用ln N N e = （2）log ()log log a a a MN M N =+ （3）log ()log log a a a M M N N =- （4）log ()log n a a M n M = （5 ）1log log a a M n = （6）换底公式log log log b a b M M a = （7）log 10a =，log 1a a = 4.排列、组合与二项式定理 （1）排列 (1)(2)[(1)]m n P n n n n m =--???-- （2）全排列 (1)(2)321! n n P n n n n =--?????=
l O b b a A C （3）组合 (1)(2)[(1)] ! !!()!m n n n n n m n C m m n m --???--==- 组合的性质： （1）m n m n n C C -= （2）1 11m m m n n n C C C ---=+ （3）二项式定理 01111n n n n n n n n n n C a C a b L C ab C b ---=++++n （a+b) ● 展开式特征： 1）11,0,1,...,k n k k k n k T C a b k n -++==通项公式：第项为 2）1n +项数：展开总共项 3）指数： 1100;a n b n ???→???→逐渐减逐渐加的指数：由； 的指数：由各项a 与b 的指数之和为n 4）展开式的最大系数： 212132n n n n C n C +++n 当n 为偶数时，则中间项（第项）系数最大 2n+1当n 为奇数时，则中间两项（第和项）系数最大。 2 ● 展开式系数之间的关系 1）n r n C -=r n C ，即与首末等距的两相系数相等。 1 2.2n n n n n C C C ++=），即展开式各项系数之和为2n 0241 35 132,n n n n n n n C C C C C C -++=++=）即奇数项系数和等于偶数项系数和 二、平面几何 1. 图形面积 （1）任意三角形 11sin 22S bh ab C == (2)平行四边形：sin S bh ab ?== (3)梯形：S ＝中位线×高＝1 2（上底＋下底）×高 （4）扇形： 21 1 22S rl r θ== 弧长 l r θ=
高一数学必修四(公式总结)
高一数学公式总结 复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” ◆听得懂 想得通?记得住?说得出?用得上
高中数学常用公式及知识点总结
高中数学常用公式及知识 点总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
高中数学常用公式及知识点总结 一、集合 1、N 表示N+(或N*)表示Z 表示 R 表示Q 表示C 表示 2、含有n 个元素的集合，其子集有个，真子集有个，非空子集 有个，非空真子集有个。 二、基本初等函数 1、指数幂的运算法则 m n a a =m n a a ÷=()m n a =()m a b = n m a =m a -=()m ab = 2、对数运算法则及换底公式（01a a >≠且，M>0,N>0） log log a a M N +=log log a a M N -=log n a M = log a N a =log a b =log a a = log log a a a b =1log a = 3、对数与指数互化：log a M N =? 4、基本初等函数图像
（3）幂函数的图像和性质 三、函数的性质 1、奇偶性 （1）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=，则()f x 为函数，图像关于对称； （2）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=-，则()f x 为函数，图像关于对称； 2、单调性 设1122,[,],x a b x x x <∈，那么 12()()0()[,]f f f x x a b x --） 12()()0()[,]f f f x x a b x ->?在上是函数。（即 1212 ()() 0f x f x x x -<-） 3、周期性 对于定义域内任意的x ，都有()()f x T f x +=，则()f x 的周期为； 对于定义域内任意的x ，都有1 () ()()()f x f x T f x +=-或 ，则()f x 的周期为； 四、函数的导数及其应用 1、函数()y f x = 在点0x 处的导数的几何意义
高中数学常用公式(超级实用).
【高中数学常用公式】 说明： 1.本篇所有公式都是用公式编辑器录入。 2.域的概念:本篇的公式都是通过域来实现的，一个{ }就是一个域，在大括号内输入所需的功能代码后按Shift+F9即可得到公式。 3.快捷键 Ctrl+F9添加域 Shift+F9更新域（得到公式） 4.可对所有公式进行复制、粘贴、修改。双击即可在公式编辑器中进行编辑。如不能编辑请安装最新版的公式编辑器。 5.可收藏备用，绝对高效。 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学常用公式及常用结论
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学公式大全(文科)
高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 2 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集 有22n -个. 3 二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2) 顶点式2 ()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时， 设为此式） （4）切线式：02 ()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的 横坐标为0x 时，设为此式） 4 真值表： 同真且真，同假或假 5 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件； （2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件； 4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。 6 函数单调性: 增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。 （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
高中数学公式及结论总结(完整版)
高中数学常用公式及结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2. 包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 3. 容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ 4. 德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <-
? 11 ()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21