压缩感知中的优化算法研究
目录
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摘要............................................................................................................................IV Abstract........................................................................................................................IV 主要符号表..................................................................................................................IV 目录.............................................................................................................................II 第一章绪论 (1)
§1.1选题背景及研究意义 (1)
§1.2主要思想 (1)
§1.3数学问题 (2)
第二章信号稀疏恢复的两个改进的坐标下降法 (1)
§2.1引言 (1)
§2.2坐标下降法最初的改进 (2)
关于算法2的数值实验 (7)
§2.3新的坐标下降法之二 (9)
§2.4修正的坐标下降法的收敛性 (10)
§2.5新的坐标下降法数值实验 (13)
§2.6新的坐标下降法和Bregman迭代结合 (14)
§2.7Breg-proposed与其他著名算法的比较 (17)
§2.8总结 (20)
第三章一个新的匹配追踪法在压缩感知中的应用 (21)
§3.1引言 (21)
§3.2最小化 (22)
§3.2正交匹配追踪(OMP) (22)
§3.3两种方法的优势与挑战 (24)
§3.4正则化的正交匹配追踪(ROMP) (24)
§3.5本文提出的算法 (25)
§3.6定理的证明 (27)
§3.7数值实验 (29)
§3.8总结 (32)
参考文献 (33)
致谢 (36)
压缩感知中的优化算法的研究
第一章绪论
§1.1选题背景及研究意义
在高度数字化时代的今天，信号已经成为人类获取，表达及互换信息的重媒介.随着计算机水平的快速发展，我们在接受的信息中几乎都可以用数字的形式传达.所以数字图像处理在社会与科学各个领域得到了广泛应用，比如：遥感航天[1]、医学成像[3]、天文、通信等.但是在信号的形成、储存及运输的过程中，由于受各方面的影响，很可能使得图像质量有所退化.这主要典型表现为以下几个方面：图像的噪音、模糊不清、分辨率偏低、甚至几何失真等等.这也为将来的研究工作，带来了巨大的困难.因此，为了符合实际生产生活中的需要，获得令人满意的清晰图片，保证信噪比和分辨率，已经成为许多科研工作者们关注的重点对象.降低图像中的噪音、模糊和修复图像[4]等这些个工作是十分基础而又具有重大意义.
§1.2主要思想
压缩感知是指利用少量的具有某些不连贯的性质的线性测量，来恢复一个稀疏的输入信号.这个最近兴起领域是源于当时信号压缩方法的不完善.在传统的信号处理中，通常是获取整个信号之后再将其压缩，这个方法受到了Donoho的质疑.实际上，这个方法使用了巨大的资源来获取通常非常大的信号，仅仅在压缩的过程中丢掉一些信息.这自然就会产生疑问，是否我们能够结合这两个过程，在感知信号或者其主要部分的时候只用少量的线性测量呢？最近在压缩感知领域的研究工作已经肯定地回答了这样一个问题，并且这个领域将持续的产生一系列令人鼓舞的出色成果.
当然，压缩感知中最主要的目的是利用少量的非适应的线性测量来精确高效的重构信号。在本文中，信号都用向量表示，在许多应用中，可以代表图像。众所周知，线性代数表明，通常情况下是不太可能在不完整的线性测量下来恢复任意的信号.于是，我们必须要限制一下信号的定义域.为了达到这个目的，我们考虑稀疏信号，即只有少量非零元素的信号。我们都知道有许多信号比如图像和雷达信号在某种意义下都是稀疏的.
由于稀疏信号处于一个更低的维度空间，所以我们有理由相信稀疏信号有被少量线性测量恢复出来的可能。这是可行的，但是问题是怎么确定该信号是位于哪一低维度的子空间里。也就是说，我们只知道有少量的非零元素，但是我们需要确定非零元的位置在哪。压缩感知领域已经提供了大量恢复算法，并且大部分都是切实可行的。
优化恢复算法中，有几个重要的特性是必须拥有的。首先，算法必须是快速的，只有这样才能有效地恢复信号.当然内存要求越少越好。然后，算法应该提供一致保证性，这意味着对于一个给定的特殊恢复算法，它要具备恢复所有稀疏信号的能力。我们希望，算法对测量次数要求得越少越好.线性代数的知识告诉我们，如果一个信号是s稀疏的，那么理论上恢复该信号是需要2s次测量。然而，仅仅只利用这个性质是不够的，因为这需要搜索指数规模的所有可能的低维
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