文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 概率论试题精选

概率论试题精选

10.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ).

A.r

r

P 365

1365

-

B. r

r r C 365

!365? C. 365

!1r -

D. r

r 365

!

1-

14.设事件A,B 是互不相容的,且()0,()0P A P B >>,则下列结论正确的 是( A ). A.P(A|B)=0

B.(|)()

P A B P A = C.()()()P A B P A P B

= D.P(B|A)>0 15.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为6

1

,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( D ).

A.1

B.

21 C. 52 D. 3

2 16.已知11

()()(),()0,()(),

416

P A P B P C P A B P A C P B C ======则事件A,B,C 全不发生的概率为( B ). A.

8

1

B.

8

3 C.

8

5 D.

8

7 18.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2,现随机取一个箱子,再从中随机取出一个球,则取到白球的概率为( C ). A.

13

5 B.

45

19 C.

15

7 D.

30

19 2.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( B ). A.2

-e

B.25

1e

-

C.241e

-

D.221e

-

. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( D ). A.4

}{a

b b X a P -=

≤≤ B.43

}63{=<

C.1}40{=<

D.2

1

}31{=≤<-X P

4.设),

4,(~μN X 则( C ).

A.

)1,0(~4

N X μ

-

B.2

1

}0{=≤X P C.)

1(1}2{Φ-=>-μ

X P

D.0≥μ

5.设=

≥=≥}1{,9

5

}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( A ). A.

2719 B.

91

C.3

1

D.27

8

6.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X

f x Y X =-+则的密度函数为( B ). A.13

()22X y f --

- B.

13

()22X y f -- C.13

()22

X y f +--

D.13()22

X y f +- 7.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件(D ). A.1

)(0≤≤x f

B.)(x f 为偶函数

C.)(x f 单调不减

D.

()1f x d x +∞

-∞

=?

10.设X 的密度函数为3

,01

()20,x x f x ?≤≤?=???其他,则1{}4P X >为(A ).

A.7

8

B.

14

32

x dx +∞?

C.143

12

xdx -∞

-

?

D.

3

2 11.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( B ). A.0.2417

B.0.3753

C.0.3830

D.0.8664

13.设),,(~2

σμN X 则下列叙述中错误的是( A ). A.

)1,0(~2

N X σμ

-

B.)

()(σμ

-Φ=x x F C.{(,)}()()a b P Xa b μ

μ

σ

σ

--∈=Φ-Φ D.)

0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σ

μ 14.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012

=++Xx x 有实根的概率是( B ).

A.0.7

B.0.8

C.0.6

D.0.5

8.已知sin(),0,,(,)~(,)40,

C x y x y X Y f x y π?

+≤≤?

=???其他则C 的值为( D ).

A.

2

1

B.22

C.12-

D.12+

9.设?????≤≤≤≤+=其他,

02

0,10,3

1

),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( A ) A.

7265 B.727 C.721 D.72

71

10.为使?

??≥=+-其他,00

,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( B

).

A.0

B.6

C.10

D.16

12.设?????≤≤≤≤=其他,

01

0,20,23),(~),(2

y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为

顶点的三角形内取值的概率为( C ).

A. 0.4

B.0.5

C.0.6

D.0.8 3. (X,Y )是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( D ).

A. EY EX XY E ?=)(

B. DY DX Y X D +=+)(

C. DY DX Y X D +=-)(

D. X 与Y 独立 4. X,Y 独立,且方差均存在,则=-)32(Y X D ( C ). A.DY DX 32- B. DY DX 94- C. DY DX 94+ D. DY DX 32+ 6.若0),(=Y X Cov ,则下列结论中正确的是( C ). A. X,Y 独立

B. ()D XY DX DY =?

C. DY DX Y X D +=+)(

D. DY DX Y X D -=-)(. 11.下式中错误的是( D ).

A. 2

2)(EX DX EX += B. DX X D 2)32(=+

C. b EY b Y E +=+3)3(

D. 0)(=EX D

14. 随机变量??

???≤>=-0,00

,101)(~10

x x e x f X x

,则)12(+X E =( C ).

A.

110

4

+ B. 41014?+ C. 21 D. 20

16. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则( A ). A. EY=0 B. DY=2 C.~(0,1)Y N D.~(0,2)Y N

19. 设???<<=其他

,01

0,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中

“21

X ”出现的次数,则DY=( A ). A . 169 B. 916 C. 43 D. 3

4

1. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( A ).

A. 91≤

B. 31≤

C. 91≥

D. 3

1

≥ 7. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则21

1()1n

i i X X n =--∑是( D ).

A.样本矩

B. 二阶原点矩

C. 二阶中心矩

D.统计量

9. 设12,,n X X X ,是来自总体)1,0(N 的简单随机样本,则∑=-n

i i

X X

1

2)(服从分布为( B

).

A .)(2n x B. )1(2

-n x C. ),0(2n N D. )1,0(n

N

5. 设总体X 的密度函数是???<<=-其他,

01

0,),(1x ax a x f a (120),,,,n a x x x > 是取自总体的

一组样本值,则a 的最大似然估计为( B ). A. ∑=-

n

i i

x

n

1

ln

B. 11ln n i i x n =∑

C. 11

ln()n

i i x n =-∑ D. ∑=-n i i

x n 1ln

7. 设总体X 的数学期望为μ,方差为2

σ,),(21X X 是X 的一个样本, 则在下述的4个估计量中,( C )是最优的.

(A) 2115451?X X +=μ

(B) 21241

81?X X +=μ

(C) 2132121?X X +=μ

(D) 2143

1

21?X X +=μ 9. 设n X X ,,1 是来自总体X 的样本,且μ=EX ,则下列是μ的无偏估计的是(D ).

)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n

i i X n 21 )(D ∑-=-11

11n i i X n 12. 设),(~2σμN X 且2

σ未知,若样本容量为n ,且分位数均指定为“上侧分位数”时,则μ的95%的置信区间为( D )

A. )(025.0u n

X σ

±

B. ))1((05.0-±

n t n

S X

C. ))((025.0n t n

S X ±

D. ))1((025.0-±

n t n

S X

3. 设总体2

2

),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为 C . A.100{}/10

X C S -> B. }/100{

C n

S X <- C. }10

/100{

C S X >- D. }{C X >

8. 若未知参数θ的估计量是 θ

,若 θθ=)?(E ,称 θ

是θ的无偏估计量. 设 12,θθ是未知参数θ的两个无偏估计量,若)?()?(2

1θθD D <;则称 1θ

较 2θ有效.

5.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2

N X 的一个样本,则=?

?????≥∑=1012

44.1i i X P

0.1 .

1.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且2)(=X D ,则

{}==1X p {}1222121!

e

p X e --===.

8.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次击中目标的概率为0.4,则2

X 的数学期望E (2

X )= 18.4 .

5.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4,0.3和0.6,则P (A B )= 0.3 . 9.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 1/6 .

10. 将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行,恰好排成SCIENCE 的概率

为 1 /1260 .

12.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是 6/11 . 4.设离散型随机变量X 的分布函数为:

?????

????≥+<≤-<≤--<=2

,21,32

11,1

,0)(x b a x a x a x x F 且2

1

)2(==X p ,则a= 1/6 b=5/6.

8.设)2,3(~2N X ,若)

()(c X p c X p ≥=<,则=c 3 . 1.),(Y X 是二维连续型随机变量,用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率: (1);____________________

),(=<≤≤c Y b X a p F (b,c )-F(a,c) (2);____________________

),(=<

)0(=≤

),(=<≥b Y a X p F(+∞,b)-F(a,b) 5.设随机变量 X 的分布函数为: F (x ) = 0

(1),0.5(11),0.8(13),1

(3).

x x x x <-??-≤

?

概率分布律为

___________________________ .

6.某车间生产滚珠,从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布,且直径的方差

04.02=σ,从某天生产的产品中随机抽取16个,测得直径平均值为10毫米,

给定05.0=α,则滚珠的平均直径的区间估计为 (9.9902, 10.0098)

0.050.025

( 1.645, 1.96)

Z Z

==

10.设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y=2

X

在(0,4)内的概

X -1 1 3

P 0.5 0.3 0.2

率密度为1

()()(04)4Y Y

f y Fy y y

'==<<. 四、 设随机变量X 的分布函数为???

??≥<≤<=.,1

,1,ln ,1,0)(e x e x x x x

F X , 求(1)P (X<2), P {0

45

ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<

X F F X P

?????<<==其它,0,1,1)(')(e x x

x F x f

五、设随机变量X 的概率密度)(x f 为

?????≤≤-<≤=其他0

21210)(x x x x

x f

求X 的分布函数F (x )。

解:?

-=≤=x

dt t f x X P x F )()()(

?

??

?

?

?

?

?

??

=+

-+

+

=

<--

=-++

=≤≤=

+=<≤==

<∞

-∞

-∞-∞

-1

2

2

1

2

1

1

2

00

1

0)2(0)(,212

2)2(0)(,212

0)(,100

0)(,0x

x

x

x

dt dt t dt t dt x F x x

x dt t dt t dt x F x x dt t dt x F x dt x F x 时当时当时当时当

故分布函数为

????

?????<≤≤--<≤<=x

x x x x x x x F 21211

221

0200

)(2

2.

六、设K 在(0,5)上服从均匀分布,求方程02442

=+++K xK x 有实根的概率

∵ K 的分布密度为:???

??<<-=其他

5

0051)(K K f

要方程有根,就是要K 满足(4K )2-4×4× (K+2)≥0。 解不等式,得K ≥2时,方程有实根。

5

3

051)()2(5522=

+==≥?

??∞+∞+dx dx dx x f K P

四、 )(,2

1)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。

解:由6

1)()(31

4121)()|()()()()|(=

??=????→?=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件 由乘法公式,得121

)|()()(==A B P A P AB P

由加法公式,得3

1

1216141)()()()(=-+=-+=?AB P B P A P B A P

五、已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?

解:A 1={男人},A 2={女人},B={色盲},显然A 1∪A 2=S ,A 1 A 2=φ

由已知条件知%25.0)|(%,5)|(2

1

)()(2

121====A B P A B P A P A P 由贝叶斯公式,有

)()()|(11B P B A P B A P =)|()()|()()|()(221111A B P A P A B P A P A B P A P += 21201000025211005211005

21=

?

+??

=

六、设有甲、乙二袋,甲袋中装有n 只白球m 只红球,乙袋中装有N 只白球M 只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少?(此为第三版19题(1))

记A 1,A 2分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋” 再记B 表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ B =A 1B +A 2B 且A 1,A 2互斥 ∴

P (B )=P (A 1)P (B | A 1)+ P (A 2)P (B | A 2)

=

111++?+++++?+M N N

m n m M N N m n n

三、设随机变量(X ,Y )概率密度为??

???<<<<--=其它,04

2,20),6(),(y x y x k y x f

(1)确定常数k 。

(2)求P {X <1, Y <3}

(3)求P (X <1.5} (4)求P (X+Y ≤4}

分析:利用P {(X , Y)∈G}=

?????=o

D G G

dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中

??

????????<<<<=42,20),(y x y x D o

解:(1)∵???

?

+∞∞-+∞

---=

=

20

12

)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴8

1=

k (2)8

3

)6(8

1)3,1(32

1

?

?=

--=

<

Y X P (3)32

27)6(81),5.1()5.1(4

25.10

=--=∞<≤=≤?

?

dy y x dx Y X P X P (4)32

)6(81)4(40

20

=--=

≤+?

?

-dy y x dx

Y X P x 四、设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为

????

?≤≤≤≤-=其它

求边缘概率密度0

.

0,10)

2(8.4),(x y x x y y x f

解:???

??≤≤-=-==

?

?

+∞

-其它

10)

2(4.2)2(8.4),()(0

2x x x dy x y dy y x f x f x X

?????≤≤+-=-==??

+∞

-其它0

1

0)43(4.2)2(8.4),()(1

2y y y y dx x y dx y x f y f y

Y 四、设随机变量X 的概率密度为

?

?

?≤>=-0,00,)(x x e x f x 求(1)Y=2X

(2)Y=e

-2x

的数学期望。

解:(1)?

?

+∞

-+∞

-=

=

2)(2)(dx xe dx x xf y E x

[

]2022=∞+--=--x

x e xe

(2)?

?

+∞--+∞

--=

=

22)()(ex e e dx x f e

Y E x x x

3

1

0313=∞-

=-x e 六、设随机变量X 和Y 的联合分布为:

X

-1

1

Y -1 81 8

1 81 0 81 0

81 1

8

1 8

1 8

1

验证:X 和Y 不相关,但X 和Y 不是相互独立的。

证:∵

P [X=1 Y=1]=

81 P [X=1]=83 P [Y=1]=8

3 P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1]

∴ X ,Y 不是独立的 又

E (X )=-1×

83+0×82+1×8

3=0 E (Y )=-1×83+0×82+1×8

3=0 COV (X , Y )=E {[X -E (X )][Y -E (Y )]}= E (XY )-EX ·EY

= (-1)(-1)

81+(-1)1×81+1×(-1)×81+1×1×8

1=0 ∴ X ,Y 是不相关的

三、设X 1,X 1,…,X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。

解:(1)矩估计 X ~ π (λ ),E (X )= λ,故λ?=X 为矩估计量。

(2)极大似然估计λn n x n

i i e x x x λλx P λL n

i i

-=∑==

=

!

!!);()(2111

λn x λx λL n

i i

n

i i

--=

∑∑==1

1

!ln ln )(ln

X λn λ

x

λ

d λL d n

i i

==-=∑=?,0)

(ln 1

解得为极大似然估计量。

(其中),1,0,!

}{);( ====-i λ

i x i i x e x λx X P λx p i 四、设总体X 具有分布律

X

1 2 3 P k

θ2

2θ(1-θ)

(1-θ) 2

其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x 1=1,x 2=2,x 3=1,试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

解:(1)求θ的矩估计值

θ

θθθθθθθθX E 23)]1()][1(3[)1(3)1(221)(2

2-=-+-+=-+-?+?=

X θX E =-=23)(令

则得到θ的矩估计值为6

5231

2132

3?=++-

=-=X

θ

(2)求θ的最大似然估计值 似然函数}1{}2{}1{}{)(3213

1

======

∏=X P X P X P x X

P θL i i i

)

1(2)1(25

22θθθθθθ-=?-?=

ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1-θ) 求导

011

65)(ln =--=θ

θd θL d 得到唯一解为6

5

?=θ

六、 设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N ~(μ,σ2),求μ的置信度为0.95的置信区间。(1)若由以往经验知σ=0.6(小时)(2)若σ为未知。

解:(1)μ的置信度为0.95的置信区间为(2αz n σ

X ±), 计算得)392.6,608.5()96.196

.00.6(,6.0,96.1,0.6025.0=?±===即为查表σz X (2)μ的置信度为0.95的置信区间为()1(2-±n t n S

X α),计算得0.6=X ,查表t 0.025(8)=2.3060.

)442.6,558.5()3060.23

33.00.6(.33.064.281)(819122

=?±=?=-=∑=故为i i x x S

三、某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布,问在α = 0.01下能否接受假设:这批矿砂的含镍量的均值为3.25.

解:设测定值总体X ~N (μ,σ 2),μ,σ 2均未知

步骤:(1)提出假设检验H 0:μ=3.25; H 1:μ≠3.25 (2)选取检验统计量为)1(~25

.3--=

n t n

S X t

(3)H 0的拒绝域为| t |≥).1(2

-n t α

(4)n=5, α = 0.01,由计算知01304.0)(1

1,252.35

1

2=--=

=∑=i i

X X

n S x

三、一座20层的高楼的底层电梯上了10位乘客,乘客从第3层起开始离开电梯,每一名乘客在各层离开电梯是等可能的,求没有两位乘客在同一层离开的概率。(7分) 解:设A 表示事件没有两位乘客在同一层离开,则样本空间包含的样本点数为10

18,事件A 包含的样本点数为10

18P

,因此

()1018

100.044518

P P A ==

九、设某种产品的一项质量指标 )150,1600(~2N X ,现从一批产品中随机地抽取16件,测得该指标的均值 1645X =.以05.0=α检验这批产品的质量指标是否合格? (8分). 0.050.025( 1.645, 1.96)Z Z ==

解:设001:1600,:1600H H μμμ==≠ 当0H 为真时,检验统计量为

/X n

μσ-,给定显著性水平0.05α=,拒绝域为

0.025 1.96/X z n

μσ->=.

代入数据得

16451600

1.2 1.96/150/16

X n

μσ--=

=<,落在拒绝域外,故接受0H ,即

质量指标合格.

十、设总体()

2~,Y N μσ,其中μ,02

>σ都是未知参数.()1n Y Y ,,是从该总体中

抽取的一个样本,(6分)

(1)试证明1

1n

i i Y Y n ==∑为μ的无偏估计量。(普通班同学解答)

(2)假设μ是已知的,试证明()22

1

1?n i i Y n σμ==-∑为2σ的无偏估计量。(实验班同学解答)

(1)因为()

2

~i Y N μσ,,()n i ,,, 21

=, 所以()i E Y μ=,则 ()11

111n n

i i i i E Y E Y n n n n μμ==??==?= ???∑∑,

所以1

1n

i i Y Y n ==∑为μ的无偏估计量。

(2)因为()

2

~i Y N μσ,, 所以

()~01i Y N μ

σ

-,,所以()2

2

~1i

Y μχσ-?? ???

,所以

21i Y E μσ??-??=?? ??????

?,()n i ,,, 21=;因此,()()22

11?n i i E E Y n σμ=??=-????∑ 2

222

222

2111n n n i i i i i i Y Y Y E E E n n

n n n

μμμσσσσσσσσ===??????---??

????====?=?

?????

? ? ??

?????????????????∑∑∑ 所以,()2

2

1

1?n i i Y n σ

μ==-∑是未知参数2σ的无偏估计.