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第一章质点运动学主要内容

一

. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程

由坐标原点到质点所在位置的矢量r r

称为位矢

位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程

()r r t =r r

运动方程的分量形式()

()x x t y y t =???=??

位移是描述质点的位置变化的物理量

△t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r

r r r

△，r =r

△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r

r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量）

平均速度 x y r x y i j i j t t t

u u u D D =

=+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt

?→?==

?r r r

(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=??

? ??+??? ??==?? ds dr dt dt

=r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量）

平均加速度v

a t ?=?r

r 瞬时加速度(加速度) 220lim

t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r

方向指向曲线凹向j dt

y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ

?2222+=+== 2

2222222

2???? ??+????

??=?

? ?

?+??? ??=+=dt y d dt x d dt

dv dt dv a a a y x y x ?

二.抛体运动

运动方程矢量式为 2012

r v t gt =+

r r

r 分量式为 02

0cos ()1sin ()2

αα==-??

???水平分运动为匀速直线运动竖直分运动为匀变速直线运动x v t y v t gt 三.圆周运动(包括一般曲线运动) 1.线量：线位移s 、线速度ds

v dt

= 切向加速度t dv

a dt

(速率随时间变化率) 法向加速度2

n v a R

=(速度方向随时间变化率)。

2.角量：角位移θ(单位rad )、角速度d dt

θω=

(单位1

rad s -?) 角速度22

d d dt dt

θωα==(单位2

rad s -?) 3.线量与角量关系：2

= t n s R v R a R a R θωαω===、

、、 4.匀变速率圆周运动：

(1) 线量关系020220122v v at s v t at v v as =+???=+???-=? (2) 角量关系02022

0122t t t ωωαθωαωωαθ=+??

=+???-=?

第二章牛顿运动定律主要内容

一、牛顿第二定律

物体动量随时间的变化率dp dt

等于作用于物体的合外力i F =F 骣÷?÷?÷?÷桫?r r

即： =dP dmv F dt dt

=r r r ， m =常量时

F =m F =ma dt 或r r r r 说明：(1)只适用质点；(2) F ?为合力；(3) a F r r 与是瞬时关系和矢量关系；

(4) 解题时常用牛顿定律分量式

（平面直角坐标系中）x x

y F ma F ma F ma =?=?=?r r (一般物体作直线运动情况)

（自然坐标系中） ??

???====?=（切向）（法向）

dt dv m ma F r v m ma F a m F t t n n 2

?? (物体作曲线运动)

运用牛顿定律解题的基本方法可归纳为四个步骤运用牛顿解题的步骤：

1）弄清条件、明确问题（弄清已知条件、明确所求的问题及研究对象） 2）隔离物体、受力分析（对研究物体的单独画一简图，进行受力分析） 3）建立坐标,列运动方程（一般列分量式）； 4) 文字运算、代入数据

举例：如图所示，把质量为10m kg =的小球挂在倾角0

30θ=的光滑斜面上，求 (1) 当斜面以1

a g =

的加速度水平向右运动时， (2) 绳中张力和小球对斜面的正压力。解：1) 研究对象小球 2）隔离小球、小球受力分析

3）建立坐标,列运动方程（一般列分量式）； :cos30sin 30T x F N ma -=o

(1)

:sin 30cos300T y F N mg +-=o o (2)

4) 文字运算、代入数据

:2T x N ma -= (1

a g =

) (3)

: 2T y F mg = (4)

11(1)109.8 1.57777.3232

T F mg N =

?+=???= 109.83077.30.57768.5cos300.866

mg N F tg N ?=

-=-?=o

o g (2)由运动方程，N =0情况

: cos30T x F ma =o

: sin 30=T y F mg o

9.817o m

a =g ctg30s ==g

z t t z z y

y t t y y x

x t t x x m m t F I m m t F I m m t F I 1212122

d d d v v v v v v -==-==-==???

第三章动量守恒和能量守恒定律主要内容

一. 动量定理和动量守恒定理 1. 冲量和动量

t t I Fdt =?r v

称为在21t t -时间内,力F ?对质点的冲量。

质量m 与速度v r

乘积称动量P mv =r r

2. 质点的动量定理：21

21t t I F dt mv mv ==-?r r r r

质点的动量定理的分量式：

3. 质点系的动量定理：

t 000t =-=-∑∑∑?

r r r r r

n n n ex i i i i i

F dt m v m v P P 质点系的动量定理分量式x x ox y y oy z

z oz I P P I P P I P P

=-??

=-??=-?

动量定理微分形式，在dt 时间内： =dP

Fdt dP F dt

=r r r r 或

4. 动量守恒定理：

当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变，称为动量守恒定律

=0,

i i F F ==∑外

00==∑∑r r

则恒矢量

n n

i i i i i

m v m v

动量守恒定律分量式：

二.功和功率、保守力的功、势能

1.功和功率：

质点从a 点运动到b 点变力F ?所做功cos θ=?=??v r

b b a

W F dr F ds

恒力的功：cos W F r F r θ=?=??v

()

123 0,0,0,?

==???

==??

?==??

∑∑∑若则　恒量若则恒量若则恒量x i ix i

y i iy i

z i iz i

F m v C F m v C F m v C

1122

i i i

i i W

W mv mv +=-∑∑∑∑功率：cos θ=

==r r g dw

p F v F v dt

2.保守力的功

物体沿任意路径运动一周时，保守力对它作的功为零0==?r r

g ?c l

W F dr

3.势能

保守力功等于势能增量的负值，()

0=-

-=-V p

p p w E

E E

物体在空间某点位置的势能()p E x,y,z

()22111122b a b a b a w GMm r r w mgy mgy w kx kx ??

=- ?

=--??

=-- ?

??万有引力作功：重力作功：弹力作功：

三.动能定理、功能原理、机械能守恒守恒

1. 动能定理质点动能定理：22

01122

=-W mv mv 质点系动能定理：

作用于系统一切外力做功与一切内力作功之和等于系统动能的增量

2.功能原理：外力功与非保守内力功之和等于系统机械能（动能+势能）的增量

0+=-ex in nc W W E E

机械能守恒定律：只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变

真空中的静电场

知识点：

1. 场强

(1) 电场强度的定义

0q F E ρ

ρ=

(2) 场强叠加原理

∑=i

E E ρρ (矢量叠加)

0p =E ex in nc 0+=当W W ex in nc k p k0p0()()

+=+-+W W E E E E

(3) 点电荷的场强公式

q E ?42

0πε=

(4) 用叠加法求电荷系的电场强度 ?

=r r dq

E ?42

0περ

2. 高斯定理

真空中

∑?=

?内

S d E S

1ερρ

电介质中 ∑?=?自由

内,01

q S d D S ερρ

E E D r ρρρεεε0==

3. 电势

(1) 电势的定义

?=零势点p

p l

d E V ρρ

对有限大小的带电体,取无穷远处为零势点,则

∞

p l

d E V ρρ

(2) 电势差

?=-b

b a l

d E V V ρρ

(3) 电势叠加原理 ∑=i

V V (标量叠加)

(4) 点电荷的电势

r q

V 04πε=

(取无穷远处为零势点)

电荷连续分布的带电体的电势 ?

=r dq

V 04πε (取无穷远处为零势点)

4. 电荷q 在外电场中的电势能 a

a qV w =

5. 移动电荷时电场力的功

)

(b a ab V V q A -=

6. 场强与电势的关系 V

E -?=ρ

静电场中的导体

知识点：

1.导体的静电平衡条件

(1)

=内E ρ

(2) 导体表面表面⊥E ρ

2. 静电平衡导体上的电荷分布

导体内部处处静电荷为零.电荷只能分布在导体的表面上.

0εσ=

表面E

3. 电容定义

U q C =

平行板电容器的电容 d

C r εε0=

电容器的并联

∑=i

C C (各电容器上电压相等)

电容器的串联

∑=i C C 11 (各电容器上电量相等)

4. 电容器的能量 2

22121CV C Q W e ==

电场能量密度 2

E W e ε=

5、电动势的定义 ?

k i l

d E ρρ

ε 式中k E ρ为非静电性电场.电动势是标量，其流向由低电势指向高电

势。

静电场中的电介质

知识点：

1. 电介质中的高斯定理

2. 介质中的静电场

3. 电位移矢量

真空中的稳恒磁场

知识点：

1. 毕奥-萨伐定律

电流元l Id ρ

产生的磁场

0?4r r l Id B d ??

=ρ

ρπμ

式中, l Id ρ

表示稳恒电流的一个电流元(线元),r 表示从电流元到场点的距离, r

?表示从电流元指向场点的单位矢量..

2. 磁场叠加原理

在若干个电流(或电流元)产生的磁场中,某点的磁感应强度等于每个电流(或电流元)单独存在时在该点所产生的磁感强度的矢量和. 即

∑=i

B B ρρ

3. 要记住的几种典型电流的磁场分布

(1)有限长细直线电流

)

cos (cos 4210θθπμ-=a I B

式中,a 为场点到载流直线的垂直距离, 1θ、2θ为电流入、出端电流元矢量与它们到场点的矢径间的夹角.

a) 无限长细直线电流

I B πμ20=

b) 通电流的圆环

/322

)(2R x I

R B +?=μ 圆环中心

04I B rad R

μθθπ=

?单位为：弧度（）

(4) 通电流的无限长均匀密绕螺线管内 nI

B 0μ=

4. 安培环路定律

真空中

∑?=?内

I l d B L

0μρ

磁介质中

∑?=?内

0I l d H L

H H B r ρρρμμμ0==

当电流I 的方向与回路l 的方向符合右手螺旋关系时, I 为正,否则为负. 5. 磁力

(1) 洛仑兹力

B v q F ρρρ?=

质量为m 、带电为q 的粒子以速度v ρ

沿垂直于均匀磁场B ?方向进入磁场,粒子作圆周运动,其半径为

qB mv

R =

周期为 qB m T π2=

(2) 安培力

l Id F ρρρ

?=?

(3) 载流线圈的磁矩

NIS p m ?=ρ

载流线圈受到的磁力矩

B p M m ρρρ?=

(4) 霍尔效应霍尔电压

b IB ne V ?=

电磁感应电磁场

知识点：

1. 楞次定律:感应电流产生的通过回路的磁通量总是反抗引起感应电流的磁通量的改变.

2. 法拉第电磁感应定律 dt

d i ψ

=ε Φ=ψN 3. 动生电动势: 导体在稳恒磁场中运动时产生的感应电动势.

l d B v b

ab ρρ

ρ??=

)(ε 或 ?

??=l d B v ρρρ)(ε

4. 感应电场与感生电动势: 由于磁场随时间变化而引起的电场成为感应电场. 它产生电动势为感生电动势.

=?=

d l d E i ρρ感ε

局限在无限长圆柱形空间内, 沿轴线方向的均运磁场随时间均匀变化时, 圆柱内外的感应电场分别为

)(2R r dt

r E ≤-

=感)(22R r dt

dB r R E ≥-

=感

5. 自感和互感自感系数 I

L ψ=

自感电动势 dt

dI L L -=ε 自感磁能 221LI W m = 互感系数 2

121I I M ψ=ψ=

互感电动势 dt

dI M

21-=ε 6. 磁场的能量密度BH B w m 2

22==

μ 7. 位移电流此假说的中心思想是: 变化着的电场也能激发磁场.

通过某曲面的位移电流强度d I 等于该曲面电位移通量的时间变化率. 即

???=Φ=

d S d t

d I ρρ

位移电流密度

D j D

??=

ρρ

8. 麦克斯韦方程组的积分形式

∑?==

q S d D ρρρ

S d t B

dt d l d E S m L ρρ

ρρ???-=Φ-=???

0=??S

S d B ρρ

S d t

S d j l d H S

ρρ

???+

0v r 0v r 0v r

0v r

第五章机械振动主要内容

一. 简谐运动

振动：描述物质运动状态的物理量在某一数值附近作周期性变化。机械振动：物体在某一位置附近作周期性的往复运动。简谐运动动力学特征：F kx =- 简谐运动运动学特征：2a x ω=- 简谐运动方程： cos()x A t w j =+ 简谐振动物体的速度：()sin dx

v A t dt

w w j =

=-+ 加速度()222cos d x

a A t dt

w w j ==-+ 速度的最大值m v A w =，加速度的最大值2

m a A w = 二. 描述谐振动的三个特征物理量 1. 振幅A ：220

2v A x w =

+，取决于振动系统的能量。

2. 角(圆)频率w ：22T

w pn ==

，取决于振动系统的性质对于弹簧振子k

w =

、对于单摆g l

ω= 3. 相位——t w j +，它决定了振动系统的运动状态（,x v ）

0t =的相位—初相0

arc v tg

x j w -= j 所在象限由00x v 和的正负确定： 00x >，00v <，?在第一象限，即?取(02

00x <，00v <，?在第二象限，即?取(2

π:) 00x <，00v >，?在第三象限，即?取(

322

π:) 00x >，00v >，?在第四象限，即?取(322

π:)

三. 旋转矢量法

简谐运动可以用一旋转矢量（长度等于振幅）的矢端在Ox 轴上的投影点运动

来描述。

1.A r

的模A r =振幅A ,

2. 角速度大小=谐振动角频率ω

])(sin[?ωω+--=??=

t A t y v 3.0t =的角位置?是初相

4.t 时刻旋转矢量与x 轴角度是t 时刻振动相位t ω?+

5.矢端的速度和加速度在Ox 轴上的投影点速度和加速度是谐振动的速度和加速度。四.简谐振动的能量以弹簧振子为例：

222221111

2222

k p E E E mv kx m A kA ω=+=

+== 五.同方向同频率的谐振动的合成设()111cos x A t ω?=+

()222cos x A t ω?=+ 12cos()x x x A t ω?=+=+

合成振动振幅与两分振动振幅关系为：12A A A =+r r r

1212212cos()A A A A A ??=++-

1122

sin sin cos cos A A tg A A ?????+=

合振动的振幅与两个分振动的振幅以及它们之间的相位差有关。

()2012k k ?π?==±±L 22

1212122A A A A A A A =++=+ ()(21)012k k ?π?=+=±±L 221212122A A A A A A A =+-=-

一般情况，相位差21??-可以取任意值1212A A A A A -<<+

第六章机械波主要内容

一.波动的基本概念

1.机械波：机械振动在弹性介质中的传播。

2. 波线——沿波传播方向的有向线段。

波面——振动相位相同的点所构成的曲面 3.波的周期T ：与质点的振动周期相同。

4. 波长λ：振动的相位在一个周期内传播的距离。

5. 波速u:振动相位传播的速度。波速与介质的性质有关二. 简谐波

沿ox 轴正方向传播的平面简谐波的波动方程

cos[()]cos[2()]x t x

y A t A u T ω?π?λ

=-+=-+

2cos[()]v x

a A t t u

ωω??=

=--+?质点的振动速度质点的振动加速度

这是沿ox 轴负方向传播的平面简谐

波的波动方程。

cos 2()t x

y A T π?λ??=++????

三.波的干涉

两列波频率相同，振动方向相同，相位相同或相位差恒定，相遇区域内出现有的地方振动始终加强，有的地方振动始终减弱叫做波的干涉现象。两列相干波加强和减弱的条件：

（振幅最大，即振动加强）

（振幅最小，即振动减弱）

（2）若12??=（波源初相相同）时，取21r r δ=-称为波程差。

212r r k δλ=-=± ),2,1,0(???=k

时，21A A A +=（振动加强）

其他情况合振幅的数值在最大值12A A +和最小值12A A -之间。

第七章气体动理论主要内容

一.理想气体状态方程：

112212PV PV PV C T T T =→=； m PV RT M

'=； P nkT = 8.31J R k mol =g ；231.3810J k k

-=?；231

6.02210A N mol -=?；A R N k =g 二. 理想气体压强公式

23kt p n ε=

2kt mv ε=分子平均平动动能三. 理想气体温度公式

2132

kt mv kT ε==

四.能均分原理

1. 自由度：确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目。

2. 气体分子的自由度

单原子分子 (如氦、氖分子)3i =；刚性双原子分子5i =；刚性多原子分子6i =

3. 能均分原理：在温度为T 的平衡状态下，气体分子每一自由度上具有的平均动都相等，其值为12

kT 4.一个分子的平均动能为：2

k i

kT ε=

五. 理想气体的内能（所有分子热运动动能之和）

1.1mol 理想气体2i

E RT = 3. 一定量理想气体()2i m E RT M

νν'

第八章热力学基础主要内容

一.准静态过程（平衡过程）

系统从一个平衡态到另一个平衡态，中间经历的每一状态都可以近似看成平衡态过程。二.热力学第一定律

Q E W =?+；dQ dE dW =+

1.气体2

V V W Pdv =

2.,,Q E W ?符号规定

3.2121()V m V m m m dE C dT E E C T T M M ''

-=-g g 或 2

V m i C R =g 三.热力学第一定律在理想气体的等值过程和绝热过程中的应用 1. 等体过程

210()V m W Q E C T T ν=??

=?=-??

g 2. 等压过程

212121()()

()p m W p V V R T T Q E W C T T νν=-=-???

=?+=-??

g C 2

,12C p m p m V m V m

i C C R R γ+=+=

>g g g g 热容比＝ 3.等温过程

2122110T

T E E m V m p Q W R T ln R T ln M V M p -=?

''?

===??

4. 绝热过程

210()V m Q W E C T T ν=??

?=-?=--??

绝热方程1PV

C γ

=， -1

T C γ= ，13P T

C γγ

--= 。

四.循环过程

特点：系统经历一个循环后，0E ?=

系统经历一个循环后Q W =（代数和）（代数和）

1. 正循环（顺时针）-----热机

逆循环（逆时针）-----致冷机 2. 热机效率：

式中：1Q ------在一个循环中，系统从高温热源吸收的热量和；

2Q ------在一个循环中，系统向低温热源放出的热量和；

12W Q Q ＝－------在一个循环中，系统对外做的功（代数和）。

3. 卡诺热机效率式中：1T ------高温热源温度；2T ------低温热源温度；

4. 制冷机的制冷系数：

五. 热力学第二定律

1. 开尔文表述：从单一热源吸取热量使它完全变为有用功的循环过程是不存在的（热机效率为100%是不可能的）。

2. 克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传到高温物体。两种表述是等价的.

Q = Q -Q =

定义：Q e W