2014考研数学全部真题(数一二三)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）（数三）
若a a n n =∞
→lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ）
（A ）2
a a n >
（B ）2
a a n <
（C ）n a a n 1-
> （D ）n
a a n 1
+<
（2）（数二）
当0x +→时，若ln (12)x α
+，1
(1cos )x α
-均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是
（ ）
（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2
（3）（数一、二、三）
下列曲线中有渐近线的是（ ）
（A ）sin y x x =+ （B ）2
sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x
=+
（4）（数三）
设2
3
()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3
x 高阶的无穷小，则下
列选项中错误．．
的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6
1
=d
（5）（数一、二、三）
设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （6）（数二）
曲线22
7,41
x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ）
（A （B （C ）（D ）
（7）（数二）
设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则2
2
lim
x x
ξ→=（ ）
（A ）1 （B ）23 （C ）12 （D ）13
（8）（数二）
设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足
20u x y ?≠??及22220u u
x y
??+=??，则（ ） （A ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 （B ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得
（C ）(,)u x y 的最大值在D 的内部取得，(,)u x y 的最小值在D 的边界上取得 （D ）(,)u x y 的最小值在D 的内部取得，(,)u x y 的最大值在D 的边界上取得
（9）（数一）
设(,)f x y 是连续函数，则
110
(,)y
dy f x y dx -=??
（ ）
（A ）11
010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+??
?
（B ）
1
100
1
(,)(,)x
dx f x y dy dx f x y dy --+?
?
??
（C ）
11
2
cos sin 0
2
(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr π
π
θθπθθθθθθ++?
?
??
（D ）11
2cos sin 0
2
(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr π
πθθπθθθθθθ++?
?
??
（10）（数一） 若
{}
2211,(cos sin )min
(cos sin )a b R
x a x b x dx x a x b x dx π
π
π
π
-
-∈--=--??
，则
11cos sin a x b x +=（ ）
（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π
（11）（数一、二、三）
行列式
0000000
a
b a b
c
d c d
=（ ）
（A ）2
()ad bc - （B ）2
()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -
（12）（数一、二、三）
设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）
（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件
（13）（数一、三）
设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
（14）（数一）
设连续型随机变量1X 与2X 相互独立且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与
2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(2
1
212X X Y +=，
则（ ）
（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （D ）2121,DY DY EY EY >=
（15）（数三）
若321,,X X X 为来自正态总体2
(0,)N σ的简单随机样本，则统计量3
2
12X X X S -=服从的分布为（ ）
（A ）)1,1(F （B ）)1,2(F （C ）)1(t （D ）)2(t
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （1）（数一）
曲面)sin 1()sin 1(2
2
x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为 .
（2）（数三）
设某商品的需求函数为P Q 240-=（P 为商品的价格），则该商品的边际收益为 .
（3）（数二）
1
21
25dx x x -∞=++? .
（4）（数一、二）
设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且()2(1)f x x '=-，[0,2]x ∈，则
(7)f = .
（5）（数三）
设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+x y 及2=y 围成的有界区域，则D 的面积为 .
（6）（数三） 设4
1
2=
?
dx xe a
x ，则a = .
（7）（数三）
二次积分2
211
0(
)x
y y e dy e dx x
-=?? . （8）（数二）
设(,)z z x y =是由方程227
4yz e x y z +++=确定的函数，则11(,)22
dz = .
（9）（数一）
微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3
)1(e y =的解为y = .
（10）（数二）
曲线L 的极坐标方程是r θ=，则L 在点(,)(,)22
r ππ
θ=处的切线的直角坐标方程是 .
（11）（数二）
一根长度为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度2
()21x x x ρ=-++，则该细棒的质心坐标x = .
（12）（数一）
设L 是柱面12
2=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分L
zdx ydz +=?? .
（13）（数一、二、三）
设二次型32312
22132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围
是 .
（14）（数一）
设总体X 的概率密度为???
??<<=其他,0
2,32),(2θθθθx x
x f ，其中θ是未知参数，n
X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，若∑=n
i i
X
c 1
2
为2
θ的无偏估计，则c = .
设总体X 的概率密度为???
??<<=其他,0
2,32),(2θθθθx x
x f ，其中θ是未知参数，n
X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，若212θ=??
?
???∑=n i i X c E ，则c = .
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （1）（数一、二、三）
求极限)
1
1ln(])1([lim
2
1
1
2
x
x dt
t e t
x
t
x +--?+∞
→
（2）（数一）
设函数)(x f y =是由方程3
2
2
60y xy x y +++=确定，求)(x f 的极值. （3）（数二）
已知函数()y y x =满足微分方程2
2
1x y y y ''+=-，且(2)0y =，求()y x 的极大值与极小值. （4）（数二、三）
设平面区域{}22(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥
，计算D
.
设函数)(u f 具有连续导数，)cos (y e f z x
=满足
cos sin (4cos )x x z z
y
y z e y e x y
??-=+??，若0)0(=f ，求)(u f 的表达式.
（6）（数一、二）
设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足
22222(4cos )x x z z z e y e x y
??+=+??，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. （7）（数二、三）
设函数()f x ，()g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤. 证明：（Ⅰ）a x dt t g x
a
-≤≤?
)(0，],[b a x ∈；
（Ⅱ）
?
??≤+b
a
dt
t g a a
b
a
dx x g x f dx x f )()()()(
（8）（数二）
设函数()1x
f x x
=
+，[0,1]x ∈.定义函数列： 1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，L ，1()(())n n f x f f x -=，L
记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞
.
（9）（数二）
已知函数(,)f x y 满足
2(1)f
y y
?=+?，且2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+--.求曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转所成旋转体的体积.
（10）（数一）
设∑为曲面)1(2
2
≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分
dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=??∑
（11）（数三） 求幂级数0
(1)(3)n
n n n x
∞
=++∑的收敛域及和函数.
（12）（数一）
设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,2
0,2
0=-<
<<<π
π
，且级数1
n n b ∞
=∑收敛.
（Ⅰ）证明：;0lim =∞
→n n a
（Ⅱ）证明：级数∑∞
=1n n
n
b a 收敛.
（13）（数一、二、三）
设矩阵123401111203A --??
?
=- ? ?-??
，E 为3阶单位矩阵.
（Ⅰ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （Ⅱ）求满足E AB =的所有矩阵B .
（14）（数一、二、三）
证明：n 阶矩阵???????
?
?111111111ΛM O M M Λ
Λ
与????
??
?
??n 0
020010
0Λ
M M M ΛΛ
相似
（15）（数一、三）
设随机变量X 的概率分布为2
1
}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ， （Ⅰ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （Ⅱ）求EY
（16）（数三）
设随机变量Y X ,的概率分布相同，X 的概率分布为3
2
}1{,31}0{====X P X P ，且X 与Y 的相关系数为2
1
=
XY ρ. （Ⅰ）求),(Y X 的概率分布； （Ⅱ）求}1{≤+Y X P .
（17）（数一）
设总体X 的分布函数2
1,0(;)0,
0x e x F x x θ
θ-
??-≥=??
12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本.
（Ⅰ）求EX 与2EX ；
（Ⅱ）求θ的最大似然估计量?n
θ； （Ⅲ）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}
?lim 0n
n P a θε→∞
-≥=？