不等式中恒成立问题的解法
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
1)0)(>x f 对R x ∈恒成立?
??>?00a ; 2)0)( ?+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的范围。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: 1)a x f >)(恒成立min )(x f a 2)a x f <)(恒成立max )(x f a >? 例2、若[]2,2x ∈-时,不等式23x ax a ++≥恒成立,求a 的取值范围。 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有: 1)为参数)a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >? 2)为参数)a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g 例3.已知(],1x ∈-∞时,不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立,求a 的取值范围。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。 例4.对任意]1,1[-∈a ,不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立,求x 的取值范围。 五、数形结合法 数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着密切的联系: 1)?>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方; 2)?<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。 例5:已知210,1,(),(1,1),()2x a a f x x a x f x >≠=-∈-< 当时有恒成立,求实数a 的取值范围。 例6 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈n m n f m f n m n m 时,若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立,求实数t 的取值范围. 课后作业: 1.已知函数])1(lg[2 2a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 2.函数),1[,2)(2+∞∈++=x x a x x x f ,若对任意),1[+∞∈x ,0)(>x f 恒成立,求实数a 的取值范围。 3.设22)(2+-=mx x x f ,当),1[+∞-∈x 时,m x f ≥)(恒成立,求实数m 的取值范围。 4.在?ABC 中,已知2|)(|,2cos )24( sin sin 4)(2<-++=m B f B B B B f 且π恒成立,求实数m 的范围。 5.若不等式() 2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立,求x 的取值范围。 6.若不等式23log 0a x x -<在10,3x ? ?∈ ??? 内恒成立,求实数a 的取值范围。 7.已知a ax x x f -++=3)(2,若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立,求a 的取值范围. 8.已知函数|54|)(2--=x x x f ,若在区间]5,1[-上,k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方,求k 的取值范围.