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固安县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

固安县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________

姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AB|=10,则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A .1

B .2

C .3

D .4

2. 已知,,则“”是“”的(

α[,]βππ∈-||||βα>βαβαcos cos ||||->-A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识,意在考查构造函数的思想与运算求解能力.3. 下面的结构图,总经理的直接下属是(

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A .总工程师和专家办公室

B .开发部

C .总工程师、专家办公室和开发部

D .总工程师、专家办公室和所有七个部

4. 已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为

时,则输入的值为( )2

1

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A .

B .

C .或

D .或21-1-21-10

5. 如图是七位评委为甲,乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图(其中m ,n 为数字0~9中的一个),则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ,则一定有(

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A .a >b

B .a <b

C .a=b

D .a ,b 的大小与m ,n 的值有关

6. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )

A .

B .y=x 2

C .y=﹣x|x|

D .y=x ﹣2

7. 如图,在正方体中,是侧面内一动点,若到直线与直线的距离1111ABCD A B C D P 11BB C C P BC 11C D 相等,则动点的轨迹所在的曲线是(

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P

A 1

C A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识,意在考查空间想象能力.8. 若复数z=2﹣i ( i 为虚数单位),则=(

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A .4+2i

B .20+10i

C .4﹣2i

D .

 

9. 定义:数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1?a 2?…?a n ,数列a n =29﹣n ,则下面的等式中正确的是( )

A .T 1=T 19

B .T 3=T 17

C .T 5=T 12

D .T 8=T 11

 

10.常用以下方法求函数y=[f (x )]g (x )的导数:先两边同取以e 为底的对数(e ≈2.71828…,为自然对数的底数)得lny=g (x )lnf (x ),再两边同时求导,得?y ′=g ′(x )lnf (x )+g (x )?[lnf (x )]′,即y ′=[f (x )]g (

x ){g ′

(x )lnf (x )+g (x )?[lnf (x )]′}.运用此方法可以求函数h (x )=x x (x >0)的导函数.据此可以判断

下列各函数值中最小的是( )

A .h ()

B .h ()

C .h ()

D .h ()

 

11.函数是周期为4的奇函数,且在上的解析式为,则

()()f x x R ?02[,](1),01

()sin ,12

x x x f x x x ì-££?=í

p <£??( )1741

()()46f f +=A . B .

C .

D .

716916

11

16

1316

【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识,意在考查转化和化归思想和基本运算能力.

12.如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别为(

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A .10 13

B .12.5 12

C .12.5 13

D .10 15

 

二、填空题

13.设不等式组表示的平面区域为M ,若直线l :

y=k (x+2)上存在区域M 内的点,则k 的取值范围是 .14.在△ABC 中,已知=2,b=2a ,那么cosB 的值是 .

 

15.给出下列命题:①把函数y=sin (x ﹣)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin (2x ﹣

②若α,β是第一象限角且α<β,则cos α>cos β;③x=﹣

是函数y=cos (2x+π)的一条对称轴;

④函数y=4sin (2x+)与函数y=4cos (2x ﹣

)相同;

⑤y=2sin (2x ﹣

)在是增函数;

则正确命题的序号 .

 

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16.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[﹣1,1)时,f (x )=,则f ()= . 

17.函数y=1﹣(x ∈R )的最大值与最小值的和为 2 .

18.在等差数列中,,其前项和为,若,则的值等}{n a 20161-=a n n S 28

108

10=-S S 2016S 于

.

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式,对等差数列性质也有较高要求,属于中等难度.

n 三、解答题

19.已知函数f (x )=ax 2+bx+c ,满足f (1)=﹣,且3a >2c >2b .(1)求证:a >0时,的取值范围;

(2)证明函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设x 1,x 2是函数f (x )的两个零点,求|x 1﹣x 2|的取值范围.

20.已知函数f (x )=cos (ωx+),(ω>0,0<φ<π),其中x ∈R 且图象相邻两对称轴之间的距离为

(1)求f (x )的对称轴方程和单调递增区间;

(2)求f (x )的最大值、最小值,并指出f (x )取得最大值、最小值时所对应的x 的集合.

21.(本小题满分12分)如图, 矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方ABCD ()2,0M AB 程为点在边所在直线上.360x y --=()1,1T -AD (1)求边所在直线的方程;AD (2)求矩形外接圆的方程.

ABCD

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22.已知二阶矩阵M 有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值﹣1

的一个特征向量=

=

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(Ⅰ)求矩阵M ;(Ⅱ)求M 5.

 

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23.△ABC中,角A,B,C所对的边之长依次为a,b,c,且cosA=,5(a2+b2﹣c2)=3ab.(Ⅰ)求cos2C和角B的值;

(Ⅱ)若a﹣c=﹣1,求△ABC的面积.

 

24.生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:

测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

元件A81240328

元件B71840296

(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;

(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,

(ⅰ)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;

(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.

固安县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)

一、选择题

1. 【答案】D

【解析】解:抛物线y 2=4x 焦点(1,0),准线为 l :x=﹣1,设AB 的中点为E ,过 A 、E 、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C 、G 、D ,EF 交纵轴于点H ,如图所示:则由EG 为直角梯形的中位线知,EG=

=

=

=5,

∴EH=EG ﹣1=4,

则AB 的中点到y 轴的距离等于4.故选D .

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【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想. 

2. 【答案】A.

【解析】,设,,||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-?->-()||cos f x x x =-[,]x ππ∈-显然是偶函数,且在上单调递增,故在上单调递减,∴,()f x [0,]π()f x [,0]π-()()||||f f αβαβ>?>故是充分必要条件,故选A.3. 【答案】C

【解析】解:按照结构图的表示一目了然,就是总工程师、专家办公室和开发部.

读结构图的顺序是按照从上到下,从左到右的顺序.故选C .

【点评】本题是一个已知结构图,通过解读各部分从而得到系统具有的功能,在解读时,要从大的部分读起,一般而言,是从左到右,从上到下的过程解读. 

4. 【答案】D 【解析】

试题分析:程序是分段函数 ,当时,,解得,当时,,

???=x y x lg 20

0>≤x x 0≤x 212=x

1-=x 0>x 21lg =x 解得,所以输入的是或,故选D.

10=x 1-10考点:1.分段函数;2.程序框图.11111]5. 【答案】C

【解析】解:根据茎叶图中的数据,得;甲得分的众数为a=85,乙得分的中位数是b=85;所以a=b .故选:C . 

6. 【答案】D 【解析】解:函数

为非奇非偶函数,不满足条件;

函数y=x 2为偶函数,但在区间(0,+∞)上单调递增,不满足条件;函数y=﹣x|x|为奇函数,不满足条件;

函数y=x ﹣2为偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,满足条件;故选:D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性,是函数图象和性质的综合应用,难度不大,属于基础题. 

7. 【答案】D.

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第Ⅱ卷(共110分)8.【答案】A

【解析】解:∵z=2﹣i,

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∴====,

∴=10?=4+2i,

故选:A.

【点评】本题考查复数的运算,注意解题方法的积累,属于基础题. 

9.【答案】C

【解析】解:∵a n=29﹣n,

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∴T n=a1?a2?…?a n=28+7+…+9﹣n=

∴T1=28,T19=2﹣19,故A不正确

T3=221,T17=20,故B不正确

T5=230,T12=230,故C正确

T8=236,T11=233,故D不正确

故选C

 

10.【答案】B

【解析】解:(h(x))′=x x[x′lnx+x(lnx)′]

=x x(lnx+1),

令h(x)′>0,解得:x>,令h(x)′<0,解得:0<x<,

∴h(x)在(0,)递减,在(,+∞)递增,

∴h()最小,

故选:B.

【点评】本题考查函数的导数的应用,极值的求法,基本知识的考查.

 

11.【答案】C

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12.【答案】C

【解析】解:众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标,

∴中间的一个矩形最高,故10与15的中点是12.5,众数是12.5

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标

第一个矩形的面积是0.2,第三个矩形的面积是0.3,故将第二个矩形分成3:2即可

∴中位数是13

故选:C.

【点评】用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积=组距×,各个矩形面积之和等于1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型.

 

二、填空题

13.【答案】 .

【解析】解:作出不等式组对应的平面区域,

直线y=k(x+2)过定点D(﹣2,0),

由图象可知当直线l经过点A时,直线斜率最大,当经过点B时,直线斜率最小,

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由,解得,即A(1,3),此时k==,

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由,解得,即B(1,1),此时k==,

故k的取值范围是,

故答案为:

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【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的公式的计算,利用数形结合是解决此类问题的基本方法.

 

14.【答案】 .

【解析】解:∵=2,由正弦定理可得:,即c=2a.

b=2a,

∴==.

∴cosB=.

故答案为:.

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

 

15.【答案】

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【解析】解:对于①,把函数y=sin(x﹣)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin(2x﹣),故①正确.

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对于②,当α,β是第一象限角且α<β,如α=30°,β=390°,则此时有cosα=cosβ=,故②错误.

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对于③,当x=﹣时,2x+π=π,函数y=cos(2x+π)=﹣1,为函数的最小值,故x=﹣是函

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数y=cos(2x+π)的一条对称轴,故③正确.

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对于④,函数y=4sin(2x+)=4cos[﹣(2x+)]=4cos(﹣2)=4cos(2x﹣),

故函数y=4sin(2x+)与函数y=4cos(2x﹣)相同,故④正确.

对于⑤,在上,2x﹣∈,函数y=2sin(2x﹣)在上没有单调性,故⑤错误,

故答案为:①③④.

 

16.【答案】 1 .

【解析】解:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数,

∴=1.

故答案为:1.

【点评】本题属于容易题,是考查函数周期性的简单考查,学生在计算时只要计算正确,往往都能把握住,在高考中,属于“送分题”.

 

17.【答案】2

【解析】解:设f(x)=﹣,则f(x)为奇函数,所以函数f(x)的最大值与最小值互为相反数,

即f(x)的最大值与最小值之和为0.

将函数f(x)向上平移一个单位得到函数y=1﹣的图象,所以此时函数y=1﹣(x∈R)

的最大值与最小值的和为2.

故答案为:2.

【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系,奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键.

 

18.【答案】2016

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三、解答题

【解析】解:(1)∵f(1)=a+b+c=﹣,

∴3a+2b+2c=0.

又3a>2c>2b,

故3a>0,2b<0,

从而a>0,b<0,

又2c=﹣3a﹣2b及3a>2c>2b知3a>﹣3a﹣2b>2b

∵a>0,∴3>﹣3﹣>2,

即﹣3<<﹣.

(2)根据题意有f(0)=0,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+a﹣c=a﹣c.

下面对c的正负情况进行讨论:

①当c>0时,∵a>0,

∴f(0)=c>0,f(1)=﹣<0

所以函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点;

②当c≤0时,∵a>0,

∴f(1)=﹣<0,f(2)=a﹣c>0

所以函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点;

综合①②得函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;

(3).∵x1,x2是函数f(x)的两个零点

∴x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.

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故x1+x2=﹣,x1x2===

从而|x1﹣x2|===.

∵﹣3<<﹣,

∴|x1﹣x2|.

【点评】本题考查了二次函数的性质,对于二次函数要注意数形结合的应用,注意抓住二次函数的开口方向,对称轴,以及判别式的考虑;同时考查了函数的零点与方程根的关系,函数的零点等价于对应方程的根,等价于函数的图象与x轴交点的横坐标,解题时要注意根据题意合理的选择转化.属于中档题.

 

【解析】解:(1)函数f (x )=cos (ωx+)的图象的两对称轴之间的距离为

=

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∴ω=2,f (x )=cos (2x+).

令2x+

=k π,求得x=

,可得对称轴方程为 x=

,k ∈Z .

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令2k π﹣π≤2x+≤2k π,求得 k π﹣

≤x ≤k π﹣

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可得函数的增区间为,k ∈Z .

(2)当2x+=2k π,即x=k π﹣,k ∈Z 时,f (x )取得最大值为1.

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当2x+

=2k π+π,即x=k π+

,k ∈Z 时,f (x )取得最小值为﹣1.

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∴f (x )取最大值时相应的x 集合为{x|x=k π﹣,k ∈Z};

f (x )取最小值时相应的x 集合为{x|x=k π+,k ∈Z}.

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21.【答案】(1);(2).320x y ++=()2

2

28x y -+=【解析】

试题分析:(1)由已知中边所在直线方程为,且与垂直,结合点在直线AB 360x y --=AD AB ()1,1T -上,可得到边所在直线的点斜式方程,即可求得边所在直线的方程;(2)根据矩形的性质可得

AD AD AD 矩形外接圆圆心纪委两条直线的交点,根据(1)中直线,即可得到圆的圆心和半径,即可求ABCD ()2,0M 得矩形外接圆的方程.

ABCD

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(2)由解得点的坐标为,

360

320

x y x y --=??

++=?A ()0,2-因为矩形两条对角线的交点为,

ABCD ()2,0M

所以为距形外接圆的圆心, 又,

M ABCD AM =

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=从而距形外接圆的方程为.1

ABCD ()2

2

28x y -+=

考点:直线的点斜式方程;圆的方程的求解.

【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解,其中解答中涉及到两条直线的交点坐标,

AB AD AB AD 圆的标准方程,其中(1)中的关键是根据已知中边所在的直线方程以及与垂直,求出直线

A

的斜率;(2)中的关键是求出点的坐标,进而求解圆的圆心坐标和半径,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.

22.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)设M=

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则=4=,∴①

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又=(﹣1)=,∴②

由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2,∴M=;

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(Ⅱ)易知=0?+(﹣1),

∴M5=(﹣1)6=.

【点评】本题考查矩阵的运算法则,考查学生的计算能力,比较基础.

23.【答案】

【解析】解:(I)由∵cosA=,0<A<π,

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∴sinA==,

∵5(a2+b2﹣c2)=3ab,

∴cosC==,

∵0<C<π,

∴sinC==,

∴cos2C=2cos2C﹣1=,

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∴cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣

∵0<B<π,

∴B=.

(II)∵=,

∴a==c,

∵a﹣c=﹣1,

∴a=,c=1,

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∴S=acsinB=××1×=.

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,两角和与差的正弦公式等知识.考查学生对基础知识的综合运用.

 

24.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)元件A为正品的概率约为.

元件B为正品的概率约为.

(Ⅱ)(ⅰ)∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况:两件正品,A次B正,A正B次,A 次B次.

∴随机变量X的所有取值为90,45,30,﹣15.

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∵P(X=90)==;P(X=45)==;P(X=30)==;

P(X=﹣15)==.

∴随机变量X的分布列为:

EX=.

(ⅱ)设生产的5件元件B中正品有n件,则次品有5﹣n件.

依题意得50n﹣10(5﹣n)≥140,解得.

所以n=4或n=5.

设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A,

则P(A)==.