初中数学培优竞赛讲座第32讲__最大公约数与最小公倍数

第三十二讲 最大公约数与最小公倍数

如图，一个圆圈上有n (n ＜100＝个孔．小明像玩跳棋一样，从A 孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳

动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A 孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳

到B 孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B ；最后他每步跳过6孔，正好回

到A 孔．问这个圆圈上一共有多少个孔?

思路点拨 依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B 孔外，

圆圈上的孔数是3的倍数，有3│n —1；每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，

故除掉B 孔外，圆圈上的孔数是5的倍数，因此，有5│n —1；又每步跳过6个孔时，

可回到A 孔，这表明7│n ．

因(3，5)=1，故15│n —1．因n<100，故n 只可能是16，31，46，61，76，91，其中仅有91是7的倍数，故n=91，即圆圈上有91个孔．

知识要点：

1．(1)设a 1，a 2是两个整数，如果d │a 1，，d │a 2，那么d 就称为a 1和a 2的公约数．一般地，设k a a a 、、、 21是k 个整数．如果d │a 1，…d │a k ，那么d 就称为k a a a 、、、 21的公约数．

(2)设a 1，a 2是两个不全为零的整数，那么的公约数中最大的称为a 1和a 2的最大公约数，记作(a 1 ，

a 2)．一般地，设k a a a 、、

、 21是k 个不全为零的整数，那么k a a a 、、、 21的公约数中最大的称为k a a a 、、、 21的最大公约数，记作(a 1，a 2，…，a k )．k a a a 、、、 21的公约数一定是最大公约数的约数．

2．设a 1，a 2是两个均不等于零的整数，如果a 1│l ，a 2│l ，则称l 是a 1，a 2的公倍数，a 1，a 2的正的

公倍数中最小的称为a 1与a 2的最小公倍数．一般地，设k a a a 、、

、 21是k 个均不等于零的整数．如果a 1│l ，…，a k │l ，则称l 是k a a a 、、

、 21的公倍数，其中正的公倍数中最小的称为k a a a 、、、 21的最小公倍数，其他公倍数一定是最小的公倍数的倍数．

3．若将a ，b 进行质因数分解，并将它们表示成

m m p p p a ααα 212

1=， m m p p p b β

ββ 2121=． 其中p 1，p 2，…，P m 为质数，α1，α2，，…αm ，β1，β2，…，βm 为非负整数，且设t i 、t s 分别为αi 、βi (I=1，2，…，m)中的较小者与较大者，则

(a ，b)= m t m t t p p p 2121，

[a ，b]= m s m s s p p p 2121．

4．最大公约数与最小公倍数的重要性质

(1) r 如果b │a ，则(a ，b)=b ，[a ，b]=a ．

(2) 对于任意的正整数m ，有(am ，bm)=m(a ，b)， [am ，bm]=m[a ，b]．

(3) 若a=bg+r (a ＞b ，0≤r ＜b ＝，则有(a ，b)=(b ，r)．

这一性质表示求(a ，b)可转化为求(b ，r)．由于b 和r 相对于a 与b 来说要小，求(b ，r)应较求(a ，b)简便．若b 和r 仍比较大，可重复使用这一性质．这种方法称之为辗转相除法．

(4) ( a 1，a 2，a 3)=((a l ，a 2)，a 3)．

(5) ab=(a ，b)×[a ，b]．

5．若(a 1，a 2)=1，则称a 1与a 2互质．若(a 1，…，a k )=1，则称a 1，…，a k 互质．

值得注意的是居个数互质，不一定两两互质，如(6，9，10)=1，而(6，9)=3．

6．(1)若(a ，b)=1，则 (a ，a ±b)=1，(a ±b ，b)=1，(a ±b ，ab)=1

(2)若(a ，b)=1，a │bc ，则a │c ．

(3)若(a ，b)=1，a │c ，b │c ，则ab │c ；

(4)若(a ，b)=1，则(ac ，b)=(c ，b)；

(5)若(a ，b)=1，c │a ，则(c ，b)=1．

【例1】 (黄冈市初中竞赛题)23个不同的正整数的和是4845，试问：这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少?写出你的结论，并说明理由．

思路点拨 设这23个彼此不同的正整数为a 1，a 2…，a 23，并且它们的最大公约数是d ，则a 1=db 1，a 2=db 2，…，，a 23=db 23，依题意，有

4845= a 1+a 2+…+a 23=d(b 1+ b 2+…+ b 23)．

∵ b 1， b 2，…， b 23也是彼此不等的正整数，

∴ b 1+ b 2+…+ b 23≥1+2+…+23=276．

因此，4845=d(b 1+ b 2+…+ b 23)≥276d ，

∴d ≤

92

51172764845 ． 又因为4845=19×17×15，因此d 的最大值可能是17．

当a 1=17，a 2=17×2，a 3=17×3，…，a 22=17×22，a 23=17×32时，得

a 1+a 2+…+a 23=17(1+2+…+22)十17×32=4845．

注 本题的解题思路是：可设这23个不同的正整数为a 1，a 2…，a 23，且a 1=db 1，a 2=db 2，…，，a 23=db 2，则4845=d(b 1+ b 2+…+ b 23)．要使d 最大，则b 1+ b 2+…+ b 23应最小．故可求出d 的取值范围，再根据d │14845，求出d 的值．

【例2】(希望杯初一数学竞赛试题)古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…

子丑寅卯辰巳午未申酉戌女子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……

从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，，第3列是丙寅……则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是( ) A ．31 B ．6l C ．91 D ． 121

思路点拨 “甲”在第一行出现的位置是l0m+1，m=0，1，2，…，“子”在第二行出现的位置是12n+1，n=0，1，2，…．

∴ “甲”和“子”在同一列时应有l0m 十1=12n 十l

即l0m=12n

当m=n=0时是第一次“甲”“子”同列，第二次“甲”“子”同列时应是使得l0m=12n 成立的最小正整数m 和n ，即m=6，n=5．

∴ 应是第61号位置．故选B ．

注：“甲”“于”在同一列时，它们的序号相同，这是解题的关键．

【例3】 (北京市竞赛)张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知x ，y ，z 的最小公倍数为60，x 和y 的最大公约数为4，y 和z 的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张? 思路点拨 由题意可知，y 不仅是3的倍数，而且是4的倍数，即y 是12的倍数．同时y 是60的约数，故而可求y ．

∵ (x ，y)=4，(y ，z)=3，∴y 是3与4的倍数，而3与4互质，故y 是12的倍数．又∵ [x ，y ，z]=60，∴ y=12，60．进而可求出x ．

∵ [x ，y ，z] =60=3×4×5．当y=12时，x 、z 中至少有一个含有因数5．若x 中有因数5，又x 中有因数4，且4与5互质，∴x 中有因数20．而[x ，y ，z]=60，(x ，y)=4，故x==20．

当x 中没有因数5，∵x 中有因数4，且x 是60的约数，∴x=4，或x=12，而(x ，y)=4，故x=4． 当y=60时，(x ，y)=4，而x 中没有因数5，且[x ，y ，z] =60=3×4×5，故x=4．

因此，张华发出的贺年卡为4张或20张．

注 (1)本题的切入点是最大公约数和最小公倍数；

(2)注意答案的两种可能性．

【例4】 在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的?

思路点拨 由于最初所有电灯是关着的，所以只有那些拉了奇数次开关的电灯才是亮的，而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次取决于这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约数，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数．所以，只有编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的电灯最后是亮着的． 注：本题的一个重要条件是最初时灯都是关着的．然后对每个编号分解质因数．

【例5】 两个正整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是( )

A ．273

B ．819

C ．1911 R3549

思路点拨 设两个正整数为a 与b ，则

a+b=60=22 ×3 ×5，

[a ，b]=273=3×7×13．

显然，a ，b 的最大公约数是1或3．

如果(a ，b)=1，则[a ，b]=a ×b ．

a 、

b 只能取21、13，7、39，1、273，3、91，其和均不为60．

因此，(a ，b)=3，于是

a=3 ×7，b=3 ×13，

∴ a ×b=(3×7)×(3X ×3)=819． 故选B ．

注：本题的精妙之处在于由a+b 和[a ，b]的两个质因式的分解，确定出a 和b 的最大公为数是1或3．

【例6】 用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．

思路点拨 用任意元钱n (n ＞7)去买单价为3元的雪糕，只能余l 元或2元．若余2元时，少买一根3元雪糕，余数就为2+3=5元，恰能买一块5元的雪糕．若余1元时，少买3根3元的雪糕，余数为1+3×3=10元，恰能买2根5元雪糕．若n 能被3整除，就用所有钱去买3元的雪糕，恰合题意．

注：由3的同余数入手分类，结合拼凑法使问题得到证明．

【例7】已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．

思路点拨 设所求二数为x ，y ，且(x ，y)=d ，令x=ad ，y=bd ，则(a ，b)=1．根据题意有

??

???=+=+d ab d b a 84160，由于(60，84)=12，所以d=l ，2，3，4，6，12． 而当d ：1，2，3，4，6时，方程组无解．

当d=12时，方程组变为???==+65ab b a ，解之得?

??==32b a 或???==23b a 佐：：．， 故所求的两数为x=24，y=36．

【例8】 ( “五羊杯’’竞赛题)设a 与b 是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a ，b]=90，则最大公约数(a ，b)=( ) A ．1 B ．3 C ．11 D ．9

思路点拨 令(a ，b)=x ，则x 是a ，b ，a+b 及[a ，b]的公约数，故x 是33和90的公约数，知x=1或

x=3．

当x=1时，a与b互质，而a+b=33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，而[a，b]=90，说明a、b 至少有一个能被3整除．当b能被3整除，由a+b=33，则b也能被3整除，故(a，b)≠1，即x≠1．

当x=3时，即有(a，b)=3，∴ab=[a，b]，(a，b)=3×90=32×5×6，而a+b=33，∴a=15，b=18，(a，b)=3．故选B．

学力训练

(A级)

1．( “希望杯”培训题)2001的正约数的个数是( )

A．3 B．4 C．6 D．8

2．( ‘希望杯”竞赛题)下面的四句话中正确的是( )

A．正整数a和b的最大公约数大于等于a

B．正整数a和b的最小公倍数大于等于ab

C正整数a和b的最大公约数小于等于a

D．正整数a和b的公倍数大于等于ab

3．360×473和172×361这两个积的最大公约数是( )

A．43 B．86 C．172 D．4

4．(北京市竞赛题)a，b是彼此不相等的非零数字，则ababab与4017的最大公约数是．5．(上海市竞赛题)写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为．

6．甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢?

(B级)

1所有形如abcabc的六位数(a，b，c分别是0~9这十个数之一，可以相同，但a≠0)的最大公约数是( ) A．1001 B．101 C． 13 D．11

2用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要( )块．

A．6 B．8 C．12 D．16

3．祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是( )

A．70岁、23岁 B．69岁、22岁 C．115岁、14岁 D．114岁、13岁

4在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )

A．33 B．34 C．35 D．37

5(2000年“希望杯”竞赛题)设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225．

(1)如果m和n的最大公约数为15，则m+n= ；

(2)如果m和n的最小公倍数为45，则m+n= ．

6．个正整数之和为667，其最小公倍数是它们扣最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有组．7．a，b]表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14，35]=70，则满足[x，y]=-6，[y，z]=15的正整数组(x，y，z)共有组．

8．甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆．现在改成每隔60m 安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动?

参考答案

初二数学培优竞赛题

―――――－―――――――――――――――装――――――订――――――线――――――――――――――――――――――― 班级 姓名 学号 座位号 考场纪律：正常（ ） 不正常（ ） 初二数学培优竞赛题 1.已知△ABC,∠BAF=Rt ∠，∠D=75°，AB=AD,延长BA 作CE ⊥BA 交AB 于点E, ∠BAG=∠CAF （16分） (1)画出与△ABC 面积相等的三角形（要求与图中的任意一条边重合）（4分） (2)当∠D=80°时其余条件不变△ABC 还与你画的三角形面积相等吗？为什么？ 那么如果∠BAF=80°呢？（任选一个你画的三角形证明）（6分） (3)根据(2)(3)题你得出的结论说明在什么条件下才能使你画的三角形于与△ABC 的面积相同（6分） 2.已知直线y=x+3交x 于A ，y 于B ，直线y=-x+2,交x 于C ，y 于D,P 为AB 的中点，过点P,（4，0）两点画直线，交直线y=-x+2于Q （14分） (1)求A,B,C,D,P,Q 的坐标（3分） (2)求直线P,（4，0）的函数表达式（2分） (3)求∠BPQ 的度数（5分） (4)若直线AB 上有点K ，连结KQ ，当△PKQ 为等腰三角形时，求QK 的长以及△PKQ 的面积（4分） 3.已知函数y = -2*x + 3与函数y=ax+b 的夹角为30°（11分） （1）求a,b 的值（1分） （2）设函数y = -2*x + 3在第四象限交的第三个格点为P ，交y 于A 函数y=ax+b 交x 于B ，求ΔABP 的面积和周长（4分） （3）如果直线l 平行于直线y=ax+b ，并与x 轴交于点C,且点C 与点B 对称，求ΔCAP 的

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十一讲 应用题(含答案)

第二十一讲 应用题 趣题引路】 2003年“信利杯”数学竞赛有一道有趣的应用型问题： 某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h ）如图21-1所示若汽车行驶的平均速度为80km/h ，而汽车每行驶1km 需要的平均费用为1.2元试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？ 图21-1 O H G F E D C B A 5 7 11 151413 61710 12 18 9 解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类： （1）从A 城出发到达B 城，经过O 城.因为从A 城到O 城所需要最短时间为26h ，从O 城到B 城所需最短时间为22h.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（h ）. （2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城。这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49h. 综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48h ，所走的路线为A →F →0→E →B.所需的费用最少为80×48×1.2=4608（元）. 在本讲中，将介绍各类应用题的解法与技巧。 知识拓展】 当今数学已经渗人到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点。 应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心。 解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型.其求解程序如下：

七年级数学培优竞赛教案

奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。

解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第八讲 二次根式的性质和运算(含答案)

第八讲二次根式的性质和运算趣题引路】 甲、乙两人同时解根式方程7 ，抄题时，甲错抄成7，结果解得其 根为 12 7，结果解得其根为13.已知两人除错抄外，解题过程都是正确的.a、 b、d均为整数，试求a、b的值. 解答如下：将x= 12 7 = 7 ，两边平方得49 a b ++= 可知为非负整 数，也为非负整数；将x=13 代 入7类似 可得49a d -+= ，得到 及.因此12-a和13+a均为完全平方数且-13≤a≤12，故a=12或a=-4或a=-13，因此b=37或b=-3或b=-8. 将错就错，倒求a，b！要求你对二次根式的性质和运算相当熟练，下面我们将深入学习这一内容. 知识拓展】 1.二次根式的性质和运算法则 （ 1）2(0) a a =≥ （ 2 (0) (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? （ 3 0,0,0) 0) n a b a b a ≥≥≥> =≥ 2.二次根式的化简 （1）主要思路是有理化.分母有理化和分子有理化是两种基本转换技能. （2）复合二次根式的化简通常有三种途径 ①平方法 ②配方法 ③待定系数法 3.二次根式的大小比较 主要途径有：平方法；求商法；有理化法；几何作图法等.

一、二次根式的化简求值技巧 二次根式的求值问题可归结为几种模式： 1.化成1 x a x + =模式 例1（2001 年河北省竞赛题）已知 ：2=，那 么 的值等于 . 解析：利用两边平方法将已知式变成12x x +=，同时变换待求式，使之出现1 x x +部分，整体代入求值. 解 2=两边平方并整理得1 2x x + =.则： 原式 11==. 2.化成20ax bx c ++=模式 例2 （2001年天津竞赛题）计算 . 2001200019991)1)1)2001--+= . 解析：前三项可提取公因数20011)，为方便，可换元求值： 解 设 x 1，则x - 1 2220x x --= 20012000199919992222001 (22)2001 2001x x x x x x =--+=--+=原式 3 . 例3（2002 解析： 设法把2 写成某个数的平方，采取添项拆项法： 2 21112(411)222??+=+=+=? ?

数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲 几何最值

第22讲 几何最值 知识纵横 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。 2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理. 3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。 例题求解 【例1】 如图，在锐角ABC ?中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。 （陕西省中考题） 思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。 例1

例2 【例2】 如图，在ABC ?中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8 （兰州市中考题） 思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。 【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm. (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4 1 = y cm 时，求x 的值. （河南省中考题） 思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值 例3

数学尖子生的培优策略

数学尖子生的培优策略 无论在任何时代都需要出类拔萃的人才，没有这样的人才就谈不到文化科学的进步。这是时代的需要，更是国家建设的需要。当前社会正是知识、经济突飞猛进的年代，各行各业都呼唤着杰出的人才的出现。富有数学天赋的优等生并不能自发地出现。不管他们有多聪明、多好学，都不可能无师自通。他们需要培养，需要接受有针对性的指导和进行严格的训练。而教师也同样不能忽视在普遍提高的基础上去发现和培养数学尖子生的任务。作为一名为国家输送优秀栋梁的人民教师，对于优秀学生的重点培养有着义不容辞的责任。 培养数学尖子生，首先要善于发现和选择好的苗子。尖子生的苗子应该具备基础扎实，思想活跃，思维敏捷，学习上优较大的潜力和较强的分析问题和解决问题的能力，并且具有浓厚的数学兴趣和勇于创新的精神。主要从以下几个方面来考察： 1、注意学生各学科学习水平的全面、均衡发展。作为尖子生的苗子，既要有扎实的数理化实力，又要有良好的文科基础，从而具备较强的理解能力、表达能力和归纳总结能力。这正是尖子生成材必不可缺的前提。 2、重视学生的智力水平。有些学生学习勤奋，善于模仿，心细有耐性。他们在常规的考试中往往成绩优秀，但仅仅局限于书本，学习上缺乏潜力，这类学生不适合作为尖子生的苗子。另一些学生具有较强的思维能力，喜欢钻研，喜欢看课外书，喜欢超前自学，喜欢别

出心裁，但比较粗心大意。其数学成绩不大稳定。这类学生学习潜力很大，只要引导得法，就是好苗子。 3、了解学生的非智力因素。数学尖子的好苗子往往都有强烈的学习欲望，有良好的自信和毅力，有独特的学习方法和科学的学习习惯。而这些非智力方面的因素恰恰能起到强化学习深度和提高学习效率的作用。 准确选拔数学尖子的苗子是很重要的，但这仅仅是第一步，更重要的还在于如何培养数学尖子生。这里必须解决好一个普及与提高的关系，解决好尖子与一般的矛盾。不解决好这些问题，就必然会顾此失彼。如何处理好这些问题，使数学尖子生得以充分发展，知识、技能水平更上一层楼呢？要结合这些尖子生的具体特点，采取有力的相应措施： 1、严格要求，打下坚实的基础。严师出高徒。培养数学尖子生，首先要严格要求，使学生打下坚实的基础。有了坚实的基础，才能深入钻研，进一步培养能力，发展智力。有些尖子生因为有了一些成绩就产生骄傲自满的情绪，在学习上好高骛远，不愿意扎扎实实打好基础，这是十分致命的弱点。对尖子生要肯定成绩，树立信心。但不能过分表扬，更要指出缺点，因势利导，稳扎稳打。学习数学必须加强练习巩固。特别是要勤动脑，多动手。 2、精选内容，注重培养思考钻研能力，提高自学能力。根据数学尖子生的学习水平，整理编选一些较有质量的学习内容，提供一些必要的课外学习资料，帮他们制定一定的学习计划。在学习方法上给

8年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

八年级 第1题：下列命题： （1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 解析： （1）全等三角形的中线、高、角平分线对应相等，正确 （2）可以先证明两边的夹角相等，再证明两三角形全等，正确 （3）可以用AAS或ASA判定两个三角形全等，正确 （4）参考等高模型，两三角形不一定全等，错误 第2题：如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC和∠ACB，过点I作DE ∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形； ②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC，其中正确的是（） A．①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

答案：C 解析： ①因为IB 平分ABC ∠ 所以CBI DBI ∠=∠ 因为DE 平行BC 所以CBI DIB ∠=∠ 所以DIB DBI ∠=∠ 所以BD=DI 所以DBI ?是等腰三角形 ②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠ 所以IAC ∠不一定等于ICA ∠ 所以ACI ?不一定是等腰三角形 ③因为三角形角平分线相交于一点，BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线 所以AI 平分BAC ∠ ④因为DI BD =,同理可得EC EI = 所以ADE ?的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++ 第3题：已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A ．6条 B.7条 C.8条 D.9条 答案：B 解析： 根据当11AC BC =，2CC AC =，3BC AB =，44CC AC =，5AC AB = 6AC AB =，77CC BC =时，都可以得到符合题意的等腰三角形 所以共有7条

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题11 巧解二元一次方程组

专题11 巧解二元一次方程组 专题解读】 解二元一次方程组的基本思路是“消元”，常用的解法有两种：“代入法”与“加减法”，这两种解法的基本思想是通过消元把二元一次方程组化为一元一次方程.对于一些特殊形式的方程组，如果我们能够通过观察发现其结构特征与规律，比如其未知数的系数、常数项的特征，那么我们就可采用灵活、巧妙的方式进行变式，从而最终达到消元的目的. 思维索引 例1.解方程组：（1）9779212, 7997140; x y x y +=??+=?①② （2）()()3536, 3436; x x y y x y ?++=??++=?? ①② 例2.解方程组：（1）23237, 43 23238; 32x y x y x y x y +-?+=???+-?+=??①② （2）12, 57 12; 7 5 x y x y ?+=??? ?+=??①② 例3.（1）当a 取什么值时，方程组5331x y a x y +=??+=?的解是正数？ （2）要使方程组21x ky k x y +=??-=? 的解都是整数，k 应取哪些整数值？

素养提升 1.若2310x y z ++=，43215x y z ++=，则x y z ++的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.解方程组32 3 2411 75 1 x y z x y z x y z -+=?? +-=??+-=?①②③，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ） A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都可 3.若237 a b c ==，且12a b c -+=， 则23a b c -+等于（ ） A. 3 7 B.2 C.4 D.12 4.若201720182016 201820172019 x y x y +=??+=?①② ，则()()23 x y x y ++-的值是（ ） A.28 B.0 C.10 D.19 5.今有上等谷子三捆，中等谷子二捆，下等谷子一捆，共得谷子三十九斗；如果有上等谷子二捆，中等谷子三捆，下等谷子一捆，共得谷子三十六斗：上等谷子一捆，中等谷子二捆，下等谷子三捆，共得谷子三十三斗，则上、中、下三等谷子一捆各有斗数是（ ） A.3，3，4 B.8，5，5 C.7，9，12 D.12，13，14 6.已知代数式2ax bx c ++，当1x =-时，其值为4；当1x =时，其值为8；当2x =时，其值为25；则当3x =时，其值为 . 7.一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，这对夫妇共有子女 个. 8.在解关于x 、y 的方程组()()2 1 21 4 ax b y b x ay ?+-=??--=??① ②时，可以用2?-①②消去未知数x ，也可用 4?+?①②3消去未知数y .则a = ，b = . 9.当2x =-，1y =，或1x =-，2y =，或0x =，1y =时，等式220x y Dx Ey F ++++=都成立，则D = 、E = 、F = 10.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套. 11.解方程组：（1）361463102 463361102 x y x y +=-??+=? ① ② （2）73890 2367180 x y x y -=??-=? ① ②

黄东坡数学培优竞赛新方法平行四边形与平移变换(答案)

例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻AM=AC、S△AMB= S△ABC．

（2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果 （三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）； ∴△BDF、△EFC均为RT三角形 例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．

解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种． 例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论． 证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC， 可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC， 再证△PED≌△PFB．得PB=PD． ∴ABCD为平行四边形． 例4（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．

七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线

专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题）

图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1

数学培优竞赛新方法(九年级)-配方法

配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。 运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式： 1.222)(2b a b ab a ±=+± 2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[] 2222 2 2 )()()(2 1 a c c b b a ca b c ab c b a ±+±+±= ±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222 2 -+ ??? ? ?+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为 （镇江市中考题） 思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。 【例2】已知c b a 、、，满足722 =+b a ，122 -=-c b ， 1762 -=-a c ，则c b a ++的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 （河北省竞赛题） 思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手 【例3】已知a 是正整数，且a a 2004 2 +是一个正整数的平方，求a 的最大值。 （北京市竞赛题） 思路点拨 设2 2 2004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。 【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422 =-+=-c ab b a ，求c b a ++的值 （浙江省竞赛题）

(完整版)初中数学培优竞赛讲座第30讲__创新命题

第三十讲 创新命题 计算机技术与网络技术的迅猛发展，深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式．IT 技术、Cyber 空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷． 与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法．近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型： 1．定义一种新运算； 2．定义一类新数； 3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题； 4．注重跨学科命题． 解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用． 例题 【例1】 一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 自然数可分为奇数与偶数，从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手． 注： 定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题． 【例2】 在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A 、B 、C 、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A 、B 组成的图形记为B A ?，在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“D A ?”和“C A ?”的是( ) ． A ．(a)，(b) B ．(b)，(c) C ． (c)，(d) D ．(b)，(d) (江苏省竞赛题) 思路点拨 从甲组图形中，两两比较A 、B 、C 、D 分别代表的哪种线段，哪种圆． 【例3】 有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少? ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口． 【例4】 设[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.7]＝3，[－3.7]＝－4)解下列了程： (1)[－l. 77x]＝[－1.77]x ；(x 为非零自然数) (四川省选拔赛试题) (2)[3x+1]=2x － 2 1 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 解与[x]相关的问题，关键是去掉符号“[ ]”，需灵活运用[x]的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来． 注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之．[x]有以下基本性质： (1)x=[x]+r ，0≤r

西安交大少年班入学考试试题

数学：全国数学竞赛或联赛的题要做，黄东坡的《培优竞赛新方法》的竞赛内容。物理：省赛水平，力电为主，去年光声都没考。 语文：古文要注意，作文关注社会热点。 英语：看高中词汇，做高考阅读和完型填空。 化学：去年没考，建议天原杯的原题。 面试：10个科普，一个一分钟回答，一个动手能力操作，一个团队合作项目，再问你什么事情让你成长最多。面试时要努力争取发表意见的机会但不要让人觉得你爱出风头过于张扬，要把握一个度。 科普：书香门第是什么意思？被蚊子叮了为什么痒？兔子上山快还是下山快为什么？NBA单场最高得分是多少？ 一分钟：砖块的用处？空城计被识破了会怎么样？ 团队合作：每人在一张纸上画一笔，并起一个名字。 动手：如何把一张纸变得最长，要有创意。 数学是最难的一门，甚至有好多高中奥赛的题，千万不要指望都做出来，重要的是心态，不要慌，能做多少做多少就行了。 语文重要的是阅读量，都是初中生没看过的，如果你平常看的课外书比较多，应该不成问题。 英语吗，我英语比较好，当时考了全河北省第一，所以觉得比较简单，呵呵，给不出什么建议，抱歉啦。 物理不难，要做一本叫《初中生物理培优教程》，有大量原题。 面试要落落大方，大胆些，抢到说话的主动权，无论发生什么紧急状况，千万不要怵，因为那是评委给你设的套！ 题目很多，我是去年的，我们先是自我介绍，然后专家会根据你的介绍向个人提问题。不过，呵呵，有的会问提前写好的问题，我们那一组有两道题挺好“如果照相时摄影师没有安排你位置，你会选择坐在哪里？”，“你如何看待学校里阴盛阳衰（女生比男生强势）的问题？”反正，我觉得这种题，你最好答的成熟一些，比如我前面有个人答第一个题，她竟说在最边上！当时我觉得她就挂掉了。不过因人而异，表达自己就好，专家通常能看出你是不是很真实，最忌讳虚假！！！然后就是看了一幅图片，我记得当时是一只母鸡喂养一只小狗，然后写下自己的感想，然后依次发言，我的建议，写的不要太详细，关键字写上就好，这样发言时自由空间比较大。然后是动手操作，我知道两道题：用一个纸杯，一根吸管，胶带，一根牙签（好像是），一个组做一个能下落时间最长的飞行器，一个组我记得是做能从斜面上滑下能直线运动且运动最远的模型。反正你只要做得比同组人做的好就行了。比较式的那种呵呵，你比同组强就行了。我是女生，我觉得女生其实挺占优势，至少我们做得差不多就行了，不过最后的环节，他们问你可不可以实验一下，一定要实验哦，否则我个人认为你的主动性得分就会大打折扣。还有最简单有效的模型有时就比奇异形状好。既省时间，又好想。最后一个环节，我们是集体合作将一个字改成画，“旮”。我们组做得超级好。因为我们提前就商量

(合集)八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案通用

超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答 案（15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式. 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法. 它的理论依据就是乘法分配律. 多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂. （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式. 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号. 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式

变换. 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果. 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值. 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果. 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6. 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n ，3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数. 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可. 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() Θ对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数. ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨：

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 点共线与线共点(含答案)

第二十讲 点共线与线共点 趣题引路】 例1 证明梅涅劳斯定理： 如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。 求证： 1=??DB AD EA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DG CF DG AE AD ∴== ∴ 1=??=??BD AD AD DG DG BD BD AD EA CE FC BF 例2 证明塞瓦定理： 如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证： 1=??FB AF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACP ABP ACP BAP BCP S S S BD CE AF DC S EA S FB S ??????=== ∴ 1=??=????????BCP ACP ABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD 知识拓展】 1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。 2.证明三点共线的方法是： （1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。 （3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。 （4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。 （5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是： （1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点. （3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。 （4）利用塞瓦定理的逆定理。 在证题过程中要根据题意灵活选用方法。 例1 如图20-3，已知BD =CE ，求证：AC ·EF =AB ·DF . 图20-1 图20-2

八年级上册科学《溶液》单元培优训练试题

八年级上册科学《溶液》单元培优训练试题 1．20 ℃时，在三个各盛有100 g水的容器中加10 g甲、乙、丙三种纯净物(不含结晶水，不与水反应)，待充分溶解后，情况如表所示，正确的是() A． C．丙溶液的溶质的质量分数最大D．20 ℃时，甲的溶解度最大 2．分离混合物要根据各成分不同的性质选用不同的方法，是人们改造、利用自然界物质的重要方法。下列说法不正确的是() A．结晶法是利用混合物各成分在水中的溶解性不同 B．化学沉淀法是根据混合物各成分的化学性质不同 C．过滤法是根据混合物各种成分的粒子大小不同 D．蒸馏法是利用混合物各成分的沸点不同 3．30 ℃时将等质量的两份饱和石灰水一份冷却到20 ℃，另一份加入少量生石灰，温度仍保持在30 ℃。则两种情况下均不改变的是() A．溶剂的质量B．溶质的质量C．溶质的溶解度D．溶质的质量分数 4．下列有关实验操作的叙述，不正确的是() A．把烧杯置于铁架台的铁圈上直接加热 B．给试管中液体加热时，液体体积不超过试管容积的1/3 C．用量筒量取液体时，视线与量筒内液体的凹液面的最低处保持水平 D．实验剩余的药品，不能放回原试剂瓶 5．能证实20℃时，原硝酸钾溶液是饱和溶液的事实是() A．降温到10℃时有硝酸钾晶体析出 B．蒸发掉10g水，有硝酸钾晶体析出 C．加热到30℃后，再加入硝酸钾晶体仍能继续溶解 D．在20℃的硝酸钾溶液中加入少量硝酸钾晶体，溶液的质量不变 6．下列物质与水混合，在室温时难以形成饱和溶液的是() A．硝酸钾B．酒精C．二氧化碳D．氯化钠 7．配制硝酸钾溶液时得到下表数据，根据表中数据分析，不正确的是() A．28℃时10g水中最多能溶解硝酸钾4g B．60℃时等质量水中能溶解的硝酸钾比28℃时多 C．①②所得溶液溶质的质量分数相等 D．③所得溶液一定是硝酸钾的饱和溶液 8．如图所示，甲、乙试管中分别盛有硝酸钾、氢氧化钙的饱和溶液，试管底部均有未溶解的固体．向烧杯中加入一定质量的氢氧化钠固体后，下列分析正确的是()

初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式

第十八讲 乘法公式 乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式； 3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式； 4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题 【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题) (2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形． 注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式． 从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有： (1)ab b a b a 2)(2 22 ±=+，2 )()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(2 2=--+； （4）4 )()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题) 思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小． 注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．