复变函数与积分变换7
习题七解答
A 类
1．求下列函数的傅氏积分公式
（1）
()??
?><-=1||,
01||,12t t t t f （2）
()???
≥<=-0,
2sin 0,0t t e t t f t
（3）
()??
???<<<<--=其他
,010,
101,1t t t f
解 （1）函数
()??
?><-=1||,
01||,12t t t t f
满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为
()()??
+∞∞-+∞
∞
--=
ω
πωωd dte
e
t f t f t
t
i i 21 ()??+∞∞
----=
ω
π
ωωd dte
e
t t
t
i i 1
1
2
121 ()ω
ωπ
ω??+∞∞
--=
d tdte
t t
1
i 2
cos 11
ωωωωωωωωωπ
ωd e t t t t t t t
i 1
0232sin sin 2cos 2sin 1
?
∞
+∞
-???????????? ??+--=
]
()
?
+∞
∞
--=
ω
ω
ωωωπ
ωd e
t
i 3
cos sin 21
?
+∞
-=
3
cos cos sin 4
?
??
?
??π
td
（2）()???
≥<=-0
,
2sin 0,0t t e t t f t
满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为
()()??
??
+∞∞
-+∞
--+∞∞
-+∞
∞
---=
=
i i i i 2sin 21
21ω
πωπ
ωωωωd dte
te
e
d dte
e
t f t f t
t
t
t
t
??
+∞∞
-+∞
----=
i i 2i 2i i
221ω
π
ωωd dte
e
e e
e
t
t
t
t
t
()()()??
+∞∞-+∞
+---+--=
i 2i 2i i 41
ω
πωωωd dte
e
e
t
t
t t
t
()[]()()[]()ωωωπωωωd e e e t
t
t i 0
2i 12i 12i 12i 1i 41
+∞
∞
+∞-+---+-???????+----+-=
()()ω
ωωπωd e t i 2i 11
2i 11i 41
?
∞
+∞
-??
????+----+--=
()()ω
ωωω
ω
ωωπ
d t t ?
∞
+∞
-++---=
sin i cos 625i 251
4
2
2
()()?
?∞+∞
-∞
+∞
-+---+
+-+-=
ω
ω
ω
ωωωωπ
ωω
ω
ωωωωπ
d t t i
d t t 4
2
2
4
2
2
625cos 2sin 5625sin 2cos 51
()?
∞
++-+-=
4
2
2
625sin 2cos 52
ω
ω
ωωωωπ
t
t
（3）函数
()??
???<<<<--=是奇函数
其他
,010,
101,1t t t f 。
满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为
()()()??
??
+∞∞
-+∞
∞
-+∞∞
-+∞
-=
=
i i i sin i 1
21ω
ωπωπ
ωωωd tdte
t f d dte
e
t f t f t
t
t
ω
ω
ω
πωωπωωd e d tdte
t
t
i 1
i cos 1i 1
sin 1i 1
?
??
+∞
∞
-+∞
∞
--=
?=
ω
ωω
ω
π
td sin cos 12
?
+∞
-=
在()t f 的间断点1,0,10-=t 处以
()()
2
0000-++t f t f 代替。
2．求证如果()t f 满足傅氏积分定理条件，当()t f 为奇函数时，则有
()()()ω
ωωd t b t f ?+∞
=
sin
其中
()()()?+∞
=
sin 2
dt t t f b ωπ
ω
当()t f 为偶函数时，则有
()()()ωωωd t a t f cos 0
?+∞
=
其中
()()()?+∞
=
cos 2
dt
t t f a ωπ
ω
证 设()t f 是奇函数
()()??
+∞∞
-+∞
∞
--=
ω
ττπ
ωωτ
d e
d e
f t f t
i i 21
()()ω
τωτωττπωd d f t
i sin i cos 21-=
??
+∞
∞-+∞
∞-
()??
+∞
∞
-+∞
=
i sin i
1
ω
τωττπωd e
d f t
()ω
ωωd e
b t
i i 21
?+∞
∞
-=
。（()ωb 是ω的奇函数）
()()()ω
ωωωωωωtd b d t t b sin sin i cos i
210
??
+∞
+∞
∞
-=
+=
设()t f 是偶函数
()()??
+∞∞-+∞
∞
--=ω
ττπ
ωωτ
d e
d e
f t f t
i i 21
()()??
+∞
∞
-+∞∞
--=
ω
τωτωττπ
ωd e
d f t
i sin i cos 21
()()ω
ωωωωωtd a d e
a t
i cos 2
10
??
+∞
+∞
∞
-=
=
()ωa 是ω
的偶函数。
3．利用习题2的结论，设
()??
?><=1||,
01
||,1t t t f ，试算出()ωa ，并推证
()
??
?
??>=<=?
∞
+1
||,01||,
4/1||,2/cos sin 0
t t t d t ππωω
ωω
证 ()t f 是偶函数
()()?
=
=
∞+=
ωω
πωωπωπ
ωsin 20
1
sin 2cos 0
2
t tdt t f a ()()?
?
+∞=
+∞
=
ω
ω
ωωπ
ωωωd t td a t f cos sin 0
2
cos 0
所以
()?
∞
+??
?
?
???
??>==
+<==0
1
||01||421021||2
2cos sin t t t t f d t π
πππωωωω
4、求下列函数的傅里叶变换。
（1）
()1||,01|||,|1>≤-=
t t t t f
（2）()()
0,,
00,>≤≤=
ττE t E t f 其它
（3）
()??
?><=-2
/1||,
02/1||,
||t t e t f t
（4）()2
2221σ
σ
πt
e
t f -=
（此函数称为高斯（Gauss ）分布函数）
解（1）
()??
?-=0
||1t t f 1||1||>≤t t ()=ωF ?
()[]()()?
?----=
∞
-+∞=dt
e t dt e
t f t f t t
ωωi i ||11
1
()()??---++-=
dt
e t dt e t t
t ωωi i 101
110
???----
-+
-=
dt
te
dt te
dt e
t
t
t
ωωωi i i 01
1
1
1
??-+
-----
-+-=
-------dt
e e t
dt e
e t
e t
t
t
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ωω?ωωi 01i i 10i i i 0
1i i 1
i 1
1i
()()210
i i 2
01
i i i i i i i i i ωω
ωω
ω
ωω
ωω
ω
ω
-+
+
--
-
-=
-----t
t
e e
e e
e e
2
i i 2
i 2
i 21
1ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
----=
--
-=
e
e
e
e
2
sin
4
!24
2
2
2
2
2i
2i 2
2
2i 2i ω
ω
ω
ω
ω
ωω
ω=
????
?
?
?-=???
? ??--
=--e e e e
（2）
()??
?=,
0,E t f
其他
τ
≤≤t 0
,>τE
()=ωF ?
()[]()??
--=
∞
-+∞=dt
Ee
dt e
t f t f t
t
i ωωτ
i 0
ω
ω
ω
ωωτωi 1i 1
i i i 0
i t
t
t
e
E
e
E
e
E
----=--=-=
（3）
()??
?=-|,0,||t e t f 2
121||||>
<
t t
()=ωF ?()[]()
?
-∞
-+∞=dt
t f t f t
ωi
??
-
---+
+=
02
12
1
i i dt
e
e dt e
e t
t t
t
ωω
()()?
?
-
+--+
=
02
12
1
i 1i 1dt
e dt e
t
t
ωω
()())
i 1(0
i 102
1i 12
1i 1ωωωω+-+
--
=
+-t
t
e e
ω
ω
ωωi 11i 112
i 12
i 1+-+
--=
+---
e
e
()()2
2i 12i 11i 11i 11ω
ωωω
ω
+-???
?
?
?-++???? ?
?-=
+---e e
???
?
????????
??-++-+=
---2i 2
i 2i 2i 212
i i 211ωωωωωωωe e e e e
???
???
????? ??--+=
-2sin 2cos 11221
2ωωωω
e
（4）()2
2221σ
π
t
e
t f -
=
教科书中P197，例7.2.3已解得钟形脉冲函数2
t
Ee
β-的傅氏变换为β
ω
β
π4/2
-e
E
，本题中
π
21=
E ，
2
21σ
β=
，所以
()ωF =?
()[]?∞
+∞
--
--
==2
i 22
22
221σωωσ
σπ
e
dt e
e
t f t
t
5．求下列函数的傅里叶变换，并推证下列积分结果。
（1）()t e t f t cos |
|-=，证明
()?
+∞
-=
++0
|
|4
2
cos 2
cos 4
2t
e
d t t π
ωωωω
（2）
()??
?>≤=,
||,
0,||,
sin ππt t t t f 证明
()()
?
∞
+?????>≤=-0
2
||,
0||,sin 2
1sin sin π
ππ
ωω
ωωπt t t d t
解（1）()t e t f t cos |
|-=
()=ωF ?
()[]?
?
+∞
∞
----+∞
∞
---+=
=dt
e
e
e e
dt te
e
t f t
t
t t t
t ωωi i i |
|i |
|2
cos
()[]()[]()[]()[]?
???
??
+
+
+
=
?
?
?
?
∞
-∞
-+∞
---+∞
-+----+0
1i 10
1i 11i 11i 121dt e
dt e
dt e
dt e
t
t
t
t
ωωωω
=
()[]()()[]()()[]()()[]()????
??????+--+-+-++-+-+1+∞---+∞-+-∞
-+-∞--+ωωωωωωωω1i 11i 11i 11i 1201i 101i 101i 10
1i 1t t t t e e e e
()()()()?
?
????+++--++-+-+=
ωωωω1i 11
1i 111i 111i 1121
44
24
2
++=
ωω
()t f 的积分表达式为
()()ω
ωω
π
ωωπ
ωωd e
d e
F t f t
t
i 4
2
i 4
4
22121?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-++=
=
?
+∞
++=
4
2
cos 4
4
21
ω
ωωω
π
td
因此有
()?
+∞
-=
=
++0
|
|4
2
cos 2
2
cos 4
2t
e
t f td t π
π
ωωωω
（2）
()??
?>≤=π
π||,
0||,sin t t t t f
()=ωF ?()[]()??
+∞
∞
----=
=π
π
ωωdt
te
dt
e t
f t f t
t i i sin ()?
?
-=-=-π
π
π
ωωω0
sin sin i 2sin i cos sin tdt
t dt t t t
=
()()[]?--+π
ωω0
1cos 1cos i
dt
t t
()()???
???
??---
++=ω
ωωωππ11sin 11sin i 0
t
t
()()()()2
11sin 1sin 1sin 1sin i
ω
π
ωωπωπωωπω-----+-+=
2
1sin i
2ω
ωπ--=
()t f 的积分表达式为 ()()??
+∞
∞-+∞
∞
-??? ??--=
=
ωωωππωωπ
ωωd e d e
F t f t t
i 2
i 1sin i 221
21
()?
?
+∞
+∞
∞
--=
+--=
2
2
1sin sin 2
sin i cos 1sin i
ω
ω
ωωππ
ω
ωωω
ωππ
d t
d t t
因此有
()?
∞
+?????>≤==-0
2
||,
0||,
sin 2
21sin sin π
ππ
π
ωω
ωωπt t t t f d t
6．计算下列积分。
（1）()()()?+∞
∞-dt
t f t t 0sin ωδ （2）()()()dt
t f t t ?+∞
∞
-0cos ωδ
（3）()()?+∞
∞
-+-dt
t t 132
δ （4）
tdt
t sin 4''?
+∞
∞
-??
?
?
?-
πδ
解
（1）()()()?+∞∞-dt t f t t 0sin ωδ()0
00sin ==f （2）()()()dt
t f t t ?+∞
∞-0cos ωδ=()000cos =f
（3）()()?
+∞
∞-+-dt t t 132
δ()10
|132=+==t t
（4）
tdt t sin 4'
'?
+∞
∞
-??
?
?
?-πδ=??+∞∞-+∞
∞
-???
?
?-=???
??-
-
tdt
t tdt t cos'4sin'4'πδπδ
=
2
14
sin
sin 4-=-=???
?
?-
-
?
+∞
∞
-ππδtdt t
7．求下列函数的傅氏变换 （1）()()()t t u t f 0sin ω= （2）()()()t t u t f 0cos ω= （3）()()τ-=t u t f
（4）()()()??
?
?????? ?
?
-+??? ??++-++=
22210000t t t t t t t t t f δδδδ。
（5）()t t t f sin cos =
（6）()()
???><>=-00
,
0,a t e t e t f at
at
解
（1）()=ωF ?
()[]()()?
+∞
∞
--=dt
e t t u t
f t
ωωi 0sin
()
?
+∞
∞
----=
dt
e
e e
t u t
t
t
ωωωi i i i
200
()()()()??
?
?
??-
=
?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-+---dt
e
t u dt e
t u t
t
00i i i 21ωωωω
i 21
=()()??????+-+--+-0000i 1
i 1ωωπδωωωωπδωω
()()[]
002
2
02
i
ωωδωω
δπωωω+---
--
=
()()[]
002
200
2
i
ωωδωω
δπω
ωω--++
-=
（2）
()()()()??
+∞
∞
--+∞
∞
--==
dt
e
t t u dt e
t f F t
t
ωωωωi 0i cos
()
dt
e
e e
t u t
t
t ωωωi i i 2
00-+∞
∞
--?
+=
()()()()??
?
?
??+
=
?
?
+∞
∞
-+-+∞
∞
---dt
e
t u dt e
t u t
t
00i i 21ωωωω
()()??
??
??++++-+-=
0000i 1
i 121ωωπδωωωωπδωω
()()[]
002
202
i ωωδωω
δπ
ω
ωω
-+++
-=
（3）
()()()?
?
+∞
∞
-+∞
∞
----=
=
dt
e
t u dt e
t f F t
t
ωωτωi i
()()
()?
+∞
∞
-----??
?
???+=-=ωπδωτωτ
τωωτ
i 1i i i e
dt e
t u e
t
()()
ωδπω
ωδπω
ωωτ
ωτ
ωτ
ωτ
i i i i i i =----+=
+=
e
e
e
e
()
ωπδω
ωτ
+=
-i i e
（4）()=ωF ?()[]t f
()()?
??
-+
+=
?
?
+∞
∞
--+∞
∞
--dt e
t t dt e
t t t
t
ωωδδi 0i 021??
?
??? ?
?
-
+??
? ?
?
+
+
?
?
∞
+∞
--∞
+∞
--dt e
t t dt e
t t t t
ωωδδi 0i 022
???
?
??+++=--2
i 2i i i 0
00021t t t t e
e e e ωωωω
2
cos
cos 0
0t t ωω+=
（5）()=ωF ?
()[]?
+∞∞
--=dt
e
t t t f t
ωi sin cos
?
?
+∞
∞
---+∞
∞
---=
=dt
e
e e
dt te
t
t
t
t
ωωi 2i 2i i i 221
2sin 21
()()????
??
-
=
?
?
+∞
∞
-+-+∞
∞
---dt e
dt e
t
t
2i 2i i 41ωω
()()[]
2222i
41--+-
=ωπδωπδ
()()[]
222
i
--+=
ωδωδπ （6）
()()
???>><=-00
,
0,
a t e t e t f at
at
()=ωF ?()[]()??
?
+∞
∞
-∞
-+∞
----+
=
=0
i i i dt
e
e
dt e
e dt
e t
f t f t
at
t
at t
ωωω
=
()()()()ω
ωωωωωi |i |0
i 0
i i i +-
-=
++∞
+∞
-∞
+∞
--+--??
a e
a e
dt e
dt e t
a t
a t
a t
a
=2
2
2
2
2i i i 1
i 1
ω
ω
ω
ωω
ω
+=
+-++=
++
-a a a a a a a
8．试利用傅氏变换的性质求下列函数的傅氏变换。
（1）()??
?≥<=2
||,
02||,1t t E t f ()??
?≥<-=1
||,
01||,
2t t E t f E > 0
()()()t f t f t f 2143+= （2）
()()
2
2
2
4t t f πα
α+=
，
（3）()()α
π2
t e
t f -=
（4）()()0t t E t f -=δ （5）()()t f t 22-- （6）()52-t f 解 （1）()=ω1F ?
()[]()?
+∞
∞
--=dt
e t
f t f t
ωi 11
ω
ω
ω
ωω2sin 2i |2
2
2
2
i i E
e
E
dt Ee
t
t
=-==
?
----
()=
ω2F ?
()[]()?
+∞
∞
--=dt
e
t f t f t
ωi 22 ω
ω
ωsin 21
1
i E
dt Ee
t
-=-
=?
--
()=ωF ()()()
ωωω
ωωsin 42sin 3243321-=
+E
F F
（2）
()()
2
2
2
4t t f πα
α+=
()=ωF ?
()[]()?
+∞∞
--=dt
e
t f t f t
ωi
?
+∞
∞
--+=
dt
e
t
t
ωπαα
i 2
22
2
4
利用留数理论计算上面积分。
设被积函数
()t
e
t
t g ωπαα
i 2
22
2
4-+=
，将()t g 扩充到复平面得
()z
z
e
z e
z
z g ωωπ
α
π
α
παα
i 2
22
2
2i 2
2
2
2
4144--+
=
+=
i
2π
α
±
=z 为()z g 的一阶级点，不妨设0
>α，可知
i
2π
α
=
z 在上半平面，于是
()()()?
+∞
∞
-?
?
????
==
i 2,Res i 2παπωz g dt t g F
=
z
z e
z i z i ?π
α
π
α
παπ
α
πi 2
22
2
2i
24124lim
2-→
+
??? ?
?
-
z
z e z ωπ
α
π
α
π
α
πi 2
2i
2i
214lim
i 2-→
+
=
π
αω
π
αω
α
π
απ
α
π2i
2i 2
22
i
4i
2e e
==-
（3）()()α
π2
t e
t F -
=
()=ωF ?()[]t f
令
απ
β2
=
，同教科书7.2.3解法得
()()
02
22
2
42
4>=
=-
-απ
αα
ππωπ
αωα
π
ω
e
e
F
（4）()()0t t E t f -=δ
()()?
+∞
∞
---=-=
i i 0t t
Ee
dt e
t t E F ωωδω
（5）()()()()t f t tf t f t 22222---=-- 令 ()()()=-=ωG t f t g ,
2?()[]t g ，则()
ωG ??
? ??-=221
ωF
()()()()()t tf t f t t g t 22i i i i -=--=-
而
()()()()()t g t t f t t tf i i 2i i 2-=--=-
所以
?()[]i 2=-t tf ?()()()
ω'
i i G t g t =-ω
ωd dF ??? ??-=
22
i
故有
?()()[]=-t f t 2?()[]--t tf 22?()[]t f 2-
?
?
?
??--??? ??-=
222
i ωω
ωF d dF
9．利用能量积分公式，求下列积分的值。 （1）?+∞
∞
--dt
t
t 2
cos 1；
（2）?∞
+∞-???
?
?-dt t t 2
cos 1； （3）
()
?+∞
∞
-+dt
t t
2
221； （4）?+∞
∞
-dt
t
t 2
4
sin
解 能量积分公式为
()[]
()ω
ωπ
d F dt t f 2
2
21?
?+∞
∞
-+∞
∞
-=
（1）?+∞
∞
--dt
t
t 2
cos 1=2
?
?
∞
+∞
-∞
+∞
-??
? ??=
dx x x dt t
t 2
2
2
sin 2sin
?
+∞
∞
-=
π
21
?ω
d x x 2
sin ???
??
? （*）
?
dx
x
x
x dx e
x
x x x x
?
?
+∞
∞
-+∞
-==???
???0
i cos sin 2sin sin ωω
()()dx
x
x
x ?
+∞
-++=
1sin 1sin ωω （**）
再根据教科书P138中例5.3.8的结果
2
sin 0
π
=
?
+∞
dx x
x
得
()????
???->-=-<-=+?
∞
+1
,21,01,
21sin 0
ωπ
ωωπωdx x x
()????
???<=>-=-?
∞
+1
,2
1,01,
21sin 0
ωπ
ωωπωdx x x
所以由（**）式得
????<<-=?????
?其他
,
011,sin ωπx x
因此由（*）式得
?
?
+-+∞
∞
-==
-1
1
2
2
21cos 1π
ωππ
d dt t
t
（2）
??
?
∞
+∞-∞
+∞-∞
+∞
-==???
??-dx
x
x
dt t
t
dt t t 2
42
4
2
sin 2
2sin 4cos 1
(
)?
∞
+∞
--=dx
x
x
x 2
2
2
cos 1sin
2
?
∞+∞
-?
?
? ??-=dx
x
x x 2
2
2
2sin 21sin
2
??
?
?
?
?-
=?
?
∞
+∞
-∞
+∞
-dx x
x
dx x
x
2
2
2
22sin 4
1sin 2
?
?
?
+∞
∞
-+∞
∞-+∞
∞
-=
-
=dx
x
x
dt t
t dx x
x
2
22
2
2
2sin sin sin 2
?
+∞
∞
-=
π
21??
+-==
??
?
???1
1
2
2
21sin πωππωd d x x
（3）
()
()
??+∞
∞-+∞
∞
-+-+=
+dt
t t dt t t
2
22
2
2211
11
()
??
+∞
∞
-+∞
∞
-+-
+=
dt
t dt t
2
22
11
11
πππ
=??
? ??--=
=+?
+∞
∞
-∞
+∞-22|arctan 112
t dt t
()
?
?+∞
∞
-+∞
∞
-=
+π
2111
2
2dt t ?ω
d t 2
211???
???+
?
?
?
+∞
∞
-+∞
∞
--+=
+=???
?
??+dt
t
t dt e
t
t t
2
i 2
21cos 1111ωω（利用留数理论计算）
???
?????????????+=??????+?∞+∞-i ,1iRes 2Re 1Re 2||i 2||i z e dt t e z t ωωπ
(){}
|||||
|i Re i 1i 2Re ωωωππππ---=+=????
??+e e
e
故
()
??
?
+∞
∞
-+∞
∞
-+∞
--==
+0
2|
|222
22111
ω
π
ωππ
ω
ωd e
d e
dt t
2
2
|0
2π
π
ω
=
-=+∞
-e
于是
()
2
2
12
22π
π
π=
-
=+?+∞
∞
-dt t t
（4）dt
t
t
t dt t
t ?
?
∞
+∞
-∞
+∞
--=2
2
2
2
4
2sin 4
1sin sin
??∞+∞-∞
+∞-??
?
??-??
?
??=dx x x dt t t 2
2
sin 21sin
??
∞
+∞-∞
+∞
-?=???
??=π
2121sin 21
2
dt t t ?ω
d t t 2
sin ???
??
?
?
-=
=
1
1
2
2
41π
ωππ
d
10．求下列函数的傅氏变换。
（1）()()()0,sin 0>?=-αωαt t u e t f t
（2）()()()0,cos 0>=-αωαt t u e t f t
（3）()()00t t u e t f t
i -=ω
解
（1）()=ωF ?
()[]()?
+∞
∞
---=dt
te t u e
t f t
t
ωαωi 0sin =dt
e
e e
e
t
t
t
at
00i 0
i i i
2ωωω-+∞
--?
-
()[]()[]()dt
e
e
t
a t
a ?
+∞++--+--=
i i 0
i 21
ωωωω
()[]()()[]()????
? ??++---+-=+∞
++-+∞-+-00
i 00i i i i 2100ωωωωωωωωa e a e t a t a
()()???? ??++--+=
00i 1
i 1i 21ωωωωa a ()()2
2
2
i i i 2i 21
ωωωω
ωω++=
++=
a a
（2）()=ωF ?
()[]()?
+∞
∞
---=dt
te
t u e
t f t
at
ωωi 0cos
?
+∞
---+=
i i i 2
00dt
e
e e
e
t
t
t
at
ωωω
()[]()[]()?
+∞++--+-+=
i i 0
21
dt
e
e t
a t
a ωωωω
???? ?
?+++
-+=
00i 1
i 121ωωωωa a
=()
2
2
i i ωωω
+++a a
（3）根据位移性质
?()[]0
i 0ωt -e
t t u =-?
()[]()??
?
???+=ωπδωi 10
i ωt
-e t u
再根据像函数的位移性质
?()
[]
()t -t
ωe t t u e
00i 0i ωω-=-()()??
??
??-+-00i 1
ωσπδωω
()()
()
00i i 0
0ωωπδωωωω-+-=--t e
11、求下列函数()t f 1与()t f 2的卷积
（1）()()t u t f =1，()()t u e t f at
-=2。 （2）()()t u e t f at
-=1，()()t u t t f ·
sin 2=。 （3）()()t u e t f t
-=1，
()????
?<<=其他
2
0sin 2π
t t
t f
解 ()()()()?
+∞
∞
--=
τ
ττd t f f t f t f 2121*
（1）
()()()()
()()
?
?
--+∞
∞
---=
-=
t
t a t a d e
d t u e
u t f t f 0
21*τ
τττττ
()
?
----=
-==t
at
at
at
a at
e a
a
e
e
d e
e
111
ττ
（2）
()()()()()?
+∞
∞
----=
*τ
ττττ
d t u t u e
t f t f a sin 21
()()
()
?
?
------=
-=
t
t
t t a a d e e
e
d t e
i i i
2sin τ
ττττ
τ
τ
()()
[]?
---+--=
t t
a t
a d e
e
e
e 0
i i i i i 21
τ
τ
()()??????---+-=---+-i |i |i 210i i 0i i a e
e a e e t
a t t a t ττ
???
?
?
?---+-=---i i i 21i i a e e a e e at t at t
()()()()
1
i i i
212
i i ++----=
---a a e
e
a e
e
at
t
at
t
1
i i i i i 212
i i i i ++-+-+--=
------a e
e
ae
ae
e
e
ae
ae at
t
at
t
at
t
at
t
(
)()
1
i
2i
22
i i i i ++--+=
---a e e
i e
e
a e
t
t
t
t
at
1
cos sin 2
++-=
-a e
t t a at
（3）
()()()()()()τ
ττττττ
d t u
e d t
f f t f t f -=-=
*?
?
+∞
∞
--+∞
∞-sin 2121
()τ
ττ
d t e
-=
?
+∞
-sin 0
（*）
当
2
0π
<
()()()() () ττττττ τ d e e e d t e t f t f t t t t i 2sin i i 0 21------= -= *? ? ()()?? ? ? ??-= ? ? ---+-t t t t d e e d e e 0 i 1i 0 i 1i i 21τ ττ τ ()()()()???? ? ?????---+-=---+-i 1i 1i 210 i 10i 1i t it t t e e e e ττ ()()()()???? ??----+--=--+-i 11i 11i 21i 1i i 1i t t t t e e e e = ??? ? ? ?--++----i 1i 1i 21i i t t t t e e e e 2 i i i i i 21i i i i t t t t t t t t e e e e e e e e -------+-++--= () ??? ? ? ?++--=---i 2i 2i 2i i 221i i i i t t t t t e e e e e =() t e t t -+-cos sin 2 1 当 2 π > t 时，（*）式为 ()()()τ τπτ d t e t f t f t t ? - --= *2 21sin ()()()()????? ?????? ?---+-=-----+-i 1i 1i 212 i 1i 2i 1i t t t t t t e e e e π τπτ ()()()()???? ? ?????--++-=? ?? ? ?------+-??? ??-+-i 1i 1i 212i 1i 1i 12i 1i ππt t t it t t t e e e e e e ???? ? ? ?-+++-=-i 1i 1i 11i i 212 2π π e e e t 2 i i 1i 1i i 22 2 2 2 π π π πe e e e e t -+++++-? = - ??? ? ?? += -212π e e t 当0 故有 ()()() ? ??? ????? > ??? ? ??+<<+-<=*--时 当时 当时 当2 122 0cos sin 2 1 0,0221π π π t e e t e t t t t f t f t t B 类 1．求下列函数的傅里叶变换。 （1）()??? ≥<=-0 , sin 0,0t t e t t f t （2） ()??? ??? ?+∞ <≤<≤<≤---<<∞-=t t t t t f 1,010,101,11,0 解 （1） ()=ωF ? ()[]()?? +∞ ∞ -+∞ ---= =0 i i sin dt te e dt e t f t f t t t ωω ()? +∞ ----+--= i i i i i 21 dt e e t t t t t t ωω ()()???? ? ? ?-----+-=+∞ ++-+∞ +--ωωωωi i 1i i 1i 210 i i 10i i 1t t e e ()1 i 1i 2i 21i i 11i i 11i 212 ++=??? ??++-+-= ωωω 4 2 2 422i 221ωω ω ω ω ++-= +-= i （2）()=ωF ? ()[]()?? ? +∞ ∞-----?+ ?-= =0 1 1 i i i 1dt e dt e dt e t f t f t t t ωωω = () ωω ω ω ωω ω ωωcos 1i 2i 1 1i i i i 01 i 01 i | | -= +--= -+ -----e e e e t t 2．求下列函数的傅里叶变换，并推证下列积分结果。 （1） ()?? ?><-=1||, 01 ||, 12t t t t f ，证明 ? +∞ - =-0 3 16 32 cos sin cos π dt t t t t t （2）()(),0| |>=-a e t f t a 证明? +∞ -= +0 | |2 2 2cos t a e a d a t π ωω ω 解（1）()=ωF ? ()[]()? ? +∞ ∞ -----= =1 1 i 2 i )1(dt e t dt e t f t f t t ωω ()?? ??? ????-=-=1 1 2 1 2 cos cos 2 cos 12 tdt t tdt tdt t ωωω =????? ? ?????? ? ?- -? 1 10 210 sin 2sin sin 2| | dt t t t t t ω ωωωωω = 1 0322sin 2cos 2sin sin 2??? ? ???????? ??-+-ωωωωωωωωt t t t t t = 3 ) cos sin 4ω ωωω-（ ()t f 的积分表达式为 ()()? +∞ ∞ -= ω ωπωd e F t f t i 21 () ()? +∞ ∞ -+-= ω ωωω ωωωπ d t t sin i cos cos sin 4213 ? +∞ = 4 π () ω ωω ωωωtd cos cos sin 3 - 当 2 1= t 时，令t =ω得 ? +∞ -=?? ? ?? -- =-0 23 16321142 cos sin cos π πdt t t t t t （2）()=t F ? ()[]dt e e t f t t a ωi | |-+∞ ∞ --? = = ? ? +∞+∞ ---+=0 i i 2 2 cos 2 dt e e e tdt e t t at at ωωω()+∞+-0 t i a e ω ()()[]()()()() ?∞++∞--+∞--+---+-+ --= += i 0 i i i i i ωωωωωωa e a e dt e e t a t a t a t a 2 2 2i 1i 1ω ω ω += ++ -= a a a a ()t f 的积分表达式为 ()()? +∞ ∞ -= ω ωπωd e F t f t i 21 ()ω ωωω αα πd t t sin i cos 2212 2 ++= ? +∞ ∞ - ? +∞ += 2 2 cos 2 ω ωω ααπ td 即 ? +∞ -= +0 | |2 22cos t e d t αα π ωω αω 3．设 ()) 0(1 2 2>+= λλλ π?λt t ，证明 ()() ) (lim 0 ∞<<-∞=→t t t δ?λλ弱 证 由弱收敛的定义 ()()+∞∞-∈?,C t f ()()()? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ -→→+=dt t f t dt t f t 2 2 1 lim lim λλ π?λλλ ()? ∞ +∞ -→= +=du u f u t u λλ λλ π λλ2 2 2 2 1 lim = ()? +∞ ∞ -→+du u f u λπ λ1 1 1 lim 2 由积分中值定理，），（∞+∞-∈ ?ξ （*）式为 =∞+∞ -→+∞ ∞ -→=+? u f du u f arctan 1 )(lim 111 ) (lim 0 2 π λξπ λξλλ = ()()()()dt t f t f f f ?+∞ ∞ -→→===??? ??+δλξπππλξλλ0lim 221) (lim 0 因此()弱 ?t λ?()t δ. 4、设 ()()?? ?? ?≥ ? ? ?--=-λ λλλ?λ||0||exp 22 21 t t t t r t 其中 ? -??? ? ? ?--=1 1 22 1exp dt t t r 证明 ()弱 = →t λλ?0 lim ()t δ ()∞<<∞-t 证 ()()+∞∞-∈?,C t f ()()()()?? --→∞ +∞ -→??? ? ??--=λ λ λλλλλ?dt t f t t r dt t f t 22 21 00 exp lim lim ()()du u f u u r t u λλλλλ ??? ? ??--=?--→= 221 1 1 01exp lim ()? --→--=1 1 2 21 01exp lim du u f u u r λλ （*） 由积分中值定理，存在()1,1-∈ξ使（*）式为 ()du u u dt t t f ??? ? ? ?--??? ? ?????? ? ?--=??---→2 2 111 221 10 1exp 1exp lim λξλ ()()()()dt t f t f f ?+∞ ∞-→===δλξ λ0lim 0 因此有()弱 = →t λλ?0 lim ()t δ. 5、设()t f 在()∞∞-,上连续可微，求证 ()()()()()()00000t t t f t t t f t t t f -''--'=-'δδδ （∞<<-∞t ） 证 由()t δ导数的定义 ()()+∞∞-∈?,'C t ?（即在()+∞∞-,上连续可微） ()()()()()()()dt t t f t t dt t t t t f ' --=-'? ? +∞ ∞-+∞ ∞ -?δ?δ00 ()()()()()()dt t t f t t dt t t f t t ?δ?δ'-- '--=? ?+∞ ∞ -+∞ ∞ -00 ()()()()0000t t f t t f ??'-'-= ()()()()()dt t t t t f dt t t t t f 0000)(-'+-'-=??+∞ ∞ -+∞ ∞ -δ?δ? ()()()()()[]dt t t t f t t t f t 0000-'--'= ? +∞ ∞ -δδ? 于是 ()()()()()()00000t t t f t t t f t t t f -'--'=-'δδδ 6、对于实常数()0≠a ，求证 () ()() ()t a a at n n n δ δ 1 | |--= 证 ()t f ?在()+∞∞-,上n 次连续可微。 () ()()dt t f at n ? +∞ ∞ -δ at x == () ()a dx a x f x n ??? ??? +∞ ∞ -δ ()0>a () a n 11-=()()dx a x f x n ?? ? ?? ?+∞ ∞ -δ () () ()n n n n a a f a a 110111= -=() ()()dt t f t n ? +∞ ∞ -δ 因此得，当0>a 时， () ()()()t a a at n n n δδ 1--=
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