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2009年第14届华杯赛小学组决赛试题及详解word[1]

2009年第14届华杯赛小学组决赛试题及详解

一、填空题(每小题10分,共80分) 1. 计算:

200820072009200920082010

200820091200920101

+?+?+

?-?-=_______;

2. 如图1所示,在边长为1的小正方形组成的4?4方格中,共有25个格点,在以格

2009年第14届华杯赛小学组决赛试题及详解word[1]

点为顶点的直角三角形中,两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有_______个;

3. 将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924?”删去这个中所有位于奇

数位(从左往右数)上的数字组成一个新数,再删去新数中所有位于奇数位上的数字,按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止,则最后剩下的数字是______;

4. 如图2所示,在由七个同样的小正方形组成的图形中,直线l 将原图形分为面积相等的两部分,l 与AB 的交点为E ,与CD 的交点为F ,若线段DF 与线段AE 的长度之和为91厘米,那么小正方形的边长是______厘米;

5. 某班学生要栽一批树苗,若每个人分配k 棵树苗,则剩下38棵;若每个学生分配9棵树苗,则还差3

棵,那么这个班共有_______名学生;

图1

A

D B C

E

F l 图2

6. 已知三个合数A 、B 、C 两两互质,且1101128A B C ??=?,那么A B C ++的最大值为_______;

7. 方格中的图形符号“◇”、“○”、“▽”、“☆”代表填入方格内的数,相同的符号表示相同的数。如图3所示,若第一列,第三列,第二行,第四行的四个数

的和分别为36,50,41,37,则第三行的四个数的和是_______;

8. 已知1+2+3+?+n (n >2)的和个位数字为3,十位数字为0,则n 的最小值为_______;

二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)

9. 六个分数111111

,,,,,23571113

的和在哪两个连续自然数之间?

10. 2009年的元旦时星期四,问:在2009年,哪几个月的第一天也是星期四?哪几个月有5个星期日?

图3

◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ▽ ▽ ○ ○ ○ ○ ○ ☆

☆ ☆ 36 50 41

?

37

11. 已知a 、b 、c 是三个自然数,且a 与b 的最小公倍数是60,a 与c 的最小公倍数是270,求b 与c 的

最小公倍数。

12. 在51个连续的奇数1、3、5、?、101中选取k 个数,使得它们的和为1949,那么k 的最大值是_______;

13. 如图4所示,在梯形ABCD 中,A B ∥CD ,对角线AC 、BC 相交于点O 。已

知AB =5,CD =3,且梯形ABCD 的面积为4,求三角形OAB 的面积。

14. 在图所示的乘法算式中,汉字代表1至9这9个数字,不同的汉字代表不同的汉字。若“祝”字和“贺”

字分别代表数字“4”和“8”,求出“华杯赛”所表示的整数。

D 图4 A B C

O ?祝贺华杯赛=第十四届

2009年第14届华杯赛小学组决赛试题及详解一、填空题(每小题10分,共80分)

1.计算:200820072009200920082010 200820091200920101

+?+?

+

?-?-

=_______;

答案:(2)

考点:分数的计算,换元法;

解:一般地

2

2

(1)(1)1

1

(1)11

a a a a a

a a a a

+-?++-

==

?+-+-

,故原式=2;

2.如图1所示,在边长为1的小正方形组成的4?4方格中,共有25个格点,在以格

点为顶点的直角三角形中,两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有_______

个;

答案:(64)

考点:计数问题;

解:每个1?3的长方形中有4个这样的直角三角形,转化为在4?4的方格中有多少个1?3的长方形,共有2?4?2=16个,根据乘法原理得到16?4=64个;

3.将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924?”删去这个中所有位于奇

数位(从左往右数)上的数字组成一个新数,再删去新数中所有位于奇数位上的数字,按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止,则最后剩下的数字是______;

答案:(3)

考点:操作问题;

解:对于一排数,每次删除奇数位上的数字,如果开始有2n个数,那么最后剩下一个数就是2n,考虑先删去几个数,使得剩下2n个数,可得需要删去2009-1024=985个,删去985个数,接下来的就是最后剩下第一个数,它在开始时是第2?985=1970,根据数的排列周期,这个数相当于循环节中的第3(1970÷7=283?3)

个,也就是3。当然也可以记住公式:a个数,按题目要求删去数,最后剩下的一个数在第()

22n

a-位,其中2n是小于a最大的2的次数数;

4.如图2所示,在由七个同样的小正方形组成的图形中,直线l将原图形分为面积

相等的两部分,l与AB的交点为E,与CD的交点为F,若线段DF与线段AE

的长度之和为91厘米,那么小正方形的边长是______厘米;

答案:(26)

考点:面积的分割;

解:设每个小正方形的边长为a,那么由梯形AEFD的面积得到

2

71

91,26 22

a

a a

=??=;

5.某班学生要栽一批树苗,若每个人分配k棵树苗,则剩下38棵;若每个学生分配9棵树苗,则还差3

棵,那么这个班共有_______名学生;

答案:(41)

考点:盈亏问题;

解:首先k是小于9的自然数,由盈亏问题,人数为(38+3)÷(9-k)=

41

9k

-

名,根据整除性,41是质数,约

数只有1、41,那么k=8,人数为

41

41

98

=

-

名;

2009年第14届华杯赛小学组决赛试题及详解word[1]

图1

A

D

B

C

E

F

l

图2

6. 已知三个合数A 、B 、C 两两互质,且1101128A B C ??=?,那么A B C ++的最大值为_______; 答案:(1626)

考点:质数与合数;

解:2221101128271113A B C ??=?=???,为使得三个合数的和最大,只需一个数尽可能大,其它两个数尽可能小,得到4+49+1573=1626;

7. 方格中的图形符号“◇”、“○”、“▽”、“☆”代表填入方格内的数,相同的符号表示相同的数。如图3所示,若第一列,第三列,第二行,第四行的四个数

的和分别为36,50,41,37,则第三行的四个数的和是_______;

答案:(33)

考点:数阵图问题;

解:如图设未知数,则:

8336

12

3373411322505

a a

b b a

c b

d c b c d =?+=?=??+=??+==??+==??

那么22812533a b d ++=?++=; 8. 已知1+2+3+?+n (n >2)的和个位数字为3,十位数字为0,则n 的最小值为_______; 答案:(37)

考点:余数问题;

解:

(1)

03(mod100)(1)06(mod100)2

n n n n +≡+≡,连续两个数的积的末位为3的可以是2?3,也可以是7?8。当为2?3时,n 最小为42;当为7?8时,n 最小为37。综上所述,得到n 最小为37。

二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程) 9. 六个分数111111

,,,,,23571113

的和在哪两个连续自然数之间?

答案:(1~2) 考点:分数估算;

解:31111111111111111113

1113236131313235711132356555=+++++<+++++<+++++=,所以在1~2之间;

10. 2009年的元旦时星期四,问:在2009年,哪几个月的第一天也是星期四?哪几个月有5个星期日? 答案:(10;3、5、8、11) 考点:日历问题; 解:(略)

11. 已知a 、b 、c 是三个自然数,且a 与b 的最小公倍数是60,a 与c 的最小公倍数是270,求b 与c 的

最小公倍数。 答案:(41)

考点:最大公约数与最小公倍数; 解:[,]60,[,]270a b a

c ==,那么2360235,270235=??=??,a 可以是30的任意一个约数,那么

图3 ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ ▽ ▽ ○ ○ ○ ○ ○ ☆ ☆ ☆ 36

50 41

?

37

a a a a a a c c

b b b b ○ ☆

d d 36

50 41 ? 37

[,][12,54]108b c ==或[,][60,270]540b c ==;

12. 在51个连续的奇数1、3、5、?、101中选取k 个数,使得它们的和为1949,那么k 的最大值是_______; 答案:(43)

考点:整数的分拆;

解:由于1+3+5+?+87=1936,相差1949-1936=13,不管把哪些数加上偶数,总的所加的和为偶数,不是奇数13,所以44个奇数相加不可能成立,43个可以是:3+5+7+?+83+85+101=1949;

13. 如图4所示,在梯形ABCD 中,A B ∥CD ,对角线AC 、BC 相交于点O 。已

知AB =5,CD =3,且梯形ABCD 的面积为4,求三角形OAB 的面积。

答案:(25/16) 考点:面积的计算;

解:如图,根据梯形中的蝴蝶定理得到三角形OAB 的面积为

425

25915152516

?=

+++;

14. 在图所示的乘法算式中,汉字代表1至9这9个数字,不同的汉字代表不同的汉字。若“祝”字和“贺”

字分别代表数字“4”和“8”,求出“华杯赛”所表示的整数。

答案:(159)

考点:数字谜问题;

解:首先考虑两位数乘以三位数得到的积为四位数,那么首位的乘积加上进位后也不能向前进位;再者48乘以21也要进位,故三位数的首位为1;第三,三位数的末位可以是2、6、7、9,试填十位上的数字,得到48?159=7632;

D 图4

A B

C O

D 3 A

B

C

O 5

15 15 9 25

?祝贺华杯赛=第十四届