对数习题
对数函数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后
的括号内（每小题5分，共50分）. 1．对数式b a a =--)5(log 2中，实数a 的取值范围是
（ ）
A ．)5,(-∞
B ．(2,5)
C ．),2(+∞
D ． )5,3()3,2( 2．如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么
（ ）
A ．x =a +3b －c
B ．c
ab
x 53=
C ．53
c
ab x = D ．x =a +b 3－c 3
3．设函数y =lg(x 2－5x )的定义域为M ，函数y =lg(x －5)+lg x 的定义域为N ，则
（ ） A ．M ∪N=R B ．M=N C ．M ?N D ．M ?N 4．若a ＞0，b ＞0，ab ＞1，a 2
1log =ln2，则log a b 与a 2
1log 的关系是
（ ）
A ．log a b ＜a 2
1log
B ．log a b =a 2
1log
C ． log a b ＞a 2
1log
D ．log a b ≤a 2
1log
5．若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是
（ ）
A ．??
? ??43,0
B ．??
????43,0
C ．??
????43,0
D ．??
? ??+∞-∞,43
]0,( 6．下列函数图象正确的是
（ ）
A B C D 7．已知函数)
(1
)()(x f x f x g -
=，其中log 2f (x )=2x ，x ∈R ，则g(x ) （ ）
A ．是奇函数又是减函数
B ．是偶函数又是增函数
C ．是奇函数又是增函数
D ．是偶函数又是减函数
8．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．
1-
5
=1．61) ( ) A ．10% B ．16．4% C ．16．8% D ．20%
9．如果y=log 2a －1x 在(0，+∞)内是减函数，则a 的取值范围是
（ ）
A ．｜a ｜＞1
B ．｜a ｜＜2
C ．a 2-<
D ．21< 10．下列关系式中，成立的是 （ ） A ．10log 514log 310 3>??? ??> B ． 4log 5110log 30 31>??? ??> C ． 0 3 135110log 4log ? ?? ??>> D ．0 33 1514log 10log ??? ??>> 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．函数)2(log 22 1x y -= 的定义域是 ，值域是 . 12．方程log 2(2x +1)log 2(2x +1+2)=2的解为 . 13．将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出 C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为 . 14．函数y=)124(log 22 1-+x x 的单调递增区间是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）已知函数)(log )1(log 1 1 log )(222x p x x x x f -+-+-+=. (1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的值域. 16．（12分）设x ，y ，z ∈R +，且3x =4y =6z . (1)求证：y x z 21 11= -; (2)比较3x ，4y ，6z 的大小. 17．（12分）设函数)1lg()(2++ =x x x f . (1)确定函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)证明函数f (x )在其定义域上是单调增函数； (4)求函数f(x)的反函数. 18．现有某种细胞100个，其中有占总数 1 2 的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过10 10个？（参考数据： lg30.477,lg 20.301==）. 19．（14分）如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象 上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值. 20．（14分）已求函数)1,0)((log 2 ≠>-=a a x x y a 的单调区间. 参考答案（7） 一、DCCAB BDBDA 二、11． (][) 2,112 -- ， [)+∞,0； 12．0； 13．1)1(log 2--=x y ； 14． )2,(--∞； 三、 15． 解：(1)函数的定义域为(1，p ). (2)当p ＞3时，f (x )的值域为(－∞，2log 2(p +1)－2)； 当1＜p ≤3时，f (x )的值域为(－∞，1+log2(p +1)). 16． 解：(1)设3x =4y =6z =t . ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴t ＞1，lg t ＞0， 6 lg lg ,4lg lg ,3lg lg log 3t z t y t t x = == = ∴y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-. (2)3x ＜4y ＜6z . 17．解： (1)由????? ≥+>++0 1012 2x x x 得x ∈R ，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则1 1lg )()(2 222 112 1++++=-x x x x x f x f . 令12++=x x t ， 则)1()1(22221121++-++=-x x x x t t . =)11()(2 22121+-++-x x x x =11))(()(2 221212121++++-+-x x x x x x x x = 1 111)((22 2 12 12 22121++++++++-x x x x x x x x ∵x 1－x 2＜0，01121>++x x ，0122 2>++x x ，0112221>++ +x x ， ∴t 1－t 2＜0，∴0＜t 1＜t 2，∴102 1 << t t ， ∴f (x 1)－f (x 2)＜lg1=0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴ 函数f(x)在R 上是单调增函数. (4)反函数为x x y 1021102?-= (x ∈R). 18．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为1131001002100222 ?+??=?； 2小时后，细胞总数为13139100100210022224 ??+???=?； 3小时后，细胞总数为191927100100210024248 ??+???=?； 4小时后，细胞总数为127127811001002100282816 ??+???=?； 可见，细胞总数 y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002x y ? ?=? ? ?? ，x N *∈ 由103100102x ???> ???，得83102x ??> ??? ，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >， ∴8lg3lg 2 x >-， ∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >. 答：经过46小时，细胞总数超过10 10个. 19．解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1 B 1 B +S 梯形BB 1 C 1 C －S 梯形AA 1 C 1 C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42 +在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 ??=59,1log 3在u 上是增函数， 所以复合函数S=f (t ) [)+∞++ = ,1)44 1(log 2 3在t t 上是减函数 （3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 25 9 log 33-== 20．解：由2 x x ->0得0 x x y a -=的定义域是(0,1) 因为0<2x x - =4 1 41)21(2≤+--x ， 所以，当0 1 log )(log 2a a x x ≥- 函数 )(log 2x x y a -=的值域为?? ?? ? ?+∞,4 1log a ; 当a >1时, 4 1 log )(log 2a a x x ≤- 函数)(log 2 x x y a -=的值域为?? ? ? ? ∞-41log ,a 当0 )(log 2x x y a -=在?? ? ??21,0上是减函数，在?? ????1,21上是增函数； 当a >1时，函数)(log 2x x y a -=在?? ? ??21,0上是增函数，在? ?????1,21上是减函数. 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质 例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 对数函数练习题(有答案) 1．函数y ＝log (2x －1)(3x －2)的定义域是( ) A ．????12，＋∞ B ．????23，＋∞ C ．????23，1∪(1，＋∞) D ．??? ?12，1∪(1，＋∞) 2．若集合A ＝{ x |log 2x ＝2－ x }，且 x ∈A ，则有( ) A ．1＞x 2＞x B ．x 2＞x ＞1 C ．x 2＞1＞x D ．x ＞1＞x 2 3．若log a 3＞log b 3＞0，则 a 、b 、1的大小关系为( ) A ．1＜a ＜b B ．1 ＜b ＜a C ．0 ＜a ＜b ＜1 D ．0 ＜b ＜a ＜1 4．若log a 45 ＜1，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜45 C ．45＜a D ．0＜a ＜45 或a ＞1 5．已知函数f (x )＝log a (x －1)(a ＞0且 a ≠1)在x ∈(1，2)时，f (x )＜0，则f (x )是 A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减 6．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象只可能为( ) 7．函数y ＝f (2x )的定义域为[1，2]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为 ( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 8．若函数f (x )＝log 12 ()x 3－ax 上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[9，12] B ．[4，12] C ．[4，27] D ．[9，27] 9．函数y ＝a x －3＋3(a ＞0，且a ≠1)恒过定点__________． 10．不等式????1310－3x ＜3－2x 的解集是_________________________． 11．(1)将函数f (x )＝2x 的图象向______平移________个单位，就可以得到函数g (x )＝2x －x 的图象．(2)函数 f (x )＝????12|x －1| ，使f (x )是增区间是_________． 12．设 f (log 2x )＝2x (x ＞0)．则f (3)的值为 ． 13．已知集合A ＝{x |2≤x ≤π，x ∈R}．定义在集合A 上的函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的最大值比最小值大1，则底数a 为__________． 14．当0＜x ＜1时，函数y ＝log (a 2－3) x 的图象在x 轴的上方，则a 的取值范围为________． 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 对数函数精选练习题（带答案） 1．函数y ＝ log 23 (2x －1)的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.????12，1 D.??? ?1 2，1 答案 D 解析 要使函数解析式有意义，须有log 23 (2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，所以1 2 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 指数函数和对数函数基础练习题 姓名:_______ 一.基础知识 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果______，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义，规定： __________= __________ 正数的负分数指数幂的意义，规定 __________= __________ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）__________= __________ （2）__________= __________ (3)__________= __________ （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数____________________ 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为__________ 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是______或________； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当 R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二.练习题 1．64的6次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2．下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4 a 4＝a C.22＝2 D ．a 0＝1 3.(a － b )2 ＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 4．若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 5．根式a －a 化成分数指数幂是________． 6.( )() () [ ] 2 13 43 1 01 .0-16 2---064075 .0--308 7-+++? =________ 7．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) A ．a m a n ＝a mn B ．(a m )n ＝a m ＋n C ．a m b n ＝(ab )m ＋n D ．(b a )m ＝a －m b m 8．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(1 2)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 9．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．11 D ．a ∈R 10．设13<(13)b <(1 3)a <1，则( ) A ．a a 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 对数函数练习题 1、下列图像正确的是（ ） A B C D 2、若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ） A B C D 3、函数y =)12(log 2 1-x 的定义域为（ ） A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．( 2 1，1] D ．(－∞，1) 4、已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1 D ．0≤a ≤1 5、lg(53++53-)的值为( ) A.1 B. 21 C.2 D.2 6、函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为 A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 7、若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[23,2]- B ．)223,2?-? C ．(223,2?-? D ．()223,2- 8、若函数f （x ）=log a x （0 10、 已知函数2log ()3 x x f x ?=? ?(0)(0)x x >≤，则1[()]4f f 的值是 （ ） A ．9 B ．19 C ．－9 D ．－19 11、函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ） A.),0(,11+∞∈+-=x e e y x x B. ),0(,11+∞∈-+=x e e y x x C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D. )0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 12、计算：log 2.56.25＋lg 100 1＋ln e ＋3log 122+= 13、满足等式lg （x －1）+lg （x －2）=lg2的x 集合为______ ______ 14、若)10(15 3log ≠>--+=a a x x x f a a 且的奇偶性 17、若1)1(log )1(<-+k k ，则实数k 的取值范围是 18、函数y =(log 41x )2－log 4 1x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 19、求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 20、若函数22log ()y x ax a =--- 在区间(,1-∞-上是增函数，a 的取值范围。 21 、判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 22、已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范 围. 对数函数及其性质（一） 班级_____________姓名_______________座号___________ 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 2．函数y ＝x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(0，12 ) 4．设a ＝2log 3，b ＝2 1log 6，c ＝6log 5，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 6．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． ^ 对数函数练习 一、选择题 1.函数y=-x +1的反函数是( C ) =log 5x+1 =klog x 5+1 =log 5(x-1) =log 5x-1 2.函数y=(1-x)(x ＜1＝的反函数是( B ). =1+2-x (x ∈R) =1-2-x (x ∈R) ， =1+2x (x ∈R) =1-2x (x ∈R) 3.当a ＞1时，函数y=log a x 和y=(1-a)x 的图像只可能是( B ) 4.函数f(x)=lg(x 2-3x+2)的定义域为F ，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)定义域为G ，那么( D ) ∩G= =G 5.已知0＜a ＜1,b ＞1，且ab ＞1，则下列不等式中成立的是( B ) b 1＜log a b ＜log a b 1 ＜log b b 1＜log a b 1 ＜log a b 1＜log b b 1 b 1＜log a b 1＜log a b ！ 6.函数f(x)=2log 2 1x 的值域是［-1，1］，则函数f -1(x)的值域是( A ) A.［ 2 2 ，2］ B.［-1，1］ C.［ 2 1 ，2］ D.(-∞， 2 2 )∪2，+∞) 7.函数f(x)=log 3 1 (5-4x-x 2)的单调减区间为( C ) A.(-∞，-2) B.［-2，+∞］ C.(-5，-2) D.［-2，1］ =log 0.50.6，b= 2 ，c=log 3 5，则( B ) ＜b ＜c ＜a ＜c ＜c ＜b ＜a ＜b 二、填空题 】 1.将(6 1 )0 ，2，log221,23 由小到大排顺序： 答案： 21＜(log 232)＜(6 1 )0＜2 2.已知函数f(x)=(log 41x)2 -log 4 1x+5,x ∈［2，4］，则当x= ，f(x)有最大值 ；当x= 时，f(x)有最小值 . 答案：4，7，2，4 23 3.函数y=)x log 1(log 222 1+的定义域为 ，值域为 . 答案：( 22，1)∪［-1，-2 2］，［0，+∞］ 4.函数y=log 3 12x+log 3 1x 的单调递减区间是 . 答案：(0， 3 3 ) 【 三、解答题 1.求函数y=log 2 1(x 2-x-2)的单调递减区间. 答案：( 2 1 ，+∞) 2.求函数f(x)=log a (a x +1)(a ＞1且a ≠1)的反函数. 答案：(i)当a ＞1时，由a x -1＞0?x ＞0； log a (a x +1)的反函数为f -1(x)=log a (a x -1)，x ＞0； 当0＜a ＜1时，f -1(x)=log a (a x -1)，x ＜0. 、 3.求函数f(x)=log 21 1 -+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x)的值域. 答案： (-∞，2log 2(p+1)-2］ 【素质优化训练】 1.已知正实数x 、y 、z 满足3x =4y =6z (1)求证： z 1-x 1=zy 1 ；(2)比较3x,4y,6z 的大小 对数函数 1．对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 a>1 0 图 象 32.521.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 11 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当x=1时，y=0 )1,0(∈x 时 0 对数函数典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。 解：（1）由2x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{} 0x x ≠； （2）由04>-x 得4对数函数典型例题
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