(2021年整理)小学奥数举一反三(六年级)
小学奥数举一反三(六年级)
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（小学奥数举一反三(六年级)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为小学奥数举一反三(六年级)的全部内容。
第10讲假设法解题（一）
一、知识要点
假设法解体的思考方法是先通
过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推算。有些题目用假设法思考，能找到巧妙的解答思路。
运用假设法时,可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的1/4与乙数的1/5的和是42,求两数各是多少?
【思路导航】假设将题中“甲数的1/4”、“乙数的1/5”与“和为42”同时扩大4倍,则变成了“甲数与乙数的4/5的和为168”，再用185减去168就是乙数的1/5.
解：乙：（185－42×4）÷（1－1/5×4）＝85
答：甲数是100,乙数是85。
练习1:
1．甲、乙两人共有钱150元,甲的1/2与乙的1/10的钱数和是35元，求甲、乙两人各有多少元钱？
2．甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的1/7，乙队人数的1/3，共抽调78人，甲、乙两个消防队原来各有多少人？
3．海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥,已知四月份完成总数的1/3多50吨，五月份完成总数的2/5少70吨，还有420吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视机卖出1/9，则比黑白电视机多5台.问：两种电视机原来各有多少台？
【思路导航】从图中可以看出：假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视机卖出1/9后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的(1－1/9）＝ 8/9.
（250+5)÷（1+1－1/9）＝135（台）
250－125＝115（台）
答:彩色电视机原有135台,黑白电视机原有115台。
练习2：
1．姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉1/7,还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？
2．学校有篮球和足球共21个，篮球借出1/3后,比足球少1个,原来篮球和足球各有多少个？
3．小明甲养的鸡和鸭共有100只,如果将鸡卖掉1/20,还比鸭多17只，小明家原来养的鸡和鸭各有多少只？
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的3/8与徒弟加工零件个数的4/7的和为49个，师、徒各加工零件多
少个？
【思路导航】假设师、徒两人都完成了4/7，一个能完成（105×4/7）＝60个，和实际相差(60－49）＝11个,这11个就是师傅完成将零件的
3/8与完成加工零件的4/7相差的个数.这样就可以求出师傅加工了【11÷（4/7－3/8）】＝56个。即：
师傅：（105×4/7－49）÷（4/7－3/8）＝56（个)
徒弟：105－56＝49(个）
答:师傅加工了56个,徒弟加工了49个.
练习3：
1．某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机的2/5和黑白电视机的3/7，共卖出57台。问:原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？
2．甲、乙两个消防队共有336人,抽调甲队人数的5/7、乙队人数的3/7，共抽调188人参加灭火。问：甲、乙两个消防队原来各有多少人？
3．学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的1/4和足球个数的1/3后,还剩下46个，买来排球和足球各是多少个？
【例题4】甲、乙两数的和是300,甲数的2/5比乙数的1/4多55，甲、乙两数各是多少？
【思路导航】甲数的2/5与乙数的2/5的和就是甲、乙两数的2/5，是300×2/5＝120，因为甲数的2/5比乙数的1/4多55，所以从120中减去55所得的差就可以看成是乙数的1/4与乙数的2/5的和。
乙：（300×2/5－55）÷
（2/5+1/4）＝100
甲:300－100＝200
答：甲数是200，乙数是100。
练习4:
1．畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的2/5比绵羊的1/2多50只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？
2．师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的5/8比徒弟加工零件个数的2/3多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
3．某校六年级甲、乙两个班共种100棵树，乙班种的1/10比甲班种的1/3少16棵，两个班各种多少棵？
【例题5】育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加1/6，女学生减少1/5，共有710人，本学期男、女学生各有多少人?
【思路导航】假设本学期女学生不是减少1/5，而是增加1/6，半学期应该有750×（1+1/6）＝875人，比实际多875－710＝165人，这165人是假设女学生也增加1/6多出的人数,而实际女学生减少1/5，所以，这165人对应着女学生的（1/5+1/6）＝11/30.
上学期女生：【750×（1+1/6）－710】÷（1/5+1/6）＝450（人）本学期女生：450×（1－1/5）
＝360（人）
本学期男生：710－360＝
350(人）
答:本学期男学生有350人，女学生有360人.
练习5:
1．金放在水里称,重量减轻1/19,银放在水里称，重量减少1/10，一块重770克的金银合金，放在水里称是720克，这块合金含金、银各多少克?
2．某中学去年共招新生475人,今年共招新生640人,其中初中招的新生比去年增加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？
3．袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加3/8，黄球减少2/5后,红球与黄球的总数变为121个.原来袋子里有红球和黄球各多少个?
第11讲假设法解题（二)
一、知识要点
已知甲是乙的几分之几,又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间
新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少,这样的应用题称为变倍问题.
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1",然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1"的几分之几，从而求出单位“1"的量，其他要求的量就迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两根铁丝,第一根长度是第二根的3倍,两根各用去6米，第一根剩下的长度是第二根剩下的
长度的5倍，第二根原来有多少米？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一根剩下的长度仍是第二根剩下长度的3倍,而事实上第一根比假设的少用去(6×3－6）＝12米，也就多剩下第二根剩下的长度的(5－3）＝2倍.
(6×3－3）÷（5－3）+6＝12(米)
答:第二根原来有12米。
练习1:
1．丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？
2．在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450棵，小学增加400棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？
3．两堆煤,第一堆是第二堆的2倍,第一堆用去8吨，第二堆用去11吨,第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨?
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6。40元，则王明要相应地花去4。40×3 ＝13。20
元，但王明只花去了4。40元，比13。20元少13.20－4.40＝8.80元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱
的3倍多6。40+8。80＝15.20元,而题中已告诉：买书后王明的钱是陈刚的8倍,所以，15。20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－3＝5倍。
【6。40+（4.40×3－4。40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元)
答:陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2：
1．甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍,甲、乙两个书架原来各有多少本书？
2．上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人,本学年马村中学增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人,上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？
3．箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53
粒红球,那么，箱子里白球原有多少粒？
【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的1/2，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的2/3，两人原来各有彩笔多少枝？
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的1/2，则小红只需买(5×1/2）＝2又1/2枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－2又1/2＝2又1/2 枝。将小刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买了2又1/2 ，相当于(2/3－1/2)＝1/6。
小刚原来：（5－5×1/2）÷（2/3－1/2）－5＝10（枝）
小红原来:10×1/2＝5(枝)
答:小刚原来有彩笔10枝,小红原来有彩笔5枝。
练习3：
1．小华今年的年龄是爸爸年龄的1/6，四年后小华的年龄是爸爸的1/4，求小华和爸爸今年的年龄各是多少岁?
2．小红今年的年龄是妈妈的
3/8，10年后小红的年龄是妈妈的1/2,小红今年多少岁?
3．甲书架上的书是乙书架上的5/7，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的书是乙书架上的4/5,甲、乙两各书架原来各有多少本书?
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的4/5，两人各捐给“希望工程”10本后，则王芳的图书的本数是李卫的7/10，两人原来各有图书多少本？
【思路导航】假设李卫捐了10
本后，王芳的图书仍是李卫的4/5，则王芳只需捐10×4/5＝8本，实际王芳捐了10本，多捐了10－8＝2本，将李卫捐书后剩下的图书看作“1”，着2本书相当于4/5－7/10＝1/10。
（10－10×4/5）÷（4/5－710)=30(本)
30×4/5＝24（本)
答：李卫原有图书30本，王芳原有图书24本。
练习4：
1．甲书架上的书是乙书架上的4/5，从这两个书架上各借出112本后,甲书架上的书是乙书架上的4/7，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
2．小明今年的年龄是爸爸的
6/11，10年前小明的年龄是爸爸的4/9，小明和爸爸今年各多少岁？
3．甲车间的工人是乙车间的
1/4，从甲、乙两个车间各抽出30人后,甲车间的工人只占乙车间的1/6,甲、乙两个车间原来各有多少名工人？
【例题5】某校六年级男生人数是女生的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的3/4,现在男、女生各有多少人？
【思路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的2/3，则男生应转走3×2/3＝2人，实际上男生却转进2人，与应转走2人相差2+2＝4人。将转走3名女生后的女生人数看作“1”,则相差的4人相当于现在女生的3/4－2/3。
(2+3×2/3)÷（3/4－2/3）＝48(人）
48×3/4＝36（人）
答：现在男生有36人，女生有48人。
练习5：
1．甲车间的工人是乙车间的
2/5，后来甲车间增加20人,乙车间减少35人，这样甲车间的人数是乙车间的7/9，现在甲、乙两个车间各有多少人？
2．有一堆棋子，黑子是白子的2/3，现在取走12粒黑子,添上18粒白子后，黑子是白子的5/12,现在白子、黑子各有多少粒？
3．爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中,爱华小学得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人,曙光小学增加了6人,这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？第12讲倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法.
二、精讲精练
【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书的1/3，第二天看了余下的3/5,还剩下48页，这本书共有多少页？
【思路导航】从“剩下48页”
入手倒着往前推,它占余下的1－3/5＝2/5。第一天看后还剩下48÷2/5＝120页，这120页占全书的1－1/3＝2/3，这本书共有120÷2/3＝180页。即
48÷（1－3/5）÷（1－1/3)＝180（页)
答：这本书共有180页。
练习1：
１．某班少先队员参加劳动，其中3/7的人打扫礼堂，剩下队员中的5/8打扫操场，还剩12人打扫教室,这个班共有多少名少先队员？
２．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的3/8，第二天走了余下的2/3，第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米?
３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的1/6，乙拿走了余下的2/5,丙拿走这时所剩的3/4,丁拿走最后剩下的15个,这堆苹果共有多少个？
【例题2】筑路队修一段路,第一天修了全长的1/5又100米，第二天修了余下的2/7 ，还剩500米,这段公路全长多少米？
【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推,它占余下的1－2/7＝5/7,第一天修后还剩500÷5/7＝700米,如果第一天正好修全长的
1/5，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－1/5＝4/5，这段路全长800÷4/5＝1000米。列式为:
【500÷（1－2/7）+100】÷（1－1/5)＝1000米
答：这段公路全长1000米.
练习2：
１．一堆煤，上午运走2/7，下午运的比余下的1/3还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？
２．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的1/3又2公顷，第二天耕的比余下的1/2多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？
３．一批水泥，第一天用去了1/2多1吨，第二天用去了余下1/3少2吨,还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？
【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后，又从乙桶中倒出1/5给甲桶,这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2)＝48千克,当乙桶没有倒出1/5给甲桶时，乙桶内有油24÷(1－1/5）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出1/3给了乙桶,可见甲桶原有的油为18÷（1－1/3）＝27
千克，乙桶原有的油为48－27＝21
千克。
甲：【24×2－24÷（1－1/5)】÷（1－1/3）＝27（千克)
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克.
练习3：
１．小华拿出自己的画片的1/5给小强，小强再从自己现有的画片中拿出1/4给小华,这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？
２．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出1/5给乙后，乙又拿出1/4给甲，这时他们各有90元，他们原来各有多少元？
３．一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中好剩下60克,原来瓶中有多少克酒精？
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱?
【思路导航】根据题意,由最后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与乙同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2＝28元，这28
元就是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元
答：原来甲比乙多28元。
练习4：
１．甲、乙、丙三个班共有学生144人,先从甲班调出与乙班相同的
人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人?
２．甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒后,三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？
３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9:5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库,则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？
【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/4到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几?
【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知,从乙仓库运出1/4到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的1/2.
①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？
1/2÷（1－1/4)＝2/3
②甲仓库占两仓库和的几分之几？
1－2/3＝1/3
③甲仓库原来占两仓库和的几
分之几？
1/3÷（1－1/4)＝4/9
④原来甲仓库时乙仓库的几分
之几？
4÷（9－4）＝4/5
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的4/5。
练习5:
1．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3到乙仓库后,又从乙仓库运出1/3到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等.原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几?
２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/5到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之
几？
３．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3到乙仓库后，又从乙仓库运出2/5到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的9/10。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几?第13讲代数法解题
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分
数应用题,用算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有4/5合格,两种零件合格的共有42个,两种零件个生产了多少个？
【思路导航】本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有42个，列方程求解.
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。
（x+12）×4/5+x＝42
4/5x+9+x＝42
9/5x＝42－9又3/5
x＝18
18+12＝30(个）
答：甲种零件生产了30个,乙种零件生产了18个。
练习1：
1．某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的3/4得优,男、女生得优的一共有42人,男、女生参赛的各有多少人？
2．有两盒球,第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球,第一盒中的2/5 是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
3．六年级甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人参加课外数学组,两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？
【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少1/4，女生减少1/6,剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解:设女生有x人,则男生有
（x+10）人
（1－1/6)x＝（x+10）×（1－
1/4)
x＝90
90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看书。
练习2：
1．某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线电小组的同学减少1/5，参加航模小组的人数减少1/10,这样，两个组的同学一样多.去年两个小组各有多少人？
2．原来甲、乙两个书架上共有图书900本,将甲书架上的书增加
5/8，乙书架上的书增加3/10，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少本？
3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨天少1/10，生产的乙种零件比昨天增加3/20，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生产了多少个？
【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的1/5比乙校参加人数的1/4少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲×1/5＝乙×1/4－1
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
1/5x＝（22－x）×1/4－1
x＝10
22－10＝12(人）
答:甲校有10人参加，乙校有12人参加.
练习3:
1．学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？
2．某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人,男、女生各有多少人？
3．王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个,两人各加工了多少个?
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的5/6，两个书架上各借出154本后,甲书架上的书是乙书架上的
4/7，甲、乙两书架上原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的4/7。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有5/6x本。
（x－154)×4/7＝5/6x－154
x ＝252
252×5/6 ＝210（本)
答：甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。
练习4：
1．儿子今年的年龄是父亲的
1/6，4年后儿子的年龄是父亲的1/4，父亲今年多少岁？
2．某校六年级男生是女生人数的2/3,后来转进2名男生，转走3名
女生，这时男生人数是女生的3/4。原来男、女生各有多少人？
3．第一车间人数的3/5等于第二车间人数的9/10，第一车间比第二车间多50人。两个车间各有多少人？
【例题5】一个班女同学比男同学的2/3多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？
【思路导航】抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”这个等量关系列方程。
解：设男生有x人，则女生有(2/3x+4）人.
x－3＝2/3x+4+4
x＝33
2/3×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26人。
练习5：
1．某学校的男教师比女教师的3/8多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
2．某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一仓库取出30台,存入第二仓库,则第二仓库就是第一仓库的
4/9.两个仓库原来各有电视机多少台?
3．某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的4/5少30人。如果从第二车间调10人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的
3/4。求原来每个车间的人数。
第14讲比的应用（一)
一、知识要点
我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转化.运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的2/3，乙数是丙数的4/5，甲、乙、丙三数的比是（ )：（）：( ）.
【思路导航】
甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5
甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答:甲、乙、丙三数的比是 8：12：15.
练习1：
1．甲数是乙数的4/5，乙数是丙数的5/8，甲、乙、丙三数的比是（）：（ )：( )。
2．甲数是乙数的4/5，甲数是丙数的4/9，甲、乙、丙三数的比是（ )：
（ )：（）。
3．甲数是丙数的3/7,乙数是丙数的2又1/2，甲、乙、丙三数的比是( ）：（）：（ )。
【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5.这三个小组各有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配.
①一、二两组人数的比 2：
3 二、三两组人数的比
4：5
一、二、三组人数的比 8:12：15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×8/35＝32(人)
④第二组:140×12/35＝48(人）
⑤第三组：140×15/35＝60（人）
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
练习2：
1．某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7:2，棉田与其他作物面积的比6：1.每种作物各是多少公亩？
2．黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5：4，第二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人?
3．科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5:7.已知数学组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人?
【例题3】甲、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3：4.原来甲校有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知，原来甲校图书的本数是两校图书总数的7/（7+5），由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图书占两校图书总数的
3/（3+4），甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总数的7/（7+5）－3/（3+4)＝13/84.
650÷（7/（7+5)－3/(3+4））×7/（7+5）＝2450（本）
答:原来甲校有图书2450本。
练习3：
1．小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读的页数之比为3：5。这本书共有多少页？
2．甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比为7:5。原来甲包有多少克糖？
3．五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人
数的1/3，二班与三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？
【例题4】从前有个农民,临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子,其中大儿子分得1/2，二儿子分得1/3，小儿子分得1/9，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？
【思路导航】因为1/2+1/3+1/9＝17/18,17/18﹤1，就是说三兄弟并未将全部牛分完,所以我们求出三个儿子分牛头数的连比,最后再按比例分配。
①三个儿子分牛头数的连比：1/2：1/3：1/9＝9:6：2
②总份数：9+6+2＝17
③三个儿子各分得牛的头
数:17×9/17＝9（头）17×6/17＝6（头）17×2/17＝2(头)
答：大儿子分得9头，二儿子分得6头，小儿子分得2头。
练习4:
1．图书室取出一批书，按照一年级得1/2，二年级得1/3,三年级得1/7，正好是41本，各年级各得多少本？
2．古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三分之
一给女儿，三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没有预料到的。求出接近于遗嘱条件,把遗产分给三个继承人的比。
（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看,他们三人所得的遗产的比是（）：（）：（）。
（2)从母亲至少得遗产的1/3来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（）:（）：( ).
3．甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做
1/3.三人各做多少个？
【例题5】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少?
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再解答.
①一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3/（1+3）＝ 3/4
②另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4/（1+4)＝ 4/5
③两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 3/4+4/5 ＝ 31/20
④水占一个瓶子容积的
比 2－31/20 ＝ 9/20
⑤混合液中酒精与水的比
31/20：9/20＝31：9
答：混合液中酒精与水的比是31：9.
练习5：
1．两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比是1：3.现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。
2．将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2:1,乙队已修的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？
第15讲比的应用（二）
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。
二、精讲精练
【例题1】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走1/5的路,而乙走的时间比甲少1/11,求甲、乙两人速度的比.
【思路导航】因为速度＝路程÷时间，所以,甲、乙速度的比＝甲路程/甲时间：乙路程/乙时间
（1）甲、乙路程的比:（1+1/5):1＝6：5
（2）甲、乙时间的比:1:（1－1/11）＝11：10
（3）甲、乙速度的比:6/11：
5/10=12:11
答：甲、乙速度的比是12:11。
练习1：
1．小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1/5，小芳用的时间比小明多1/8。求小明和小芳速度的比。
2．甲走的路程比乙多1/3,乙用的时间比甲多1/4。求甲、乙的速度比。
3．一个人步行每小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少？
【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4。5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件?
【思路导航】先求出工作效率的比,然后根据同一时间内,工作总量
的比等于工作效率的比进行解答.
甲、乙、丙工作效率的比: 1/6：1/5：1/1。5＝15：18：20
总份数：15+18+20＝53
甲 :1590×15/53＝450（个)
乙：1590×18/53＝540（个)
丙：1590×20/53＝600（个）
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。
练习2：
1．加工一个零件，甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟.现在有1825个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务,那么各应加工多少个？
2．甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件.甲制造一个零件需5分钟，比乙制造一个零件所用的时间多25%,丙制造一个零件所用
的时间比甲少2/5。甲、乙、丙各制造了多少个零件？
3．加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48个，32个，28个,现有118名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同,每道工序应安排多少工人？
【例题3】两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。已知两厂这个月内总产值为6960万元.两厂的产值各是多少万元？
【思路导航】因为产值＝价格×产量,所以
甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量）
两厂的产值比为：(11×6）：（10×5)＝66:50
甲厂产值为:6960×66/（66+50)＝3960（元）
乙厂产值为：6960×50（66+50）＝3000（元)
答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元.
练习3:
1．甲、乙两个长方形长的比是4:5，宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米?
2．苹果和梨的单价的比是6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？
3．大、小两种苹果,其单价比是5：4，重量比是2：3。把两种苹果混合,成为100千克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？
【例题4】A、B两种商品的价格比是7:3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是7:4，这两种商品原来的价格各是多少元？
【思路导航】
解法一:因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7：3＝21：9 现价格比＝7：4＝28:16
【这样前后项的差都是12,价格涨了（28－21）＝7份，是70元】
70÷(28－21）＝10元 A：10×21＝210(元） B：10×9＝90（元)解法二:由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（1）原来A商品的几个是价格差的几倍 7÷（7－3）＝7/4（2）后来A商品的价格是价格差的几倍 7÷(7－4)＝7/3（3）A、B两种商品的价格差是70÷（7/3－7/4）＝120（元）
（4）原来A商品的价格是
120÷（7－3)×7＝210（元）
(5) 原来B商品的价格是
120÷(7－3)×3＝90（元）
答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。
练习4：
用两种思路解答下列应用题：
1．甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥重量的比是3：4.原来甲队有水泥多少吨？
2．甲书架上的书是乙书架上的4/7,两书架上各增加154本后,甲书架上的书是乙书架上的,甲、乙两书架上原来各有多少本书？
3．兄弟两人，每年收入的比是4：3,每年支出的比是18：13。从年初到年底,他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？
【例题5】如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1:2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地,李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？
【思路导航】
解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用的时间，再求出各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比
1/4：2/10＝5：4
王刚所用的时间 1÷（5－4）×5＝5(小时）
甲地到丙地的路程 4×5＝
20（千米）
甲、乙两地的路程 20×
（1+2）＝60(千米)
解法二：如果李华每小时行4×2＝8千米，他将与王刚同时到达丙地.现在他每小时多行10－8＝2千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内,李华比应行的路程多行了10×1＝10千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时）
甲、乙两地的路程4×5×（1+2）＝60（千米）
解法三:如果王刚每小时行10÷3＝5千米，就能和李华同时到达。由此可见,王刚走完甲地到丙地的路
程，用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比，所用的时间相差1小时.再根据1千米的路程，两种速度所用的时间相差 1/4－1/5＝
1/20小时。最后求出甲地到丙地的路程.
甲地到丙地的路程1÷（1/4－1/（10÷÷2）＝20（千米）
甲、乙两地的路程20×（1+2)
＝60（千米）
答:甲、乙两地相距60千米.
练习5:
1．一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时(停车时间不算在内）。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米?
2．甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是6:5。甲、乙每小时各做多少个？
3．下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的比是2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地,一辆客车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地,客车比火车迟1小时到达丙地.求甲、乙两地的路程？
第16讲用“组合法”解工程
问题
一、知识要点
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
二、精讲精练
【例题1】一项工程，甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的7/30,乙队单独完成全部工程需要几天?
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是1/15，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点,用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量7/30－1/15×3＝1/30，从而求出甲队的工作效率。所以
1÷【1/15－(7/30－1/15×3）÷（5－3）】＝20（天）
答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1：
1．师、徒二人合做一批零件，12天可以完成.师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的3/20.如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？
2．某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的5/24。如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天,能完成全部工程的13/124。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
3．甲、乙两队合做,20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的
8/15。甲、乙两队独做各需几天完成？
【例题2】一项工程,甲队独做12天可以完成.甲队先做了3天,再由乙队做2天，则能完成这项工程的1/2。现在甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等.求两段一共用了几天?
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：(1/2－1/12×3）÷2＝1/8；再由条件“做完后发现两段所用时间相等"的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
(1）乙队每天完成这项工程的（1/2－1/12×3）÷2＝1/8
（2）两段时间一共是1÷（1/8×2+1/12）×2＝6(天)
答：两段时间一共是6天.
练习2：
1．一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天
能完成这项工程的8/15。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现,两段时间相等。这两段时间一共是几天？
2．一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做,完成任务时发现乙比甲多了3天.乙独做这项工程要几天完成？
3．某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做;乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍.终于完成了这一工作。问总共用了多少天？
【例题3】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时,还剩总棵数的11/16没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后,哥哥又独做了2
小时",就可以求出哥哥每小时栽总
数的几分之几.
哥哥每小时栽总数的几分之几（1－11/16－1/8×1）÷（3－1）＝3/32
一共要移栽的西红柿苗多少棵7÷【3/32－（1/8－3/32）】＝112（棵)答：共要移栽西红柿苗112棵。
练习3：
1．加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时,接着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的3/5。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这批零件共有多少个?
2．修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的
3/10没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？
3．修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？
【例题4】一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的2/3;如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时,也可以完成这项工作的2/3.如果由甲、丙合做，需几小时完成?
【思路导航】将条件“甲工作6小时后,乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的2/3”组合成“甲工作4小时,甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的2/3",则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出
丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几（2/3－1/6×2)÷（6－2）＝1/12丙每小时完成这项工程的几分之几（2/3－1/6×3）÷(6－3）＝1/18甲、丙合做需完成的时间为：1÷(1/12+1/18)＝7由1/5（小时）答:甲、丙合做完成需要7有1/5小时。
练习4：
1．一项工作,甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的13/18；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的11/18。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
2．一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后,余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成?
3．一项工程,甲、乙两队合做10天完成,乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5又1/2天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？
4．一件工作,甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？
【例题5】一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后,再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的【1－（1/24+1/30）】×(4+7)＝1/40
三队合修完成时间为1÷
(1/24+1/30+1/40）＝10（天)
答：10天可以完成。
练习5:
1．一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后,乙又用6小时才完成.这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
2．一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖,又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？