建构观指导下的数学解题教学(范文)
建构观指导下的数学解题教学
孙显中
摘要当前，中国的教育体制改革不断深化、新的课程标准已经出台，素质教育的教育理念不断深入人心，作为一名教学战线的普通一名教师，深感责任重大。目前的中学教学还不能摆脱应试教育的桎梏，不少教师仍以陈旧的教育观念，教学思想指导自己的教学活动，重知识，轻能力，重方法、轻思想；重题型、轻分析的现象还大量存在，长此以往，将严重阻碍素质教育的全面实施，阻碍学生解决问题的能力的提高。“题海战术”的结果必将造成学生的高分低能现象。扼杀学生的创造性。本人在学习了现代建构主义理论的基础上，结合多年的教学实践，认为在建构观的指导搞好教学设计，组织教学对学生能力的提高有行之有效的。建构主义认为
(1)认识并非主体对于客观实在的，简单的、被动的反映，而是主动建构过程，也就是该所有的知识都是建构出来的。
(2)在建构的过程中，主体的认知结构发挥了特别重要的作用，后者并处于不断的发展之中。
(3)学习必定是在一定的社会环境之中进行的并主要是一种文化继承的行为。
建构主义重视已有知识经验、心理结构的作用，强调学习的能动性、建构性、社会性和情节性，强调个人的学习体验，智力参与和主动活动。
本文论述了建构观指导下如何搞好数学解题教学，首先介绍了当今主要的数学解题理论，解题在数学教学中的功能，以及如何在建构观指导下搞好数学解题教学。
1．培养学生认真审题习惯
2．注重典型方法的掌握上，使学生牢固树立“化归”是寻找解题思路的非常重要的思想。
3．教师应注意暴露思维过程，加强解题策略的教学。
4．注意培养学生积累解题技能、技巧、在今后的解题活动中能够迅速合理地提取。
5．加强一题多解和一题多变的训练。
6．激发学生解题的积极性，充分体现学生的主体性。
7．强化学生的反思意识，努力增强学生的元认知水平。
8．教师在数学教学中应发挥主导作用。
本文就建构观指导下的数学解题教学模式进行了初步的探讨。认为情境教学充分体现了建构主义的教学理念。
情境教学是指创设含有真实事件或真实解题的情境，学生在探究事件或解决问题的过程中自主地理解知识，建构意义。教师同样是情境中的事件探究者或问题解决者。情境教学是建观主义教学观的必然要求。通过教学过程，每一个主体获得自己对知识的理解，建构出自己的意义。这就要求教师应为每一个学生提供主动参与的机会和产生认知冲突的情境。情境教学主要包括以下五个方面：
第一，创设情境：根据学的发展需求
创设对学习者是真实的情境。
第二，确定问题：从情境中选出与当前学习主题密切相关的真实事件或问题，让学生去解决。
第三，自主学习：每一位学习者自主进行问题解决，教师的职责不是直接告诉学生应当如何去解决面临的问题，而是向学生提供解决问题的线索。
第四，协作学习：教师与学生之间，学生与学生之间就解决问题的条件方案和过程进行讨论、交流。充分体现社会建构的功效。
第五，效果评价：在解决问题的过程中评价。
因此情境教学第一个特征是“学习者中心”；第二个特征是“情境中心”；第三个特征是“问题中心”。
运用建构主义的观点设计和组织好解题教学，还需要我们平时的教学实践中继续努力做好。
关键词建构观教学问题解题教学
Based on Constructivism theory viewpoint in
Mathematics teaching of Soulution theme
Sun xianzhong
Abstract currently, that educational system reform is continually deepening, new course standard had been established, diathesis education concept had been accepted by more and more people in china. Acting as middle school teacher, my duty is importance. Nowadays, education can not got rid of confine of education examinee; teaching action of many teachers were guided by obsolete education idea and teaching thinking, for example, emphasize knowledge and ignore capability; emphasize method and ignore thinking; emphasize thematic type and ignore analysis. The phenomena appear frequently in the teaching. If the phenomena will be continued for a long time, that full-scale implement of diathesis education will be severely blocked and that students improve capability of solving problem will be severely blocked. Combined understanding theory of modem constmctivism with teaching practice of many years, writer deem that effective teaching method of improve students capability to solve is that modem constmctivism theory and view is to guide teaching design and organization. Constructivism theory point:
(1) cognition is not that subject reflect simply, passively to object, but active
constructing course, so, all of knowledge are Constructed.
(2) In the constructive course, cognition construction of subject play a very important
role, the latter is continuous developing.
(3) Leam behavior must be in certain social environment and must be a main behavior
of cultural inherited. Constmctivism emphasize role of knowledge experience and psychologic frame that had been existed; emphasize activity, construction, sociality and scene of study; emphasize experience from person leam, intellect participating in learn and active action in study. This paper discuss how to, based on constmctivism viewpoint, effective teaching of mathematics about solution theme. First, the paper introduces main theory about mathematics solution theme, function of solution theme in teaching of mathematics, and how to how to effective teaching of mathematics about solution theme based on mathematics viewpoint.
l.To train a habit of student staidness survey subject.
2.To emphasize mastery of tapical methods, teacher should make student to set up firmly that "transform and inductive" are very important thinking to search ways of solution question.
3.Teacher must pay attention to reveal thought process and strengthen skill of solution theme in teaching.
4.Teacher must pay attention to train that student accumulate capability and skill of solution theme, in order to pick-up rapidly, reasonably in future.
5.To strengthen training that there are many methods and many changes in a subject.
6.Teacher must: inspire student positivity in solution theme, embodiment adequately student role.
7.Teacher must strengthen student introspective consciousness, and increase student cognitive level of initialization.
8.Teacher should play a leading role in mathematics teaching.
This paper discuss primary teaching pattern based on constructivism theory viewpoint in mathematics teaching of solution theme. The paper points that scene teaching embodiment idea of constructivism. Scene teaching means that set up scene include real matter or real solution theme. Students understand forwardly knowledge and construct signification when they study thing or solve question. Teacher is similar with student. Scene teaching is necessity by teaching viewpoint of constructivism. By teaching process, everyone acquire understanding knowledge for oneself, and construct signification for oneself. It is necessary requested that teacher should provide opportunity, and scene produced conflict for every student joining in active. Scene teaching include mainly five aspect:
First, set up scene:
By demanded of teaching, to set up real scene for learner.
Second, make sure question:
To select real thing or question close relative with study topic from scene. Let student solve it. Third, Self-determination learn:
Each learner self-determination solve question, that tell directly student how to solve question is not teacher's duty. To provide clue of solution is teacher's duty.
Fourth, cooperation learn:
Discuss and communion condition project and course between teacher and student, or between student and student.
Fifth, effect estimate: estimate during course of solution question.
So, scene teaching's first character is learner center; second character is scene center; third character is question center.
If we design teaching and organize teaching of mathematics by Constructivism theory viewpoint, it is necessary to work hard in practice.
Key words: Constructivism viewpoint teaching question solving teaching
目录
一、引言
二、关于建构主义的基本理论
(一)建构主义简介
(二)建构主义的基本原则
1．主体性原则
2．适应原则
3．建构原则
4．主导原则
5．问题一解决原则
(三)建构主义的教育观
三、解题在数学教学中的地位和作用
(一)问题和数学问题的特点
1.什么是问题和解决
2．数学问题的特点
(二)问题和解题的功能
1．掌握知识的功能
2．认识的功能
3．教育与发展的功能
4．评价功能
(三)解题在教学中的作用
1.理解作用
2．评价作用
3．调节作用
4．发展作用
5．增加应用意识的作用
(四)主要的解题理论和观点
1．波利亚“怎样解题表”
2．唐以荣教授的“连续化简”
3．弗里德曼的《怎样学会解数学题》
4，梅森(J·Mason)的特殊化和一般化
5．罗增儒教授的解题系统论与解题坐标系
四、如何搞好解题教学
(一)教师要树立先进的数学教育观
1．关于数学观
2．关于数学学习观
3．关于数学教学观
(二)如何搞好数学解题教学
1．培养学生认真审题习惯
2．把解题能力的培养主要放在一般典型方法的掌握上3．教师应注意暴露思维过程，特别是解题策略的教学4．注意培养学生积累解题的技能技巧
5．做一题多解和一题多变的训练
6．激发学生解题的积极性
7．教师在教学中应发挥主导作用
8．强化学生的反思意识
五、建构主义的教学模式——情境教学
(一)情境教学的概念
(二)情境教学的组成
1．创设情境
2．提出问题
3．自主学习
4．协作学习
5．效果评价
总结
致谢
参考文献
攻读学位期间的研究成果
一、引言
近年来，由于许多研究领域，特别是处于数学教育和解题研究“元科学”地位的一些学科，如认识论、数学哲学、认知心理学、人工智能及思维科学等学科都有长足进步和发展，一些新观点、新理论相继出现，相关的研究成果已渗入数学教育领域。与此同时，我国的解题研究成果和解题教学已经发生了变化，人们不再局限于解题方法和解题技巧的总结，开始更加重视思维能力、数学应用和数学方法论等的研究。随着我国素质教育的全面推进，培养学生的思维能力，全面提高学生的整体素质显然尤为重要。
作为一名耕耘在教学第一线的教师，深深地体会到提高学生的解题能力是提高学生数学能力的重要途径。玻利亚曾说：“掌握数学意味着什么呢?这就是善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题”。这就是说，解题是掌握数学的一个重要的途径。通过解题活动，获取知识、培养能力、培养良好的思维品质，不断提高思维能力和思维水平，形成科学的思维方式，促使学生的身心全面发展。
正是因为数学问题和解题活动具有多种功能，所以在中学数学教学中它成为学习的主要内容和重要形式。解题贯穿教学的始终，例题、习题、练习，考试无法以解题活动来体现。 当前解题教学中存在的主要问题：
1、以往的数学教学强调“以纲为纲”“以本为本”，注重“精讲多练”，教师依据“纲”和“本”规范自己的教学活动，较少着重从数学的精神、思想和方法上挖掘教材内容的内涵，也较少注意从能力的培养上组织教学。
这样教师精讲往往是讲方法，讲题型，讲程序而轻思想，轻策略，轻参与，“教师中心”思想与建构主义教育观以学生主动参与为中心的思想是背道而弛的。
2、许多学生反映，听课很明白很清楚，但让自己独立解题都感到困难。这是原因很复杂，听讲时对解题推理的分析和题解的整体表述，虽然认可与折服，可是光靠这些还解决不了自己解题时如何也能得到令人信服的推理程序。教师在解题教学中，如果只向学生解释某个步骤是可信的和可行的，而不把重点放在暴露自己猜想、试探的过程和感受，即如何想到实施这一步骤的，就会使基础知识、基本技能与解题能力成为“两张皮”。
3、“题海战术”并不能提高学生的解题能力。它一方面加重了学生学业负担，不利于学生的全面发展，另一方面也往往与各种考试直接相关。
教师处于两难境地。一方面承认“题海战术”的弊端，同时也没有其他的办法。
拜尔实验说明：建立在规则基础之上的东西与通过理解得到的东西，它们之间在适应性上存在差异。
教师提供的题型，若侧重于解题方法的训练，对于解同类问题确有一定的效果，但要使学生利用已掌握的基本知识和原理独立地解题相对于侧重于基础知识的理解上的在适应性要差很多。学习上的亏缺及思维方式方面的缺陷，在解题中对探究性问题，甚至对变式问题的不适应。用无限扩充题型的办法，即“题海战术”来补救，客观上强化了不合理的思维方式，从而导致一种恶性循环。
4、思维定势的负面影响导致学生解题时缺乏对条件与结论的结构与特征的准确把握、思维缺乏灵活性，例如比较三个分数线26
15171074、、的大小，许多学生会采用通分的办法，不能根据分子的特点(可以化为它们的最小公倍数60)，审时度势，随机应变地解决问题。思维方式的缺乏长此以往对学生的数学思维能力的提高和全面发展将产生深远的不利影响。
二、关于建构主义的基本理论：
(一)建构主义简介：
建构主义的先驱皮亚杰认为，知识既不客观的，也不是主观的，而是个体与环境相互作
用的过程中逐渐建构的结果。个体在遇到新刺激时，总是试图用原有的认知结构去同化它，以求达到暂时的平衡；如果同化不成功时，个体则采取顺应的方法，即通过调节原有认知结构或新建认知结构，来达到新的平衡，同化与顺应之间的平衡，也就是人类智慧的实质所在。
当今建构主义认为：
1．认识并非主体对于客观实在的、简单的、被动的反映，而是主动的建构过程，也就是说，所有的知识都是建构出来的。
2．在建构的过程中主体的认知结构发挥了特别重要的作用，后者并处于不断的发展之中。
3．学习必定是在一定的社会环境之中进行的，并主要地是一种文化继承的行为。
建构主义重视已有知识经验、心理结构的作用，强调学习的能动性、建构性、社会性和情节性，强调个人的学习体验、智力参与和主动活动。
(二)建构主义的基本原则：
1．主体原则：
在数学学习活动中，学生应当是认知行为的主体，而教师是行为的主导。
建构主义十分重视学习者在学习过程中的主观能动作用，认为人脑并不是被动地接受和记录输入的信息，而是主动地建构对信息的理解，学习者已有认知结构(包括已有的知识经验、认知策略、认知方式等)为基础，对信息进行主动选择、推理、判断，从而建构起关于事物及其过程的表征，策纳认为“知识是无法传授的，传递的只是信息，知识只是在它与认知主体在建构活动中的行为相冲突或者相顺应时才被建构起来的”。
建构主义认为学生的主体作用体现在认知活动中的参与功能，体现在认知活动中思维与经验的全部投入，进行主客体的相互使用和重新组合。教师的主导作用体现在为学生的参与创造适宜的挑战环境，去了解学生的数学结构看看他们的主观感知有什么问题，教学设计应以有利于学生吸收新知识到他的数学知识结构中去。要想方设法使学生的脑和手都动起来做适应于学生的认知结构的活动。
2．适应原则：
传授怎样的数学知识和传授多少数学知识不仅要适应学生生理和心理特点，而且要适应他们的认知结构和建构活动。
建构主义认为，学生是数学活动中的认知主体，知识只是在它与认知主体在建构活动中的行为相冲突或者相顺应时才被建构起来的。
主客体(学生和数学知识)之间的相互作用正是认知活动的本质所在。因此，在数学教学中，知识的呈现方式不但要适应学生的心理特点、生理特点，还要适应他们的认知结构(即学生已掌握了哪些知识、掌握到什么程度)和建构活动(即学生怎样学习知识、怎样将知识组织起来，有何缺陷)。
3．建构原则：
就是说，数学学习不应是一个被动地从外界接受的过程，而应是一个积极主动地建构知识的过程。
建构主义认为，学习过程是一个建构的过程，学生从原有数学经验世界中，组织起相应的数学建构原材料，自己去提出问题，选择方法和探索验证，并去进行表述，交流和修正，从而有效地建构起新认知结构。
建构有两方面含义，其一是对新信息的理解是借助于已有经验，超越所提供的新信息而建构的；其二是从已有认知结构中提取的相关信息也要按具体情况进行建构，而不是单纯的提取，当今建构主义者更加强调改造和重建已有知识经验这一建构。
学生学习数学的过程，是在原有知识经验的基础上主动建构的过程，学生原有知识倾向不同，对接收到的信息的“意义赋予”也不相同。
4．主导原则：
教师的传授不应从书本准确无误地搬运知识的过程，他应是数学建构活动的设计者、组织者、参与者、指导者和评估者。
教师的主导作用体现在他是数学建构活动的设计者、组织者、参与者、指导者和评估者教师所追求的不是仅仅吃透教材、讲述明白，而应通过自己的“示范”向学生展现自己的数学思维活动，揭示隐藏在具体知识内容背后的思想方法，从而帮助每个学生发挥主体作用，最终相对独立地去完成数学建构活动。
5．问题——解决原则：
有成效的数学建构活动应由问题的提出开始，引入认识冲突，通过学生自己的控索和再创造，以及对社会建构(表达、交流、辩论、调整等)的参与，获得问题的解决，这实际上包括了问题的提出与问题的解决两个方面。
教师要把书本上的知识转化为有探索性的数学问题，问题要有层次性和目的性。要调动学生的学习积极性，创设数学建构的意境，促使学生进入建构的角色。
(三)建构主义的教育观：
郑毓信教授分学习观和教学观两个方面对数学教育观作为较好的概括：数学教学是学习者个体建构和师生组成的“共同体”社会建构的统一过程；在这个过程中，学生的主体作用和教师的主导作用场应表现出能动性；这一能动性应统一在形式多样(动脑、动口、动手)的数学活动中。
三、解题在数学教学中的地位和作用：
(一)问题和数学问题的特点：
1．什么是问题和解题?
美国数学家哈尔莫斯(PP，Halmos)认为，问题是数学的心脏。他说：“数学究竟是由什么组成的?公理吗?定理吗?证明吗?概念?定义?理论?公式?方法?诚然，没有这些组成部分，数学就不存在，这些都是数学的组成部分，但是，他们中的任何一个都不是数学的心脏，这个观点是站得住脚的，数学家存在的理由就是解问题，因此，数学的真正的组成部分是问题和解”。
波利亚指出：“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练”。
那么什么是数学中的问题呢?
波利亚在《数学的发现》中将问题理解为：有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到，但又不能立即达到的目的。解决问题指的是寻找这种活动。
威克尔格伦认为：问题类由三个部分组成：关于已知条件的信息；关于运算的信息，这些运算从一个或多个表达式推导出一个或多个新的表达式；以及关于目标的信息。
三轮辰郎认为：问题是指那些对于解答者来说还没有具体直接的解决办法，对于解答者构成认识上的挑战这样一种局面。
总之，问题是指某个给定过程，对对象认识的当前状态与智能主体(人与机器)所要求的目标状态之间的差距或矛盾的主观反映。
2．数学问题的特点：
a．原始素材几乎可以来自任何领域。
b．数学问题取之不尽，且自身具有生成性。
巳数学问题明确清晰。
(二)问题和解题的功能：
1．掌握知识的功能：
数学知识体系展开的基本形式是不断地提出问题，并在相继解决问题的过程中逐步建构起来的，教师与学生一起在教学活动中，在教师的主导下，学生主动参与，在不断地提出问
题和解决问题的活动中获取知识，发展数学。同时，还要在课外做适当的练习达到记忆、巩固、熟练地掌握数学知识并形成技能。
2．认识的功能：
学习是特定环境下的一种认识活动。知识是认识活动的对象也是认识活动的载体。学生在解题过程中不断提高认识水平。
3．教育与发展的功能：
学生的思想、文化素质提高和智力的发展是通过数学教学的全过程来实现的问题和解题是教学活动的主要内容，解题是一种复杂的智力活动，对提高学生的思维能力和非智力因素都具有非常重要的作用。
4．评价功能：
数学成绩的评价主要靠解题来实现的，这就容易造成学生对题型和解题方法的依赖，易出现“题海战术”因此学生学习的好坏不一能只以分数来衡量，还应考虑其他方面。
(三)解题在教学中的作用：
1．理解作用：
抽象性是数学知识的主要特征，典型例题的解决过程可以展示相关知识的某些功能及运用的条件，反过来以知识运用的侧面可以加深对知识的认识。通过多侧面，多角度的运用，逐步领悟和全面理解知识的实质，也有的知识必须放在一个大背景下，才能理解的透彻，解题活动为这些提供了适当的环境。学习过程中，个体对知识的理解不能仅靠别人的告知，必须亲身参与，不断地总结反思，有意识地运用基本知识和基本技能解题，通过解题加深对概念定理的理解，并调整自己的知识结构。
2．评价作用：
这是加深对数学知识的理解及促使个人发展的重要的3环节。学生在解题过程中经过成功与失误，体验与反思，不断进行归因分析，积累经验，教师可通过解题教学了解学生，总结经验和教训，改进教学方法，提高教育教学质量。
3．调节作用：
通过解题学生在自我评价和教师的指导下，将自己的活动作为意识对象，进行监视与控制并积极调节自己的行为，改进知识结构使之适应发展了的情况，从而发展思维水平，形成科学的思维方式。
4．发展作用：
在知识的掌握与运用中增长经验，引起行为的持久变化，从而得到全面发展。通过解题总结具有个性特征的“知识”块，客观上丰富了课本中给出的知识和方法。
5．增加应用意识的作用：
应用意识属于一种数学观念，是学习者主体意识的反映。指在数学学习中具有一种主观意向，主动地把抽象的数学知识用于解决实际问题以及利用已有知识解决数学内部的理论问题。
(四)主要的解题理论和观点：
1．波利亚“怎样解题表”
解题学研究的一代宗师波利亚以数十年的悉心研究“数学启发法”和数学教学。推出了在今天看来仍非常令人赞叹不已的“怎样解题表”。
他告诉我们在解题过程中应该如何思考，“怎样解题”表
弄清问题：
第一，你必须弄清问题：
未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?你必须满足条件是否可能?要确定未知数，条件是否可能充分?或者他是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?题画张图，引入适当的
符号，把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来?
拟定计划
第二，找出已知数与未知数之间的关系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，你应该最终得出一个求争的计划。
你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数，试想一个具有相同求知数式相似求知数的熟悉的问题。你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能否利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题，你能不能想出一个更容易着手的问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于求未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适于确定求知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变求知数或数据，或者两者都改变以使新求知数和新数据彼此更接近?
你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的体制改革有必要的概念?
实现计划：
第三，实现你的计划。
实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
回顾：
第四，验算所得到的解。
你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这结果或方法用于其他的问题?
设AB 是ΔABC 的中线，BC=a 、Ac=b 、AB=c ，求证：
22224
1)(21a c b AD -+= 第一， 你必须弄清问题
（1）你必须弄清问题
（1）这是一个什么问题
这是一道平面几何的证明题
（2）已知是什么？
三角形ABC 的中线AD
BC=a,Ac=b,AB=c
（3）求证是什么？ 求证是22224
1)(21a c b AD -+= （4）求证式有什么特点
求证式的特点是：出现了三角形三条边的平方，中线的平方，并且是个等式。
第二拟定计划
（5）哪些知识能提供连长的平方关系？
①勾股定理
②余弦定理
③射影定理
（6）说明解用余弦定理能成功吗？
（7）用勾股定理能功吗？
第三，实现计划
证明1：设∠ADB=α，∠ADC=β，
由余弦定理得
αcos 222222
a AD AD a c ?-+= ① βcos 222222
a AD AD a c ?-+= ② β
αβαc o s c o s 180-=∴?=+ ①+②： 4)(212222222
2
2
2a c b AD AD a c b -++=+ 因此利用余弦定理可以成功
证明2尝试，构造直角三角形
证明2：过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，在Rt ΔABH 中，由勾股定理得：
2
22AH BH c += 22)2
(
DH DH a ++= 224AH DH DH a a ++?+= ① b 在Rt ΔAHC 中，由勾股定理
222HC AH b += 22)2(
DH a AH -+= 22
24
DH DH a a AH +?-+ ② ①+②： )(22222
2
2DH AH a c b ++=+ 22
22
AD a ?+=
22224
1)(21a c b AD -+=∴ 因此，利用勾股定理可以证明回顾，这是一个典型的等导一式顺推法的证明。
（8）你能否用别的方法导出这些结论。
以BC 为X 轴，D 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则),()02
()02(y x A a C a 、、??-
β θcos AD x =∴ θsin AD y =
222)2
(y a x C ++= 4cos 44
2
2
2
222
2
2a AD a AD a ax y x y a ax x +?++++=+++=θ 222)2(y a x b +-
= 4cos 4
4
2
22
222
2
2a aAD AD a ax y x y a ax x +-=+-+=++-=θ 4)(212222222
2
22a c b AD a AD c b -+=+=+ 还可以把△ABC 补成平行四边形ABEC
过A 、B 分别作直线EC 的垂足分别为M 、N ，显然△ACM 。
∴EN=CM ，BN=AM
设EN=CM=x
AM=BN=h
2
222222
22)()2()(h x c AD h x c AE h x b ++=++=+=
2
22224h x cx c AD +++=
222b cx c ++= ①
222cn h a +=
22)(x c h -+=
2222x cx c h +-+=
cx b 222-+= ②
①+② 224a AD +
2222b c += 22224
1)(21a c b AD -+=∴ （10）你能否把这个结果或方程运用于其他问题？ 由 222241)(21a c b AD -+=
2222224a c b AD -+=
)(22222c b a AE +=+
说明：平行四边形对角线的平方和等于两邻边平方和的2倍。
菱形对角线的平方和等于一边平方的4倍。
2．唐以荣教授的“连续化简”
连续化简是指在合逻辑的前提下，连续地把原题转化为比较易证的题目，一直到新题目已经成为一项基础知识为止。
基本的解题法分成两大类四种。
（1）等价变形式顺推法：常用于解条件单一、复杂而结论单纯的题目和具有这种性质的题目，基本形式为“A →B ”。（2）等价变形逆推法：常用于解条件单一、单纯，而结论复杂的题目，推理形式为“要证A 先证B ”。
例如：已知+
∈R c b a ,,，求证：
2
9≥+++++++++++a c c b a c b c b a b a c b a ① 要证②先证：9)11)((2≥+++++++a
c c c b b a c b a 9]11][222[≥+++++++a
c c c b b a c b a 须证9]11)][()()[(≥++++++++++a c c c b b a a c c b b a 显然成立 3．弗里德曼的《怎样学会解数学题》
他认为：“应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，并把解答习题看做是设计和发明的目标。”
他把解题过程分成8个阶段：
第一阶段——分析习题
第二阶段——作习题的图示
第三阶段——寻找解题方法
第四阶段——进行解题
第五阶段——检验题解
第六阶段——讨论习题
第七阶段——陈述习题答案
第八阶段——分析题解
弗里德曼提出了非常有益的建议：
（1） 识别习题类型
（2） 归结为已经解过的题
（3）石堆里抓老鼠，就是说要善于把一个问题分解成一些小问题，又要善于分析问题的实质，直捣问题的关键。
（4）解题是一个改编习题的过程。即抓住问题的实质，利用语言的转换，变成我们熟悉的问题。
例如，解方程
0)392(3)3)12(2)(12(22=+++++++x x x
这是莫斯科大学1989年化学系入学试题。此题通常按无理方程解法获解，但预计十分麻烦，观察问题的特点，能否找到简便的解法呢？
这时解题者对题目进行观察，即审题、学生在原有认知结构中认识、理解、寻求解题思路首先想到的是按无理方程垢解法去解，进一步观察可以发现，令2x+1=y
可令)32()(2++=y y y f ，方程实际为
0)3()12(=++x f x f
不难发现f(y)是一个奇函数，从而原方程与下列方程同解。
)3()12(x f x f --+
进一步研究函数，根据学生已有知识，经验可知，只要f(9)是单调函数，则与下列方程同解：
zx+1=-3x
问题转化为关于函数μ=f(y)的单调性的研究
定μ=f(y)是（增）函数3922++
现在问题转化为证明39)(92+==y y μ为单调增函数的问题。
显然39)(92+==y y 为奇函数，只需证明y ＞0时，9（y ）为单调增函数即可。 令0＜y 1＜y 2
欲证 g(y 1)-g(y 2)＜1,∵y(y 1)+g(y 2)＞0
只需证 (g(y 1）-g(y 2))(g(y 1)+g(y 2))＜0
即可
)3)(()(3))((33)
3()3()
()(2221222122212221222
122
42214122221212212?+--=-+-+=--+=+-+=-y y y y y y y y y y y y y y y y y y y g y g ∵0＜y 1＜y 2
∴y 12＜y 2
2 又0302
221?++?y y
即0)()(2212?-y g y g 0)()(21?-∴y g y g ∴原方程的解为5
1-=x 此题的解题过程可如图表示如下：
此过程可以发现，学生通过对题目的理解多次进行语言转换，也就是化归为熟悉的问题，而换元，奇函数，单调性的有关都是学生已有认知结构中存在的，因此说学生已有的知识，经验在建构知识时是非常重要的。
解题者对对象认识的深度和解题意解以及思维习惯决定着解题活动的方式、方法。 例如：f(x)=ax 2+bx+c=0,(a ≠0)
有两个不等实根，进行语言转换可表述为：
①f(x)=0有两个不等实根
②Δ＞0
③实数范围内可分解为一次因式之积
④有在实数a 使得（x-a ）整除f(x)
⑤y(fx)的图象与x 轴有两个交点
⑥f(x)=a(x+m)2+n,an ＜0
⑦分式f(x)＞0，与f(x)＜0均非空
⑧存在实数α，使f （α）α＜0
⑨a 与f )2(a
b -异号，等等。 这样的转换可以及时与已有知识建立起有效的联系，从而激活解题策略寻找到解题方法。 再比如，方程m x x =--322有四个解，求m 的取结范围。
有些学生这样解
3203232222=+--=---±=--m x x m x x m
x x 或
两个方程各有2个解
Δ1=4-4（-3-m ）＞,Δ2=4-4(-3+m)＞0
m ＞-4, m ＜4,
又 m x x =--322
∴m ＞0
∴0＜m ＜4
有些同学这样做 方程m x x =--322有四个解，说明函数3222--x x y 与y=m 的图象有四个交点，
画出函数图象。
显然要使两个函数图象有四个交点只需
0＜m ＜4
两种解法反映了学生不同的认知结构，以及已有知识、经验，前者对绝对值和一无二次方程判分试比较熟悉，因此他在解题时，容易想到利用判别式，后者对方程的解的意义和图象的作法较熟练，易想到数形结合，体现了较高的思维水平和较好的认知结构。
4．梅森(J ，Mason)的特殊化和一般化。
他认为：特殊化与一般化正是数学的核心，同时也是怎样解题的关键所在。
梅森给出了以下解题策略：
(1)由随意的特殊化，去了解问题。
(2)为系统的特殊化，为一般化提供基础。
(3)由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。
5．罗增儒教授的解题系统论与解题坐标系。
罗增儒教授经过多年的潜心研究推出了利用系统科学的观点来描述解题系统，数学方法系统及应用其基本原理的解题系统论和解题坐标系。
为了探求解题思路，给出了五个基本原则：
(1)平面结构原则。
(2)广角投影原则。
(3)内圈递扩。
(4)差异渐缩原则。
(5)迹线平移原则。
特别是他提出的“通过认真分析典型例题的解题过程，从而提高解题能力”的观点，实践证明这种方法对提高解题能力，发展数字思维的作用是非常大的。
四、如何搞好解题教学：
(一)教师要树立先进的数学教育观
1．关于数学观
传统的数学观往往认为数学就是各种数学知识(概念、定理、公式、法则、解题方法等)的汇集，是一种静态的数学观。而新的数学观认为数学应该被看成人类的一种活动和文化，数学活动比数学知识更重要。这是一种动态的数学观。在新的数学观指导下，数学教师应把数学教学看成是数学活动的教学，通常数学活动的教学，培养学生的主动性，创造性和应用数学知识分析问题、解决问题的能力。
2．关于数学学习观
根据建构主义的观点，学生学习数学并非被动的接收过程，而是主体在已有知识经验的基础上的主动建构的过程。学生只有主动参与，教师与学生之间、学生与学生之间的多向交流在交流中碰撞、补充、修正、才能加深对问题的理解，形成良好的数学能力。
其次，教师应根据不同学生的思维特点，认知结构的不同采取不同的方法，合理创设问
题情境，形成认知冲突，积极体现学生的主体性，让学生在主动参与的基础上建构知识、解决问题。
3．关于数学教学观
建构主义认为，教师在教学中不应该只是知识的传播者与灌输者，而应成为学生创造良好的学习情境的组织者与设计者，合理地提出问题，。要便于学生对知识的顺应和同化，已有知识经验的提取，教师在教学中要充分暴露思维过程，暴露思维过程必须因人而异，暴露思维过程必须因材而异，暴露思维过程必须展示失败的过程，暴露思维过程必须是科学的。
(二)如何搞好解题教学
1．培养学生认真审题习惯。
审题是解题的基础，解题出现错误，解题出现困难，往往是由于不认真审题造成的。
审题首先要明确题意，摸清习题的语法结构；其次是挖掘题目中的隐含条件，其中包括结构中的信息、同时注意语言表述的转化，抓住问题的本质。
2．把解题能力的培养主要放在一般典型方法的掌握上。解题的关键在于“转换”，即把一个复杂的、生疏的问题转化为简单的、熟悉的，解过的问题。在数学的解题过程中，转化的方法很多，最主要的有四种：把问题一般化的方法。
把问题特殊化的方法，肢解问题的方法和把问题转化为熟知的问题的方法。
3．教师应注意暴露思维过程，特别是解题策略的教学。
解题策略是高层次的信息处理方法，西蒙指出思维策略有两种类型①内部指导策略，即以记忆中已有的信息为指导而达到目标。如机械记忆策略、模式策略、目标递归策略。这时主要靠内部已存储的信息来指解题的行为顺序和行为模式。②外部指导策略。这时解题者用其感觉器官感知到问题情景或当前的刺激条件从而引出下一步该怎么做。因此称为利激指导的策略。如知觉策略。明斯基提出的“向上而下”与“向下而上”的两种加工策略，反映出人工智能研究的两种途径。
在具体的数学解题策略中的任樟辉提出了十种解题策略：
以简驭繁、化生为熟、正难则反、倒顺互通、进退互用、数形迁移、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真。
罗增儒教授提出了解题策略也包括十条：
模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转换、数形结合、有效增设、以美启真。
这些解题策略在解题过程中悬有非常重要的作用。
例如，波利亚在解“鸡兔同笼”问题对让兔子“站起来”的方法，充分体现了策略意识的重要性。
4．注意培养学生积累解题的技能技巧
不少数学问题，通常的解法繁琐冗长，但也有一些解法十分简明、清楚、事半功倍。
数学中应当有适合不同水平的、难度不同的解题技巧训练，让学生在训练中培养自己的学习兴趣和创造性思维能力。
教师在讲解例题和选取练习时应主要以下几点：
①针对性：
教师要精心选择和设计练习题，避免选择那些思路狭窄的题目。做到具有知识性，典型性、针对性。起到强化知识，发展能力的作用。
练习题的选择要有梯度。因为学生的基础知识和能力上有差异，个体的认知结构也有差异，布置练习时，题量可以大些，难度上要有梯度并应该让学生有选做的自由，只有这样才能使不同层次的学生都能充分发挥自己的能力，在练习中得到收益，并有机会尝到成功的喜悦，能够有效激发学生的好胜心、荣誉感，若无视差异，强求一致，就可能使得一些学生穷
于应讨而弄虚作假，浪费时间。
表一是对高三某班在第二学期中数学课外练习的情况统计。
同时选②⑤的有22人，占全班的43％，占选②的81％，说明大多数学生并未完全放弃学习，而是在尽自己的努力，这样做可以使基础差的同学有时间一步步弄清知识点，打好基础，也使能力强的同学得到进一步的锻练。
②及时性 根据艾宾浩斯的遗忘曲线，知识的遗忘先快后慢，因此练习要及时，反馈要及时，若能在短时间对学生练习进行检查和讲评，就可以使学生对当时的解题方法，思路仍然记忆犹新的情况下检查对照，正确的思路、解法得到及时肯定，错误及时得到纠正，从而降低再错率。 3．多变性
加强一题多解和一题多变的练习，有利于学生知识网络化，培养思维广阔性和灵活性。 例
4．批判性
对于一些问题类似而方法不同要强化练习，以而培养思维的批判性。
对于一些问题类似而方法不同要强化练习，以而培养思维的批判性。
例：①求函数22
1x
x y +=的最小值 ②求函数x
x x y 212++= （x ＞0）的最小值 ③求函数x x x y 212++= (x ≥1)的最小值 第①1题直接利用基本不等式即可
第②题变形成121++
=x
x y ，再利用基本不等式 第③题变形成121++=x x y 后，若利用基本不等式 等号不能成立，因为只有当且仅当2
2=x 时，等号成立，而x ≥1,因此必须利用函数的单调性来求。
5．做一题多解和一题多变的训练
“一题多解”有利于培养学生综合运用数学知识的能力，同时也可以从不同的角度来理解问题，从而可以全面提高数学思维能力。
“一题多变”有利于扩大学生的知识面，深化知识，举一反三，触类旁通，从而提高解题能力。
例2 已知抛物线y 2=2px,直线经过抛物线的焦点与抛物线相交于A 、B 两点，两个交点
的纵坐标为y 1、y 2,求证y 1y 2=-p 2
解法1：
设A （x 1、y 1）、B(x 2、y 2) 则221221
2121p
y X p y X ==、 设直线AB 的方程为)2(p x y -
= 则 )2
(p x k y -= ① 的解为A 、B 点坐标。
px y 22= ②
把①代入②
px p x k 2)2(22=-
024
2
2222=-+-px p k px k x k 04)2(2
22
22=++-p k x p p k x k 由韦达定理：4
2
21p x x = 1122Px y = 2222Px y =
2122214)(x x p y y =
212
2214)(x x p y y =
∵y 1·y 2＜0
2212214P x x P y y -=-=∴ 解法2：
由解法1可知：
)2(p x k y -
= ① px y 22= ②
由①可知2
kp kx y -=
k kp y x 2+
= ③
把③代入②： k kp
y P
y 222+= 0222=--p k
p y 221p y y -=
解法3：
设l 为抛物线的准线
则过A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为M 1、M 2。
1AM AF = 2BM BF =
BF M AF
M 221121802180∠=∠-?∠=∠-?
相加 ?=∠+∠∠+∠-?180)(23602121AF M AF M
?
=∠∴?
=∠+∠∴90902121FM M 在Rt ΔM 1FM 2中，由射影定理可知： 2
21212212)(p y y y y p M
M M M MF -=∴-=?=
解法4：
分别过A 、B 作s 轴的垂线，垂足分别为M 、N
显然2
1y y BF AF
-= 212
2222
121)0()2()0()2(y y y p x y p x -=-+--+-
???
?????+??? ??-=????????? ??-=22222112222y p x y p x y
()???
? ??-???? ??-=???
? ??--=??? ??-=24222222124122222212212222
221212
2y p y y p p y y p p y y x y p x y p
6．激发学生解题的积极性
学生只有通过解题的练习，在实践中积累经验，没有亲自尝过解题酸甜苦辣的人，是永远不会解题的，在解题实践中总结经验和教训加深对数学知识的理解，从而运用数学知识解决实际问题。
7．教师在教学中应发挥主导作用。
解题数学中，教师要创设合理的情境，合理的设问，要注意学生已有的数学知识和经验通过对解题过程的分析，不断提出问题，调动学生的思维活动。学生通过模仿、实践、认识理解、掌握并熟练的运用相关知识解决问题。
同时，教师在讲解例题、布置练习时要选取适当的例题和练习题，理解新知识选用模仿性习题，揭示新知识的本质要选择规律性习题扩展学生发散性思维选用一题多解、一题多变的习题、培养综合运用能力选取综合型习题。
8．强化学生的反思意识
加强回顾与反思，波利亚说：“一个好的老师应该懂得并且传授给学生下述看法，没有任何一道题是可以解决得十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研。我们能够改进这个解答，并且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。”
通过反思与回顾，可以改进原解法，可以全方位地来理解题目的本质，通过四个方面的分析，可以得到更多启示。
(1)解题过程是否浪费了更重要的信息。
（2)解题过程多走了哪些思维回路。(3)是否可以用更一般的原理代替现存的几个步骤，从而提高思维的层次。(4)有五更特殊的技巧代替现存的常规步骤。
同时，结论也是信息，既使是错误的解法也不代表一无所获，养成解题分析的习惯是提高解题能力，加深对知识的理解的有效途径。
五、建构主义的教学模式——情境数学
(一)情境教学的概念
隋境数学是指创设含有真实事件或真实问题的情境，学生在探究事件或解决问题的过程中自主地理解知识、建构意义。教师同样是情境中的事件探究者或问题解决者，教师在与学生共同建构意义的过程中给学生提供必要的帮助。这里的情境是基于现实世界的真实情境，是与现实情境一致或类似的。由于这种教学是以真实事例或问题为基础的，故有时也被称为“实例式教学”或“基于问题的教学”。情境教学中的各种事件或问题是学生要完成的“真实性任务”，是教师和学生思想集中的焦点。通过学生和教师对这些事件或问题的探究，教学内容及其进程成为一个动态的、有机的整体，这些事件或问题恰如一个个“锚”，把学生