自考高等数学工本公式大全
《高等数学（工本）》公式
第一章 空间解析几何与向量代数
1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-=
2. 向量的投影
3. 数量积与向量积：
向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b a a a == .1?z z y y x x b a b a b a b a ++=? .2?b a ⊥的充要条件是：0=?b a
.3
?b a =∧
)cos(向量的数量积公式：
.1?k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k
j i
b a x y y x z x x z y z z y z
y x
z y x
)()()(-+-+-==?
.2
?=
?sin
.3?b a //的充要条件是0=?b a
4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线
平面方程公式： ),,(o o o o z y x M },,{C B A =
点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A
直线方程公式： },,{n m l S = ，),,(o o o o z y x M 点向式：n
z z m y y l x x o
o o -=-=-
5. 二次曲面
第二章 多元函数微分学
6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分
偏导数公式：
.1?),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?===
x v
v z x u u z x z ????+
????=?? y
v v z y u u z y z ????+????=?? .2?设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?===
dx
dv
v z dx du u z dx dz ??+
??=
.3?设0),,(=z y x F
Fz
Fy
y z Fz
Fx x z -=??-=?? 全微分公式：设),,(y x f z =dy y
z dx x z dz ??+??= 7. 复合函数与隐函数的偏导数 8. 偏导数的应用：二元函数极值 9. 高阶导数
第三章 重积分
10. 二重积分计算公式：.
1???=D
kA kd σ（A 为D 的面积）
.
2??
???
?
?==)
()
()
()
(1212),(),(),(y y c
d
D
x x b
a
dx y x f dy dy y x f dx d y x f ????σ
.
3???
?
?=D
rdr r r f d d y x f )
()
(12)sin ,cos (),(θ?θ?β
α
???σ
11. 三重积分计算公式：
.1?利用直角坐标系计算，Ω为??
?
??≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z )
()()
,(),(2121
?
?
????=Ω
)
,()
,()
()
(2121),,(),,(y x z y x z x y x y b
a
dz z y x f dy dx d z y x f σ
.2?利用柱面坐标计算：Ω为??
?
??===z y r y r x ??sin cos
?
?
????=Ω
)
,()
,()
()
(21212
1
),sin ,cos (),,(??????
??r z r z r r dz z r r f rdr dx dv z y x f
.3?利用球面坐标计算：Ω为??
?
??===?????cos sin sin sin cos r y r y r x
???Ω
dv z y x f ),,(?
??=)
,()
,(2)
()
(
2121sin )cos ,sin sin ,sin cos (???????
?β
α????????r r dr r r r r f d d
12. 重积分的应用公式：
.1?曲顶柱体的体积：??=D
dxdy y x f V ,),(曲面),(:y x f z =∑
.2?设V 为Ω的体积：???Ω
=dv V
.3?设∑为曲面),(y x f z =
曲面的面积为σd f f S D
y x ??
++=
221
第四章 曲线积分与曲面积分
13. 对弧长的曲线积分
（1）若L ：b x a x f y ≤≤=),(，则
??
+=b
a
L
dx x x x f dl y x f )(1)](,[),(2??
（2）若L ：βαψ?≤≤?
??==t t y t x ,)()
(
则
??
'
+'=βα
ψ?ψ?dx t t t t f dl y x f L
)()()](),([),(22
（3）当1),(=y x f 时，曲线L 由B 的弧长为?
=L
dl S 。
14. 对坐标的曲线积分
（1）
终点
起点)()()
(:)](,[),(b B a A x y L dx x x P dx y x P AB b
a
L AB
??==??
（2）[]终点起点
)()()()(:)]()(),(),(βαψ??ψ?β
α
B A t y t x L dt
t t t P dx y x P AB L AB
?
?
?=='=??
15. 格林公式及其应用 格林公式：
Qdy Pdx dxdy y P
x Q L
D
+=??-?????)(
其中L 是沿正向取的闭区域的边界曲线。16. 姻亲的种类（P66） 17. 对面积的曲面积分
??
??
++=
∑
Dxy
y x dxdy z z y x z y x f ds z y x f 2
21)],(,,[),,(
∑=),(:y x z z
18. 对坐标的曲面积分
????±=∑
Dxy dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,( 下侧取负号上侧取正号
∑=),(:y x z z
第五章 常微分方程
19. 微分方程基本概念 20. 三类一阶微分方程
(1)一阶线性微分方程：)()(x Q y x p y =+'
通解])([)()(C dx e x Q e
y dx x p dx
x p +=???-
(2)二阶常系数线性齐次微分方程
公式：0=+'+''qy y p y 特征方程：02
=++q pr r
.1?21r r ≠实根：通解为x r x r e c e c y 2121+=
.2?21r r =实根：通解为x r e c c y 1)(21+=
.3?i r βα±=2
1，：通解为)sin cos (21x c c e y x
ββα+= (3) 二阶常系数线性非齐次微分方程
公式：ax
m e x P qy y p y )(=+'+''
通解为*
y y y += y 为对应齐次方程的通解
x m k e x Q x y α)(*= *y 为所求方程的一个特解
0=k ：a 不是特征方程的根 1=k ：a 是特征方程的单根
2=k ：a 是特征方程的重根
第六章 无穷级数
21. 数项级数的基本概念以及基本性质22 22. 数项级数的审敛法
审敛准则公式：.1?比值判别法：??
?
?
?
?
???
=∞><=∑∑∑∞=∞
=∞
=+∞→不定
级数发散级数收敛
级数111
1
,1),(1,1lim
n n n n n n n
n n u u u q u u
.2?比较判别法：
1）设n n v u ≤，而
∑∞
=1n n
v
收敛，则
∑∞
=1n n
u
收敛。
2）设n n v u ≥，而
∑∞
=1
n n
v
发散，则
∑∞
=1
n n
u
发散。
23. 幂级数以及函数的幂级数展开式
幂级数的收敛半径和收敛区间 公式：.1?收敛半径1
lim +∞→=n n
n a a R
.2?收敛区间：
1）[-R,R] 2）[-R,R ） 3）（-R ，R]
设发散，右边开
收敛，右边闭∑∞
==1:
n n
n R a R x
发散，左边开
收敛，左边闭）
（∑∞
=--=1
:n n
n R a R x
.3?R x x R x x R x x R x x x x a n n n -=-=-+==--∑∞
=00001
)令（ 幂级数的展开式
公式：.1?+∞<<∞-+++++=x n x x x e n
x
!
!212
.2?+∞<<∞--+-
=x x x x x x !
7!5!3sin 753
.3?+∞<<∞--+-=x x x x x !
6!4!21cos 6
42
.4?114
32)1ln(4
32≤<--+-=+x x x x x x
.
5?11111
32<<-+++=-x x x x x