高中数学必修4《平面向量》知识点讲义
高中数学必修4《平面向量》知识点讲义
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二章 平面向量
一、基本概念
1、数量：只有大小没有方向的量称为数量，例如温度、时间、质量、面积等。
2、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，例如速度，位移，加速度，力等。注意：向量没有位置。
3、有向线段：带有方向的线段。
4、向量的模：向量的长度（大小），记作 。
5、零向量：长度为0的向量叫零向量，记为 ，零向量的方向任意。
6、单位向量：长度等于1个单位的向量。
7、相等向量：长度相等且方向相同的向量。
8、相反向量：长度相等但方向相反的向量， 互为相反向量。
9、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。规定
。 二、表示与运算
代数
几何 坐标 表示
a 或AB
(x ，y ）
1122(,),A x y B x y 若（,）
2121=--AB x x y y 则（，）
加法（减法） “化减为加”
a b +
??
?三角形法则：首尾相连法则平行四边形法则
()1212,x x y y ±±
说明：1、向量加法满足： (1)交换律
(2)结合律
2、
3、 0()0//a 任意向量a a 与-a a b b a
+=+()()
a b c a b c ++=++a b a b a b +≤+当且仅当与同向时，取等号。?ABC 中，常见结论
a a λ=??
()a b a b -=+-0
AB BA +=)a λμ)b a b
λλ+=+()a b a b
λλ+=+=ABC M BC AM 中，为中点，则a a
是与同向的单位向量。
代数
几何
cos a b a b θ
?=??
， =.AC AB λ，使1121
()(22x OP OP OP +=
+=2
121(,OP x x y λλ+++=cos a a b θ?称为在向量方向上的投影cos b b a θ?称为在向量方向上的投影
a b a b
?2
==-=;a b a b a b a b a b a b a a a a b a b
????≤）当与同向时，；当与反向时，；））2
==a a a a
?求模长
代数 几何
坐标
模
a
长度
22x y +
平行（共线） (0)a b a λ=≠
a 与
b 所在直线平行或共线
22
11
(0x y x y =规定与任意向量平行）
垂直
0a b ?=
所在直线垂直
12120x x y y +=
注意：a b b a ?=? 但
三、重要的定理、公式
1、平面向量基本定理 1212,e e λλ是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，
112212,a e e e e λλ使＝＋，两个不共线的向量称为一组基底。
说明：平面内两个向量能成为基底的充要条件是不共线。
2、两个向量平行的充要条件 ()
122100
a b a b b x y x y λ?=≠?-=
3、两个向量垂直的充要条件
()a b c a b a c
+=?+?()()
a b c a b c ?≠?a b b c a c
?=?≠>=
121200
a b a b x x y y ⊥??=?+=
4、一个平面内A 、B 、C 三点共线的充要条件是
()
1OA OB OC λμλμ=++=其中