专题四：放缩法与不等式综合选讲

专题四：放缩法与不等式综合选讲

1．已知正数列{}n a 满足1111,(21)0()n n n n a n a a a a n N +++=++-=∈。{}n a 的前n 项和为

n S ，数列{}n b 满足1

11,(2)n n n

S b b n a -==

≥。 （1）求n a ； （2）求证:1211110

(1)(1)...(1)()3

n n N b b b ++++<∈。

变式：求证：31129

()24

n

k n N k +=∑<∈。

2. 数列{}n a 中11112,()2n n n

a a a a +==

+，{}n b 中*9

1

log 11

n n

n a b

n N a +?=∈-，。 （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求出其通项公式； （2）当*3()n n N ≥∈时，证明：231

2

3

12

3374

4

4

4

14

(1)(1)(1)(1)n n

n b b b b +

+

++

<+-+-+-+- 。

3. 已知数列{}n a 满足

111

1

n n n n a a n a a +++-=-+（n 为正整数）

，且26a =。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21

1

2

n

n a n n b -+=

，记n A 为{}n b 的前n 项和，()1111+++12!1!

n B n n =

???++！！，求证：当2n ≥ 时，有3n n B A <<。（其中!123n n =????L 。）

4．[]x 表示不超过x 的最大整数，正项数列{}n a 满足11,a =22

122

11n n n n

a a a a --=-。 （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2）求证：2222321

[log ](2)2

n a a a n n +++>>…；

（3）已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证：当2n >时，有

221

log 2n n S a +<+++++…。

5．已知数列{}n a 中，()1142

2*31

n n n a a a n N a +-==∈-，。

（1）求证：数列321n n a a ??

-?

?-??

是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式n a ； （3）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：

()()()1111

122221*21

2n n n

n n n n n S n N +-+-+?--+?-<≤

∈-。

6.在数列{}n a 中，已知12a =，112n n n n a a a a ++=-，n N *

∈。 （1）证明数列1

{

1}n

a -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1

(1)3n

i

i

i a a =-<∑，n N

*

∈。

7.已知数列{}n a 满足()()()11121

,.24n n n n a n a a n N a n

*++-==∈+ （1）求234,,a a a ；

（2）已知存在实数α，使n n a n a n α??

+??+??

为公差为1-的等差数列，求α的值；

（3）记()22

2

13

n n n b n N a *

++=

∈，数列{}n

b 的前n 项和为n S

，求证：1

12

n S >-

。

8. 数列{}n a 中，111

,()2(1)(1)

n n n na a a n N n na *+==∈++，其前n 项的和为n S 。 （1）设1

n n

b na =

，求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求n S 的表达式； （3

）求证：1

1(11)n

i i i S S =+-

<∑。

9．设函数2

2(),011x g x x x =

<<+，数列{}n x 满足：11

2

x =，01n x <<，且1()n n x g x +=，其中n N *

∈。证明：2223212112231()()()516

n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++< 。

10．已知曲线:4,:4()x x n n C y C y n N +*==∈，从C 上的点(,)n n n Q x y 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点111(,)n n n Q x y +++，设111,,n n n x a x x +==-1

n n n

y b y +=。 （1）求数列{}n x 的通项公式； （2）记4n n n

c a b =

，数列{}n c 的前n 项和为n S ，试比较n S 与3732的大小()n N *

∈；

（3）记2352(1)n

n n n d b +?=?-，数列{}n d 的前n 项和为n T ，试证明：21(21)n n n d T --?≤

2155

[1()]38

n -≤?-。

11．古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有*()n n N ∈个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A 柱上，现要将套在A 柱上的盘换到C 柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子,,A B C 可供使用

.

现用n a 表示将n 个圆盘全部从A 柱上移到C 柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题： (1)写出123,,,a a a 并求出;n a (2)记1,n n b a =+ 求和*

1 (,);n i j i j n

S bb i j N ≤≤≤=∈∑

(其中1i j i j n

bb ≤≤≤∑

表示所有的积(1)i j bb i j n ≤≤≤的和)

(3)证明：*13

1321122424214().721

n n S S S S S S n N S S S S S S -????≤+++<∈????………

12．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对于任意12,x x R ∈，存在正实数L ，使得

1212|()()|||f x f x L x x -≤-都成立。

（1

）若()f x =，求L 的取值范围；

（2）当01L <<时，数列{}n a 满足1(),1,2,.n n a f a n +== （i ）证明：

1121

1

||||1n

k k k a a a a L

+=-≤

--∑； （ii ）令12(1,2,3,)k k a a a A k k ++== ，证明：1121

1

||||1n

k k k A A a a L +=-≤--∑。