2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(17计数原理、二项式定理)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
(17计数原理、二项式定理)
、选择题:
1 . (2015广东理) 取2个球，所取的 袋中共有15个除了颜色外完全相冋的球，其中有 10个白球，5个红球。从袋中任 2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(
)
A . 1
B ?口 C.
2
D.
A
21 21 21
【答案】C..
【解析】从袋中任取2个球共有G ： =105种，其中恰好1个白球1个红球共有C ；0C 5 =50种，所以恰
50 10 好1个白球1个红球的概率为 二，故选C..
105 21
【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题.
试题分析：- C ； (― 1) a ,呼;?二 1,可得-5口 二 30 — 二,故选 Z).
【考点定位】二项式定理?
【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握 项第
r 1项为T r 丫 =C ；a n 工b r ，即可建立关于a 的方程，从而求解?
3.(2015全国新课标I 卷理)(X 2 ? X ? y)5的展开式中，x 5y 2的系数为()
(A ) 10 ( B ) 20 (C ) 30 ( D ) 60
【答案】C 【解析】
试题分析：在(x 2 x y)5的5个因式中，2个取因式中X 2剩余的3个因式中1个取X ,其余因式 取y,故x 5y 2的系数为C ；C3C ；=30,故选C.
考点：排列组合；二项式定理
4. (2015陕西理)二项式(x 1)n (N )的展开式中x 2的系数为15,则n 二() A . 4
B . 5 C
. 6 D . 7
【答案】C
■【诩斤】
"
1
试題分皈二顶式(x +矿的隈开式的通项是丁“严CN ?令r = 的系較是Q ，因対丘腑系敘加*
葩以0^工15, 即IT "—”—30工0, 解得& ”工6或？1/—因为所以”二故选C, .
考点：二项式定理.
5.
(2015四川理)用数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中比
40000大的偶数共有
(a b)n 的二项展开式的通
3
x 2的项的系数为30,则a =(
6. （ 2015湖北理）已知（「x ）n
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系 数和为（
） A. 212
B. 211
C . 2
10
D . 29
【答案】D
' 1
M 分析：因为G + 的展开式中第4顼与第8项的二项武系酸相蕃，所以解得旳= l （h.
所以二项式（U1）*中奇数项的二项式系数和^lx210=2<
考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.
二、填空题：
1. （2015安徽理）（X 3 ?丄）7的展开式中X 5的系数是 .
（用数字填写答案）
X
【答宪】35
【解析】由题意，二项式&的通项■ 21—卄=5,得*4, 则:？的系教杲Uh 〉
【肴点定位】1.二项式定理的展开式应用.
【名师点牆】常规间題直搏利用二项式定理求卸 其中通项是核心，运壇是保证=上儉复棊的问题要回到 最本质的计魏除理去解决，而不是一味利用公式另外］槪念不蓿，涉及舄的运算出现错俣，或背不能媲 本质的计数廩理出发解决m 题，盲目套用公式邮是考试中常犯ffiSii.
5
n
2. （2015北京理）在（2+x ）的展开式中，X 3
的系数为 ____________ （用数字作答）
【答案】40 【解析】
试题分析：利用通项公式， T r d
= C 5r
25x r
，令r - 3，得出x 3的系数为C 3 2^ 40
考点：二项式定理
一 * 5
3. （2015福建理）x 2 的展开式中,
【答案】80
（ ）
（A ） 144 个 【答案】B
【解析】
据题意，万位上只能拄4、M 若万位上排亠则有X 工个;若万位上拄名则有技工个一所以共有
2心+珏￡ =5x24 = 120^.选弓
【考点定位】排列组合.
【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏 ?在本题中，
万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类
(B ) 120 个 (C ) 96 个 (D ) 72 个
x 2的系数等于 ______________ .（用数字作答）
【解析】
试题分析：（x +2 5的展开式中X 2项为C ；2‘x 2 =80，所以X 2的系数等于80 . 考点：二项式定理.
4、（ 2015广东理）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共 写了 条毕业留言.（用数字作答） 【答案】1560 .
【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从
40人中任选两人的排列数，所以全班共写了
=40 39 =1560条毕业留言，故应填入1560 .
【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题.
5. （2015广东理）在（x -1）4的展开式中,
【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题 6. （2015全国新课标n 卷理）（a x ）（1 ? X ）4的展开式中X 的奇数次幕项的系数之和为 32，则
a = _______ . 【答案】3
【解析】
试题分析：由已知得（1 ? x ）4 =1 4x 6x 2 4x 3 x 4，故（a x ）（V x ）4的展开式中x 的奇数次幕项 分别为 4ax , 4ax 3, x , 6x 3, x 5，其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32,解得 a = 3 . 考点：二项式定理.
7. （2015山东理）观察下列各式:
G 0 =4° C 0 C ；"
照此规律，当N 时,
C 0
n4 Cn 「C 爲 一 Gt
【答案】4n4
【解析】因冷第一个等式右端沖：羊二4“ s 第二个等式右端丸41 = 43-1 ；第三个等式右端为：车二4口 由归纳推理得：第龙个等式天k
+
= 4"-L 所以答案应坡：4-1
【考点定位】1、合情推理；2、组合数.
【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学 生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的 规律，从而得到结论?此题属基础题.
X 的系数为 ___________
【答案】6 .
_ 4 _r
「
【解析】由题可知「1 =C ； . X
-1 2 2
的系数为C 4 -1 6，故应填入6 .
4 _r
r r
4 —
r
=C 4 -1 X 2，令一2
1 解得 r =
2 ,
所以展开式中
C 0 C 5 c ； =42;
C 0 + C ； +C ； +C ； =43
8、（2015上海文、理）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取 5人参加义务献血，要求男、女教 师都有，则不同的选取方式的种数为 ____________ （结果用数值表示）? 【答案】120
【解折】①畀教师选1人，女教师教师选4人，有= 45中不同的选法； ② 男教师选2人」女教师教师选3人，有C ；C ； =60中不同的选法； ③ 男教师选3人，女教师教师选2人，＜CjC==15中不同的选曲 由分累计数原理得不同的选取方式的种数为45+60 = 15 = 120ft.
【考点定位】组合，分类计数原理 .
【名师点睛】对于有条件的组合问題，可能遇到含某个（些）元素与不含某个（些」元素问题；也可能遇到“至 多”或“至少,,等组合冋题的计算，此类冋题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取” 产生顺序造成计算错误■
1 6
10. （2015上海文）在（2^ —）6的二项式中，常数项等于 _______________ （结果用数值表示）?
x
【答案】240
1
【解析】由T r 1—c 6 （2x ）6工（p ）r
26
—x 6J3r ，令6-3r =0，所以r =2，所以常数项为
x
C ； 24 =240.
【考点定位】二项式定理.
【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数 符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等
）?
【答案】45
数符合5*（*常数厕寸,指数为雳」求有理项时，指数为整数等），解出项畅『+1」彳弋回通项公式Hi 可?Q ）对于三项式冋题一般先变形化为二项式再解决.
5
12. （2015四川理）在（2xT ）的展开式中，含x 2的项的系数是 __________ （用数字作答） 【答案】-40.
【解析】
11、（2015 上海理）在 1 2015
I x
10
的展开式中,
2
x 项的系数为
（结果用数值表示）
■jo 'Jd+x ）+-2k
x j f
1 【解析】因为i 1 ? x ? I x j 能在（r x ）10展开式中，即为 C 0x 2
，系数为c 8
0 =45.
【考点定位】二项展开式
【名师点、睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令'字母的^
W x ）10C 0（1x ）9尙一，所以 X 2 项只
（2x-l^=-（l-2x）-、所以匸的系数为一C；x（-2）:=-40.【考点定位】二项式定理.
【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解