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最新常微分方程自学练习题

常微分方程自学练习

题

常微分方程自学习题及答案

一填空题:

1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.

2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.

3 方程?Skip Record If...?的基本解组是_________.

4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.

5 方程?Skip Record If...?的常数解是________.

6 方程?Skip Record If...?一个非零解为 x1(t) ,经过变换_______

7 若4(t)是线性方程组?Skip Record If...?的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________.

8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.

9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.

10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.

11 一阶线性方程?Skip Record If...?有积分因子(?Skip Record If...? ).

12 求解方程?Skip Record If...?的解是( ).

13已知(?Skip Record If...?为恰当方程,则?Skip Record If...?=____________.

14 ?Skip Record If...??Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).

15方程?Skip Record If...?的通解是( ).

16方程?Skip Record If...?的阶数为_______________.

17若向量函数?Skip Record If...?在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w

(x)=____________.

18若P(X)是方程组?Skip Record If...?的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.

19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件

u(0,t)=g1(t), ；第二类边界条件?Skip Record If...?，；第三类边界条件F?Skip Record If...?， T?Skip Record If...?，其中k0,k1,T都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。

20、在偏微分方程组中，如果方程个数未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如

果方程的个数未知函数的个数，则方程组称为超定的。（选填“多于”、“少于”或“等于”）

21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式：?Skip Record If...?

?Skip Record If...?，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y), d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y）的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为0。方程中?Skip Record If...?称为方程的2阶主部。

若其2阶主部的系数a,b,c作成的判别式△=b2-ac在区域?Skip Record If...?中的某点

（x0,y0）大于零，则称方程在点（x0,y0）是型的；如果△=0，则称方程在点（x0,y0）是型的；如果△<0，则称方程在点（x0,y0）是型的。（选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”）

二单项选择:

1 方程?Skip Record If...?满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).

(A)上半平面 (B)?Skip Record If...?平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面

2 方程?Skip Record If...?( ) 奇解.

(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个

3 在下列函数中是微分方程?Skip Record If...?的解的函数是( ).

(A) ?Skip Record If...? (B)?Skip Record If...? (C) ?Skip Record If...? (D)?Skip Record If...?

4 方程?Skip Record If...?的一个特解?Skip Record If...?形如( ).

(A)?Skip Record If...? (B)?Skip Record If...? (C)?Skip Record If...? (D)?Skip Record If...?

5 ?Skip Record If...?连续可微是保证方程?Skip Record If...?解存在且唯一的( )条件．

（A）必要（B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分

6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).

(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间

(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间

7 方程?Skip Record If...?过点(0,0)有( ).

(A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解

8 初值问题?Skip Record If...? ?Skip Record If...?x , ?Skip Record If...?在区间,?Skip Record If...??Skip Record If...?上的解是( ).

(A) ?Skip Record If...? (B) ?Skip Record If...? (C) ?Skip Record If...? (D) ?Skip Record If...?

9 方程?Skip Record If...?是( ).

(A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程

（C)超越方程 (D)二阶线性方程

10 方程?Skip Record If...?的通解是( ).

(A)?Skip Record If...? (B) ?Skip Record If...? (C)?Skip Record If...? (D)?Skip Record If...?

11 方程?Skip Record If...?的一个基本解组是( ).

(A) ?Skip Record If...? (B)?Skip Record If...? (C)?Skip Record If...? (D)?Skip Record If...?

12 若y1和y2是方程?Skip Record If...?的两个解,则?Skip Record If...?（e1,e2为任意常数）

(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解

13 方程?Skip Record If...?过点(0,0)的解为?Skip Record If...?,此解存在( ).

(A)?Skip Record If...? (B) ?Skip Record If...? (C)?Skip Record If...? (D)?Skip Record If...?

14 方程?Skip Record If...?是( ) .

(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程

15 微分方程?Skip Record If...?的通解是( ).

(A) ?Skip Record If...? (B) ?Skip Record If...? (C)?Skip Record If...? (D)?Skip Record If...?

16 在下列函数中是微分方程?Skip Record If...?的解的函数是( ).

(A)?Skip Record If...? (B)?Skip Record If...? (C)?Skip Record If...? (D)?Skip Record If...?

17 方程?Skip Record If...?的一个数解?Skip Record If...?形如( ).

(A) ?Skip Record If...? (B)?Skip Record If...? (C)?Skip Record If...? (D)?Skip Record If...?

18 初值问题?Skip Record If...? ?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上的解是( ).

(A)?Skip Record If...? (B)?Skip Record If...? (C)?Skip Record If...? (D) ?Skip Record If...?

三求下列方程的解:

1 求下列方程的通解或通积分:

(1)?Skip Record If...? (2)?Skip Record If...? (3)?Skip Record If...? (4)?Skip Record If...?(5)?Skip Record If...?

2 求方程的解 ?Skip Record If...?

3 解方程:?Skip Record If...?并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解

4 求方程: ?Skip Record If...?

5求方程: ?Skip Record If...?的通解

6 求?Skip Record If...?的通解.

7 求解方程: ?Skip Record If...?

8 求方程: ?Skip Record If...?的解

9 求方程?Skip Record If...?的通解

10 求下列方程组的通解?Skip Record If...?

11求初值问题?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?的解的存在区间并求出第二次近似解

12 求方程的通解

(1) ?Skip Record If...? (2) ?Skip Record If...? (3) ?Skip Record If...?(三种方法) (4)?Skip Record If...?

13 计算方程 ?Skip Record If...?的通解

14计算方程 ?Skip Record If...?

15 求下列常系数线性微分方程: ?Skip Record If...?

16 试求?Skip Record If...? ?Skip Record If...?x的基解矩阵

17 试求矩阵?Skip Record If...? ?Skip Record If...?的特征值和对应的特征向量.

18 试求矩阵?Skip Record If...? ?Skip Record If...?的特征值和特征向量

19 解方程组?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

20、?Skip Record If...?

21、求解初值问题 ?Skip Record If...?

（提示：使D′Alembert 公式）

22、求解初值问题?Skip Record If...?

23、求解第一初边值问题

?Skip Record If...?

四名词解释

1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程

4伯努利方程 5?Skip Record If...?条件 6 线性相关

五证明题

1在方程?Skip Record If...?中已知p(x);q(x)在?Skip Record If...?上连续

求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.

2 设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程

?Skip Record If...?

证明：x1(t)+x2(t)是方程?Skip Record If...?的解。

3设f (x)在[0；+?Skip Record If...?]上连续且?Skip Record If...?f (x)=0求证：方程?Skip Record If...?的一切解y(x)；

均有?Skip Record If...?y (x)=0 4 在方程?Skip Record If...?中p(x)、q(x)在（?Skip Record If...?）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w （x ）是（?Skip Record If...?）上的严格单调函数。

5证明：x 1(t)+x 2(t)是方程?Skip Record If...?的解。

6证明：函数组?Skip Record If...?（其中当?Skip Record If...?时?Skip Record If...?）在任意区间（a ,b ）上线性无关。

7试证：?Skip Record If...?

习题答案

一填空题:

1、 2

2、线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

3、 e x ; xe x

4、开

5、 ?Skip Record If...?

6、 ?Skip Record If...?

7、 ?Skip Record If...?,c 为常数列向量

8、 y=x 2+c

9、初始

∞

→x ∞

→x