2019年山东省菏泽市中考数学试卷

2019 年山东省菏泽市中考数学试卷

副标题

题号

得分

一二三四总分

一、选择题（本大题共8 小题，共24.0 分）

1. 下列各数中，最大的数是（

）

1

2

1

4

A. -

B.

C. 0

D. -2

【答案】B

11

【解析】解：-2＜- ＜0＜，

24

1

则最大的数是，

4

故选：B．

比较确定出最大的数即可．

此题考查了有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C．

根据把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．

此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．

3. 下列运算正确的是（

A. （-a3）2=-a6

【答案】D

）

B. a2?a3=a6

C. a8÷a2=a4

D. 3a2-2a2=a2

【解析】解：A、原式=a6，不符合题意；

B、原式=a5，不符合题意；

C、原式=a6，不符合题意；

D、原式=a2，符合题意，

故选：D．

各项计算得到结果，即可作出判断．

此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，

熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积

是（ ）

A. 5cm 2

B. 8cm 2

C. 9cm 2

D. 10cm 2

【答案】D

【解析】解：由题意推知几何体是长方体，长、宽、高分别 1cm 、1cm 、2cm ， 所以其面积为：2×（1×1+1×2+1×2）=10（cm 2）． 故选：D ．

由题意推知几何体长方体，长、宽、高分别为 1cm 、1cm 、2cm ，可求其表面积．

本题考查三视图、圆柱的表面积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间 想象能力和基本的运算能力．

?<3

??:??<2

?? + ?? =

?3

5. 已知{ 是方程组{ 的解，则 a +b 的值是（ ） ? = ?2 A. -1 B. 1 C. -5 D. 5 【答案】A

??:??<2

?? + ?? = ?3 ?<3

{ { 【解析】解：将 ? = ?2代入 ， 3?;2?<2 { 可得： ，

3? ? 2? = ?3 两式相加：a +b =-1，

故选：A ．

根据二元一次方程组的解法即可求出答案．

本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属 于基础题型．

6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且 BC

平分∠ABD ，AD 分别与 BC ，OC 相交于点 E ，F ，则下列 结论不一定成立的是（ A. OC ∥BD ）

B. AD ⊥OC

C. △CEF ≌△BED

D. AF =FD

【答案】C

【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD ， ∴∠ADB =90°，∠OBC =∠DBC ， ∴AD ⊥BD ， ∵OB =OC ，

∴∠OCB =∠OBC ， ∴∠DBC =∠OCB ，

∴OC ∥BD ，选项 A 成立； ∴AD ⊥OC ，选项 B 成立；

∴AF =FD ，选项 D 成立；

∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，

∴△CEF 与△BED 不全等，选项 C 不成立； 故选：C ．

由圆周角定理和角平分线得出∠ADB =90°，∠OBC =∠DBC ，由等腰三角形的性质得出 ∠OCB =∠OBC ，得出∠DBC =∠OCB ，证出 OC ∥BD ，选项 A 成立； 由平行线的性质得出 AD ⊥OC ，选项 B 成立；

由垂径定理得出 AF =FD ，选项 D 成立；

△CEF 和△BED 中，没有相等的边，△CEF 与△BED 不全等，选项 C 不成立，即可得出 答案．

此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线 的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．

7. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 O 出发，按“向上→

向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位长度，其移动路线如 图所示，第一次移动到点 A ，第二次移动到点 A ……第 n 次移动到点 A ，则 点 A 1 2 n 2019 的坐标是（ ）

A. （1010，0） 【答案】C 【解析】解：A （0，1），A （1，1），A （1，0），A （2，0），A （2，1），A （3，

B. （1010，1）

C. （1009，0）

D. （1009，1）

1 2 3 4 5 6 1），…， 2019÷4=504…3，

所以 A 2019 的坐标为（504×2+1，0）， 则 A 2019 的坐标是（1009，0）． 故选：C ．

根据图象可得移动 4 次图象完成一个循环，从而可得出点 A 2019 的坐标．

本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度 一般．

8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm ，动点 P ，Q 同时从点 A 出

发，在正方形的边上，分别按 A →D →C ，A →B →C 的方向，都 以 1cm /s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 PQ ，设运动 时间为 xs ，△APQ 的面积为 ycm 2，则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是（

）

A. C.

B.

D.

【答案】A

【解析】解：①当 0≤x ≤2 时， ∵正方形的边长为 2cm ， 1 1

∴y =S △APQ = AQ ?AP = x 2； 2 ②当 2≤x ≤4 时， y =S

△APQ

2 =S

正方形 ABCD

-S △CP

′

Q ′

-S △ABQ ′

-S △AP ′

D ，

1 1 1

=2×2- （4-x ）2- ×2×（x -2）- ×2×（x -2）

2

2

2

1 =- x 2+2x

2

所以，y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 A 选项 图象符合．

故选：A ．

根据题意结合图形，分情况讨论：

1

①0≤x ≤2 时，根据 S △APQ = AQ ?AP ，列出函数关系式，从而得到函数图象； 2 ②2≤x ≤4 时，根据 S △APQ =S 正方形

ABCD -S △CP ′

Q ′

-S △ABQ ′

-S △AP ′

D 列出函数关系式，从而得到函

数图象，再结合四个选项即可得解．

本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题 的关键．

二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） 1

9. 计算（ ）-1-（-3）2 的结果是______．

2 【答案】-7

【解析】解：原式=2-9=-7． 故答案为：-7．

直接利用负指数幂的性质化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 10. 已知 x =√6+√2，那么 x 2-2√2x 的值是______． 【答案】4

【解析】解：∵x -√2=√6， ∴x 2-2√2x +2=6， ∴x 2-2√2x =4， 故答案为：4

根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．

本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型．

11. 如图，AD∥CE，∠ABC=100°，则∠2-∠1 的度数是______．

【答案】80°

【解析】解：作BF∥AD，

∵AD∥CE，

∴AD∥BF∥EC，

∴∠1=∠3，∠4+∠2=180°，∠3+∠4=100°，

∴∠1+∠4=100°，∠2+∠4=180°，

∴∠2-∠1=80°．

故答案为：80°．

直接作出BF∥AD，再利用平行线的性质分析得出答案．

此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1+∠4=100°，∠2+∠4=180°是解题关键．

12. 一组数据 4，5，6，x 的众数与中位数相等，则这组数据的方差是______．

1

【答案】

2

【解析】解：若众数为 4，则数据为 4，4，5，6，此时中位数为 4.5，不符合题意；

若众数为 5，则数据为 4，5，5，6，中位数为 5，符合题意，

4:5:5:6

411

此时平均数为=5，方差为[（4-5）2+（5-5）2+（5-5）2+（6-5）2]= ；

42

若众数为 6，则数据为 4，5，6，6，中位数为 5.5，不符合题意；

1

故答案为．

2

分别假设众数为 4，5，6，分类讨论，找到符合题意的x 的值，再根据方差的定义求解可得．

本题主要考查众数、中位数及方差，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．

13. 如图，E，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC=8，

AE=CF=2，则四边形BEDF 的周长是______．

【答案】8√5

【解析】解：如图，连接BD 交AC 于点O，

∵四边形ABCD 为正方形，

∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，

∵AE=CF=2，

∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，

∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD⊥EF，

∴四边形BEDF 为菱形，

∴DE =DF =BE =BF ，

8;4

∵AC =BD =8，OE =OF = =2，

2 由勾股定理得：DE =√??2 + ??2=√42 + 22=2√5， ∴四边形 BEDF 的周长=4DE =4×2√5=8√5，

故答案为：8√5．

连接 BD 交 AC 于点 O ，则可证得 OE =OF ，OD =OB ，可证四边形 BEDF 为平行四边形， 且 BD ⊥EF ，可证得四边形 BEDF 为菱形；根据勾股定理计算 DE 的长，可得结论． 本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分 的四边形为菱形是解题的关键．

3 14. 如图，直线 y =- x -3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，点 P 4

是 x 轴上一动点，以点 P 为圆心，以 1 个单位长度为半

径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点 P 的坐标是______．

7

【答案】（- ，0） 3

3

【解析】解：∵直线 y =- x -3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ， 4 ∴令 x =0，得 y =-3，令 y =0，得 x =-4， ∴A （-4，0），B （0．-3）， ∴OA =4，OB =3， ∴AB =5，

设⊙P 与直线 AB 相切于 D ， 连接 PD ，

则 PD ⊥AB ，PD =1， ∵∠ADP =∠AOB =90°，∠PAD =∠BAO ， ∴△APD ∽△ABO ， ?? ??

∴ = ， ?? ?? 1 ?? 5 ∴ = ， 3 5 ∴AP = ， 3 7 ∴OP = ， 3 7 ∴P （- ，0）， 3

7

故答案为：（- ，0）． 3

根据函数解析式求得 A （-4，0），B （0．-3），得到 OA =4，OB =3，根据勾股定理得 到 AB =5，设⊙P 与直线 AB 相切于 D ，连接 PD ，则 PD ⊥AB ，PD =1，根据相似三角形 的性质即可得到结论．

本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性

质，正确的理解题意是解题的关键． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 6.0 分）

1 2? 1

15. 先化简，再求值： （ -1）÷ ，其中 x =y +2019． ?;? ?:?

?2 ;?2 1 2? 1

【答案】解： （ -1）÷ ?;? ?:?

?2 ;?2 1

2?;(?:?)

?:?

= ? ? (? + ?)(? ? ?) ?;?

=-（2y -x -y ）

=x -y ，

∵x =y +2019，

∴原式=y +2019-y =2019．

【解析】根据分式的减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后将 x =y +2019 代入化简 后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 四、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分） ? ? 3(? ? 2) ≥ ?4，

16. 解不等式组：{ 2?:1

? ? 1＜ .

3

【答案】解：解不等式 x -3（x -2）≥-4，得：x ≤5， 2?:1

解不等式 x -1＜

，得：x ＜4， 3

则不等式组的解集为 x ＜4．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取 大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

17. 如图，四边形 ABCD 是矩形．

（1）用尺规作线段 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 E ，交 CD 于点 F （不写作法，保留作图痕迹）； （2）若 BC =4，∠BAC =30°，求 BE 的长．

【答案】解：（1）如图所示：

（2）∵四边形 ABCD 是矩形，EF 是线段 AC 的垂直平分线， ∴AE =EC ，∠CAB =∠ACE =30°， ∴∠ECB =60°， ∴∠ECB =30°， ∵BC =4， 4√3

3 ∴BE = ．

【解析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；

（2）利用含 30°的直角三角形的性质解答即可．

此题考查基本作图问题，关键是根据线段的垂直平分线的作图和性质解答．

18. 列方程（组）解应用题：

德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计 2019 年 8 月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高 80%，那么行驶 81 千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短 36 分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．

【答案】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x 千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是 1.8x 千米/分钟，

8181

由题意，得+36= ．

1.8??

解得x=1．

经检验，x=1 是所列方程的根，且符合题意．

所以 1.8x=1.8（千米/分钟）．

答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是 1.8 千米/分钟．

【解析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x 千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是 1.8x 千米/分钟，根据“行驶 81 千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短 36 分钟”列出方程并解答．

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

19. 由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于

2018 年 5 月成功完成第一次海上试验任务．如图，

航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于

它的北偏东 30°方向，且与航母相距 80 海里再航行

一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方

向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．

【答案】解：过点C 作CD⊥AB 于点D，

由题意，得：∠BAD=60°，∠BCD=45°，AC=80，

在Rt△ADB 中，∠BAD=60°，

??

∴tan60°= =√3，

??

??

∴AD=√3，

在Rt△BCD 中，∠BCD=45°，

∴tan45°=????=1，

∴BD=CD，

??

∴AC =AD +CD =√3+BD =80，

∴BD =120-40√3，

∴BC =√2BC =120√2-40√6，

答：BC 的距离是（120√2-40√6）海里．

【解析】过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D ，根据题意得到∠BAD =60°，∠BCD =45°，AC =80，解 直角三角形即可得到结论．

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关 键．

20. 如图，?ABCD 中，顶点 A 的坐标是（0，2），AD ∥x

轴，BC 交 y 轴于点 E ，顶点 C 的纵坐标是-4，?ABCD

?

的面积是 24．反比例函数 y = 的图象经过点 B 和 D ， ? 求：

（1）反比例函数的表达式；

（2）AB 所在直线的函数表达式．

【答案】解：（1）∵顶点 A 的坐标是（0，2），顶点 C 的纵坐标是-4， ∴AE =6，

又?ABCD 的面积是 24， ∴AD =BC =4， 则 D （4，2） ∴k =4×2=8，

8

∴反比例函数解析式为 y = ； ? （2）由题意知 B 的纵坐标为-4， ∴其横坐标为-2，

则 B （-2，-4），

设 AB 所在直线解析式为 y =kx +b ，

? = 2

?2? + ? = ?4 {

将 A （0，2）、B （-2，-4）代入，得： ， ? = 3

{ 解得： ，

? = 2

所以 AB 所在直线解析式为 y =3x +2．

【解析】（1）根据题意得出 AE =6，结合平行四边形的面积得出 AD =BC =4，继而知点 D 坐标，从而得出反比例函数解析式；

（2）先根据反比例函数解析式求出点 B 的坐标，再利用待定系数法求解可得．

本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公 式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的能力．

21. 4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保

持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”我市 某中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学 社发起了“读书感悟?分享”比赛活动根据参赛学生的成绩划

分为 A ，B ，C ，D 四个等级，并绘制了下面不完整的统计图表，根据图表中提供的 信息解答下列问题；

频数

频率

A B C D

4

a 0.3 16

b

（1）求 a ，b 的值；

（2）求 B 等级对应扇形圆心角的度数；

（3）学校要从 A 等级的学生中随机选取 2 人参加市级比赛，求 A 等级中的学生小 明被选中参加市级比赛的概率． 【答案】解：（1）总人数：4÷10%=40， a =40×0.3=12， 16

b = =0.4； 40

（2）B 的频数：40-4-12-16=8，

8

B 等级对应扇形圆心角的度数： ×360°=72°； 40

（3）用 a 表示小明，用 b 、c 、d 表示另外三名同学． 6 1

则选中小明的概率是： = ． 12 2

【解析】（1）根据 A 等级有 4 人，所占的百分比是 10%即可求得总人数，然后求得 a 和 b 的值；

（2）首先计算出 B 等级频数，再利用 360°乘以对应的百分比即可求得 B 等级所对应的 圆心角度数；

（3）利用列举法求得选中 A 等级的小明的概率．

本题主要考查了频数分布表、扇形统计图以及树状图的综合运用，读懂统计图，从不同 的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

22. 如图，BC 是⊙O 的直径，CE 是⊙O 的弦，过点 E 作⊙O

的切线，交 CB 的延长线于点 G ，过点 B 作 BF ⊥GE 于点 F ，交 CE 的延长线于点 A ． （1）求证：∠ABG =2∠C ；

（2）若 GF =3√3，GB =6，求⊙O 的半径．

【答案】（1）证明：连接 OE ， ∵EG 是⊙O 的切线， ∴OE ⊥EG ， ∵BF ⊥GE ， ∴OE ∥AB ， ∴∠A =∠OEC ， ∵OE =OC ， ∴∠OEC =∠C ，

∴∠A =∠C ， ∵∠ABG =∠A +∠C ， ∴∠ABG =2∠C ；

（2）解：∵BF ⊥GE ， ∴∠BFG =90°，

∵GF =3√3，GB =6，

∴BF =√??2 ? ??2=3， ∵BF ∥OE ， ∴△BGF ∽△OGE ， ?? ??

∴ = ， ?? ?? 3

6

∴ = ， ?? 6:??

∴OE =6，

∴⊙O 的半径为 6．

【解析】（1）连接 OE ，根据切线的性质得到 OE ⊥EG ，推出 OE ∥AB ，得到∠A =∠OEC ， 根据等腰三角形的性质得到∠OEC =∠C ，求得∠A =∠C ，根据三角形的外角的性质即可得 到结论；

（2）根据勾股定理得到 BF =√??2 ? ??2=3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的 作出辅助线是解题的关键．

23. 如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°．

（1）如图 1，连接 BE ，CD ，BE 的廷长线交 AC 于点 F ，交 CD 于点 P ，求证 ：BP ⊥CD ；

（2）如图 2，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转，当点 D 落在 AB 上时，连接 BE ，CD ， CD 的延长线交 BE 于点 P ，若 BC =6√2，AD =3，求△PDE 的面积． 【答案】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°． ∴AD =AE ，AB =AC ，∠BAC -∠EAF =∠EAD -∠EAF ， 即∠BAE =∠DAC ，

?? = ??

在△ABE 与△ADC 中， {∠??? = ∠??? ?? = ??

，

∴△ABE ≌△ADC （SAS ）， ∴∠ABE =∠ACD ，

∵∠ABE +∠AFB =∠ABE +∠CFP =90°， ∴∠CPF =90°， ∴BP ⊥CD ；

?? = ??

（2）在△ABE 与△ACD 中， {∠??? = ∠??? =

90°

?? = ??

， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ）， ∴∠ABE =∠ACD ，BE =CD ，

∵∠PDB =∠ADC ， ∴∠BPD =∠CAB =90°，

∴∠EPD =90°，

∵BC =6√2，AD =3， ∴DE =3√2，AB =6，

∴BD =6-3=3，CD =√??2 + ??2=3√5， ∵△BDP ∽△CDA ， ?? ??

?? ∴ = = ， ?? ??

??

3 ?? ?? ∴ = = ， 3√5 3 6

√5 6√5 5

∴PD = ，PB =

5

6√5 9√5 ∴PE =3√5- = ，

5

5

1

9√5 √5 9

∴△PDE 的面积= × × = ． 2 5

5

10

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AD =AE ，AB =AC ，∠BAC -∠EAF =∠EAD -∠EAF ， 求得∠BAE =∠DAC ，根据全等三角形的性质得到∠ABE =∠ACD ，根据余角的性质即可得 到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE =∠ACD ，BE =CD ，求得∠EPD =90°，得到 DE =3√2， √5 AB =6，求得 BD =6-3=3，CD =√??2 + ??2=3√5，根据相似三角形的性质得到 PD = ， 5

6√5

PB =

根据三角形的面积公式即可得到结论． 5

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定 理，等腰直角三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

24. 如图，抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 C （0，-2），点 A 的坐标是（2，

0），P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD ⊥x 轴于点 D ，交直线 BC 于点 E ，抛 物线的对称轴是直线 x =-1．

（1）求抛物线的函数表达式；

1

（2）若点 P 在第二象限内，且 PE = OD ，求△PBE 的面积． 4

（3）在（2）的条件下，若 M 为直线 BC 上一点，在 x 轴的上方，是否存在点 M ， 使△BDM 是以 BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由．

【答案】解：（1）点 A 的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线 x =-1，则点 B （-4， 0），

则函数的表达式为：y =a （x -2）（x +4）=a （x 2+2x -8）， 1

即：-8a =-2，解得：a = ， 4

1 1 故抛物线的表达式为：y = x 2+ x -2；

4

2

（2）将点 B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =mx +n 并解得： 1

1

1

直线 BC 的表达式为：y =- x -2，则 tan ∠ABC = ，则 sin ∠ABC = ， 2 2 √5 1

1 1 设点 D （x ，0），则点 P （x ， x 2+ x -2），点 E （x ， x -2）， 4

2

2

1

∵PE = OD ， 4

1

1

1

1

∴PE =（ x 2+ x -2- x +2）= （-x ）， 4 2 2 4 解得：x =0 或-5（舍去 x =0）， 即点 D （-5，0）

1

1

1

1

1

5

S △PBE = ×PE ×BD = （ x 2+ x -2- x +2）（-4-x ）= ；

2

2

4

2

2

8

（3）由题意得：△BDM 是以 BD 为腰的等腰三角形，只存在：BD =BM 的情况，

BD =1=BM ，

则 y =-BM sin ∠ABC =-1× =- ， 1

√5

M √5

5

20:2√5

则 x M =-

故点 M （- ， 5

20:2√5 5

√5

，- ）．

5

【解析】（1）点 A （2，0）、点 B （-4，0），则函数的表达式为：y =a （x -2）（x +4） =a （x 2+2x -8），即可求解；

1 1 1 1 1 1 1 （2）PE = OD ，则 PE =（ x 2+ x -2- x +2）=（-x ），求 得 ：点 D （-5，0），利 用 S = PE ×BD = △PBE 4

4

2

2

4

2

2

1 1 1 （ x 2+ x -2- x +2）（-4-x ），即可求解；

4

2

2 1

√5 （3）BD =1=BM ，则 y =-BM sin ∠ABC =-1× =- ，即可求解． M √5

5 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数 形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而

求出线段之间的关系．