2011—2017高考全国卷Ⅰ文科数学统计、概率总汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编

统计、概率

一、选择题

【2017，2】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为12,,

,n x x x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A. 12,,,n x x x 的平均数

B. 12,,,n x x x 的标准差

C. 12,,

,n x x x 的最大值 D. 12,,

,n x x x 的中位数

【2017，4】如图，正方形ABCD 的图形来自中国古代的太极图，正方形切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A.

14 B.π8 C.12 D.π4

【2016，3】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）．

A ．

13 B ． 12 C ． 23 D ． 56

【2015，4】如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5

中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A ．

310 B ．15 C ．110 D ．120 【2013，3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．

A ．

12 B ．13 C ．14 D ．16

【2012，3】在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1

12

y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0 C ．

1

2

D ．1

【2011，6】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）.

A.13

B.12

C.23

D.34

二、填空题

【2014，13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. 三、解答题

【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天依次抽取的16个零件的尺寸：

经计算得16119.9716i i x x ===∑，

0.212s ==≈， 18.439≈

，()16

1

()8.5 2.78i i x x i =--=-∑，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)

（1）求(),i x i (i =1,2,…,16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本(x i ,y i )(i =1,2,…,n )的相关系数()()

n

i

i

x x y y r --=

∑0.09≈．

【2016，19】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期更换的易损零件数，得下面柱状图

.

频数

记

x 表示1台机器在三年使用期需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单

位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （1）若19n =，求

y 与x 的函数解析式；

（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；

（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量（单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i ，和年销售量y i (i =1,2,3,…,8)的数

据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，表中8

118i i

i ωωω===∑

ω

(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx 与y c =+，哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z=0.2y-x ，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： (1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ (2)当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

【2013，18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

【2012，18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式；

（

①假设花店在这100天每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。

【2011，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别成为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这样的产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果．

A 配方的频数分布表

B 配方的频数分布表

（1）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （2）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）

与其质量指标值t 的关系式为2,94,2,94102,4,102.t y t t -

=

估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并

求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

解 析

一、选择题

【2017，2】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为12,,

,n x x x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A. 12,,,n x x x 的平均数

B. 12,,,n x x x 的标准差

C. 12,,

,n x x x 的最大值 D. 12,,

,n x x x 的中位数

解：一组样本数据的方差与标准差反映了这组样本数据的稳定程度，故选B 【2017，4】如图，正方形ABCD 的图形来自中国古代的太极图，正方形切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A.

14 B.π8 C.12 D.π4

解：设正方形的边长为2a ，则黑色部分的面积为21

2

a π，而正方形的面积为24a ，由几何概率模型可得，

所求概率为2

21248

a a ππ=，选B 【2016，3】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）． A ．

13 B ． 12 C ． 23 D ． 56

解析：选C. 只需考虑分组即可，分组（只考虑第一个花坛中的两种花）情况为（红，黄），（红，白），（红，紫），（黄，白），（黄，紫），（白，紫），共6种情况，其中符合题意的情况有4种，因此红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

2

3

．故选C ． 【2015，4】如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5

中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A ．

310 B ．15 C ．110 D ．1

20

解：选C ，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，1种，故所求概率为

1

10

，故选C 【2013，3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．

A ．

12 B ．13 C ．14 D ．16

解析：选B. 由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为

1

3

. 【2012，3】3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1

12

y x =

+上，则这组样

本数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0 C ．12

D ．1

【解析】因为112y x =+中，1

02

k =>，所以样本相关系数0r >，

又所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1

12

y x =+上，

所以样本相关系数1r =，故选择D 。

【2011，6】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）.

A.13

B.

12 C.23 D.34

【解析】选A.. 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有339?=（种），其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种.故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率31

93

P ==.

二、填空题

【2014，13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.

解：设数学书为1，2，语文书为A ，则所有的排法有(1,2,A)，(1,A,2)，(2,1, A)，(2, A,1)，(A,1,2)，(A,2,1)共6 种，其中2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为4263

P ==. 三、解答题

【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天依次抽取的16个零件的尺寸：

经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，

18.439≈，()16

1

()8.5 2.78i i x x i =--=-∑，

其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2,…,16． （1）求(),i x i (i =1,2,…,16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本(x i ,y i )(i =1,2,…,n )

的相关系数()()

n

i

i

x x y y r --=

∑

0.09≈．

【解析】（1）16

118.516i i y y ===∑，1616

11

()()()() 2.78i i i i i x x y y x x i y ==--=--=-∑∑

0.848s =，

18.439≈

故()()

2.78

0.1780.84818.439

n

i

i x

x y y r ---=

≈-?∑

0.178<0.25r =. 所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.

(2)(i) 39.9730.2129.334x s -=-?=,39.9730.21210.606x s +=+?= 第13个零件的尺寸为9.22，9.229.334<，

所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查. (ii)剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为169.22169.979.22

10.021515

x -?-==，

方差为

222221

[(9.9510.02)(10.1210.02)(9.9610.02)(9.9610.02)(10.0110.02)15

-+-+-+-+-

222222(9.9210.02)(9.9810.02)(10.0410.02)(10.2610.02)(9.9110.02)(10.1310.02)+-+-+-+-+-+-2222(10.0210.02)(10.0410.02)(10.0510.02)(9.9510.02)]0.008+-+-+-+-=

故标准差为0.09.

(ii)解法二：剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为

169.22169.979.22

10.021515

x -?-==，

由0.212s ==≈，得16

2221

=0.21216+169.97=1591.13i i x =??∑，

试剔除离群值，这条生产线当天生产的零件尺寸的方差0.09s '=

≈ 【2016，19】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期更换的易损零件数，得下面柱状图

.

频数

更换的易损零件数

记

x 表示1台机器在三年使用期需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单

位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （1）若19n =，求

y 与x 的函数解析式；

（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；

（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个

还是20个易损零件？

解析 （1）当19x 时，192003800y =?=（元）；

当19x >时，()19200195005005700y x x =?+-?=-（元），

所以3800,,195005700,,19x x y x x x ∈?=?-∈>?

N N ．

（2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示.

所以更换易损零件数不大于18的频率为：0.060.160.240.460.5++=<，

更换易损零件数不大于19的频率为：0.060.160.240.240.700.5+++=>，故n 最小值为19． （3）若每台都购买19个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：

10019

20020500210500

4000100

??+?+??=（元）

； 若每台都够买20个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：

1002020010500

4050100

??+?=（元）

.

因为40004050<，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件．

【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量（单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i ，和年销售量y i (i =1,2,3,…,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 8

1

18i i ωωω

===∑表

中(Ⅰ)

根据散点图判断

，

y=a+bx 与y c =+，哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不

必说明理由）；

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z=0.2y-x ，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： (1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ (2)当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

解：(Ⅰ) 由散点图可知y c =+适合作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. …2分

ω

(Ⅱ)设x ω=y=c+d ω，由公式得

108.8

=

1.6

β=68，α=563-68×6.8=100.6，所以y=100.6+68ω， 所以y 关于x 的回归方程为100.6+68y x = …6分

(Ⅲ) (1)当x=49时，年销售量的预报值y=100.6+68×7=576.6，

年利润的预报值z=0.2×576.6y-49=66.32， …9分

(2)因为 2

0.2(100.6+68)()13.620.12z x x x x =-=-+

x ，即宣传费x=46.24千元时，年利润的预报值最大. …12分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 19. 解析 （1）由散点图变化情况选择y c x =+较为适宜.

（2）由题意知()()

()

8

1

8

2

1

108.8

681.6

i

i

i i

i w w y y d w w ==--=

=

=-∑∑. 又y c x =+一定过点()

,w y ，所以56368 6.8100.6c y d w =-=-?=， 所以y 关于x 的回归方程为100.6y x =+（3）（ⅰ）由（2）可知当49x =时，100.66849576.6y =+=，

0.2576.64966.32z =?-=.

所以年宣传费49x =时，年销售量为576.6t ，年利润的预报值为66.32千元. （ⅱ）(0.20.2100.66813.620.12z y x x x x x =-=+-=+=

)

2

26.8 6.820.12x -

++.

6.8x =，即2

6.846.24x ==（千元）时，年利润的预报值最大， 【2013，18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3

2.4

服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2

2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得

x ＝

1

20

(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)

＝2.3，

y ＝

1

20

(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)

＝1.6.

由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有

710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有7

10

的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．

【2012，18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n N ）的函数解析式；

（

①假设花店在这100天每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率， 求当天的利润不少于75元的概率。

【解析】（1）当日需求量17≥n 时，利润85517=?=y ；

当日需求量16≤n 时，利润8510)17(55-=--=n n n y 。

所以当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为???≥≤-=)17(85

)

16(8510n n n y （N n ∈）。

（2）①假设花店在这100天每天购进17枝玫瑰花，

则这100天的日利润（单位：元）的平均数为

]8510851385158516)85160(16)85150(20)85140(10[100

1

?+?+?+?+-?+-?+-??=

y

4.76=（元）

。 ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝。 故当天的利润不少于75元的概率为

7.010.013.015.016.016.0=++++=p 。

【2011，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别成为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这样的产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果．

A 配方的频数分布表

B 配方的频数分布表

（1）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

（2）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）

与其质量指标值t 的关系式为2,94,2,94102,4,102.t y t t -

=

估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并

求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

【解析】（1）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为228

0.3100

+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品率的频率为3210

0.42100

+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．

（2）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0，需其质量指标值94t ，

由试验结果知，质量指标值94t

的频率为0.96．

用B 配方生产的产品平均一件的利润为()1

42542424 2.68100??-+?+?=???

?（元）