课时作业82
课时作业(八十二)
(第二次作业)
1．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次数X 的均值是( )
A.556
B.403
C.503 D ．10
答案 C
解析 至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－13)(1－13)＝1－49＝5
9.∴X ～B (30，59)，∴E (X )＝30×59＝50
3.
2．(2014·岳阳联考)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )
A.1
48
B.124
C.112
D.16
答案 D
解析 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为
E (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤1
6， 当且仅当3a ＝2b 时，等号成立．
3．设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7的方差为1，则d ＝ .
答案 ±
1
2
解析 a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7的均值为
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7
7＝a 4，则
(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋…＋(a 7－a 4)2
7
＝4d 2＝1，d ＝±12，故填±
1
2.
4．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)
个入选，那么入选的最佳人选应是 ． 答案 甲
解析 甲、乙两人的期望都为9环，但甲的方差小，比较稳定，乙的方差大，容易波动，则入选的最佳人选是甲，故填甲．
5．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝ 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 ．
答案 1
2，25
解析 D (ξ)＝100p (1－p )≤100·(p ＋1－p 2)2
＝25，
当且仅当p ＝1－p .即p ＝1
2时，D (ξ)最大为25.
6．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内事件E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的10%，公司应要求投保人交的保险金为 元．
答案 (0.1＋p )a
解析 设要求投保人交x 元，公司的收益额ξ作为随机变量，则p (ξ＝x )＝ 1－p ，p (ξ＝x －a )＝p .
故E (ξ)＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap . ∴x －ap ＝0.1a ，∴x ＝(0.1＋p )a .
7．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，
0，5
2，3，2 2.用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的数学期望E (X )＝ .
答案 4
7
解析 当l 的斜率为±2时，直线方程为±22x －y ＋1＝0，此时d 1＝1
3；k ＝±3时，d 2＝12；k ＝±52时，d 3＝2
3；k ＝0时，d 4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下：
∴E (X )＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝4
7.
8．某制药厂新研制出一种抗感冒药，经临床试验疗效显著，但由于每位患者的身体素质不同，可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应，甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒药，若他们出现轻微不良反应的概率分别是15，13，1
4
.
(1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率； (2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率；
(3)设出现轻微不良反应的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 答案 (1)1320 (2)5960 (3)47
60
解析 (1)患者甲出现轻微不良反应，患者乙、丙没有出现轻微不良反应的概率为15×23×34＝1
10；患者乙出现轻微不良反应，患者甲、丙没有出现轻微不良反应的概率为45×13×34＝1
5；患者丙出现轻微不良反应，患者甲、乙没有出现轻微不良反应的概率为45×23×14＝2
15，所以，恰好有一人出现轻微不良反应的概率为P 1＝110＋15＋215＝1330.
(2)有两人出现轻微不良反应的概率P 2＝15×13×34＋45×13×14＋15×23×14＝1
20
＋115＋130＝320.
三人均没有出现轻微不良反应的概率P 0＝45×23×34＝2
5，所以，至多有两人出现轻微不良反应的概率为25＋1330＋320＝59
60.
(3)依题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，由(1)(2)得，
P (ξ＝0)＝25，P (ξ＝1)＝1330，P (ξ＝2)＝320，P (ξ＝3)＝1－25－1330－320＝1
60. 于是ξ的分布列为
ξ的数学期望E (ξ)＝0×25＋1×1330＋2×320＋3×160＝47
60.
9．某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为2
3，13，1
4，且各阶段通过与否相互独立．
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
(2)设该选手比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 答案 (1)49 (2)17
9
解析 (1)记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，“该选手通过决赛”为事件C ，则P (A )＝23，P (B )＝13，P (C )＝1
4.
所以所求的概率P ＝P (A B )＝P (A )P (B )＝23×(1－13)＝4
9. (2)依题意知ξ的可能取值为1,2,3. P (ξ＝1)＝P (A )＝1－23＝1
3，
P (ξ＝2)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝23×(1－13)＝4
9， P (ξ＝3)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝23×13＝2
9.
ξ的分布列为
ξ的数学期望E(ξ)＝1×1
3＋2×
4
9＋3×
2
9＝
17
9.
10．(2014·南昌一模)某汽车集团研发一种新型的节能汽车，销售商对这种汽车在某地区进行试销20天，得到数据如下：
变)，设某天开始销售时有该节能汽车3辆，当天销售结束后检查节能汽车存量．若发现节能汽车的存量少于2辆，则当天再补充至3辆，否则不再补充车辆．(将频率视为概率)
(1)求当天该销售商不需要补充该节能汽车的概率；
(2)记ξ为第二天开始销售时该节能汽车的存量，求ξ的分布列和数学期望．
答案(1)1
4(2)E(X)＝
14
5
解析(1)P(“当天销售商不需要补充节能汽车”)＝P(“当天节能汽车销售
量为0辆”)＋P(“当天节能汽车销售量为1辆”)＝1
20＋
4
20＝
1
4.
(2)由题意知，ξ的可能取值为2,3.
P(ξ＝2)＝P(“当天节能汽车销售量为1辆”)＝4
20＝
1
5，
P(ξ＝3)＝P(“当天节能汽车销售量为0辆”)＋P(“当天节能汽车销售量为
2辆”)＋P(“当天节能汽车销售量为3辆”)＝1
20＋
10
20＋
5
20＝
16
20＝
4
5.
故ξ的分布列为
故ξ的数学期望为E(X)＝2×1
5＋3×
4
5＝
14
5.
11．(2013·福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方
案，方案甲的中奖率为2
3，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为
2
5，中奖可以获
得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
答案(1)11 15
(2)他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大
解析(1)由已知得，小明中奖的概率为2
3，小红中奖的概率为
2
5，且两人中
奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”.
∵P(X＝5)＝2
3×
2
5＝
4
15，∴P(A)＝1－P(X＝5)＝
11
15.
∴这2人的累计得分X≤3的概率为11 15.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B(2，2
3)，X2～B(2，
2
5)，
∴E(X1)＝2×2
3＝
4
3，E(X2)＝2×
2
5＝
4
5.
∴E(2X1)＝2E(X1)＝8
3，E(3X2)＝3E(X2)＝
12
5.
∵E(2X1)>E(3X2)，∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
12．国家质量技术监督总局对某工厂生产的六年、九年、十二年三种被怀疑有问题的白酒，进行甲醇和塑化剂含量检测，测试过程相互独立．其中通过甲醇
含量检测的概率分别为13，13，12，通过塑化剂含量检测的概率分别为35，13，1
3，两项检测均通过的白酒则认为其达标．
(1)求三种“问题”白酒仅有一种达标的概率；
(2)检测后不达标的白酒将停产整改，求停产整改的白酒种数X 的分布列及数学期望．
答案 (1)46135 (2)227
90
解析 (1)分别记六年、九年、十二年白酒通过甲醇含量检测的为事件A 1、A 2、A 3，通过塑化剂检测的为事件B 1、B 2、B 3.
则六年白酒达标的概率P 1＝P (A 1B 1)＝13×35＝1
5， 同理，九年、十二年白酒达标的概率分别是 P 2＝13×13＝19，P 3＝12×13＝16.
设E 表示检测后仅有一种达标的事件，所以P (E )＝P 1(1－P 2)(1－P 3)＋(1－P 1)P 2(1－P 3)＋(1－P 1)(1－P 2)P 3＝15×89×56＋45×19×56＋45×89×16＝46
135.
(2)根据已知条件可知X 的所有可能取值是0,1,2,3， P (X ＝0)＝P 1P 2P 3＝15×19×16＝1
270，
P (X ＝1)＝P 1P 2(1－P 3)＋P 1(1－P 2)P 3＋(1－P 1)P 2P 3＝15×19×56＋15×89×16＋4
5×19×16＝17270，
由(1)可知P (X ＝2)＝46
135，
P (X ＝3)＝(1－P 1)(1－P 2)(1－P 3)＝45×89×56＝16
27. 所以X 的分布列为
1
270＋1×17
270＋2×
46
135＋3×
16
27＝
227
90.
所以E(X)＝0×