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数值分析-第六章

数值分析

第六章

2.用雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代解线性方程组b Ax =，证明若取???

? ??--=212120203A ，

则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛快？

解：

雅可比迭代法的迭代矩阵：

???????

--=+=-0211210

03200)(1U L D B J ，11211)(<=J B ρ，故雅可比迭代法收敛。

高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵

??????? ?

-=????? ??-????? ??-=-=--12110021003200000100200212020003)(1

U L D B S ，11211)(<=

S B ρ，故高斯—塞德尔迭代法收敛。

因)(12

1211)(J S B B ρρ=<=

，故高斯—塞德尔迭代法收敛快。 3. 用SOR 方法解线性方程组（分别取松弛因子ω=1.03，ω=1，ω=1.1）

精确解x *=（

21，1，-2

）T .要求当)(*k x x -∞

<5×106-时迭代终止，并且对每

一个ω值确定迭代次数.

解：用SOR

方法解此方程组的迭代公式为：

取X

（0）

=（0,0,0）T

：

当ω=1.03时，迭代5次达到要求：

（5）

=（0.500 004 3,0.100 000 1，-0.499 999）T

若取ω=1时，迭代6次得：

（6）

=（0.500 003 8,0.100 000 2，-0.499 995）T

若取ω=1.1时，迭代6次得：

（6）

=（0.500 003 5,0.099 998 9，-0.500 000 3）T

第七章

2.为求方程012

3=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。

(1).2

/11x x +=，迭代公式2

1/11k k x x +=+；

(2).123+=x x ，迭代公式32

11+=+k k x x ； (3).1

x x ，迭代公式1/11-=+k k x x 。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解：

考虑5.10=x 的领域]6.1,3.1[。 (1).当]6.1,3.1[∈x 时，]6.1,3.1[11)(2∈+

=x x ?，1910.03.122)('3

3<=≈≤-=L x x ?，故迭代211

k x x +

=+在]6.1,3.1[上整体收敛。 (2).当]6.1,3.1[∈x 时，()

]6.1,3.1[1)(3

/12

∈+=x x ?，

1522.0)3.11(6

.132)1(32)('3

/223/22<=≈+<+=

L x x x ?，

故迭代32

11+=+k k x x 在]6.1,3.1[上整体收敛。 (3).当]6.1,3.1[∈x 时，1

1)(-=

x x ?，1)16.1(21

)1(21)('2

/3>->--=x x ?，故迭代 1/11-=+k k x x 发散。

4. 用下列方法求

()310f x x x =--=在02x =附近的根.根的准确值* 1.87938524...x =,要求计算结果准确到四位有效数字. (1)用牛顿法; (2)用弦截法,取

012, 1.9x x ==; (3)用抛物线法,取0121,3,2x x x ===.

解：

22(1)0,(2)0,()333(1)0,''()60f f f x x x f x x <>=-=-≥=>,对[1,2].x ?∈

(1)取

02x =,用牛顿迭代法

3312

23121

333(1)k k k k k k k x x x x x x x +--+=-=--

计算得

1221

8889

,1.

x x x x -==-

故

2* 1.879451567x x ≈=.

(2)取20=x ,9.11=x ,利用弦截法

111()()()()k k k k k k k x x f x x x f x f x -+--=-

得,3

23441

1.981093936, 1.880840630, 1.879489903,|*|102x x x x x -===-

4*1.879489903

x x ≈=. (3)

0121,3,2x x x ===.抛物线法的迭代式为

11121[,][,,]()

k k k k k k k k k x x w f x x f x x x x x +----==+-

迭代结果为:

3451.953967549, 1.87801539, 1.879386866x x x ===已达四位有效数字.

计算机上机

首先是两个算法的实现（如下图所示）：

图1：Jacobi迭代算法

图2：SOR迭代算法1．n取6时运行结果：

图3：Jacobi迭代结果图4：ω=1时SOR迭代结果

图5：ω=1.25时SOR迭代结果图6：ω=1.5时SOR迭代结果

结果分析：

从MATLAB输出的结果可以看出：当n=6时，取初始向量x0=(0,0,0,0,0,0)’,用Jacobi迭代法求解该矩阵方程经过m1=487次迭代所得结果x1 =(Inf,Inf,NaN,NaN,NaN,NaN)’,可见用Jacobi迭代法在这种情况下求解该矩阵方程是不收敛的。用SOR方法求解该矩阵方程，当松弛因子w=1时，经过m11=17406次迭代所得结果xx11 =(0.9999，1.0009，0.9981，0.9974，1.0089，0.9947)’,此结

果与精确解)'1,1,1,1,1,1(*=x 比较可得0.010911*=-x xx ，可见此结果已经很接近精确解了；当松弛因子w=1.25时，经过m21=16290次迭代所得结果xx21 =( 1.0000,1.0003,1.0010,0.9922,1.0126,0.9939)’,此结果与精确解)'1,1,1,1,1,1(*=x 比较可得0.0160 21*=-x xx ，可见此结果没有w=1所得的解接近精确解，但迭代次数比它少；当松弛因子w=1.5时，经过m31=16769次迭代所得结果xx31 =( 1.0000，0.9995，1.0052，0.9829，1.0216，0.9907)’,此结果与精确解)'1,1,1,1,1,1(*=x 比较可得0.0296 31*=-x xx ，可见此结果没有w=1和w=1.25所得的解接近精确解，迭代次数虽然比w=1时少，但比w=1.25多。

2．n 取8时运行结果：

图7：Jacobi 迭代结果图8：ω=1时SOR 迭代结果

图9：ω=1.25时SOR迭代结果图10：ω=1.5时SOR迭代结果3．n取10时运行结果：

图11：Jacobi迭代结果图12：ω=1时SOR迭代结果

图13：ω=1.25时SOR 迭代结果图14：ω=1.5时SOR 迭代结果结果分析

从MATLAB 输出的结果可以看出：

（1）用Jacobi 迭代法求解该矩阵方程时：

①当n=8时取初始向量x0=(0,0,0,0,0,0,0,0)’,经过m2=396次迭代所得结果x2 =( -Inf ，NaN ，NaN ，NaN ，NaN ，NaN ，NaN ，NaN)’；

②当n=10时，取初始向量x0=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)’,经过m3=347次迭代所得结果x3 =(Inf ，Inf ，Inf ，NaN ，NaN ，NaN ，NaN ，NaN ，NaN ，NaN)’；

对比（1）题中所得结果可见无论n 确何值用Jacobi 迭代法在这种情况下求解该矩阵方程是不收敛的，其原因为其迭代矩阵)(1U L D B +=- (其中

D=diag(diag(H)),L=-tril(H,-1),U=-triu(H,1))的谱半径 4.3085)(=B ρ不满足1)(

（2）用SOR 方法求解该矩阵方程：

①当n=8时，取初始向量x0=(0,0,0,0,0,0,0,0)’当松弛因子w=1时，经过m12=8342次迭代所得结果xx12 =(1.0001，0.9974，1.0136，0.9794，0.9982，1.0141，1.0101，0.9870)’,此结果与精确解)'1,1,1,1,1,1,1,1(*=x 比较可得0.0330 12*=-x xx ；当松弛因子w=1.25时，经过m22=17436次迭代所得结果xx22 =( 1.0002，0.9964，1.0179，0.9726，1.0031，1.0130，1.0091，0.9877)’,此结果与精确解)'1,1,1,1,1,1,1,1(*=x 比较可得0.0387 22*=-x xx ，；当松弛因子w=1.5时，经过m32=16769次迭代所得结

果xx32 =( 1.0001，0.9976，1.0119，0.9812，1.0043，1.0055，1.0079，0.9915)’,

此结果与精确解)'1,1,1,1,1,1,1,1(*=x 比较可得0.0262 32*=-x xx ；

②当n=10时，取初始向量x0=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)’当松弛因子w=1时，经过m13=2695次迭代所得结果xx13 =(1.0001，0.9982，1.0056，0.9993，0.9916，0.9968，1.0052，1.0087，1.0039，0.9904)’,此结果与精确解)'1,1,1,1,1,1,1,1,1,1(*=x 比较可得

0.0181 13*=-x xx ；当松弛因子w=1.25时，经过m23=30092次迭代所得结果xx23

=( 1.0001，0.9989，1.0022，1.0042，0.9903，0.9965，1.0042，1.0080，1.0039，0.9916)’,此结果与精确解)'1,1,1,1,1,1,1,1,1,1(*=x 比较可得0.0173 23*=-x xx ，；当松弛因子w=1.5时，经过m33=32174次迭代所得结果xx33 =( 1.0000，0.9997，0.9986，1.0109，0.9850，0.9993，1.0020，1.0086，1.0033，0.9924)’,此结果与精确解)'1,1,1,1,1,1,1,1,1,1(*=x 比较可得0.0222 33*=-x xx ,对比n=8,n=10时，w 取相同值时的结果，当n=10时的迭代步骤比n=8都少，且所得解比起n=8也精确。总结

无论n 确何值用Jacobi 迭代法在这种情况下求解该矩阵方程是不收敛的,而用SOR 方法解题时，虽然迭代收敛，但需要迭代很多次。若改用另外一种古典迭代法Gauss-Seidel 法解决此缺点。

数值分析课后题答案

数值分析第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证：（1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明（1）令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析习题与答案

第一章绪论习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有已知x*的相对误差满足，而 ,故即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限有２位有效数字，有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2）解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。四个选项: 第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限，因,

故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令因?得 3. 若,求和.

解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表

数值分析第三版课本习题及答案

第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1 234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y . (五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 . 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

第六章习题答案数值分析.docx

第六章习题解答 2 2、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 1 误差限。解：①由梯形公式： T ( f ) b a [ f (a) f (b)] 2 1 [ln1 ln 2] ln 2 0.3466 2 2 2 最大误差限 R ( f ) (b a)3 f '' ( ) 1 1 1 0.0833 T 12 12 2 12 12 其中， (1,2) ②由梯形公式： b a 4 f ( b a f (b)] 1 4ln( 3 ln 2] 0.3858 S( f ) [ f (a) ) [ln1 ) 6 2 6 2 最大误差限 R S ( f ) (b a)5 f (4) ( ) 6 6 0.0021， 2880 2880 4 2880 其中， (1,2) 。 4、推导中点求积公式 f ( x)dx (b a) f ( a b ) (b a) 3 (a b) b a 2 24 证明：构造一次函数 P （ x ），使 P a 2 b f a b , P ' ( a b ) f ' ( a b ), P '' ( x) 0 2 2 2 则，易求得 P( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 且 P(x)dx f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) dx b b a a 2 2 2 f ( a b )dx (b a) f ( a b ) ，令 P(x)dx I ( f ) b b a 2 2 a 现分析截断误差：令 r ( x) f ( x) P(x) f ( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 由 r ' ( x) f ' (x) f ' ( a b ) 易知 x a 2 b 为 r (x) 的二重零点， 2 a b )2 ，所以可令 r (x) ( x)( x 2

第五章习题解答_数值分析

第五章习题解答 1、给出数据点:0134 19156 i i x y =?? =? (1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数 2 20 2 1303011915 01031013303152933 ()()()()()() ()()()()()()()() i i i x x x x x x L x l x y x x =------== ?+?+?-------++= ∑ 代入可得2151175(.).L =。 (2)利用 134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表： 229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。 (3)用事后误差估计的方法可得误差为 ()()()02222 03-x 150 x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈= -≈- ()()()3222203-154 x x -=1175135-1.0938-04 .()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈- 2、设Lagrange 插值基函数是 0012()(,,,,)n j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏ 试证明:①对x ?,有 1()n i i l x ==∑ ②00110001211()()(,,,)()()n k i i i n n k l x k n x x x k n =?=?==??-=+? ∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。证明： ①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10 1()()()()()!n n i i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析第六章习题

第六章习题 1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。（1）1101A ???=????，（2）312020116A ????=??????? . 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组 1231231 238322041133631236x x x x x x x x x ?+=??+?=??++=? 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。 3. 用Gauss-Seidel 迭代求解 12312312 35163621122x x x x x x x x x ??=??++=???+=?? 以(0)(1,1,1)T x =?为初值，当(1)() 310k k x x +?∞?<时，迭代终止。 4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=?? +=? （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。（2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件. 5. 设有系数矩阵 122111221A ?????=?????? ， 211111112B ?????=??????? ，证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛. （2）对于矩阵B ，. 6. 讨论方程组 112233302021212x b x b x b ?????????????=??????????????????? 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快.

第六章非线性方程的数值解法习题解答

第六章非线性方程的数值解法习题解答填空题： 1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2.求解方程在(1, 2)内根的下列迭代法中， (1) (2) (3) (4) 收敛的迭代法是（A ）. A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 3.若0)()(，故迭代发散。以上三中以第二种迭代格式较好。 2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞ =对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2 0M λ<< 时，均收敛于方程的根。

数值分析第四版习题和答案解析

第四版数值分析习题第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.

4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

《数值分析》第五章答案

习题5 1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式：?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式：?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈，??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??，),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ ，法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+，)2 ()2(b a f b a H +'=+'，则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ， ),(b a ∈ξ 于是 2．考察下列求积公式具有几次代数精度：（1） ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ；（2） )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。解：（1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右；当x x f =)(时，左21= ，右=2 1 210=+，左=右；当2 )(x x f =时，左=3 1 ，右=1，左≠右，代数精度为1。

数值分析习题集及答案

数值分析习题集（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）长沙理工大学第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且 .

2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误

数值分析作业答案(第5章)

5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ，经过一步高斯消去法后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 证明2A 是对称矩阵。证明由消元公式及A 的对称性，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 对称。 5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 其中1)2(2)(-=n ij a A 。证明： (1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。证明 (1).因为A 对称正定，所以 n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=，其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 也对称。又由A L A a a T 121110=????? ?，其中

??? ?????- =? ????? ? ?????????--=-111 1 11111 21101 1011n n I a a a a a a L ，可见1L 非奇异，因而对任意0≠x ，由A 的正定性，有 ,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T T T T 故T AL L 11正定。由,000110211 111121111 1?? ? ?? ?=????????-??????=-A a I a a A a a AL L n T T T 而011>a ，故知2A 正定

数值分析习题

第一章绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2 π=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设? -=1 1dx e x e I x n n ，求证：（1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）

第二章插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10=== x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 ) ())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。（拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π =x ，2 2π = x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算6 cos π 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点 )1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算） 8 如下函数值表建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ， 3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）

数值分析第六章 13和13题答案

13- 设函数()f x 具有二阶连续导数,{}(*)0,'(*)0,''(*)0,k f x f x f x x =≠≠是由牛顿迭代法产生的序列,证明 121''(*)lim ()2'(*)k k k k k x x f x x x f x +→∞--=-- 解牛顿迭代法为 1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=- = 故 1() '()k k k k f x x x f x +-=- 2112112 121212211()'()()'()()()(*)['()][()(*)]'() '()['()](*)'()['()](*)k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f f x x x f x f x x ξξ+--------??-=-=??-?? --=---- 其中k ξ介于k x 与*x 之间,1k ξ-介于1k x -与*x 之间,根据式(7.14)得 211222111'()['()]*lim lim () '()['()](*)1''(*)2'(*)k k k k k k k k k k k k x x f f x x x x x f x f x x f x f x ξξ+-→∞→∞-----=-=--- 公式7.14----12''(*)lim 2'(*)k k k e f x e f x +→∞= 15- 考虑下列修正的牛顿公式(单点斯蒂芬森方法) 21()(())()k k k k k k f x x x f x f x f x +=-+- 设()f x 有二阶连续导数,(*)0,'(*)0f x f x =≠,试证明该方法是二阶收敛的. 证明: 将(())k k f x f x +在k x 处作台劳展开,得 21(()) ()'()()''()()2k k k k k k f x f x f x f x f x f f x ξ+=++

数值分析第六章思考题

思考题 10.设m T 是m 2+1个节点的复化梯形值，试证：143m m m T T S +-=就是m+12+1个节点的复化Simpson 值。解：由复化梯形公式： 11()[()()2()]2n b a k h f x dx f a f b f a bh -=≈+++∑?，其中b a h n -=。由题中条件可知：节点为m 2+1时 11 21112(2)[()()2()]2[()()2()]2(2)m m m m n k k T b a h f a f b f a bh b a f a f b f a b -==++=-+++=-+++?∑∑ 节点为m+12+1时： 11111121112(2)[()()2()]2[()()2()]2(2)m m m m n k k T b a h f a f b f a bh b a f a f b f a b ++++-==++=-+++=-+++?∑∑ m+12+1的复化Simpson 公式为： 21112111()[()()4()2()]3(2)i m m m b i a k k b a f x dx f a f b f x f x -+-==+-≈+++∑∑? 12111111211 2121 411433 11312(2)2(2)[()()4()2()]3(2)[()()2()]2(2)[()()2()]2(2)m m m i m m m m m m m m m i k k k k T T S b a b a b a f a f b f x f x b a f a f b f a b b a f a f b f a b +-++++-====++-==++-=+---+++-+++?-+++?∑∑∑∑

数值分析第六章小结

第6章数值积分 --------学习小结一、本章学习体会本章主要介绍了五种计算定积分的数值积分法，分别为：插值型求积公式、Newton-Cotes 求积公式、复化梯形公式与复化Simpson 公式、Gauss 型求积公式等。本章的重点在于掌握求积公式及其运用，并要学会求代数精度。而通过对求积公式进行比较，会发现其方法与以前所学习的解析方法有一定的不同，它并不需要求出定积分的原函数，而是去直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度要求，从而根据不同的题型做出不同的解答，这对于我们今后的专业研究过程也有一定的作用。例如：高阶Newton-Cotes 公式会出现数值不稳定，而低阶Newton-Cotes 公式有时又不能满足精度要求，可将积分区间[a ，b]分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和，即运用复化求积法。通过运用matlab 软件，可以加深自己对各种求积公式的理解。根据求解要求，充分考虑已知条件，选择简便快捷的求积方法进行定积分求解，从而得出比较准确的结果。通过查阅相关书籍，加深对课本知识的理解，从而提高自己的自学能力。二、本章知识梳理 1 求积公式及其代数精度：求积公式的一般形式： () 0()()n b n k k a k f x dx f x λ=≈∑? 截断误差或余项：)()(0 k b a n k k n x f dx x f R ?∑=-=λ 代数精度：对于上面所列的求积公式，当()f x 为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式，而当()f x 为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称它具有m 次代数精度。 2 插值型求积公式： () ()()n b n k k a k f x dx f x λ =≈∑? 其中 ()()(0,1,...,) b n k k a l x dx k n λ ==?

数值分析第六章课后习题答案

第六章课后习题解答 (1)()()123(1)()213(1)()()312(0 1.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186, 2.99999k k k k k k k k k T x x x x x x x x x x x +++ì??=---??????=-+í??? ??=-++????==-(17) 解：(a )因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。（b )雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求 (1)()() 123(1)(1)() 213(1)(1)(1) 312 (0) (8) 15,2.0000012) 2112555 115 4213 3510 10 (1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012) T k k k k k k k k k T T x x x x x x x x x x ++++++-ì??=--- ??????=-+í??? ??=-+ + ????==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求

1 2 1 2:00.40.4.0.40 0.80.40.80||(0.8)(0.80.32) ()1.09282031,00.4 0.4() 00.160.6400.032 0.672D L U I B D L U l l l l - -骣--÷ ?÷?÷? ÷?÷=+= -- ?÷?÷÷? ÷?÷--÷ ?桫 -=-+- =>-? -- ????=-=-????è l J J J S 解(a )雅可比法的迭代矩阵 B （）B B 故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵 1 3 1 ()||||0.810 2210122 0||02 2 02 300 2S J B D L U I B D L U l l ￥ - -?÷÷÷÷ ÷÷÷÷÷÷?÷??< 骣-÷ ?÷?÷? ÷?÷=+= --?÷?÷÷? ÷?÷--?÷ 桫 -=骣 -÷?÷?÷?÷ ?÷=-= -?÷?÷÷?÷?÷?桫 l l S J J S B 故高斯-塞德尔迭代法收敛。(b )雅可比法的迭代矩阵 B （），（B ）=0〈1故雅可比迭代法收敛。高斯-塞德尔法的迭代矩阵 B （）2 ||2S I B l l l ÷ -=- l S （），（B ）=2 〉1故高斯-塞德尔法不收敛。

《数值分析》第六章答案

习题6 1．求解初值问题 y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y 取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解 x e x y 21+-=相比较。解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表 i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.459924 2) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y )() (1i i i D i y x h y y ++=+ )() (11) (1D i i i C i y x h y y +++++= )(2 1) (1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i 计算结果列表如下 i i x i y ) (1D i y + ) (1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.031147

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