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题根研究二项式(a+b)n展开式寻根

二项式(a+b)n展开式寻根

一、课堂奇遇从( a + b)2 说起

老师要讲新课——二项式(a+b)n的展开式了.他的提问从初中数学“和的平方公式”开始.

【题1】在二项式(a+b)n中，分别求n=2和n=3的结果.

【解答】根据乘法法则，分别有：

(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

老师开始向“新课”引渡：(a+b)4 =？甲生答：(a+b)4 =a4 + 4a3b + 6a2b2+4ab3+b4

老师再问：(a+b)5=？乙生回答：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

老师疑思：难道学生已经掌握了二项式定理？于是，干脆把问题推到“一般式”，问：(a+b)n=？

全场寂静，无人应声. 良久，丙生反问：这里(a+b)n中的n为多少？

——任意正整数！——这个我们不会，您必须告诉，n为多少？老师退一步说：n=6

丙生马上回答：(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

老师追问：你怎么知道的？丙生回答：

(a+b)6展开式是个6次齐次式. 字母a降幂排列，从6降到0；字母b升幂排列，从0升到6. 至于各项的系数，只要把(a+b)5展开系数“错位相加”即得. 草式如下，从n=5到n=6：

老师大惊：谁告诉你们的？

学生回答：初中数学中的多项式乘法的“系数分离法”，乘法变成加法算，草式如下：

到此，老师明白了，学生已经从乘法公式的递推运算中掌握了二项式定理. 剩下的任务只是如何将各项系数实现“符号化”的问题，即在展开式：

(a+b)n =A0a n+ A1a n-1b+…+ A n-1 ab n-1+ A n b n

中，如何将系数A0，A1，…，A n-1，A n用n的计算式表示出来.

二、错位加法演出杨辉三角

老师顺势引导学生：这个递推的“错位加法”很有意思，是否可以把草式简

化，只把各行的“加法结果”依次开列出来，比如，开出一个表来.

于是，各式各样的二项式(a+b)n展开式的“系数表”送来了，其中使大家感

兴趣的是“等腰三角表”.

“好呀！”老师高兴地说：“如果你们能早点出生，这个三角形就可以用你们名字命名啦！现在这个等腰三角表已经命名为杨辉三角形了！”

大家也很高兴：我们也成数学家啦！

丁生提议：这个三角形可命名为“1+1三角形”.因为：（1）这个三角形是从1+1开始的；（2）三角形的任何一行数的和，自我相加之后变成了下一行各数之和.

甲生提议：这个三角形可命名为“2打滚三角形”，因为从2开始，上行各数之和翻一倍，便成为下行各数之和.

乙生提议：这个三角形还可命名为“肩挑两数三角形”，因为这

个三角形的任何一个数，都等于这个数肩上2数之和. 如三角形中

第5行的第3数10，就等于它的肩上两数——第4行第2、3两数

的和：10=4+6.

老师插问：“肩挑两数”中的这两个数是唯一的吗？于是有下面

的问题.

【题2】在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10，写成肩上

2数的和，可以是：

A.10=4+6

B.10=3+7

C.10=2+8

D.10=5+5

【解答】杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，加法的结果是唯一的. 因此，第5行第3数10，肩挑两数的结果是4+6. 答案为A.

丙生提议：这个三角形还可以命名为“单肩串数三角形”.

因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”.

如三角形中第5行第3数10，它等于它右肩上的数6，并由6向左斜上方串联的一组数的和，即10=6+3+1

它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即

10=4+3+2+1

老师说，这个发现很有意思. 要知道，“单肩串数”这个性质实为“肩

挑两数”性质推论或发展. 谁能讲出这个道理来？

丁生发言：“单肩串数”实为“肩挑两数”进行递推的结果，例如数10，

如果是右肩串数，则是3次“肩挑两数”的结果.

10=6+4=6+（3+1）=6+［3+（1+0）］=6+3+1+0

如果是左肩串数，则是4次“肩挑两数”的结果：

10=4+6=4+（3+3）=4+［3+（2+1）］

=4+{3+［2+（1+0）］}=4+3+2+1+0

老师总结：“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；而“肩挑两数”又是“错位加法”的累计结果.

错位加法是问题之根.

三、a的相乘实为b的组合

为了弄清二项式(a+b)n = (a+b) (a+b)…(a+b)= A0a n+ A1a n-1b+…+ A n-1 ab n-1+ A n b n展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.

(a+b)2 = (a+b) (a+b)

此式中，我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有

(a+b)2 = (a+b1) (a+b2)

=a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2

由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1+b2，这是从集合{b1，b2}中，每次取1个元素所成的组合. 其组合数为12C=2.

常数项b1b2，是从集合{ b1，b2}每次取出2个元素所成的组合，组合数为22C=1.

统一地看，最高项a 2中不含b ，因此可以看作，从集合{ b 1，b 2}每次取出0个元素所对应的组合. 组合数为02C =1.

这样一来，“和的平方”展开式可写成 (a +b )2 =02C a 2+12C ab +22C b 2

有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a +b )n 展开后各项的系数.

【题3】试用组合数表示二项式

(a +b )n =(a +b ) (a +b )…(a +b ) = A 0a n + A 1a n -1b +…+ A n -1 ab n -1+ A n b n 展开式中各系数A 0，A 1，…，A n -1，A n .

【解答】对于a n ，它是从集合{ b 1，b 2，…，b n }中每次取出0个元素的组合. 组合数为A 0=0C n . 对于a n -1b ，它是从集合{ b 1，b 2，…，b n }中，每次取出1个元素的组合，组合数为A 1=1C n . ……

对于ab n -1，它是从集合{ b 1，b 2，…，b n }中，每次取出n -1个元素的组合，组合数为1C -n n .

对于b n ，它是从集合{ b 1，b 2，…，b n }中，每次取出n 个元素的组合，组合数为n n C . 于是，二项式(a +b )n 可展开成如下形式

(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b +…+1

C -n n ab n -1 +n n C b n

这就是所谓的“二项式定理”.

它是“和的平方式”的一般形式，或者说，(a +b )2 = a 2+2ab +b 2是二项式定理的特殊形式. 从数学思想上说，“和的平方式”是“二项式定理”之根. 反过来，二项式定理为和的平方之果. 四、“肩挑两数” 组合的加法性质

将杨辉三角形中的第一个数，都用组合符号表示出来，则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的

加法式. 如

1425C C C +=

这里，（1）相加两数14C 和2

4C 是“下标相等，上标差1”

的两数；（2）其和2

5C 是“下标增1，上标选大”的组合数.

一般地，杨辉三角形中第n +1行任意一数r n 1C +，“肩挑两数”的结果为

n r n r n C C C 11+=-+

这就是组合的加法性质：“下标相等上差1，下标增1选大的”.

逐次利用r

n r n r n C C C 11+=-+可以得

r r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n C C C )C C (C C )C C (C C C C 111212*********+++==+++=++=+=--------------+

即

111111C C C C -----++++=r r r n r n r n

这是组合加法性质的推广：组合数.

r n 1C +可以写成

n -1个组合数

相加，各加数的上标都是r -1，而下标则是从n 开始，依次递减为

r -1

例如，将第5行第4数35C 展开，即是

332324332324342435C C C )C C (C C C C ++=++=+=

这就是“单肩串数”的加法式，图示如右.

有了组合的加法性质，二项式(a +b )n 展开式的证明就变得非常简便了. 【题4】求证二项式定理

(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b +…+1

C -n n ab n -1 +n n C b

n 【证明】（1）当n =1时，a +b =0

1C a +11C b =a + b 命题真.

（2）假设 n =k 时命题真，即

(a +b )k =0C k a k +1C k a k -1b +…+1

C -k k ab k -1 +k k C b

k 两边同乘以(a +b )，由“错位加法”可得

(a +b )k +1 =0C k a k +1 +(10C C k k +)a k b +(21C C k k +)a k -1 b 2 +…+(k

k k k C C 1+-)ab k + b k +1 =01C +k a k +1 +11C +k a k b +…+k k 1C + ab k +11C ++k k b k +1

综合（1），（2）可知，对任意的n ∈N +，二项式(a +b )n 展开式成立. “错位加法”是二项式(a +b )n 展开时计算系数的“根法”. 以下这道高考题，如果利用这种“根法”，可以实现一望而答. 【考题1】在(x -1) (x +1)8的展开式中，求x 5的系数.

【分析】 (x -1) (x +1)8中x 5的系数，由(x +1)8中，x 4与x 5两项的系数错位相加而得.

【解答】 (x -1) (x +1)8 = (x -1) (… +38C x 5+48C x 4+…) = … +(48C -38C )x 5

+ … 故x 5项的系数为48C -38C =14.

五、n 始于1 r 始于0

在杨辉三角形中，我们看到：n 从1开始，但是第1行有2个数，第2行有3个数，…，第k 行有k +1个数，这正是二项式展开时“错位相加，项数多1”的结果.

(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b +…+r n C a n -r b r +…+n n C b

展开式中的r 从0取到n ，故(a +b )n 展开式有n +1项，其中关于r 的通项r n C a n -r b r

不是第r 项，而是第r +1项. 故二项式展开式的通项公式为 T r +1=r n C a n -r b r 初学者经常说成 T r =r n C a n -r b r

【题5】在

()42x x +的展开式中，第几项含x 3？

【说明】在通项公式r n C a n -r b r

中求得r 值，对应的r +1为其项数.

【解答】

T r +1 =r 4

C (2x )4-r

r x )(=2

4-r

r 4

C 2

x -

令

4=-

得r =2

T 3=r 4C (2x )2·x =24x 3 故展开式的第3项含x 3项24x 3

【考题2】已知9

221??

??-

x x ，求展开式中x 9的系数.

【说明】 x 9的系数不是二项式中x

b 21-

=的系数，但可通过通项公式r n C a n -r b r

求出对应的r 来.

【解答】设展开式的第r +1项能化简得到x 9项.

则有 T r +1 =r

9C (x 2)9-r ·r

x ??

??-

21=

r x 3189

)

2(C -?-

令 18-3r = 9 得r =3 故 x 9

的系数为 2

)2(C 3

39-

=- 【考题3】若n

x )2(

展开式中存在常数项，则n 的值可以是

A.8

B.9

C.10

D.12

【解答】令第r +1项

T r +1=r n C 6

53322)(r

n r r

n r

r n x

C x x --??=?

??= 0，得 3n =5r ，选项中只有C 合适.

六、公式一个特式万千

二项式定理是个公式，其中的a ，b ，n 可“任意”取值.

(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b +…+r n C a n -r b r +…+n n C b n

（1）n 取特值可得到具体的乘方公式，如 (a +b )4 =a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2+4a 1b 3+b 4

（2）a ，b 取特值，可得许许多多的组合式

①令a =b =1 得

0C n

+1C n +2C n +…+n

n C =2n

②令a =1，b =-1 得 0C n

+2C n +m n 2C +…=1C n +3C n +…+1

2C +m n

+…=2n -1 ③令a =b ，b =a 得

r n n

r n -=C C

【考题4】若(1-2x )2004=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2004x 2004（x ∈R ），则(a 0+a 1)+ (a 0+a 2)+ (a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004)=

.（用数字作答）

【分析】这是利用“公式”研究“特式”的值，关键是研究在公式中取x 的特值. 【解答】在原式中，令x =0，得 a 0=1，令x =1得a 0+a 1+a 2+…+ a 2004=1，

所以a 1+a 2+…+ a 2004=0，所以(a 0+a 1)+ (a 0+a 2)+ (a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004)=2004a 0=2004.

【考题5】在2006)2(-x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x =2时，求S 的值.

【分析】涉及奇（偶）次项系数的问题，注意运用组合式 0C n

+2C n +…=1C n +3

C n +…=2n -1

【解答】

20051200620060200620062C C )2(x

x x -=-+… 其中，含x 奇次幂项之和为 S (x ) = ---2003

332006*********)2(C 2C x

x x

2006

200520063200612006)

2( )C C (C )2(+++-= S = -22005·21003 = -23008 （答案）

二项式定理高考题(带答案)

年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, % 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D.

【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为 __________． ' 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为￥ A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C

(完整word)高中数学二项式定理练习题

选修2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题 1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2(n ＋1) 2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( ) A ．C r n B ． C r ＋1n C ．C r －1n D ．(－1)r －1C r －1n 3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27 C 410 C ．－9C 610 D ．9C 410 4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 5．在? ?? ??2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．5 C ．8 D ．10 6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297 D ．207 7．(2009·北京)在? ?? ??x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2

9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是 ( ) A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜25 10．在? ????32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项二、填空题 11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________． 12．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________． 13．若? ?? ??x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．三、解答题 15．求二项式(a ＋2b )4的展开式． 16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数． 17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．

二项式定理-高考题(含答案)

二项式定理高考真题一、选择题 1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x 的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42（B ）35（C ）28（D ）21 2.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）10 3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5 212x x 的二项展开式中，x 的系数为（ D ） (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在62() 2x x 的二项展开式中，2x 的系数为（ C ）（A ）15 4（B ）15 4（C ）3 8（D ）3 8 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）8 21x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x 的展开式中3x 的系数为( A ) (A)270 (B)90 (C)90 (D)270 7. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)8411+x y 的展开式中22x y 的系数是( D ) A.56 B.84 C.112 D.168

8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）51 2a x x x x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 9. (2011·重庆高考理科·T4)n x)31((其中n N 且6n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n ( B ) (A)6 (B) 7 (C)8 (D)910．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x （x R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20（B ）15（C ）15 （D ）20 二、填空题 11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）61 x x 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11）181 3x x 的展开式中含15x 的项的系数为 17 . 13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1-x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 . 14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x （的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）. 15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x 的展开式中4x 的系数是 240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x （，则 1110a a = 0 . 17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x 的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答) 18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62a x x 的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .

二项式定理练习题求展开式系数的常见类型

二项式定理 1．在()103x -的展开式中，6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是 . 7.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．

14.(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则n= ，展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数． 17.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为64，则二项式系数的最大值为________． 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则展开式的系数和为________． 19.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 20.已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.

二项式展开定理

二项式展开定理一、定理及基本概念 1. *)()(110N n n C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ; 2. 项数:一共项; 3. 通项:;一定注意两点: 1) 涉及“第几项”得时候,一定严格按照通项公式; 2) 注意项数与系数得关系。 4. 二项式系数与各项系数之间得联系与区别。二、性质 1. 二项式系数得对称性:; 2. 二项式系数与:; 3. 奇数项二项式系数与=偶数项二项式系数之与=; 4. 二项式系数最大项: 1) 当就是偶数时,此时项数就是奇数,中间项得二项式系数最大; 2) 当就是奇数时,此时项数就是偶数,中间两项得二项式系数=最大。 5. 系数最大项:注意系数最大与二项式系数最大得区别。基本题型解题思路及步骤一、利用通项公式求某项系数 1. 写出通项公式得时候注意: 1) 所有得系数写在最前面,包括符号; 2) 所有根式都写出分数次数形式;

3)明白什么就是有理项; 4)注意得取值范围。 2.只有一个式子:写出通项公式,根据系数关系,确定满足条件得项。 3.有两个式子相乘: 1)分别用通项公式打开,组合后瞧满足条件得项; 2)只打开一个,观察另一个得形式,判断满足条件得项;一定注意系数; 3)有多个得,注意各自得取值范围与相互之间得关系。二、赋值求系数与 1.常用得赋值就是令,具体要通过所求得式子来判断赋值; 2.所有系数之与:令;二项式系数之与:; 3.所有系数绝对值之与:令;变换原来式子里得符号,边为相加;再令; 4.求导与积分得形式。三、对二项式定理得理解:组合项、整除 1.二项式定理得理解:都表示一个整体; 2.根据所求得问题,对前面得进行重新组合。例题讲解一、求某项得系数 1.求展开式中第几项为常数项,并求常数项得值。解:直接用通项公式打开:;(注意系数都放一起) 常数项即得次数为0,也即:;所以常数项为第4项; 且常数项为:

完整版二项式定理测试题及答案

二项式定理测试题及答案 n 能使(n+i) 4 成为整数(B ) C.2 D.3 A A ； L L A ；J°，则S 的个位数字是(C ) -a ) 8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和 x A. 15 个 B. 33 个 C. 17 个 D. 16 个是(C ) A.28 B.38 C.1 或38 D.1 或 28 5.在(2 3 5)100的展开式中，有理项的个数是( 6.在、x 1 3x 24 的展开式中，x 的幕指数是整数的项共有(C B . 4项 -x)6的展开式中，含、5 A. 3项 7?在(1 - x)5- (1 A 、一 5 B 、5 C & (1 x)5 (1 x)3的展开式中x 3的系数为(A A . 6 B. -6 C. 9 9.若x==，则(3+2x) 10的展开式中最大的项为(B 2 A.第一项 C . 5项 3 x 的项的系数是(C 、一10 B. 、10 ) D . -9 第三项 C. 第六项 D. 第八项 A. 7 B. 12 C. 14 D . 5 11.设函数 f(x) (1 2x)10 ,则导函数 2 f (x)的展开式x 项的系数为(C ) A. 1440 B .-1440 C .-2880 D .2880 12 .在(x 1 5 -I)5 x '的展开式中，常数项为( B ) (A ) 51 (B ) -51 (C )- ii (D ) ii 13 .若(x n n 1) x L 3.2. ax bx L 1(n N )，且 a:b 3:1，则n 的值为(C ) A. 9 B . 10 C . ii D. 12 14 .若多项式x 2 10 x =a 0 a i (x 1) a 9(x i)9 a i0(x i)i0, 则 a 9 ( ) (A ) 9 (B ) 10 (C ) 9 (D ) 10 10.二项式 n 的最小值为( ) A 解：根据左边 1,易知 a io 10 X 的系数为 1，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为 1 3 )n 的展开式中含有非零常数项，则正整数 3x 3 1.有多少个整数 A.0 B.1 2. 2 4 展开式中不含x 项的系数的和为(B ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3?若 S =A 1 4.已知(x (2x 4

二项式定理高考题(含答案)

二项式定理高考真题一、选择题 1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x +的展开式中2 x 的系数是（ D ）（A ）42 （B ）35 （C ）28 （D ）21 2.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）10 3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5212x x ??- ?? ?的二项展开式中，x 的系数为（ D ） (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在6 的二项展开式中，2x 的系数为（ C ）（A ）154- （B ）154 （C ）38- （D ）38 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821??? ? ?+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)4 35 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A ) (A)270- (B)90- (C)90 (D)270 7. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22 x y 的系数是 ( D )

A.56 B.84 C.112 D.168 8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）5 12a x x x x ????+- ???????的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 9. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 10．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 二、填空题 11.（2013·天津高考理科·Ｔ10）6x ?- ? 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11） 18 x ?- ? 的展开式中含15x 的项的系数为17. 13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）)20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为0. 14.（2011·四川高考文科·Ｔ13） 91)x +（的展开式中3x 的系数是84（用数字作答）. 15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是240. 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- （，则 1110a a +=0. 17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x -的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答)

二项式定理(基础+复习+习题+练习)

课题：二项式定理考纲要求： 1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1.二项式定理及其特例： ()101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， ()21(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ + 2.二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） 6.()1对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴. ()2增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值 ()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +，令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++ ++ +

(完整版)二项式定理高考题(带答案)

1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】

决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，

，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】 8.【2017浙江，13】已知多项式() 1x +3 ()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则 4a =________，5a =________．

排列组合与二项式定理的综合练习题

排列组合与二项式定理的综合应用 1．()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为（） A ．10 B ．-30 C ．-10 D ．-20 2．若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（） A ．2- B ．3- C ．253 D ．126 3．()()512x x +-的展开式中2x 的系数为（）． A ．25 B ．5 C ．-15 D ．-20 4．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种 5．从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加C ，D 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) 6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A.828 9A A B.82810A A C.8287A A D.8286A A 7．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（） A ．96种 B ．120种种 D ．720种 8．已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（）种种种种 9．3n x ?+??的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项为（） 10．从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为（） A ．2880 B ．7200 C ． 1440 D ．60 11．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（） A ．10种 B ．20种 C ．30种 D ．40种 12．51 ()(21)ax x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）

(完整版)二项式定理典型例题

1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；

完整版排列组合二项式定理测试及答案

1?甲班有四个小组，每组成部分 10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选 1 人担任校团委部，不同的选法种数为（） 6. 若（3、X —）n 展开式中含3x 的项是第8项，则展开式中含 x A .第8项 B .第9项 C .第10项 7. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（） A 140 种 B 34 种 C 35 种 D 120 种 9.已知（x a ）8展开式中常数项为1120,其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（） x A . 28 B . 38 C . 1 或 38 D . 1 或 28 10 .某城市新修建的一条道路上有 12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 13 .不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有 ____________ . 14 . （x 2）10（x 2 1）的展开式中x 10的系数为 __________ .（用数字作答）若 c n c ； C ； C ；1=32,则 n= ________ 。 A . 18 B .72 C .36 D 3.展开式的第 7项是 ( ) 28 28 56 A ― B —一6 C 一6 a a a 4.用二项式定理计算 9.985，精确到 1的近似值为（ ) D 86 ( ) .144 56 -6 a D . 99005 5. 不同的五种商品在货架上排成一排, 则不同的排法种数共有（） A . 12 种 B . 20种其中甲、乙两种必须排在一起, 丙、丁两种不能排在一起, C . 24 种 D . 48种 1 -的项是（） 3 A . C 11 种 3 C . C 9 种 3 D . C 8 种 3 4 5 11.设(1 x) (1 x) (1 x) L (1 x)50 a 。 a 1X L 50 a 5°x ，则a 3的值是（ A . C 50 B . C 51 C . C 51 D . 2C ；0 12 .北京《财富》全球论坛期间，某高校有 14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班， 12 4 14 C 12 12 4 4 B . C 14 A 12 A 8 CuC^C D . C 14 C 12C 8 A 3 A 80 B 84 C 85 2. 6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 A . 99000 B . 99002 C . 99004

二项式定理高考试题及其答案总

二项式定理历年高考试题荟萃(一) 一、选择题 ( 本大题共 58 题) 1、二项式的展开式中系数为有理数的项共有………（） A.6项 B.7项 C.8项 D.9项 2、对于二项式（＋x3）n（n∈N），四位同学作出了四种判断：…（） ①存在n∈N，展开式中有常数项； ②对任意n∈N，展开式中没有常数项； ③对任意n∈N，展开式中没有x的一次项； ④存在n∈N，展开式中有x的一次项. 上述判断中正确的是（A）①与③（B）②与③（C）②与④（D）④与① 3、在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是…………（）（A）20，20 （B）15，20（C）20，15 （D）15，15 4、（2x3－）7的展开式中常数项是……………………………………………………… （） A.14 B.－ 14 C.42 D.－42 5、已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是……………………………………………………………() (A)28 (B)38 (C)1或 38 (D)1或28

6．若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是…………（） A.8 B.9 C.10 D.12 7 .(2x+)4的展开式中x3的系数是……………………………………() A.6 B.12 C.24 D.48 8、（－）6的展开式中的常数项为…………………………………（） A.15 B.－ 15 C.20 D.－20 9、（2x3－）7的展开式中常数项是…………………………………………（） A.14 B.－ 14 C.42 D.－42 10、若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是………………（） A.8 B.9 C.10 D.12 11、若展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于 A．4 B．6 C．8 D．10 12、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（） A.4项 B.3项 C.2项 D.1项

二项式定理练习题.doc

10.3二项式定理【考纲要求】 1、能用计数原理证明二项式定理. 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】 1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( 二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。 2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =???）（1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项（2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数。（3）注意0,1,2,,r n =??? 3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即 m n C =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。（3）所有二项式系数的和等于2n ，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--ΛΛ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛΛΛ 4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ???的性质：对于2012()n n f x a a x a x a x =++++g g g 0123(1)n a a a a a f ++++???+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+???+-=- 5、证明组合恒等式常用赋值法。【例题精讲】例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1

高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练

高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练【题型归纳】题型一二项式定理展开的特殊项例在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数．题型二求参数的值例若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值．题型三展开项的系数和例已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B

【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10 12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r r r r r r r r x C x C T -???-=--??=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ， ∴()1802128108 8=??-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型题型四二项式定理中的赋值二项式()932y x -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．【答案】（1）9 2 （2）-1 （3）2 159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919 092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9) 9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2 15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和．【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值【巩固训练】题型一二项式定理展开的特殊项 1.在 ()10 2-x 的展开式中，6x 的系数为（） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C - 【答案】A

二项式展开式专题

二项式展开式专题一、基础知识： 1、二项式()()n a b n N *+∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。

2020年高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练【题型归纳】题型一二项式定理展开的特殊项例在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数．题型二求参数的值例若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值．题型三展开项的系数和例已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B