《双曲线》教案
2.2.3双曲线的简单几何性质
一、教学目标
1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
二、教学重点、难点
重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程
(一)复习提问引入新课
1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
2．双曲线的两种标准方程是什么？
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．
(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)
引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格
(三)渐近线
双曲线的范围在以直线
b
y x
a
=和
b
y x
a
=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势
看，双曲线
22
22
1
x y
a b
-=与直线
b
y x
a
=±具有怎样的关系呢？
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线
b
y x
a
=的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：
当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．
在其他象限内也可以证明类似的情况．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字
母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精
再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．
(四)离心率
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：
变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
（五）例题讲解
例1求双曲线
22
1
43
x y
-=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,
a b c．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是
a
y x
b
=±．
练习P41 练习1
例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为4
3
，求双曲线的标准
方程。
例3求与双曲线
22
1
169
x y
-=共渐近线，且经过()
23,3
A-点的双曲线的标准方及离心率．
分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；
方法二可直接设所求的双曲线的方程为
()22
,0169
x y m m R m -=∈≠ 求双曲线2
2
916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 练习P41 练习2
例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：16
5
x =
的距离的比是常数5
4
，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则()
2
25MF x y =
-+，到直线l ：16
5
x =
的距离16
5
d x =-
，则容易得点M 的轨迹方程． 例 6 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．
（六）课堂练习
1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e 和渐近线方程． (1)16x 2－9y 2=144；(2)16x 2－9y 2=－144． 2．求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上；
曲线的方程．
点到两准线及右
焦点的距离．