三角函数中有关ω的题型(带详解答案)

三角函数中的有关ω题型（带详解答案）

类型一、 周期T 与ω的关系

1、为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )

A.98π

B.1972π

C.1992π

D.100π

至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π. B

2、设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ? ????5π8＝2，f ? ????11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )

A.ω＝23，φ＝π12

B.ω＝23，φ＝－11π12

C.ω＝13，φ＝－11π24

D.ω＝13，φ＝7π24

解答 ∵f ? ????5π8＝2，f ? ??

??11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4? ????11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ? ??

??23x ＋φ. ∴2sin ? ??

??23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. A

类型二、 单调性与ω的关系

3、若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在??????0，π3上单调递增，在区间????

??π3，π2上单调递减，则ω＝________. 解答：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3

为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.

4、若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间????

??π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.0≤ω≤23 B.0≤ω≤32 C.23≤ω≤3 D.32≤ω≤3

令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在????

??π3，π2上单调递减， 所以?????π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，

得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω>0，所以k ≥0， 又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0. 故32≤ω≤3.

5、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?

????ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在? ??

??π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )

A.11

B.9

C.7

D.5

因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－? ??

??－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在? ??

??π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ? ????11x －π4在? ????π18，3π44上单调递增，在? ??

??3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.

类型三、对称性、最值与ω的关系

6、若? ??

??π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8

因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ? ????ωx ＋π4，由题意，知f ? ????π8＝2sin ? ??

??ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. C

7、已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间????

??－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3

∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. B

8、已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2 函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. C

9、设函数f (x )＝cos ? ????ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ? ??

??π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________. 由于对任意的实数都有f (x )≤f ? ????π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ? ??

??π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23.

10、已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ? ??

??ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)

f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ? ??

??ωx －π4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z ).当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，

当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78. 综上，34≤ω≤78.

11、已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间????

??－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 显然ω≠0，分两种情况：

若ω>0，当x ∈????

??－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间????

??－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈????

??－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间????

??－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32

.

12、已知f (x )＝sin ? ????ωx ＋π3(ω>0)，f ? ????π6＝f ? ????π3，且f (x )在区间? ??

??π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝__________

依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ? ??

??π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ). ∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间? ??

??π6，π3上有最小值，无最大值， 所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.