矩阵理论2014-2015

2014‐2015学年度上学期《矩阵理论》期末试题

一. 选择题:

1. n 2 阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,则A的伴随矩阵列空间的维数为( )

A. 0

B. 1

C. n

D. 不能确定

2. 设 是n维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( )

A. σ是单映射

B. dim Im σ n

C. σ是一一对应

D. σ适合条件σ 0

3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是( )

A. e 是实的反对称矩阵

B. e 是正交矩阵

C. cos A是实的反对称矩阵

D. sin A是实的对称矩阵

4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法

① |B| 0 ②B是幂等矩阵

③ AB BA B ④r A r B

正确的有( )个

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

11?1 ,n 2, B I xx ,其中I为单位5. 设n维向量x

√

矩阵,则下列选项正确的是( )

A. ‖B‖ 1

B. ‖B‖ 1

C. ‖B‖ 1

D. ‖B‖ 1

二. 填空题:

1.设e e e e 0e

,则A . 2.设n 阶方阵A 的最小多项式为λ λ λ ? λ λ , 其中n k 2,λ ,λ ,…,λ 全不为0, 则 dim R A = ;

3. 设A 1

100

01001 ,矩阵 sinA 的Jordan 标准形J .

4. 矩阵A 111

122123

，A 的Cholesky 分解A LL ，下三角矩阵

L .

5. 设给定矩阵A 2012 ，B 102 1

, 矩阵空间R 上线性变换T 为: T X kX AXB , ?X ∈R . T 是可逆变换当且仅当参数k 满足条件 .

三. 设V 是有限维欧氏空间, u ∈V 是一个单位向量, V 上线性变换σ定义为: 对任意x ∈V , σ x x a x,u u .

(1) 试求非0实数a,使得σ是V 上正交变换.

(2) 多项式空间R x 中的内积定义如下: 对任意f x ,g x ∈R x , f x ,g x f x g x dx

. 试求R x 中向量α 1和β x 的长度; 并求正实数k 和单位向量u ∈R x , 使得上述正交变换σ将向量α变成kβ.

四. 设A 0010 11 1011 111 1 21 1110

(1)求矩阵A的一个满秩分解LR,使得L的第一列为矩阵A的最后一列, 并给出A的列空间R A 的一组基;

(2)求A的左零化空间N A 的一组基;

(3)设b 1

1

1

1

, 求向量b在线性空间R A 上的最佳近似.

(4)设σ是线性空间R 上的正交投影变换,且满足σ的像空间Im σ R A ,试求σ在标准基e ,e ,e ,e 下的矩阵.

五. 设矩阵A 1 22 12 1 1 12

.

(1)求矩阵A的Jordan标准形J;

(2)试求一个可对角化矩阵D和一个幂零矩阵N,且DN ND, 使得

A D N.

(3)计算e ;

(4)设x 0 123 . 求定解问题x t Ax t 的解.

六. 设σ是由线性空间R 到线性空间R 上的线性变换, 其中m n.

(1)试证: 存在R 到R 上的幂等变换τ,及R 到R 上的单变换φ,使得σ φ?τ

(2)令m 2,n 4, 线性变换σ为:σ x,y x,y,2x, y . 试求R 上一组标准正交基,及R 上一组标准正交基, 使得线性变换σ在这

两组基下的矩阵为对角线元素均非负的4 2矩阵.

七. 证明变换tr:X→tr X 是线性空间M R 到R的满足性质: σ XY

σ YX 及σ I n的唯一的线性变换.

需求管理过程

需求管理过程 本文件属深圳天源迪科信息技术股份有限公司所有， 未经书面许可，不得以任何形式复印或传播。 2008-1-31发布 2008-2-18 实施

文件建立/修改记录

目录 1 简介 (4) 1.1 目的 (4) 1.2 适用范围 (4) 1.3 背景描述 (4) 1.4 术语表 (4) 1.5 参考资料 (5) 2 总体描述 (5) 2.1 概述 (5) 2.2 职责分工 (5) 2.3 结构描述 (6) 3 活动描述 (7) 3.1 需求培训 (7) 3.2 建立需求跟踪矩阵 (8) 3.3 维护需求跟踪矩阵 (9) 3.4 检查一致性 (10) 3.5 采取更正行动 (11) 3.6 需求变更管理 (12) 4 附录 (13) 4.1 附录A－相关过程 (13) 4.2 附录B－相关规范、指南 (13) 4.3 附录C－相关模板列表 (13)

1简介 1.1目的 制定需求管理过程的目的是管理产品和组件的需求，识别需求与项目计划及工作产品之间的不一致，有效地控制需求变更、以及跟踪需求的演进，指导项目组管理需求。 1.2适用范围 本过程适用于公司所有的软件项目，贯穿项目的整个生命周期。 1.3背景描述 无。 1.4术语表 ●软件需求：用户解决某一问题或者得到某一目标所需的软件功能。 ●基线：基线是经过评审和批准的配置项的集合，其作用是明确划分项目各阶段，确定各阶 段的结束点。在项目的开发过程中，最基本的基线有需求基线、开发基线、发布基线等。 ●配置控制委员会(Configuration Control Board)：简称CCB，是确定配置基线，评估、批准 变更，并保证已批准变更的实施的组织。 ●需求变更：需求变更主要来自三个方面－客户、高层和开发人员。因此，无论哪一方面提 出需求变更的要求，都应当对变更请求进行评估。需求变更通常包括三项内容：新增需求、修改需求、删除需求。每一种变更都可能影响到其他需求的变化，因此在进行变更时需要利用需求跟踪记录。 ●需求跟踪：需求跟踪主要是跟踪需求及其实现之间的一致性，需求跟踪通过管理需求跟踪 记录来进行。在需求的阶段已经建立了需求跟踪记录，在后续的开发过程中，通过不断填写需求跟踪记录，将设计、开发和测试等阶段产品与需求进行一一对应。同时，在任何一个阶段发生变更时，都要检查需求跟踪记录是否需要进行变更。需求跟踪是分布在各个开发阶段之中的。 ●涉众:专指所有会受到项目结果重大影响的人。要有效地解决任何复杂的问题，就会涉及 到满足不同涉众的需要。涉众通常会对问题持有不同的观点，因而必须用所提供的解决方案来满足不同的需要。许多涉众都是系统的用户。其中许多涉众只是系统的间接用户，或者只受到系统所影响的业务结果的影响。还有许多涉众是系统的经济型买主或支持者。了解涉众的组成及其特定需要是开发有效解决方案的关键。典型的涉众有客户（或客户代表）、用户（或用户代表）、投资者、股东、生产经理、买方、项目经理、设计人员、测试

2013年工程矩阵理论期末试题A卷

杭州电子科技大学研究生考试卷（A 卷） 课程名称： 工程矩阵理论 1. 在R 2?2 中，求矩阵A=a b c d ????? ?在基 12341001000000001001????????====???????????????? E E E E ，，，下的坐标. 2. 设R [x ]4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p (x ) = 1+2x 3在基 1，x -1，(x -1)2，(x -1)3下的坐标. 3. 设1V 和2V 是线性空间 V 的两个子空间。证明维数公式： 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 4. 已知矩阵A 相似与矩阵B ，证明：trace(AB ) = trace(BA ). 5. 已知矩阵A = ??? ? ? ?????-311111002，（1）求多项式 2012()p λαλαλα=++使得 2012()At p A A A I e ααα=++= （2）说明多项式()p λ是二次多项式的理由 （3）利用（1） 的结果计算At e . 6. 利用初等变换把λ-矩阵 2 (1)0 00000(1)λλλλ+?????? +???? 化为 Smith 标准型。 7. 已知矩阵A = ???? ? ?????-00i 001i 10， （1）A 是对称矩阵还是反对称矩阵，或者都不是？ （2）A 是Hermite 矩阵还是反Hermite 矩阵，或者都不是？ （3）A 是正规矩阵吗？A 可对角化吗？A 可酉对角化吗？ （4）求酉矩阵U 使U H AU 为对角矩阵.

软件测试之软件测试报告编写指南

软件测试之软件测试报告编写指南 测试报告编写指南 由安博测试空间技术中心:///提供摘要 测试报告是把测试的过程和结果写成文档，并对发现的问题和缺陷进行分析，为纠正软件的存在的质量问题提供依据，同时为软件验收和交付打下基础。本文提供测试报告模板以及如何编写的实例指南。 关键字 测试报告缺陷 正文 测试报告是测试阶段最后的文档产出物，优秀的测试经理应该具备良好的文档编写能力，一份详细的测试报告包含足够的信息，包括产品质量和测试过程的评价，测试报告基于测试中的数据采集以及对最终的测试结果分析。 下面以通用的测试报告模板为例，详细展开对测试报告编写的具体描述。 PARTⅠ 首页 0.1页面内容： 密级 通常，测试报告供内部测试完毕后使用，因此密级为中，如果可供用户和更多的人阅读，密级为低，高密级的测试报告适合内部研发项目以及涉及保密行业和技术版权的项目。XXXX项目/系统测试报告 报告编号 可供索引的内部编号或者用户要求分布提交时的序列号 部门经理 ______项目经理______ 开发经理______测试经理______ XXX公司 XXXX单位（此处包含用户单位以及研发此系统的公司） XXXX年XX月XX日 0.2格式要求： 标题一般采用大体字（如一号），加粗，宋体，居中排列 副标题采用大体小一号字（如二号）加粗，宋体，居中排列 其他采用四号字，宋体，居中排列 0.3版本控制： 版本作者时间变更摘要 新建/变更/审核 PARTⅡ 引言部分 1.1编写目的 本测试报告的具体编写目的，指出预期的读者范围。

实例：本测试报告为XXX项目的测试报告，目的在于总结测试阶段的测试以及分析测试结果，描述系统是否符合需求（或达到XXX功能目标）。预期参考人员包括用户、测试人员、、开发人员、项目管理者、其他质量管理人员和需要阅读本报告的高层经理。 提示：通常，用户对测试结论部分感兴趣，开发人员希望从缺陷结果以及分析得到产品开发质量的信息，项目管理者对测试执行中成本、资源和时间予与重视，而高层经理希望能够阅读到简单的图表并且能够与其他项目进行同向比较。此部分可以具体描述为什么类型的人可参考本报告XXX页XXX章节，你的报告读者越多，你的工作越容易被人重视，前提是必须让阅读者感到你的报告是有价值而且值得浪费一点时间去关注的。 1.2项目背景 对项目目标和目的进行简要说明。必要时包括简史，这部分不需要脑力劳动，直接从需求或者招标文件中拷贝即可。 1.3系统简介 如果设计说明书有此部分，照抄。注意必要的框架图和网络拓扑图能吸引眼球。 1.4术语和缩写词 列出设计本系统/项目的专用术语和缩写语约定。对于技术相关的名词和与多 义词一定要注明清楚，以便阅读时不会产生歧义。 1.5参考资料 1．需求、设计、测试用例、手册以及其他项目文档都是范围内可参考的东东。 2．测试使用的国家标准、行业指标、公司规范和质量手册等等 PARTⅢ 测试概要 测试的概要介绍，包括测试的一些声明、测试范围、测试目的等等，主要是测试情况简介。（其他测试经理和质量人员关注部分） 2.1测试用例设计 简要介绍测试用例的设计方法。例如：等价类划分、边界值、因果图，以及用这类方法。 提示：如果能够具体对设计进行说明，在其他开发人员、测试经理阅读的时候就容易对你的用例设计有个整体的概念，顺便说一句，在这里写上一些非常规的设计方法也是有利的，至少在没有看到测试结论之前就可以了解到测试经理的设计技术，重点测试部分一定要保证有两种以上不同的用例设计方法。 2.2测试环境与配置 简要介绍测试环境及其配置。 提示：清单如下，如果系统/项目比较大，则用表格方式列出 数据库服务器配置 CPU：

矩阵论答案

习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4 A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2．设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注：2 A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，

编写需求跟踪矩阵指南

编写需求跟踪矩阵指南 山东中创软件工程股份有限公司 二ОО七年三月

文件变更记录*A–增加M–修改D–删节

目录 1目的 (1) 2角色和职责 (1) 3格式 (1) 4表格说明 (1) 4.1项目基本信息 (1) 4.1.1 角色等基本信息 (1) 4.2需求跟踪矩阵（纵向） (1) 4.2.1 基线标识 (1) 4.2.2 列值说明 (1) 4.2.3 注意事项 (3) 4.3 需求跟踪矩阵（横向） (4) 4.3.1 列值说明 (4) 5需求跟踪矩阵的不断完善 (4)

1目的 需求跟踪是需求管理的一项重要内容。需求跟踪的主要意义在于获得需求目前的实现状态，确保用户所有的需求都得到满足。 它的主要目标是: 维护软件工作产品间的一致性。 2角色和职责 3格式 需求跟踪矩阵采用EXCEL电子表格形式制作。具体格式请参考《需求跟踪矩阵模板》。 4表格说明 4.1项目基本信息 4.1.1 角色等基本信息 填写项目名称、项目经理、项目小组责任人、更新次数、最后更新日期、更新需求跟踪矩阵的工作量（多次更新累加）以及版本号（此为需求跟踪矩阵的版本号）等信息。 4.2需求跟踪矩阵（纵向） 4.2.1 基线标识 列出该需求跟踪矩阵中用到的各个工作产品的基线标识号。 4.2.2 列值说明 关于优先级的说明：优先级表示的是某项内容相对于同类的其他内容的优先级顺序，其取值范围为：高、中、低。如果某几项内容的优先级相同则将其优先级设为相同的值。 《用户需求说明书》 需求编号：《用户需求说明书》中描述软件需求的唯一代号（或标识）。 责任人：相关需求的责任人。 《软件需求规格说明书》

访谈问题列表 for Developer(需求,设计,编码,测试)

需求访谈 1.请说明公司怎样明确需求人员岗位职责？在哪些方面体现？ 由高层指定项目经理，由项目经理在立项会议时通知我负责这个项目的需求。这些内容都记录在《项目计划》中。 2.需求方面，公司是否有一些指导的方针？ 有的，存放在“过程改进方针.doc”中，在这里有对我的需求开发和管理的主要指导思想。这个方针是由公司高层制订的。主要内容是：需求获取，需求分析，还有根据需求做概要设计和详细设计等。 3.请你描述一下需求阶段分为几个子过程？及主要的工作是什么？ 需求阶段分为需求获取，审核和确认，需求分析，需求评审，需求管理（填写需求跟踪矩阵）等。 （1）需求获取阶段主要收集客户的需求，并整理到《用户需求说明书》，然后给客户确认，采用的方式主要是EMAIL沟通，有时会用电话，网络交流工具，面对面地访谈等； （2）《用户需求说明书》确认通过后，需求人员来填写《需求跟踪矩阵》的“用户需求”列； （3）需求分析人员根据《用户需求说明书》制定《软件需求说明书》。然后项目组人员对《软件需求说明书》进行评审。评审通过后，需求人员填写《需求跟踪矩阵》中的“软件需求”列。 4.你是如何获取项目和产品的需求？有哪些方法？ 采用的方式主要是面对面地访谈，EMAIL沟通，有时会用电话，网络交流工具等； 还有一些《问卷调查》做一些静态效果图给客户，帮助客户发现一些潜在的需求。这些都记录在用户需求说明书当中。 5.你是如何对需求分类（功能、非功能）？ 需求分为功能性需求与质量属性方面的需求。质量属性可以分为可维护性，安全性，兼容性，易用性等。 6.你是如何标识需求状态的？你采用了什么方法或工具跟踪需求的状态？ 我们在每个阶段完成时，都填写《需求跟踪矩阵》来标识需求状态； 当需求变更时，我们采用《需求跟踪矩阵》来查看每个需求的状态，了解因变更而影响的需求范围。 7.需求分析采用了哪些方法？你是如何判断这些方法符合项目要求？ 我们采用VISIO（根据实际列举所使用到的工具）工具来分析系统，并对系统进行建模，制定出系统的业务流程图和系统架构图，当《软件需求说明书》制定完成后，由项目经理组织邀请客户，开发人员，测试人员，配置人员，质量保证人员，高层参加需求评审会议，以保证需求分析是满足客户需求的，并得到大家的认可。 8.需求分析结果是否都记录?在哪里，主要内容有哪些？ 记录在《软件需求说明书》，主要的内容有系统架构图，每个功能的业务流程图及场景描述和接口需求等。 9.需求的优先级如何确定？需求程度（验证、一般），需求的稳定性？ 高——软件必须实现的功能，用户有明确的功能定义和要求； 中——软件应该实现的功能，用户的功能定义和要求可能是模糊的、不具体的、或低约束的，但是这类功能的缺少会导致用户的不满意，因此这类功能的具体需求应当由需求分析人员诱导用户产生并明确； 低——软件尽量实现的功能，并可根据开发进度进行取舍，但这类功能的实现将会增加用户的满意度。 10.你是如何与客户确定需求变更的约定？有哪些记录？ 当需求变更时，由项目经理对需求变更进行分析，主要是从需求变更所影响的范围，进度，质量和成本四个方面进行分析。 当项目经理分析后，确定这次变更的影响值，如果变更影响值小于或等于2,则由项目经理决定是否执行变更，当变更影响值大于2,则提交给CCB（变更控制委员会，由高层、客户和项目经理组成）来决定是否执行变更。 关于变更都记录在《变更申请表》、《变更控制跟踪表》等文档中。 11.需求变更的流程是如何的？ 首先填写《变更申请表》，主要内容是本次需求变更的内容，项目经理分析本次需求变更的影响值，我们这个项目影响值为“3”，由项目经理提交给CCB，高层组织我们开了一个变更决策会议，会议通过打分的方式决定变更。决策结果是执行变更。 当然，如果变更影响值为2或小于2，则可以由项目经理决定是否执行变更。

东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09

东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09 一、求C 中，V1=í?2′2的子空间V1,V2的交空间V1?V2及和空间V1+V2的基和维数，其ì?x ?èxy?üì?xy?ü|x,y?C,V=|x,y?Cy2í?y、 ÷÷y?t?è-y-x?t 二、欧氏空间R[x]3中的内积定义为：对"j,y?R[x]3， =òjydx。令a=1，b=x，h=x2， W=L。-11 求h在W中的正投影，即求h0?W，使得-h0=min-x、 x?W 三、在2′2矩阵空间C2′2上定义线性变换f如下：对任意矩阵X?C2′2， ?a2a?f=?÷，其中，a为X的迹tr。 è3a4a? 1、求f在C2′2的基E11,E12,E21,E22下的矩阵M； 2、分别求f的值域R及核子空间K的基及维数； 3、求f的特征值及相应的特征子空间的基； 4、问：是否存在C2′2的基，使得f在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？ ?1a7??÷四、根据参数a,b不同的值，讨论矩阵 A=?02b÷的Jordan标准形，并求矩 ?001÷è?

阵100的秩。 ???÷五、假设矩阵A=?002÷、 ?÷è? 1、求A的广义逆矩阵A； At 2、求一个次数不超过2的多项式f，使得f=Ae、 + 六、假设f是n维酉空间V上的线性变换，若对任意 a,b?V，有 b,=)a ) 1、证明：在V的标准正交基下，f的矩阵为Hermite矩阵； 2、证明：存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵为对角阵。 七、假设s′n矩阵A的秩为r ，证明A2￡AF￡2。 八、假设A是A?C+s′n的广义逆矩阵，证明：Cn=K?R，其中， K,R分别表示矩阵A的核空间和A+的值域、 九、假设A,B都n阶Hermite矩阵、 1、如果A是正定的，证明：存在可逆矩阵C，使得 CHAC,CHBC都是对角阵； 2、如果A,B都是半正定的，并且A的秩r=n-1，证明：存在可逆矩阵C，

CMMI3需求访谈提纲

需求访谈提纲 一、自我介绍 1、你的姓名？ 2、你担任的角色？ 3、你来公司多长时间？ 4、你参与了哪几个项目？ 5、目前项目处于什么阶段？ 二、能力（GP2.3 资源、GP2.4分配职责、GP2.5培训、OT组织培训过程域） 1、你在公司的岗位是什么？ 答：公司有岗位职责表。在《项目组岗位职责》中明确在该项目中的职责。 2、为了胜任本岗位工作，你参加过哪些方面培训？ 答：进入公司时，参加了公司的入职培训；正式上岗之前，参加了岗位培训；需求分析，Visio2003、沟通技巧。 3、项目启动时，是否进行过培训？ 答：项目启动时，项目经理依据《员工技能一览表》查看人员的技能，组织项目团队。根据项目的实际情况和人员能力要求，项目经理会制定《项目培训计划》，参加《项目培训计划》的内容参加相应的培训。举例说明你在参加项目过程中参加了哪些培训。 4、为了更好的开展你的工作，公司为你提供了哪些资源？ 答：机器设备如电脑、办公场地、办公软件等，公司还有专门一个文件《工作环境标准》明确一些资源使用的要求。 三、制度（GP3.1组织标准过程文件和裁剪） 1、你工作时主要依据哪些方针和制度（过程文件、规范、指南、模板）？ 答：需求开发的方针是保证后阶段产物与客户的需要一致，并获取客户及相关人员承诺；需求管理的方针是需求进行良好的跟踪，保证最终产品满足客户的要求。规范指南：需求的过程文件、需求分析指南等 2、文件是如何产生和更新的？ 答：我是EPG的成员（具体按照实际情况回答），参与了这些文件的编写和评审。做为PAT（过程行动组成员），在项目试点及推广时，负责对我负责的文件跟踪，收集过程改进建议。一般会通过《过程改进建议表》提交给EPG组长，EPG组长

东南大学《工程矩阵理论》06(下)工程矩阵理论统考试卷(A)

工程矩阵理论试卷（A ） 2006年10月 系别 学号 姓名 成绩 一． （20%）记22C ?为复数域C 上的22?矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，矩阵1100A -??= ??? ，{}22|V X C AX XA ?=∈=。 1．证明V 是22C ?的子空间，并求V 的基和维数； 2．假设22C ?的子空间0|,a W a b C a b b ????=?∈?? ?-???? ，求W 的基和维数； 3．求,V W V W +?的基和维数。 二． （12%）假设矩阵000 0050000310031A ?? ? ?= ?- ?-??，试求A 的广义逆矩阵A +。 三． （16%）设矩阵101101000A ?? ?=- ? ??? 。 1. 分别求A 的特征多项式及Jordan 标准型； 2. 写出A 的最小多项式； 3. 将At e 表示成关于A 的次数不超过2的多项式，并求At e 。 四． （20%）记22C ?为复数域C 上的22?矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的 线性空间，对固定的矩阵22,A B C ?∈，定义22C ?上的变换如下：对任意22X C ?∈， ()f X AXB =。 1. 证明：对给定的矩阵22,A B C ?∈，f 是22C ?上的线性变换； 2. 设1011,1000A B ????== ? ????? 。分别求11122122,,,E E E E 在f 下的像，并求f 在22C ?的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ；

3. 假设1011,1000A B ????== ? ????? ，求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的各一组 基及它们的维数； 4. 问：22()()C R f K f ?=⊕是否成立？为什么？ 五． (12%)设矩阵21000403A x ?? ?= ? ???，32020003y B ?? ?= ? ??? 。 1. 根据x 的不同的值，讨论矩阵A 的所有可能的Jordan 标准形； 2. 若A 与B 是相似的，问：参数,x y 应满足什么条件？试说明理由。 六． (10%)假设3R 的由12,ξξ 生成的子空间12(,)V L ξξ=，其中 12(0,1,0),(1,0,2)ξξ== 。设(1,0,1)η=。在V 中求向量0η，使得 0min V ξηηηξ∈-=-。 七． (10%)证明题 1. 证明：Hermite 阵和酉矩阵都是正规阵。试举一例说明存在这样的正规阵，它既不 是Hermite 矩阵，也不是酉矩阵。 2. 若n 维列向量n C α∈的长度小于2，证明：4H I αα-是正定矩阵。

中科院矩阵分析_第二章

第 2 章范数理论及其应用 2.1向量范数及I p范数 定义：如果V 是数域K 上的线性空间，且对于 V的任一向量x，对应一个实数值ixil,它满足以下三个条件： 1）非负性：||x|| 0,且||x||=0 x=0; 2）齐次性：iikxii=iki iixii，k K； 3）三角不等式：||x+y|| ||x||+||y||. 则称||x|为V上向量x的范数，简称为向量范数。 可以看出范数||||为将V映射为非负数的函数。注意：2）中|k|当K为实数时为绝对值， 当K 为复数域时为复数的模。 虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n 维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复（或实）列向量空间, 因此下面我们仅仅讨论n 维复（或实）列向量空间就足够了下面讨论如下：1?设||||为线性空间V n的范数，任取它的一个 基X i,X2,…,X n,则对于任意向量X,它可以表示为 x= 1X1+ 2X2+ …+ n X n 其中，（1, 2,…,n）T为X的坐标。 由此定义C n（或R n）中的范数如下： || ||C = （） = || 1X1+ 2X2+ …+ n X n|| 则容易验证|| ||C确实为C n中的范数. 2?反之，若|| |C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||X||= （X）=|| ||c 其中X= 1X1+ 2X2+ …+ n X n。 则容易验证（X）确实为V n的范数。 这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维 复（或实）列向量空间的范数之间的关系。这也是为我们只讨论n 维复（或实）列向量空间的范数的理由. 范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。 范数与函数 性质 1. 范数是凸函数， 即|| （1 ）X+ y|| （1 ）||X||+ ||y|| 其中0

上海交大研究生矩阵理论答案

n k r n n 1 2 习题 一 1．（ 1）因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ，故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx （ 2）直接计算得 A 4 E ，故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ，则 A n A 4 k A r ( 1) A ， 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 （ 3 ）记 J= ，则 ， 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 ， 其中 P 为任意满秩矩阵，而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注： A 2 E 无实解， A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 1

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0 的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此 即对称矩阵组成(1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间， 只需找出(1) 2 n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这 (1) 2n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=????+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++= 1210,3x x x +==

东南大学《工程矩阵理论》试卷09-10-A

一. （10％）求22×C 的子空间12,V V 的交空间12V V ∩及和空间12V V +的基和维数，其中，V x ∈?． 12,y ?????? |,|,C V x ???=∈??????x y x y x y y x ??=??????y C ??二. （10%）欧氏空间3[]R x 中的内积定义为：对3(),()[]x x R x ?ψ?∈， )1 1(),()()(x x ?ψ?<>∫x ?ψ=x dx 。令1α=，x β=，2x η=， (,)W L αβ=。求η在W 中的正投影，即求0W η∈，使得 0min W ξηηη∈ξ?=?． 三. （20%）在22×矩阵空间22C ×上定义线性变换f 如下：对任意矩阵22X C ×∈， ?，其中，a 为234a a a a ?()f X ??=?? X 的迹()tr X 。 1. 求f 在22C ×的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ； 2. 分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及维数； 3. 求f 的特征值及相应的特征子空间的基； 4. 问：是否存在22C ×的基，使得f 在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？ 四. （10%）根据参数,a b 不同的值，讨论矩阵b ??的Jordan 标准形，并求矩阵100的秩。 1702001a A ???=????? ()A I ?五. （14%）假设矩阵． 101002101A ????=?????? 1. 求A 的广义逆矩阵A + ； 2. 求一个次数不超过2的多项式()f λ，使得()At f A Ae =． 六. （10%）假设f 是n 维酉空间V 上的线性变换，若对任意,V αβ∈，有())((),)(,f f αβα=β。 1. 证明：在V 的标准正交基下，f 的矩阵为Hermite 矩阵； 2. 证明：存在V 的一组标准正交基，使得f 的矩阵为对角阵。 七. （8%）假设s n ×矩阵A 的秩为r ，证明22F A A A ≤≤。

东南大学工程矩阵理论样卷及答案1

工程矩阵理论试卷样卷10a 一、假如n n A C ?∈。 1、记} { ()n n V A X C AX XA ?===。证明：()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，求()V A 。 3、若2n =，0011A ?? = ?-?? 。求这里V （A ）的一组基及其维数。 4、假如} { 22 ()W A X C AX O ?===。问：对上一题中的()V A 和()W A ，()()V A W A +是否为直和？ 说明理由。 解： 1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有,()x y V A ∈，()()x y V A +∈，()kx V A ∈。 设,()x y V A ∈，k F ∈， ()()A x y A x A y x A y A x y A +=+=+=+，()()x y V A +∈∴ ()( )A k x k A x k x A k x A ===， ()kx V A ∈∴ ∴()V A 是n n C ?的子空间。 2、若A 是单位矩阵，则} { ()n n V A X C IX XI ?===，因为对单位阵I 来说，IX XI =恒成立，故， ()n n V A C ?=。 3、若2n =，0011A ??= ?-??，设a b X c d ?? = ??? ，有AX XA =，即， 000011110 00a b a b c d c d b b a c b d d d b a c d b d d ???????? = ??? ???--???????? -????= ? ? ---???? =?? -=??-=-? ，有0b a c d =??-=?，故0a X c a c ??= ?-??=0000a c c a ????+ ? ?-???? 故X 的一组基为00101101,???? ? ?-???? ，维数为2。

需求跟踪矩阵编写指南

需求跟踪矩阵编写指南 山东中创软件工程股份有限公司 二ОО七年三月

文件变更记录*A–增加M–修改D–删节

目录 1目的 (1) 2角色和职责 (1) 3格式 (1) 4表格说明 (1) 4.1项目基本信息 (1) 4.1.1 角色等基本信息 (1) 4.2需求跟踪矩阵（纵向） (1) 4.2.1 基线标识 (1) 4.2.2 列值说明 (1) 4.2.3 注意事项 (3) 4.3 需求跟踪矩阵（横向） (4) 4.3.1 列值说明 (4) 5需求跟踪矩阵的不断完善 (4)

1目的 需求跟踪是需求管理的一项重要内容。需求跟踪的主要意义在于获得需求目前的实现状态，确保用户所有的需求都得到满足。 它的主要目标是: 维护软件工作产品间的一致性。 2角色和职责 3格式 需求跟踪矩阵采用EXCEL电子表格形式制作。具体格式请参考《需求跟踪矩阵模板》。 4表格说明 4.1项目基本信息 4.1.1 角色等基本信息 填写项目名称、项目经理、项目小组责任人、更新次数、最后更新日期、更新需求跟踪矩阵的工作量（多次更新累加）以及版本号（此为需求跟踪矩阵的版本号）等信息。 4.2需求跟踪矩阵（纵向） 4.2.1 基线标识 列出该需求跟踪矩阵中用到的各个工作产品的基线标识号。 4.2.2 列值说明 关于优先级的说明：优先级表示的是某项内容相对于同类的其他内容的优先级顺序，其取值范围为：高、中、低。如果某几项内容的优先级相同则将其优先级设为相同的值。 《用户需求说明书》 需求编号：《用户需求说明书》中描述软件需求的唯一代号（或标识）。 责任人：相关需求的责任人。 《软件需求规格说明书》

矩阵分析几何意义的整理

矩阵分析几何意义和透彻理解PCA的一些整理这是几篇很不错的文章集合在一起的一篇文章，有些内容来自blog，有些来自文献和教程，解决了我遇到很多疑问，感谢把它推荐给我的人。前四部分来自早期几篇blog，把空间描述的形象且易懂，适合我们这些非数学专业的人搞明白一些抽象的问题。 一、矩阵的特征值概述：矩阵特征值要讲清楚需要从线性变换入手，把一个矩阵当做一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比。这样的一些向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望把原先的线性空间分解成一些向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理。 自相关矩阵最大特征值和特征向量并没有和原来的哪个信号一一对应，而且特征分解本身的含义相当于对原来的信号做了这样的正交分解。使得各个分量之间相互不相关，也就是K—L展开，每一个特征值相当于原来各个信号导向矢量的线性组合，因此不能仅仅从某个特征矢量中直接对应原来某个信号的特征。 二、线性空间和矩阵的几个核心概念： 空间（space）：空间的数学定义是一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质，就可以被称为空间。 我们所生活的空间是一个三维欧几里德空间，我们所生活空间的特点： （1）有很多（实际上是无穷多个）位置点组成 （2）这些点之间存在着相对关系。 （3）可以咋空间中定义长度、角度。 （4）这个空间可以容纳运动（从一个点到一个点的移动，而不是微积分意义上的“连续”性运动） 第（4）点是空间的本质特征，（1）、（2）两点是空间的基础而非性质，第（3）点在其他空间也行并不具备，自然更不是关键的性质。只有第（4）点是空间的本质。 把三维空间的认识拓展到其他空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规律的运动（变换）。我们会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如：拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间允许的运动形式而已。 例1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中每一个对象是一个多项式。如果我们以X0,X1,X2,…..,Xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分离ai其实就是多项式Xi-1项系数。

工程矩阵理论试题A

杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论 一、单项选择题（每题4分，共20分） 1. 设A∈C m?n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是： （1）存在且唯一（2）存在但不唯一 （3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设A∈C n?n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!, （1）收敛于零（2）发散 （3）收敛与否与具体A有关（4）收敛 3. 设A∈C n?n满足A3= E，则下列说法正确的是： （1）A的最小多项式与特征多项式相同 （2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n （4）不能确定A是否可对角化 4. 设A为n阶方阵，则有： （1）R(A) ⊕ N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n （3）R(A) ⊕ N(A T )= C n, （4）R(A T) ⊕ N(A T)= C n 5. 设A为n阶Hermite矩阵，则： （1）A的n个特征值全大于零 （2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E （3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R （4）存在酉矩阵U使得U H AU=Λ，其中Λ为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分） 1. 设ε 1, ε 2 , ε 3 为3维线性空间V的一组基，σ是V到自身的一个线性变换。σ在基ε 1 , ε 2 , ε 3 下的

矩阵为???? ??????3332 31 232221 1312 11 a a a a a a a a a ，则σ在基ε3, 2ε2, 3ε1下的矩阵为。 2. 设方阵A 满足A 2 = 3A, 则sin (3A ) = 。 3. 矩阵A = diag 21312,,0203? ????? ? ????????? ?，则A 的最小多项式为 。 4. 设X = (x 1, x 2, , x n )T 为变向量，α = (a 1, a 2, , a n )T 为常向量，H = (h ij )n ?n 为常矩阵，则： ， () =HX X X T D D 。 5. 设A ∈C n ?n 为Hermite 矩阵，X ∈C n ，A 的n 个特征值为λ1，λ2， ，λn ，满足λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ， 则： X X AX X H X H 0max ≠ = 。 三、计算和证明题(1-4题，每题10分，第五题20分，共60分) 1. 已知矩阵A = 1 0111113??????-???? ， （1）求多项式212 0)(αλαλαλ++=p 使得At e I A A A p =++=2120)(ααα （2）说明多项式)(λp 是二次多项式的理由 （3）利用（1）的结果计算At e . 2. 设矩阵A 的奇异值分解为：H V U A ??????∑=000，其中),,(diag 1r σσ =∑。验证H U V A ?? ????∑=-+ 00 01是矩阵A 的Penrose-Moore 逆。 3. 证明：12121122()() A A B B A B A B ??=? 4 利用初等变换把λ-矩阵???? ??????++2)1(000000 )1(λλλλ化为Smith 标准型。 5 设方阵A 、B 满足AB = BA 证明 ( 1 ) N(A ) 是B 不变子空间 （2）()At Bt A B t e e e +=

测试申请表

测试申请表 申请单编号： 项目编号项目名称胜东社区技术监督管理系统版本号V1.0 项目经理王鹏 开发周期人日申请日期2012年03月02日 预计提交测试日期2012年03月02日期望完成日期2012年03月10日 开发平台: Eclipse3.2、J2EE 开发语言: JA V A 软件安装、运行所需要的软、硬件环境： Windows2003、jboss-4.2.3.GA、mysql5.0 测试类型软件产品附带文档及说明 功能测试√业务需求规格说明书 （必备）需求变更记录 （必备） 软件需求规格说明书需求跟踪矩阵 （两者至少有一个）性能测试 提供业务需求规格说明书中对性能的说明（必备） 安全性测试 提供描述系统安全指标的说明（必备） 接口测试 提供描述系统接口的说明（必备） 系统概要设计说明书（必备）、系统详细设计说明书 安装/卸载测试系统安装程序（必备）系统安装手册（必备） UI测试 提供描述UI测试的相关要求（必备） 易用性测试 提供易用性测试的相关要求（必备） 兼容性测试提供测试软件在特定的硬件/软件/操作系统/网络等环境下的性能情况及兼容性要求（必备） 其他测试类型

测试部门意见： 签字：__________日期：__________特殊情况领导意见： 签字：__________日期：__________ 系统测试范围列表 系统名称（若项目存在多个子系统，请分开罗列） 功能模块开发人员状态优先级对其他模块的影响

填写说明： 1、使用范围：该表格适用于济南广域软件有限责任公司，项目组提交测试申请时必须填写的表单，作为 接收、处理任务的依据。 2、申请单编号，由测试部门填写，该编号表示为“项目名称—TR—号码”。 3、特殊情况指正常情况下不予测试，如缺少必备文档等，需领导签字后才能进入测试流程。 4、功能列表上所列出来的功能必须是可以实现的，如果不能实现，请不要列上，并且功能在用户手册上 都要有详细的描述和操作说明。 【状态】：新增，修改等。主要用于在多次测试中，本次提交的功能较之于之前版本而言的，是新增加的功能，还是在原功能上进行修改的。 【优先级】：可选项为高级、中级、低级；项目功能定义优先级后，将会对级别高的功能进行优先测试。 【影响】：状态为新增加的模块或者修改的模块，对其他功能模块的影响；简言之，即所影响到的模块。 5、运行环境：软件运行所需的最低软/硬件要求，如操作系统、数据库、其它应用软件等；使用的CPU（类 型和频率）/内存（类型和大小）/硬盘（容量和转速），网络环境等 6、开发工具：软件开发过程中使用的工具，如VB、VC等 7、需提交的材料：软件测试申请表、软件测试范围列表

2016年PMP考试试题及答案

2016年PMP考试试题及答案（1-69） 1、以下哪项基准可用于评估请求的变更或额外的工作是否包含在项目边界之内？ A、项目管理计划 B、项目范围说明书 C、项目范围管理计划 D、工作分解结构词典 2、在项目执行阶段，你发现分包商在按照不完整并且不同的范围说明进行工作。作为项目经理，你应该首先作什么？ A按照正确的范围说明书检查完成的工作 B与项目干系人一起审核工作范围 C用文档记录下管理中的不一致之处并计算不一致的成本 D在工作范围未完整之前停止工作 3、下列关于分解的说法，错误的是____。 A、工作包是工作分解结构的底层 B、分解的对象是为提交所需可交付成果而实施的工作 C、工作分解结构是以可交付成果为导向的工作层级分解 D、“工作分解结构”中的“工作”是指为完成工作付出的“努力(effort)”本身(这个是活动了) 4、以下关于产品范围和项目范围的说法，哪个是正确的？() A、项目范围服务于产品范围 B、项目范围的变化必然引起产品范围的变化 C、产品范围的变化必然引起项目范围的变化 D、产品范围服务于项目菹围 5、你是某主要合同的分包商的项目经理。总承包商曾要求你以具体详尽的方式管理工作。你首先要采取的步骤是___。 A、遵循总承包商为项目制定的工作分解结构，并利用你在建议书中确定的工作包 B、为由你公司负责的工作包制定一个子项目工作分解结构 C、设立类似于总承包商所用的编码结构，以促进对通用项目管理信息系统的利用 D、编制工作分解结构词典，以说明具体的人员分配 6、下列哪个文件详细描述了项目的可交付成果，以及为提交这些可交付成果而必须开展的工作? A、项目管理计划 B、项目章程 C、工作分解结构 D、项目范围说明书 7、项目团队通过让干系人填写问卷，从而了解于系人的需求状况，这是什么过程? A、收集需求 B、定义范围