高二立体几何试题(详细答案)
高二数学立体几何
一、选择题： (本大题共12小题,每小题3分,共36分.) 1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=则a 与b 的夹角等于 A ．90°
B ．30°
C ．60°
D ．150°
2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 A ．0=+++OC OB OA OM
B ．O
C OB OA OM --=2
C ．OC OB OA OM 4
13
12
1++= D ．0=++MC MB MA 3、下列命题不正确的是
A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；
B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直；
C ．两异面直线的公垂线有且只有一条；
D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为 ①
//m n n m αα??⊥?⊥?②//m m n n αα⊥???⊥?③//m m n n αα⊥??⊥??④//m n m n αα?
?⊥?⊥?
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是
A ．各侧面是正三角形
B ．底面是正方形
C ．各侧面三角形的顶角为45度
D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上
6、若点A （42
+λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为
A ．1，－4，9
B ．2，－5，－8
C ．－3，－5，8
D ．2，5，8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 A ．2F+V=4 B ．2F －V=4 C ．2F+V=2 （D ）2F －V=2 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 A ．
239 B ．433 C ．233 D ．4
3
9 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则
A ．θ=600
B ．θ=450
C ．52cos =
θ D ．5
2sin =θ 10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积
之比是
A ．2∶π
B ．1∶2π
C ．1∶π
D ．4∶3π
11、设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=?AC AB ，0=?AD AC ，0=?AD AB ，则△BCD 是
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．不确定
12、将B ∠=600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若∈θ[60°,120°], 则折后
两条对角线之间的距离的最值为
A ．最小值为43, 最大值为23
B ．最小值为43, 最大值为43
C ．最小值为41, 最大值为43
D ．最小值为43, 最大值为23
二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分）
13、已知向量a r 、b 满足|a r | = 3
1
，|b | = 6，a r 与b 的夹角为3
π，则3|a r |－2（a r ·b ）+4|b | =________；
14、如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为 时，体积V P
－AEB
恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．
A
B
C
D
E
P
15、若棱锥底面面积为2
150cm ，平行于底面的截面面积是2
54cm ，底面和这个截面的距离是12cm ，则棱锥的高为 ；
16、一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 三、解答题：（本大题共6题，共46分）
17.在如图7-26所示的三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ， PA=AC=1，PC=BC ，PB 和平面ABC 所成的角为30°。
（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；
（2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小；
（3）求AB的中点M到直线PC的距离。
18．如图8-32，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1。
（1）求证：BE=EB1；
（2）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。
19.已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G（如图7-28），将此三角形沿DE折成二面角A′—DE—B。
（1）求证：平面A′GF⊥平面BCED；
（2）当二面角A′—DE—B为多大时，异面直线A′E与BD互相垂直？证明你的结论。20.如图7-29，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，
AD=2，侧棱PB=15，PD=3。
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小。
21.如图7-30，已知VC 是△ABC 所在平面的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，且N 位于△ABC 的高CD 上。AB=a,VC 与AB 之间的距离为h ，M ∈VC 。
（1）证明∠MDC 是二面角M —AB —C 的平面角； （2）当∠MDC=∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ； （3）若∠MDC=∠CVN=θ（0<θ<
2
），求四面体MABC 的体积。
22.如图7-31，已知矩形ABCD ，AB=2AD=2a,E 是CD 边的中点，以AE 为棱，将△DAE 向上折起，将D 变到D ′的位置，使面D ′AE 与面ABCE 成直二面角（图7-32）。
（1）求直线D ′B 与平面ABCE 所成的角的正切值； （2）求证：AD ′⊥BE ；
（3）求四棱锥D ′—ABCE 的体积； （4）求异面直线AD ′与BC 所成的角。
高二数学立体几何 答案
一、选择题：
1、D
2、D
3、B
4、C
5、A
6、B
7、B
8、B
9、C 10、C 11、C 12、B 二、填空题：
13、23 14、AB ∥CD 15、30cm 16、3π 三、解答题
17.解 （1）由已知PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，得△PAC 为等腰直角三角形，PC=CB=2。 在Rt △PAB 中，∠PBA=30°，∴PB=2，∴△PCB 为等腰直角三角形。 ∵PA ⊥平面ABC ， ∴AC ⊥BC ，又AC ∩PC=C ，PC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAC ，∵BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC 。
（2）三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面PAC 的面积为
2
1
，侧面PAB 面积值为23，侧面
PCB 面积值为1，底面积值为
2
2
。三个侧面面积的算术平均数为633+。
∵
633+-2
2=62
333-+，
其中3+3- 32=（3-22）+（3-2）=（9-8）+（3-2）>0, ∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。 （3）如图，过M 作MD ⊥AC ，垂足为D 。
∵平面PAC ⊥平面ABC 且相交于AC ，∴MD ⊥平面PAC 。
过D 作DE ⊥PC ，垂足为E ，连结ME ，则DE 是ME 在平面PBC 上的射影， ∵DE ⊥PC ，∴ME ⊥PC ，ME 的长度即是M 到PC 的距离。
在Rt △ABC 中,∵MD ∥BC ，∴MD=
2
1BC=22。在等腰Rt △PAC 中，DE=DCsin45°=42，
在Rt △ABC 中,∵MD ∥BC ，∴MD=
2
1BC=22。在等腰Rt △PAC 中，DE=DCsin45°=42，
∴ME=2
2DE MD +=
8121+=4
10，即点M 到PC 的距离为 4
10
。 18.解 （1）在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足。∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1，取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC 得BF ⊥AC 。∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，得BF ∥EG 。由BF ，EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG 。∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE=FG 。∵BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1。又△AA 1C ∽△FGC ，且AF=FC ，∴FG=
21AA 1=21BB 1，即BE=2
1
BB 1，故BE=EB 1。 （2）分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D 。∵EB 1∥CC 1，EB 1=
21BB 1=2
1
CC 1，∴DB 1=21DC 1=B 1C 1=A 1B 1。∵∠B 1A 1C 1=∠B 1C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=2
1(180°-∠
DB 1A 1)=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即DA 1⊥A 1C 1。∵CC 1⊥平面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C 1，∴∠CA 1C 1是所求二面角的平面角。∵CC 1= AA 1=A 1B 1=A 1C 1, ∠A 1C 1C=90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°。
19.解 （1）∵△ABC 是正三角形，AF 是BC 边的中线， ∴AF ⊥BC 。
又D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥
2
1
BC 。 ∴AF ⊥DE ，又AF ∩DE=G ， ∴A ′G ⊥DE ，GF ⊥DE ， ∴DE ⊥平面A ′FG ， 又DE 平面BCED ， ∴平面A ′FG ⊥平面BCED 。
（2）∵A ′G ⊥DE ，GF ⊥DE ，
∴∠A ′GF 是二面角A ′—DE —B 的平面角。 ∵平面A ′GF ∩平面BCED=AF ，
作A ′H ⊥AG 于H ， ∴A ′H ⊥平面BCED 。
假设A ′E ⊥BD ，连EH 并延长AD 于Q ，则EQ ⊥AD 。 ∵AG ⊥DE ，
∴H 是正三角形ADE 的重心，也是中心。 ∵AD=DE=AE=
2a ，∴A ′G=AG=43a,HG=3
1
AG=123a 。
在Rt △A ′HG 中，cos ∠A ′GH=
G A HG '=3
1. ∵∠A ′GF =π-∠A ′GH, ∴cos ∠A ′GF= -31，∴∠A ′GF=arcos(-3
1)， 即当∠A ′GF=arcos(-
3
1
)时，A ′E ⊥BD 。 20.解 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°， 得BD 2=AD 2+AB 2-2AD ·ABcos60° =4+16-2×2×4×2
1
=12。 ∴AB 2=AD 2+BD 2，
∴△ABD 是直角三角形，∠ADB=90°， 即AD ⊥BD 。
在△PDB 中，PD=3，PB=15，BD=12， ∴PB 2=PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD 。 又PD ∩AD=D ，∴BD ⊥平面PAD 。 （2）∵BD ⊥平面PAD ，BD 平面ABCD ，
∴平面PAD ⊥平面ABCD 。
作PE ⊥AD 于E ，又PE 平面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ， ∴∠PDE 是PD 与底面BCD 所成的角，∴∠PDE=60°， ∴PE=PDsin60°=3·
23=2
3。 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BC ，∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角。 又EF=BD=12，∴在Rt △PEF 中，
tan ∠PFE=EF PE
=3223
=4
3。
故二面角P —BC —A 的大小为arctan
4
3。 21.解 （1）由已知，VN ⊥平面ABC ，N ∈CD ，AB 平面ABC ，
得VN ⊥AB 。又∵CD ⊥AB ，DC ∩VN=N ∴AB ⊥平面VNC 。
又V 、M 、N 、D 都在VNC 所在平面内，
所以，DM 与VN 必相交，且AB ⊥DM ，AB ⊥CD ， ∴∠MDC 为二面角M —AB —C 的平面角。 （2）由已知，∠MDC=∠CVN ，
在△VNC 与△DMC 中，∠NCV=∠MCD ，且∠VNC=90°， ∴∠DMC=∠VNC=90°，故有DM ⊥VC 。又AB ⊥VC ， ∴VC ⊥平面AMB 。
（3）由（1）、（2）得MD ⊥AB ，MD ⊥VC ，且D ∈AB ，M ∈VC ， ∴MD=h 。又∵∠MDC=θ. ∴在Rt △MDC 中，CM=h ·tan θ。 ∴V 四面体MABC =V 三棱锥C —ABM =3
1
CM ·S △ABM =
31h ·tan θ·21ah =6
1
ah 2tan θ 22.解 （1）∵D ′—AE —B 是直二面角， ∴平面D ′AE ⊥平面ABCE 。
作D ′O ⊥AE 于O ，连 OB ，则D ′O ⊥平面ABCE 。 ∴∠D ′BO 是直线D ′B 与平面ABCE 所成的角。 ∵D ′A=D ′E=a ，且D ′O ⊥AE 于O ，∠AD ′E=90° ∴O 是AE 的中点， AO=OE=D ′O=
2
2
a, ∠D ′AE=∠BAO=45°。
∴在△OAB 中，OB=???-+AB cos45222OA AB OA
=2
22a)
)(22(2)·2()22(
22a a a ?-+=210a 。 ∴在直角△D ′OB 中，tan ∠D ′BO=OB
O
D '=55。 （2）如图，连结B
E ， ∵∠AED=∠BEC=45°， ∴∠BEA=90°， 即BE ⊥AE 于E 。 ∵D ′O ⊥平面ABCE ， ∴D ′O ⊥BE ， ∴BE ⊥平面AD ′E ， ∴BE ⊥AD ′。
（3）四边形ABCE 是直角梯形， ∴S ABCE =
21（a+2a ）·a=2
3
a 2。 ∵D ′O 是四棱锥的高且D ′O=
2
2
a, ∴V D ′—ABCE =
31（22a ）·（2
3a 2）=42a 3。
（4）作AK ∥BC 交CE 的延长线于K ， ∴∠D ′AK 是异面直线AD ′与BC 所成的角， ∵四边形ABCK 是矩形， ∴AK=BC=EK=a 。 连结OK ，D ′K, ∴OK=D ′O=
2
2
a, ∠D ′OK=90°, ∴D ′K=a, AK=AD ′=D ′K=a 。 ∴△D ′AK 是正三角形，∴∠D ′AK=60°， 即异面直线AD ′与BC 成60°
立体几何高考题_模拟试题带答案解析
. .. . 2014 高考及模拟立体几何带答案 一．解答题（共17小题） 1．（2014?）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC 的中点． （Ⅰ）求证：AP∥平面BEF； （Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC． 2．（2014?）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 （Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 3．（2014?）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2． （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD； （Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°． 4．（2014?）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC． 5．（2014?一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求四面体PEFC的体积． 6．（2014?南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点． （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求证：OE∥平面PDC； （Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值． 7．（2014?天津模拟）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2． （1）求证：B1B∥平面D1AC； （2）求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1．
高二数学-空间向量与立体几何测试题
1 / 10 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1
立体几何练习题及答案
… 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15
6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C
高二数学立体几何试题及答案
【模拟试题】 一.选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有 ________ 个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3,它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 2 14 D. 4 14 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 8 2cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是 （） 1亠2二1亠4二1亠2二1亠4二 A. 2 二 B. 4 二 C. ■: D. 2 二 6. 已知直线1-平面 '，直线m 平面1，有下面四个命题： ①：/ /I- = |_m ?②：-=l / /m ?③ l //m二:.?④ l_m= ■■ II-。 其中正确的两个命题是（） A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ A. 6后cm B. 6cm C. 2^18 D. *‘12
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
立体几何测试题带答案解析
内且与平而平行的直线 A.有无数条 B.有2条 姓名 ____________ 班级 _____________ 学号_____________ 分数 ________________ 3?厶仏仏是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A. 人丄S 厶亠厶/仏 B. 厶丄z 2/z 2///3=>z, 113 C. /2//Z 3///3=>厶丄仏共面 D . I }J 2J 3共点共面 4. 如图 JE 方体 ABCD -t E f F e 分别为棱AB f CC x 的中点准平而ADD.A. ?、选择题 1.下列说法正确的是 A.三点确定一个平而 C.梯形一泄是平而图形 个交点 2 .若 a p a p p u0 止视图 左視图 ( ) B.四边形一立是平而图形 D ?平而G 和平而”有不同在一条直线上的三 8A /3 俯矗图 12龙 24兀 36兀 48龙 a b c a c b 爲4 A " 3 3 C.2U D.28^ B ?14兀 E B
二.填空题 5. 已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图.侧视图都是由半圆和矩形组成，根据 图中标出的尺寸,计算这个几何体的表而积是______ ? 正视图侧视图 僻视因 6. 如图准正方体ABCD-A^QD,中，点P是上底而ABC?内 一动点，则三棱锥P-ABC的主视图与左视图的而积的比值 为_________? 7?如图,正方体ABCD — AQCQ中,AB = 2, AD的中点，点F在CD上，若EF //平面 AB{C, EF= _________ ? 8. 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体，则水 而在容器中的形状可以是:⑴三角形;⑵矩形;⑶正方形;⑷正六边形.苴中正确的结论是?（把你认为正确的序号都填上） 三、解答题 9. 如图1,空间四边形ABCD中，E, H分別是边AB, AQ的中点，F，G分别是边BC, CD上的点，且——=求证：直线EF, GH、AC交于一点? CB CD 3
空间立体几何练习题(含答案)
第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图
高二立体几何试题(详细答案)
一、选择题： (本大题共12小题,每小题3分,共36分.) 1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=则与的夹角等于 A ．90° B ．30° C ．60° D ．150° 2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 A ．0=+++OC OB OA OM B ．O C OB OA OM --=2 C ．4 13 12 1++= D ．0=++ 3、下列命题不正确的是 A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直； C ．两异面直线的公垂线有且只有一条； D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为 ①//m n n m αα??⊥?⊥?②//m m n n αα⊥???⊥?③//m m n n αα⊥??⊥??④//m n m n αα??⊥?⊥? A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 A ．各侧面是正三角形 B ．底面是正方形 C ．各侧面三角形的顶角为45度 D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 6、若点A （42 +λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为 A ．1，－4，9 B ．2，－5，－8 C ．－3，－5，8 D ．2，5，8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 A ．2F+V=4 B ．2F －V=4 C ．2F+V=2 （D ）2F －V=2 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 A ． 239 B ．433 C ．233 D ．4 3 9 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则 A ．θ=600 B ．θ=450 C ．52cos = θ D ．5 2 sin =θ
立体几何测试题带答案解析
____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题 1 ．下列说确的是 （ ） A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形 C ．梯形一定是平面图形 D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三 个交点 2 ．若α//β,a//α,则a 与β的关系是 （ ） A ．a//β B ．a β? C ．a//β或a β? D ．A a =β 3 ．三个互不重合的平面能把空间分成n 部分，则n 所有可能值为 （ ） A ．4、6、8 B ．4、6、7、8 C ．4、6、7 D ．4、5、7、8 4 ．一个体积为123 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为 （ ） A ．36 B ．8 C ．38 D ．12 5 ．若直线l ∥平面α,直线a α?,则l 与a 的位置关系是 （ ） A ．l ∥a B ．l 与a 异面 C ．l 与a 相交 D ．l 与a 没有公共点 6 ．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为 （ ） A ．1:2:3 B ．1:4:9 C ．2:3:4 D ．1:8:27 7 ．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为 （ ） A ．π12 B ．π24 C ．π36 D ．π48 8 ．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 6 5 6 5
9 ．设正方体的棱长为 23 3,则它的外接球的表面积为 （ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π3 4 10．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球的 表面积为 A .π7 B .π14 C .π21 D .π28 11．1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 （ ） A ．12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥ C ．233////l l l ? 1l ,2l ,3l 共面 D ．1l ,2l ,3l 共点?1l ,2l ,3l 共面 12．如图,正方体1111ABCD A B C D 中,E ,F 分别为棱AB ,1CC 的中点,在平面11ADD A 且与平面1D EF 平行的直线 （ ） A ．有无数条 B ．有2条 C ．有1 条 D ．不存在 二、填空题 13．已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根 据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是______. 14．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是上底面1111A B C D A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F
高二空间几何练习题
练习1 一、选择题： 1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是 （ ） A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行 B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交 C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行 D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行 2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定 3．在正方体1111ABCD A BC D -中， M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( ) Ａ．19 Ｂ．23 Ｃ．Ｄ．4．已知平面α⊥平面β,m 是α内的一直线,n 是β内的一直线,且m n ⊥，则:①m β⊥； ②n α⊥；③m β⊥ 或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。这四个结论中，不正确．．． 的三个是( ) Ａ．①②③Ｂ．①②④Ｃ．①③④Ｄ．②③④ 5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是 ( ) A. 4 B.5 C. 6 D. 8 6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ） ( ) A. R π4 2 B.R 3π C.R 2π D.3R 7. 直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有下列四个命题： (1)m l ⊥?βα//(2)m l //?⊥βα(3) βα⊥?m l //(4)βα//?⊥m l 其中正确的命题是 ( ) A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4) 8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是 ( ) A.6 0π α< < B. 4 6 π απ < < C. 3 4 π απ < < D. 2 3 π απ < < 9．ABC ?中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=?，ABC ?所在平面α外一点P 到点A 、 B 、 C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为 ( ) Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．13 10．在一个45?的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45?，则此直线与二面角的 另一个平面所成角的大小为 ( ) Ａ．30? Ｂ．45? Ｃ．60? Ｄ．90? 11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点,沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D.给出下列位置关系: ①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED, 其中成立的有: ( ) Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④
2015-2017立体几何全国卷高考真题
2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【分析】设圆锥底面半径为r ，则 12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质和圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后和半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【分析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
高二数学立体几何试题及答案
【模拟试题】 一. 选择题（每小题 5 分，共60 分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 2 14 D. 4 14 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 8 2cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是 （） 1 2 1 4 1 2 1 4 2 B. 4 C. 2 A. D. 6. 已知直线l 平面，直线m 平面，有下面四个命题： ①/ / l m；②l / /m ；③l / /m ；④l m / / 。 其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（） 2 A. 6 3cm B. 6cm C. 2 18 3 D. 3 12 1
立体几何测试题带答案解析
姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题 1 ．下列说法正确的是（） A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三 个交点 2 ．若α//β,a//α,则a与β的关系是（） A．a//βB．aβ ?C．a//β或aβ ?D．A a= β I 3 ．三个互不重合的平面能把空间分成n部分，则n所有可能值为（） A．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8 4 ．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为 （）A．3 6B．8 C．3 8D．12 5 ．若直线l∥平面α,直线aα ?,则l与a的位置关系是（）A．l∥a B．l与a异面C．l与a相交D．l与a没有公共点 6 ．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（） A．1:2:3 B．1:4:9 C．2:3:4 D．1:8:27 7 ．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为 （）A．π 12B．π 24C．π 36D．π 48 8 ．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（） A．相交B．异面C．平行D．异面或相交 6 5 6 5
9 ．设正方体的棱长为 23 3,则它的外接球的表面积为 （ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π3 4 10．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球 的表面积为 A .π7 B .π14 C .π21 D .π28 11．1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 （ ） A ．12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥ C ．233////l l l ? 1l ,2l ,3l 共面 D ．1l ,2l ,3l 共点?1l ,2l ,3l 共面 12．如图,正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱AB ,1CC 的中点,在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线 （ ） A ．有无数条 B ．有2条 C ．有1 条 D ．不存在 二、填空题 13．已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是______. 14．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是上底面1111A B C D 内 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F
高二立体几何试题详细答案(供参考)
高二数学立体几何 一、选择题： (本大题共12小题,每小题3分,共36分.) 1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=则与的夹角等于 A ．90° B ．30° C ．60° D ．150° 2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 A ．0=+++OC O B OA OM B ．OM --=2 C ．413121++= D ．0=++MC MB MA 3、下列命题不正确的是 A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直； C ．两异面直线的公垂线有且只有一条； D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为 ①//m n n m αα??⊥?⊥?②//m m n n αα⊥???⊥?③//m m n n αα⊥??⊥??④//m n m n αα??⊥?⊥? A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是 A ．各侧面是正三角形 B ．底面是正方形 C ．各侧面三角形的顶角为45度 D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 6、若点A （42 +λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为 A ．1，－4，9 B ．2，－5，－8 C ．－3，－5，8 D ．2，5，8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 A ．2F+V=4 B ．2F －V=4 C ．2F+V=2 （ D ）2F －V=2 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 A ．239 B ．433 C ．233 D ．439 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 、 F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则 A ．θ=600 B ．θ=450 C ．5 2cos =θ D ．52sin =θ
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【最新整理，下载后即可编辑】 【模拟试题】 一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（） A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面，直线平面 αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥ αβ；④l m⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ） A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（ ） A. m n m n ⊥，，////αβ B. m n m n ⊥=?，，αβα C. m n n m //，，⊥?βα D. m n m n //，，⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足： l l m m =?⊥βγααγ ，，，//，那么必有（ ） A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////，和m C. m l m //β，且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 13： B. 12： C. 2：3 D. 1：3 12. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ） 二. 填空题（每小题4分，共16分） 13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm ，则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的
高二数学立体几何试题及答案
【模拟试题】 一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（ ） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ） A. 122+π π B. 144+ππ C. 12+π π D. 142+ππ 6. 已知直线l m ⊥?平面，直线平面αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m ；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥αβ；④l m ⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123
(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)
F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．
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【模拟试题】 一 . 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是 正棱柱；②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是 长方体；③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱 柱；④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四 棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱 锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥 中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有 ________个 A.1 B.2 C.3 D.4 3.长方体的一个顶点处的三条棱长之比为 1：2：3，它的表面积为 88，则它 的对角线长为（） A. 12 B. 24 C.214 D. 4 14 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为 8cm 的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 8 2cm 5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是 （） 1 2 1 4 1 2 1 4 A. 2 B. 4 C. D. 2 6.已知直线l平面，直线m平面 ，有下面四个命题： ① / /l m ；②l / /m ；③ l / /m ；④ l m/ / 。 其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7.若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（） A. 6 3cm B. 6cm 2 3 C.218 D. 312
立体几何试题及答案
数学试题 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．若直线l ∥平面α,直线a α?,则l 与a 的位置关系是 （D ） A ．l ∥a B ．l 与a 异面 C ．l 与a 相交 D ．l 与a 没有公共点 2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( B ) 3．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为 （B ） A ．1:2:3 B ．1:4:9 C ．2:3:4 D ．1:8:27 4．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为 （ B ） A ．π12 B ．π24 C ．π36 D ．π48 5．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球 的表面积为 （D ） A .π7 B .π14 C .π21 D .π28 6.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD A ． 510 B ． 5 15
C ． 54 D ． 3 2 7.函数64-+-=x x y 的最小值为（ A ） A 2 C 4 D 6 8.若()1,∞-∈x ，则函数2 22 22-+-=x x x y 有（ C ） A 最小值1 B 最大值1 C 最大值1- D 最小值1- 9．设a >0，点集S 的点(x ，y )满足下列所有条件：①a 2≤x ≤2a ；②a 2≤y ≤2a ；③x ＋y ≥a ； ④x ＋a ≥y ；⑤y ＋a ≥x .则S 的边界是一个有几条边的多边形( C ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 10.设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ// 其中正确命题的序号是（ A ） A ．①和② B.②和③ C ．③和④ D ．①和④ 11．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ C ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 12．已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，则下列结论不正确的是( D ) 12题图 13题图 A ．CD ∥平面PAF B ．DF ⊥平面PAF C ．CF ∥平面PAB D ．CF ⊥平面PAD 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13．已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是_ 11π _____.