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二倍角--公开课

3.1.3二倍角的正弦.余弦.正切公式

一.教学目标：

1.通过和角公式得到二倍角公式，体会由一般到特殊思想。

2.通过二倍角公式应用，学会简单求值.化简.恒等证明。

3.通过学习，领悟数学规律，培养创新和探索精神。

二.教学重点：二倍角公式推导及应用。

教学难点：灵活应用和.差.二倍角公式进行三角式化简.求值.证明。

三.教学过程

1.复习两角和与差的三角函数公式（中间）

cos(x-y)=

cos(x+y)=

sin(x+y)=

sin(x-y)=

tan(x+y)=

tan(x-y)=

2.导入新课

已知求的值。特殊地当时，得到二倍角公式（左推）

sin2x=

cos2x=

注意：

1.倍角专指二倍角，三倍角、四倍角中三、四不可省略。

2.二倍角的相对性：sin( )=2sin( )cos( ),

cos( )=cos2( )-sin2( )

3.定义域问题：

例1：化简

1.sin3xcos3x=

2.4sin(x/4)cos( x/4)=

3.(2tan40o) /(1-tan240o)=

4.tan(x/2)=

5.cos2 2x-sin22x=

6.1-2sin2 (x/3)=

例2：化简

1.2sin15o cos15o=

2.cos222.5o-sin2 22.5o =

3.2cos222.5o-1=

4.1-2sin215o=

5.tan22.5o/(1-tan222.5o)=

6.2cos222.5o=

已知sinx=0.6,x (90o,180o).求sin2x. cos2x. tan2x的值.

练1：化简

1.(sinx+cosx)2

2.cos4x-sin4x

3.sinxcosxcos2x

4.tanx+cotx

例4：

1.已知sinx+cosx=0.5, 求sin2x.

2.已知six+siny=0.5, cosx+cosy=1/3,求cos(x-y)

练2：

已知tanx=2, 求sin2x+cos2x的值.

四.课堂小结：

1.本节课学习了：

2.本节课学会了：

五.作业：

1.必做题：习题3.1A组15.16.17题

2.选做题：（1）.已知sin10o=a,求sin70o的值.

（2）.已知sinx+siny+sinz=0,cosx+cosy+cosz=0,求cos(y-z)的值.

4.思考题：（1）.求sin10o sin30o sin50o sin70o的值.

（2）.求f(x)=sinx+sinxcosx+cosx的值域.

圆周角(1)公开课

§24.1.4 圆周角（ 1）设计教师：贾风华一、教学目标： 1.使学生理解圆周角的概念，理解并掌握圆周角定理及其推论，会初步应用圆周角定理及其推论进行计算。 2.培养学生观察、分析问题的能力，使学生能用类比的方法探索新知识，学会以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题的方法。了解分类证明数学命题的思想和方法。 3.在对圆周角概念和定理的探索过程中，使学生了解事物间互相联系、相互转化的辨证关系，通过类比、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力、发散思维能力以及勇于独立思考的精神。二、教学的重点和难点：重点：圆周角的概念、圆周角定理以及由其内容反映出来的思想方法。难点：发现并论证圆周角定理。三、教学流程安排：教学活动流程图活动 1 创设情景，提出问题。活动 2 探索同弧所对的圆周角之间的关系，同弧所对的圆心角与圆周角的关系。活动 3 发现并证明圆周角定理。教学活动内容和目的从实例提出问题，给出圆周角的定义。通过实例观察、发现圆周角的特点，利用度量工具，探索同弧所对的圆周角之间的关系，同弧所对的圆心角与圆周角的关系。探索圆心与圆周角的位置关系，利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理。活动 4 圆周角定理的应用。反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用。活动５小结，当堂检测。回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学到的知识，当堂检测。四、教学过程：问题与情境师生活动设计意图 [活动 1] 创设问题情景：如图（见课本P91）一个海港在弧XY 范围内是浅滩，为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角∠ XPY ，把它与已知的危险角（弧 XY 上任意一点Z 与两个灯塔所成的角∠ XZY ）相比较，航行中保持∠ XPY ＜∠ XZY 。你知道这样做的道理吗？教师引导学生观察图中的XZY 后，指从生活中的出XZY 又是一个与圆有关的角，这就实际问题入是我们今天要学习的角——圆周角（板手，使学生认书）。识到数学与什么叫圆周角？讨论结果：圆周角：（1）现实问题紧顶点在圆周上；（ 2）两边都与圆相交的密联系，引导角。学生对图形1.展示课堂学习单上的以下下图形，哪的观察、发些是圆周A角？B C现，激发学生的好奇心和 A A求知欲，并在B C B C 运用数学知识解答问题的活动中获

《圆周角定理的证明》优秀教学设计(教案)

《圆周角定理的证明》教学设计一、创设情境，引入新课师生活动:教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆.并出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．学生通过观察分析和理解问题. 设计意图：从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分．引导学生对图形的观察和发现，激发学生的好奇心和求知欲. 二、任务驱动，探究规律学生动手画圆，在圆上任取一条劣弧，作这条劣弧所对的圆心角和圆周角，然后用量角器测量这些角。回答下列问题：（1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？（2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？师生活动: 学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现．设计意图:让学生亲自动手，利用度量工具（如量角器、几何画板）进行实验、观察、猜想、分析、验证，得出结论: 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．三、动手操作，验证猜想拿出课前准备的圆形纸片，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC的顶点A．回答问题：（1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？（2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？（3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？师生活动：教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．学生写出已知、求证，完成证明．具体做法：1.学生分组讨论三类图形的已知、求证。2.要求其中的四个小组证明第二类图形，另外的四个小组证明第三类图形。3.师生归纳总结出圆周角定理，并且几何符号表示圆周角定理。设计意图:让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．问题（1）的设计是让学生通过动手探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．问题（2）、（3）的提出是让学生学会运用化归思想将问题转化，并启发培养学生创造性的解决问题. 四、巩固练习，学以致用

二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案

二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式课型：新授课一、教学目标 1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式； (2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。 2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用。 3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展的观点看问题。二、教学重点、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学过程设计：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--．

初中数学九年级《圆周角定理及推论》公开课教学设计

（1）（2）（3）（4）（5） A 24.1.4圆周角定理及推论教学目标：1.了解圆周角的概念，掌握圆周角定理并学会运用． 2．掌握圆周角定理的推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；教学重难点：有关圆周角定理及推论教学内容和程序：知识点一： 1．顶点在______，并且__________________的角叫做圆周角． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，_______ _相等，都等于______ ____．【活动一】判断下列各图形中的角是不是圆周角，如不是请说明理由．例1已知：如图，AB是⊙O直径，证明圆周角定理，即∠A＝ 1 2 ∠BOC．如下图，依照例1证明∠A＝ 1 2 ∠BOC．练习：1.如图，已知圆心角∠BOC＝100°，求圆周角∠BAC、∠BDC的度数． 2.若弦AB把圆周分成2：3的两部分，那么弦AB所对的圆周角的度数为. 知识点二： 1．圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角，是直径. （注意：这个推论是圆中的一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件.） 2．如果一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是 3．推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们相等.【活动二】例2如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长． B A

【练习】1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 为AB 的一个三等分点，则BC ∶AC ∶AB ＝． 2．如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD //BC 交AC 于点D DC ＝ cm ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，∠CAB=60°，则∠D= °．【活动三】例3 如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB =AC ，延长CA 到点D ，使AD ＝ AC ，连结DB 并延长，交⊙O 于点E ．求证：CE 是⊙O 的直径．练习如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4 )， M 是圆上一点，∠BMO ＝120°．求⊙C 的半径和圆心C 的坐标．【检测反馈】 1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝50°，求∠AEC 的度数． 2．已知圆的直径是23cm ，求3cm 长的一条弦所对的圆周角．第1题 B

二项式定理公开课教案

二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。三、教学过程 1、情景设置问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※）（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）继续新授师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+

任意角的三角函数公开课说课稿

《1.2.1任意角的三角函数》尊敬的各位评委、各位老师，大家好！今天我说课的容是《1.2.1任意角的三角函数》下面我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计这几个方面来进行我的说课。一、教材分析 1、教材的地位和作用本节课是人教版高中数学必修4中第一章第二节《1.2.1任意角的三角函数》。在学习本课之前，学生在必修1的学习中对函数有了一定的认识，而三角函数也是基本初等函数之一，它是描述周期现象的重要数学模型，从而本节是学生在锐角三角函数的基础上进行的扩展，是本章教学容的基本概念，是这一章最重要的一节课。本节课以函数思想为指导，以坐标系和单位圆为定义工具，以初中学过的锐角三角函数为认知的起点，来掌握三角函数新的定义。新的定义可以更好的反应三角函数的本质，使得三角函数反应的数形关系更加的直接，数形结合更加紧密。它是本章的基础，对三角函数的整体学习至关重要；同时它又是以后学习平面向量、解析几何等容的必要准备，通过这部分容的学习可以进一步的帮助学生理解函数这一基本概念。 2、学情分析 ①、我们的学生在初中学习的时候，是以直角三角形为背景去学习锐角三角函数，并没有从函数角度去认识锐角三角函数。

学生习惯了用直角三角形的比值去定义三角函数，对于用角终边上点的坐标来定义三角函数在认识上就存在着一定的障碍。 ②、我校的学生数学基础相对较差，多数同学对数学的学习没有兴趣和积极性。 ③、学生的学习能力、理解能力较差，学习习惯不好，所以必须在老师的指导下才能进行。二、教学目标根据新课标对本节课的教学要求，结合学生已有的认知能力和以上教材分析，我从知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面来设计本节课的三维目标。 1、知识与技能掌握任意角的三角函数的定义；会求角α的各三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式。 2、过程与方法体验三角函数概念的产生、发展过程，通过对三角函数值的符号，诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力；领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的思想。 3、情感态度与价值观通过概念生成的过程，让学生去感受数学的自然美与简洁美培养学生通过现象看本质的唯物主义观，培养学生实事的科学态度。三、教学重、难点 Ⅰ、教学重点：①、正确理解三角函数的定义；②、任意角三角函数在各个象限的符号；③、终边相同角的诱导公式（一） Ⅱ、教学难点：

二倍角公式公开课教案

二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。二、教学重难点：二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性三、教学过程 1、复习引入前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们回忆一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 2、新科探究探究一、在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？ sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= α α － α α = α － α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= α － α 注意：要使tan2α= α － α 有意义，α须满足α∈﹛α∣α≠ k π+ π ，且α≠ π+ π ﹜ 学以致用提问：对于cos2α的求解还有没有其它的办法探究二、cos2α的变形式利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α 1例.2tan ,2cos ,2sin ),20(,54cos 的值求若αααπαα<<=

圆周角与圆心角的关系优质课评选教案

2011 -2012学年第2 学期圆周角与圆心角（第一课时）教案所在学校：棉湖二中授课教师：王琼纯使用教材：北师大版义务教育课程标准实验教材

圆周角与圆心角的关系（第一课时）授课人：王琼纯教材：北师大版义务教育课程标准实验教材一．教学目标：１．知识与技能理解掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系２．过程与方法经历对圆周角定理的探索、证明的过程，养成自主探究，合作交流的学习习惯。学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，体会归纳、类比、分类讨论的数学思想。３．情感与价值观让学生在主动探索、合作交流的过程中获得成功的愉悦，培养学生独立思考，善于总结的学习习惯。二．教学重、难点：重点：理解掌握圆周角的概念及圆周角定理难点：圆周角定理的证明及证明时分类讨论的必要性三．教学方法：（教法、学法）以探究式教学法为主，发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合，四．教具准备教师：多媒体课件、圆规、三角板等学生：探究活动纸。直尺、圆规、量角器等五．教学过程设计（一）创设情境，导入新课展示多媒体课件：以一段足球赛视频导入新课思考：单从数学角度分析，进球跟什么有关？运动员甲应该自己射门还是把球传给运动员乙射门（单从角度考虑）？O、B两个位置的张角相同吗？过渡：两个位置的张角大小有什么关系？我们带着这个问题进入今天的学习。（板书）：圆周角与圆心角的关系

（二）教授新课：１．圆周角的定义（从情景图中抽象出几何图形，根据图形回答下列问题）思考：①什么是圆心角？图中哪些是圆心角？你能类比圆心角给出圆周角定义吗？ ②顶点在图上的角是圆周角吗？两边与圆相交的角是圆周角吗？总结：顶点在圆心上且两边与圆相交的角是圆心角。圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角就是圆周角。（板书）练习一：判断下列哪些角是圆周角？哪些不是？为什么？ A B C D E E G H ２．圆周角与圆心角的关系（１）探究活动一：大胆猜想

任意角的三角函数公开课教案(精.选)

任意角的三角函数（第一课时）教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 一、重点、难点、关键重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）. 二、教学过程 [执教线索：回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：能推广到任意角吗？——它山之石：建立直角坐标系（为何？）——优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关

系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）——自主定义：任意角三角函数定义——登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业] （一）复习引入、回想再认开门见山，面对全体学生提问：在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：（情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域. 现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： f（x），x∈A ，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域. （情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习

《二倍角的三角函数》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《§3二倍角的三角函数》教学设计教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。【知识与能力目标】 1、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。【过程与方法目标】通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。【情感态度价值观目标】通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。【教学重点】二倍角公式的推导。【教学难点】能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。一、复习导入。回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ -

二、探究新知。将上述公式里的β换成α，结果是什么？二倍角公式：对于 2C α 能否有其它表示形式？公式中的角是否为任意角？注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。例题1 ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -

圆周角和圆心角的关系公开课教案

课题：3.1.1圆周角和圆心角的关系授课教师：王玥教学目标 (一)教学知识点 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角定理的证明． (二)能力训练要求经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想． (三)情感与价值观要求通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．教学重点圆周角概念及圆周角定理．教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．教学方法指导探索法．教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课思考并回答问题： 1、点与圆有怎样位置关系？ 2、什么是圆心角？（学生回答） 3、当角的顶点发生变化时，这个角和圆的位置还有哪几种情况？

Ⅱ．讲授新课 1．圆周角的概念观察图形：说说圆周角的特征。 (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦． O C A B 圆周角定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．练习判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由． 2．研究圆周角和圆心角的关系．这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B 对球门AC 的张角(∠ABC )有关。在图(1)中，当球员在B 、D 、E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ．这三个角有什么共同特征？它们的大小有什么关系？

类比圆心角探索圆周角在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？（学生探索） 1、请同学们在圆上确定一条劣弧AC ，画出它所对的圆心角与圆周角。 2、它们的大小有什么关系？弧AC所对的圆周角和圆心角之间有什么关系？你是通过什么方法得到的？实验结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 有限次的测量得到的结论，必须通过论证。说说你的想法，尝试证明。并与同伴交流．（互相讨论、交流，寻找解题途径．）想一想:一个圆的圆心与这个圆上的圆周角可能有几种关系? （圆心在圆周角内部；圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的外部） B [师生共析] 考虑从特殊情况入手．圆周角???→ 特殊一边经过圆心．如上图，已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝ 1 2 AOC．(学生口述，教师板书) 证明：∵∠AOC是△ABO的外角，

两角和与差的余弦公式优质公开课精品教案

两角和与差的余弦公式一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的余弦公式的推导以及应用。二、学情分析：本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过一个学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。三、教学目标： 1、理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式。 2、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。四、教学重点和难点：教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及应用。教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。五、教学工具：多媒体六、教学方法：讲授法，探究法七、教学过程：

cos(12060)-? cos120? cos60? sin120? sin 60? 12 12- 12 32 32 猜想：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=?+?？公式推导通过探究我们猜想得出cos()αβ-的公式，从猜想到结论还需要严格的证明。提问：前面我们已经学习过任意角的三角比，那么该如何研究βα-的三角比呢？设α、β是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与x 轴的正方向重合，如图1，它们的终边OA 、OB 分别与单位圆相交于A 、B 两点。图1 Q1：你能用α、β的三角比表示A 、B 两点坐标吗？ Q2：AOB ∠角度能用α、β表示吗？ Q3：我们要研究AOB ∠的三角比，必须要把AOB ∠位置放在什么地方？怎样达到目的？答：始边旋转到与x 轴的正方向重合。通过旋转达到目的。 Q4：将终边OA 、OB 绕O 旋转β-，转到A O '和B O '的位置，则A '，B '的坐标是什么？通过一系列问题的设置找出相等的数量关系，从而推导出公式 O y A )sin ,(cos αα) sin ,(cos ββB x β α

《二倍角的三角函数》示范公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】 (2)

教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。【知识与能力目标】 1 、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。【过程与方法目标】通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。【情感态度价值观目标】通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。【教学重点】二倍角公式的推导。【教学难点】能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。一、复习导入。回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ -

二、探究新知。将上述公式里的β换成α，结果是什么？二倍角公式：对于 2C α 能否有其它表示形式？公式中的角是否为任意角？注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。例题1 例题2求下列各式的值： ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -

公开课圆周角导学案

圆周角学习目标： 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．重点、难点重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．导学过程：阅读教材, 完成课前预习【课前预习】 1：知识准备（1）什么叫圆心角？（2）圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 2：探究1 圆周角：在圆上，并且都与圆相交的角叫做圆周角。为了进一步研究上面发现的，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A。由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：

（1）在圆周角的一边上；（2）在圆周角的内部；（3）在圆周角的外部。 (1)证明：在⊙O 中，∵OA=OC (2)证明： (3)证明： ∴∠A=∠ 又∵∠BOC=∠A+∠C=2∠ ∴∠A=2 1∠BOC 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的．表达式：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定．表达式：进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是， 90°的圆周角所对的弦是．表达式：探究2：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做这个多边形的圆内接四边形的对角已知：求证：证明：【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1．如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD D B

因数和倍数公开课教案

因数和倍数师大附中项彪教学内容：教材P5-6 例1和例2 教学目标： 1.知识、技能目标：使学生认识倍数和因数的含义，探索并掌握找一个数的倍数和因数的方法，发现一个数的倍数、因数中最大的数、最小的数及其个数方面的特征。 2.过程与方法目标：使学生在认识倍数和因数以及探索一个数的倍数或者因数的过程中，进一步体会数学知识之间的内在联系，提高数学思考的水平。 3.情感、态度价值观目标：让学生初步意识到可以从一个新的角度来研究非零自然数的特征及其相互关系，培养学生的观察、分析和抽象概括能力，体会教学内容的奇妙、有趣，产生对数学的好奇心。教学重点：理解倍数和因数的含义与方法。教学难点：掌握找一个数因数的方法。教学过程：一、导入出示课件《爸爸去哪了》中的“林志颖与kimi”为导入师：“他们是谁？”生：“林志颖和Kimi。” 师：“他们有什么关系？”生：“父子关系。” 师：“所以，我们可以说，林志颖是？”生：“Kimi的爸爸。” 师：“或者，Kimi是林志颖的？”生：“儿子。” 师：“那能不能说林志颖是爸爸？或者Kimi是儿子？” 生：“不能单独说，谁是爸爸，谁是儿子。因为这样不知道是谁的爸爸，谁的儿子。” 师：“因此，我们可以得到他们之间的关系是？”生：“相互依存的。” （设计意图：得出父子关系是相互依存的，为因数和倍数之间的关系做铺垫。）师：“父子之间有相互依存的关系，那么数与数之间这种关系吗？今天我们一起学习因数和倍数。（板书课题：因数和倍数）师：“关于因数和倍数你想知道什么？” 生： 1.什么是因数，倍数？ 2.他们之间的关系是什么？（板书：1.是什么？2.关系？）（设计意图：带着问题去学习，更具有目的性。）二、思（设计意图：探究1.什么是因数，倍数？2.他们之间的关系是什么？） 1.出示一组算式。这组算式的特点是什么？ 12÷2= 8÷3= 30÷6= 19÷7= 9÷5= 26÷8=

圆周角优质课教学设计及点评

24.1.4圆周角（第一课时）教学设计一、教学内容及其解析本节课选自人教版《义务教育教科书数学》九年级上册第二十四章第一课时，主要内容为圆周角的概念，圆周角与圆心角及其所对弧的关系，圆周角定理及其推论. 本节课是在学生学习了圆心角概念并通过探索掌握其定理的基础上进行，与圆心角类似，圆周角概念也是紧抓角的元素，让角的顶点位置特殊化——在圆上，两边与圆相交. 圆周角与圆心角及其所对弧的关系中蕴含着“变中不变”的思想：对于一条弧所对的无数圆周角，利用“弧”的桥梁作用，与具有唯一性和确定的圆心角紧密联系起来. 圆周角定理及其推论为角的计算，证明角相等，证明弧、弦相等等问题提供简单的方法.其证明过程进一步渗透“特殊一般”、“分类”、“转化”的数学思想方法，培养直观想象能力和逻辑推理能力. 二、教学目标及其解析教学目标： 1.理解圆周角概念； 2.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系； 3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角. 目标解析： 1.能在图形中正确识别圆周角；在圆上画出圆周角； 2.通过分解与整合圆周角中的基本图形——直线型“角”、曲线形“圆”，理解圆周角与弧的对应关系，了解该弧产生的原因；能借助“弧”探索圆周角与圆周角，圆周角与圆心角之间的关系；能运用“特殊与一般”的数学思想对同弧所对的圆周角与圆周角，圆周角与圆心角进行分类，将无限个情况转化为有限个进行研究； 3.了解圆周角定理及其推论之间的逻辑关系；证明圆周角定理时，能分解“圆心在圆周角一边”这一特殊情况图形中所蕴含的几何基本图形，并运用“转化与化归”思想，将其余情况转化为特殊情况，从而证明定理. 三、学生学情分析学情分析： 1.从知识层面上：学生已认识圆中的相关元素，掌握圆心角、弧、弦三者的转化关系，但由

《圆周角 word版公开课一等奖教案北京课改版

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 22.4圆周角教学目的 1．进一步巩固圆周角定理及其推论． 2．使学生了解圆内角和圆外角概念，知道它们的度数与所夹弧度数的关系．教学重点和难点圆周角定理及其推论的应用题是这节课的重点，也是难点．教学过程一、复习叙述圆周角定理的三个推论．二、新课例5 如图7—106，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．解：∵AB为直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB， ∴AD=DB．在Rt∠ADB中，例6 已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB

交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FC G=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．只需证∠B= 证明：连结AC， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠C AE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B， ∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．如果顶点在圆内和顶点在圆外呢？我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图7—108)．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图7－109)．我们可以把圆内角和圆外角的问题转化成圆周角的问题考虑．对于圆内角∠APB，可以延长AP、BP交⊙O于C、D．连结AD，则∠APB=∠A+∠D，而∠A的度数等于度数的一半，∠D的度数等于度数的一半．因此，∠APB的度数等于它所夹弧度数和的一半．对于圆外角∠APB，可以连结AD，则∠APB=∠ADB-∠A，而∠ADB的度数等于AB度数的一半，∠A的度数等于度数的一半．因此，∠APB的度数等于它所夹弧度数差的一半．所以可得出下面的定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．利用圆内角度数定理，还可以用另外方法证明例6(怎么证？) 如图7—110，对着的圆内角∠AC1B，圆周角∠AC2B，圆外角∠AC3B，比较它们的大小．(∠AC1B＞∠AC2B＞∠AC3B)．

二倍角教案(公开课)

编写时间：2014 年6月9日第二学期总第课时授课者课题二倍角的正弦、余弦、正切公式授课班级高一（3）、（9）授课时间2014.6.12 教学目标知识技能倍角公式与两角和公式的内在联系，并熟练倍角公式结构. 过程方法培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构。情感态度价值观通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 教学重点二倍角的正弦、余弦、正切公式推导和应用。教学难点倍角公式的形成以及公式的变形和灵活应用。课型新授课主要教学方法启发引导与巩固练习教学模式合作交流教学手段与教具课件和课本板书设计课题（一）公式的导出（四）巩固练习提高（二）公式应用（五）小结、作业（三）典型例题作业设计课本：第135页练习1、2、3题教学反思 1

2 教学过程（教师活动、学生活动）设计意图教学过程(师生互动) 1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。) ☆ 复习回顾： sin()αβ+= cos()αβ+= tan()αβ+= 我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢 ? 现在研究二倍角的正弦、余弦、正切公式。 ☆ 双向沟通： (学生独立完成) sin 2α= 简记： 2()S α cos 2α= 简记： 2()C α tan 2α= (2k παπ≠+且)()42 k k Z ππ α≠+∈ 简记：2()T α 利用 22sin cos 1αα+= ，公式 2C α 还可以变形为： cos 2α= 或 cos 2α= ☆ 阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令 = (实现一般化归为特殊) 。上面这些公式都叫做倍角公式。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。 2、公式的运用： ☆ 师生互动：教师引导启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比，学生思考并回答问题以下问题： sin 22sin cos ααα= 22 cos 2cos sin ααα=- sin α= cos 4α= sin 2 α = cos 6α= sin 4 α = cos8α= 学生自己先试一试发现“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系。让学生领悟到： 2ααα=+ 让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想。 ☆ 举一例引导化归思想： sin ()sin c o s c o s sin αβαβαβ+=+ 当 β 取特殊角 α 时，上述公式表示为 : sin 22sin cos ααα= ，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想。让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体会化归(这里是将一般化归为特殊)这一基本数学思想所起的作用。