文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 不等式综合题选讲_含答案详解

不等式综合题选讲_含答案详解

不等式选讲

一.填空题(共2小题)

1.(2008?浙江)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a、b为坐标的点P (a,b)所形成的平面区域的面积等于.

2.(2007?浙江)设m为实数,若

不等式综合题选讲_含答案详解

,则m的取值范围

是.

二.解答题(共13小题)

3.设a>0,a≠1,解关于x的不等式

4.(2015?绍兴县校级模拟)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)﹣x=0的两

个根x1,x2满足0<x1<x2<.

(1)当x∈(0,x1)时,证明x<f (x)<x1;

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0<.

5.(2013?天河区三模)设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2﹣ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).

(1)设函数,其中b为实数.

(i)求证:函数f(x)具有性质P(b);

(ii)求函数f(x)的单调区间.

(2)已知函数g(x)具有性质P(2),给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,a=mx1+(1﹣m)x2,β=(1﹣m)x1+mx2,且a>1,β>1,若|g(a)﹣g(β)|<|g(x1)﹣g(x2)|,求m取值范围.

6.(2014?宝鸡三模)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.

(1)若b=﹣12,求f(x)在[1,3]的最小值;

(2)如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b的取值范围;

(3)是否存在最小的正整数N,使得当n≥N时,不等式恒成立.

7.(2013?江苏模拟)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R}.

(Ⅰ)求A;

(Ⅱ)若a>0,以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为S n,对于任意的n∈N+,均有S n∈A,求a的取值范围.

8.(2011?琼海一模)[文]已知不等式x2+px+1>2x+p.

(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立,求x的范围;

(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的范围.

9.(2010?江苏模拟)已知二次函数f(x)=x2+x,若不等式f(﹣x)+f(x)≤2|x|的解集为C.

(1)求集合C;

(2)若方程f(a x)﹣a x+1=5(a>1)在C上有解,求实数a的取值范围;

(3)已知t≤0,记f(x)在C上的值域为A,若,x∈[0,1]的值域为B,且A?B,求实数t的取值范围.

10.(2011?天河区校级模拟)已知集合A={(x,y)|y≥|x﹣a|},B={(x,y)|y≤﹣a|x|+2a}(a≥0).

(1)证明A∩B≠?;

(2)当0≤a≤4时,求由A∩B中点组成图形面积的最大值.

11.(2014?扶沟县校级模拟)设a,b,c均为正数,证明:.

12.(2013?金州区校级模拟)设minA表示数集A中的最小数;设maxA表示数集A中的最大数.

(1)若a,b>0,,求证:;

(2)若,,,求H的最小值.

13.(2010?辽宁)已知a,b,c均为正数,证明:≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.

14.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥),已知圆锥母线与底面夹角为2θ.

(1)求证:圆锥的母线与底面半径的和是;

(2)求证:圆锥全面积是;

(3)当θ是什么值时,圆锥的全面积最小?

不等式综合题选讲_含答案详解

15.(2006?湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x>a﹣1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗后的

清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

不等式选讲(by 李泽学;for 朱含章

参考答案与试题解析

一.填空题(共2小题)

1.(2008?浙江)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a、b为坐标的点P (a,b)所形成的平面区域的面积等于1.

,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出其表

2.(2007?浙江)设m为实数,若

不等式综合题选讲_含答案详解

,则m的取值范围是

不等式综合题选讲_含答案详解

0≤m≤.

,.

二.解答题(共13小题)

3.设a>0,a≠1,解关于x的不等式

.①

或>

式得﹣

<<﹣<<

<<﹣<<

.①

1+

<<﹣<<

<<﹣<<

4.(2015?绍兴县校级模拟)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)﹣x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<.

(1)当x∈(0,x1)时,证明x<f (x)<x1;

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0<.

不等式综合题选讲_含答案详解

∴,

,所以

5.(2013?天河区三模)设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2﹣ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).

(1)设函数,其中b为实数.

(i)求证:函数f(x)具有性质P(b);

(ii)求函数f(x)的单调区间.

(2)已知函数g(x)具有性质P(2),给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,a=mx1+(1﹣m)x2,β=(1﹣m)x1+mx2,且a>1,β>1,若|g(a)﹣g(β)|<|g(x1)﹣g(x2)|,求m取值范围.

x=

﹣=

=

)时,

)上递减;

[

)上递减;[,

6.(2014?宝鸡三模)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.

(1)若b=﹣12,求f(x)在[1,3]的最小值;

(2)如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b的取值范围;(3)是否存在最小的正整数N,使得当n≥N时,不等式恒成立.

时,由得

在(﹣

,最后令,即可证得结时,由,得

)由题意在(﹣

,解之得

,则有

时,不等式

7.(2013?江苏模拟)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R}.

(Ⅰ)求A;

(Ⅱ)若a>0,以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为S n,对于任意的n∈N+,均有S n∈A,求a的取值范围.

,∴

满足,解得

的取值范围是

8.(2011?琼海一模)[文]已知不等式x2+px+1>2x+p.

(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立,求x的范围;

(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的范围.

不等式综合题选讲_含答案详解

9.(2010?江苏模拟)已知二次函数f(x)=x2+x,若不等式f(﹣x)+f(x)≤2|x|的解集为C.

(1)求集合C;

(2)若方程f(a x)﹣a x+1=5(a>1)在C上有解,求实数a的取值范围;

(3)已知t≤0,记f(x)在C上的值域为A,若,x∈[0,1]的值域为B,且A?B,求实数t的取值范围.

不等式综合题选讲_含答案详解

,所以

内有解.

由图象及根的存在性定理得

,在

)的值域(

解得

10.(2011?天河区校级模拟)已知集合A={(x,y)|y≥|x﹣a|},B={(x,y)|y≤﹣a|x|+2a}(a≥0).

(1)证明A∩B≠?;

(2)当0≤a≤4时,求由A∩B中点组成图形面积的最大值.

不等式综合题选讲_含答案详解

,(,

a+?.

,,

(﹣

S=

,∴>

在上是增函数,∴≤.

中点组成图形面积取得最大值

不等式综合题选讲_含答案详解

11.(2014?扶沟县校级模拟)设a,b,c均为正数,证明:.证明:∵

12.(2013?金州区校级模拟)设minA表示数集A中的最小数;设maxA表示数集A中的最大数.

(1)若a,b>0,,求证:;

(2)若,,,求H的最小值.

,利用不等式的性质得到

,利用基本不等式得到

)利用最大值的定义得到,,

,,

)∵,

∴,

13.(2010?辽宁)已知a,b,c均为正数,证明:≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.

当且仅当

a=b=c=

均为正数,由基本不等式得

a=b=c=

14.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥),已知圆锥母线与底面夹角为2θ.(1)求证:圆锥的母线与底面半径的和是;

(2)求证:圆锥全面积是;

(3)当θ是什么值时,圆锥的全面积最小?

不等式综合题选讲_含答案详解

取值

15.(2006?湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x>a﹣1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗后的

清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

=0.99