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3.1开放探究(热点题型)·数学中考分类精粹

第三章一开放探究与新定义运算

?3.1一开放探究

?题型概述?

开放探究型试题由于其结构的可变性,能较好地考查学生的发散思维能力和探究能力,因而倍受关注.

开放性探究型问题是指问题的条件或结论尚不明确,需要通过探究去补充条件或完善结论的一类问题.开放性问题的答案通常没有最好,只有更好.解答开放性试题,需要对问题进行多方面二多角度二多层次的思考二审视,能够培养和检查学生的发散思维能力和探索能力,有利于克服 题海战术 等消极现象.探究性问题的 探究性 是与传统问题 明确性 相对而言的.一般情况下,传统问题条件完备,结论明确,只需计算结果或对结论加以论证.而开放探究性问题则是通过对问题的剖析,选择并建立恰当的数学模型,经过观察二试验二分析二比较二类比二归纳二猜想二推断等探究性活动来探索解题思路.

?典题演示?

?例1?(2012 湖南郴州)如图,D二E分

别是?A B C的边A B二A C上的点,连接

D E,要使?A D E??A C B,还需添加一个

条件一一一一.(只需写一个)

?思路点拨?由?A是公共角,利用有

两角对应相等的两三角形相似,即可添加条件?A D E=?C 或?A E D=?B;又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,即可添加条件A D?A C=A E?A B或A D A B=A E A C等.

?完全解答?答案不唯一,如:?A D E=?C或?A E D=?B或A D?A C=A E?A B或A D A B=A E A C等.

?归纳交流?本题是条件开放探究题.问题的结论已经给出,要求探求能够使已知结论成立的条件,这类问题中使结论成立的条件通常不唯一,而题目要求填写的答案往往是有限个.

?例2?一(2012 云南)写出一个大于2且小于4的无理数一一一一.

?思路点拨?由于所求无理数大于2且小于4,将两数平方得大于4小于16,我们选其中间的一个开方开不尽的数即可,如5,6,7等.

?完全解答?答案不唯一,如:5,6,7等.

?归纳交流?本题是一道结论开放探究题,与常规题的相同点是它们都给出了已知条件(题设),要求寻求结论;区别是前者的条件一般较弱,结论通常在两个以上,解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与.解答开放探究题的一般思路是:从所给的条件(包括图形)特征出发,运用发散思维进行大胆猜想和探究,同时要时刻自问: 可能还有其他结论? 并要对所发现的结论进行必要的反思二推理和说明(或证明).

?名题选练?

一二填空题

1.(2012 广东湛江)请写出一个二元一次方程组一一一一,

使它的解是

x=2,

y=-1.

{

2.(2012 浙江宁波)写出一个比4小的正无理数是一一一一.3.(2012 江苏连云港)写一个比3大的整数是一一一一.4.(2012 浙江丽水)写出一个比-3大的无理数是一一一一.5.(2012 四川达州)写一个比-3小的整数是一一一一.6.(2012 山东滨州)根据你学习的数学知识,写出一个运算结果为a6的算式:一一一一.

7.(2012 湖南益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式:一一一一.

8.(2012 天津)将正比例函数y=-6x的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数解析式可以是一一一一.(写出一个即可)

9.(2012 浙江衢州)试写出图象位于第二二四象限的一个反比例函数的解析式:一一一一.

10.(2012 内蒙古赤峰)存在两个变量x与y,y是x的函数,该函数同时满足两个条件:①图象经过点(1,1);②当x >0时,y随x的增大而减小.这个函数的解析式是一一一一.(写出一个即可)

11.(2012 陕西)在同一平面直角坐标系中,若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点,则这个反比例函数的表达式是一一一一.(只写出符合条件的一个即可)

12.(2012 福建三明)如图,在?A B C中,D是B C边上的中点,?B D E=?C D F ,请你添加一个条件,使D E=D F成立.你添加的条件是一一一一.(不再添加辅助线和字母)

(第12题)

一一

(第13题)

13.(2012 黑龙江)如图,已知点E二F是平行四边形A B C D 对角线上的两点,请添加一个条件一一一一,使?A B E ??C D F.(只填一个即可)

14.(2012 黑龙江佳木斯)如图,在平行四边形A B C D中,点E二F分别在边B C 二A D上,请添加一个条件一一一一,使四边形A E C F是平行四边形.(只填一个即可)

(第14题)

一一

(第15题)

15.(2012 江苏盐城)如图,在四边形A B C D中,已知A B?D C,A B=D C.在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是一一一一.(填

上你认为正确的一个答案即可)

二二解答题

16.(2012 贵州遵义)化简分式x x-1-x x2-1

()?

x2-x

x2-2x+1,并从-1?x?3中选一个你认为合适的整数x代入求值.

17.(2012 湖南张家界)先化简:2a-4

a2-4?2a

a+2+1,再用一个你最喜欢的数代替a计算结果.

18.(2012 福建莆田)已知三个一元一次不等式:2x>6,2x?x+1,x-4<0,请从中选择你喜欢的两个不等式,组成一个不等式组,求出这个不等式组的解集,并把解集在数轴上表示出来.

19.(2012 湖南衡阳)如图,A F=D C,B C?E F,请只补充一个条件,使得?A B C??D E F,并说明理由.

(第19题)20.(2012 江苏南京)看图说故事.

请你编写一个故事,使故事情境中出现的一对变量x,y 满足图示的函数关系,要求:

①指出变量x和y的含义;

②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义,

其中须涉及 速度 这个量.

(第20题)

21.(2012 福建漳州)在数学课上,林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B二F二C二E在同一直线上),并写出四个条件:①A B=D E,②B F=E C,③?B=?E,④?1=?2.

请你从这四个条件中选出三个作为题设,另一个作为结论,组成一个真命题,并给予证明.

题设:一一一一;结论:一一一一.(均填写序号)

(第21题)

22.(2012 四川广元)如图,在?A E C和?D F B中,?E=?F,点A二B二C二D在同一直线上,有如下三个关系式:①A E?D F,②A B=C D,③C E=B F.

(1)请用其中两个关系式作为条件,另一个作为结论,写出你认为正确的所有命题;(用序号写出命题书写形

式: 如果 二 ,那么 )

(2)选择(1)中你写出的一个命题,说明它正确的理由.

(第22题)

第三章一开放探究与新定义运算

23.(2012 四川宜宾)

如图,抛物线y =x 2

-2x +c 的顶点A 在直线l :y =x -5上.

(1)求抛物线顶点A 的坐标;(2)设抛物线与y 轴交于点B ,与x 轴交于点C 二D (点C 在点D 的左侧),试判断?A B D 的形状;

(3)在直线l 上是否存在一点P ,使以点P 二A 二B 二D 为顶

点的四边形是平行四边形?若存在,求点P 的坐标;

若不存在,请说明理由.

(第23题)

24.(2012 江苏扬州)

已知抛物线y =a x 2

+b x +c 经过A (-1,0)二B (3,0)二C (0,3

)三点,直线l 是抛物线的对称轴.

(1

)求抛物线的函数关系式;(2)设点P 是直线l 上的一个动点,当?P A C 的周长最小时,求点P 的坐标;

(3)在直线l 上是否存在点M ,使?M A C 为等腰三角形?

若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标;若不

存在,请说明理由.(第24题)

25.(2012

江苏苏州)如图,已知抛物线y =14

x 2-14(b +1)

x +

b 4(b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于点A 二B

(点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C .(1

)点B 的坐标为一一一一,点C 的坐标为一一一一(用含b 的代数式表示)

;(2

)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形P C O B 的面积等于2b ,且?P B C 是以点P 为直角顶

点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;

如果不存在,请说明理由.

(3

)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得?Q C O 二?Q O A 和?Q A B 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点

Q 的坐标;

如果不存在,请说明理由.(第25题)

26.(2012 山东日照)

如图,二次函数y =x 2

+b x +c 的图象与x 轴交于A 二B 两点,且点A 坐标为(-3,0

),经过点B 的直线交抛物线于点D (-2,-3).(1)求抛物线的解析式和直线B D 的解析式;

(2)过x 轴上点E (a ,0)(点E 在点B 的右侧)作直线E F

?B D ,交抛物线于点F ,是否存在实数a 使四边形B D F E 是平行四边形?如果存在,求出满足条件的a ;

如果不存在,请说明理由.(第26题)

?3.1一开放探究

1.答案不唯一,比如:x+y=1,

x-y=3

{等.

2.答案不唯一,比如:7,8,π

3.答案不唯一,比如:2,3,4

4.答案不唯一,比如:-2,-3

5.答案不唯一,比如:-2,-3

6.答案不唯一,比如:a a5=a6,a2 a4=a6,a8?a2=a6, (a2)3=a6

7.答案不唯一,比如:x2-4,x2-3

8.答案不唯一,比如:y=-6x+1.

9.答案不唯一,比如:y=-1x.

10.答案不唯一,比如:y=1x.

11.答案不唯一,比如:y=18x.

12.答案不唯一,如:A B=A C或?B=?C或?B E D=?C F D或?A E D=?A F D.

13.答案不唯一,比如:A E=C F.

14.答案不唯一,如:A F=C E.

15.答案不唯一,如:?A=90?.

16.原式=x x+1,由于当x=-1或x=1时,分式的分母为0,故取x的值时,不可取x=-1或x=1,不妨取x=2,此时原式=22+1=23.

17.原式=a+1a.因为a?0,a??2,所以a可以等于1,当a =1时,原式=2.

18.答案不唯一,如由题意可得不等式组:2x>6,

x-4<0.

{此不等

式组的解集为3<x<4.

在数轴上表示为:

(第18题)

19.补充条件:E F=B C,可使得?A B C??D E F.

理由如下:

?一A F=D C,

?一A F+F C=D C+F C.

即一A C=D F.

?一B C?E F,

?一?E F D=?B C A.

在?E F D和?B C A中,

D F=A C,?

E

F D=?B C A,E F=B C,

?一?A B C??D E F(S A S).

20.本题答案不唯一,下列解法供参考.

该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(k m)与他所用的时间x(m i n)的关系.

小明以400m/m i n的速度匀速骑了5m i n,在原地休息了6m i n,然后以500m/m i n的速度匀速骑车回出发地.21.答案不唯一,如:题设:①②③;结论:④.

?一B F=E C,

?一B F+C F=E C+C F.

即一B C=E F.

在?A B C和?D E F中,

A B=D E,?B=?E,

B C=E F,

?一?A B C??D E F(S A S).

?一?1=?2.

22.(1)如果①②,那么③;如果①③,那么②.(2)若选择如果①②,那么③.

?一A E?D F,

?一?A=?D.

?一A B=C D,

?一A B+B C=B C+C D.

即一A C=D B.

在?A C E和?D B F中,

?E=?F,?A=?D,A C=D B,

?一?A C E??D B F(A A S).

?一C E=B F;

若选择如果①③,那么②,

?一A E?D F,

?一?A=?D.

在?A C E和?D B F中,

?E=?F,?A=?D,E C=F B,

?一?A C E??D B F(A A S).

?一A C=D B.

?一A C-B C=D B-B C.

即一A B=C D.

23.(1)?一顶点A的横坐标为x=--22=1,且顶点A在y =x-5上,

?一当x=1时,y=1-5=-4.

?一A(1,-4).

(2)?A B D是直角三角形.

将A(1,-4)代入y=x2-2x+c,得1-2+c=-4,?一c=-3.

?一y=x2-2x-3.

?一B(0,-3).

当y=0时,x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3.

?一C(-1,0),D(3,0).

?一B D 2=O B 2+O D 2=18,A B 2=(4-3)2+12=2,A D 2=(3-1)2+42=20,?一B D 2+A B 2

=A D 2.

?一?A B D =90?.

即一?A B D 是直角三角形.(3

)存在.(第23题)

由题意知,直线y =x -

5交y 轴于点E (0,-

5),交x 轴于点F (5,0).

?一O E =O F =5.

又一O B =O D =3,

?一?O E F 与?O B D 都是等腰直角三角形.?一B D ?l ,即一P A ?

B D .

则构成平行四边形只能是P A D B 或P A B D .如图,过点P 作y 轴的垂线,过点A 作x 轴的垂线并交

于点G .

设P (x 1,x 1-5),则G (1,x 1-

5),则P G =|1-x 1|,A G =|-4-(x 1-5)|=|1-x 1

|,P A =B D =32,

由勾股定理,得

(1-x 1)2+(1-x 1)2=18,x 1=-

2或4.?一P (-2,-7)或P (4,-1).存在点P (-2,-7)或P (4,-1)使以点A 二B 二D 二P 为顶

点的四边形是平行四边形.

24.(1)将A (-1,0)二B (3,0)二C (0,3)代入抛物线y =a x 2+

b x +

c 中,

得a -b +c =0,

9a +3b +c =0,

c =3,

{

解得a =-1,

b =2,

c =3.

{

?一抛物线的解析式y =-x 2

+2x +3.

(2)连接B C ,直线B C 与直线l 的交点为点P .设直线B C 的解析式为y =k x +b ,将B (3,0)二C (0,3)代入上式,得

3k +b =0,b =3,{

解得

k =-1,

b =3.

{

?一直线B C 的函数关系式为y =-x +3.

当x =1时,y =2,

即点P 的坐标(1,2).(3)抛物线的对称轴为x =-b 2a =1,设M (1,m )

,已知A (-1,0)二C (0,3

),则MA 2=m 2+4,M C 2=m 2-6m +10,A C 2

=10;①若MA =M C ,

则MA 2=M C 2,得m 2+4=m 2-6m +10,得m =1;②若MA =A C ,则MA 2=A C 2,得m 2+4=10,

得m =?6;③若M C =A C ,则M C 2=A C

2,得m 2-6m +10=10,得m 1=0,m 2=6.当m =6时,M 二A 二C 三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去.

综上可知,符合条件的点M 存在,且坐标为M (1,6)

,(1,-6)

,(1,1),(1,0).25.(1)点B 的坐标为(b ,0

),点C 的坐标为0,b 4

().

(2)假设存在这样的点P ,使得四边形P C O B 的面积等于

2b ,且?P B C 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形.设点P 坐标为(x ,y )

,连接O P ,则S 四边形P C O B =S ?P C O +S ?P O B =

12 b 4 x +12

b y =2

b ,?一x +4y =1

6.过点P 作P D ?x 轴,P E ?y 轴,垂足分别为D 二E ,?一?P E O =?E O D =?O D P =90?.

?一四边形P E O D 是矩形.

?一?E P D =90?.

?一?P C B 是等腰直角三角形,?一P C =P B ,?C P B =90?.

?一?E P C =?D P B .?一?P E C ??P D B .

?一P E =P D ,即x =y .由

x =y ,

x +4y =16.{

解得x =165

,y =1

65.

ì?í

???由?P E C ??P D B 得E C =D B ,即165-b 4=b -165,

解得b =12825>2符合题意.

?一点P 坐标为

165,

165()

.(3)假设存在这样的点Q ,使得?Q C O 二?Q O A 和?Q A B 中的任意两个三角形均相似.?一?Q A B =?A O Q +?A Q O ,

?一?Q A B >?A O Q ,?Q A B >?A Q O .?一要使?Q O A 和?Q A B 相似,只能?O A Q =?Q A B

=90?,即Q A ?x 轴.?一b >2,?一A B >O A .

?一?Q O A >?Q B A .

?一只能?Q O A =?A Q B ,此时?O Q B =90?.

由Q A ?x 轴知Q A ?y 轴,

?一?C O Q =?O Q A .

?一要使?Q O A 和?O Q C 相似,只能?O C Q =90?或?O Q C =90?.

(Ⅰ)当?O C Q =90?时,?Q O A ??O Q C ,?一A Q =C O =b

.由A Q 2=O A A B ,得b 4

()

=b -1,

解得b =8?43.?一b >2,

?一b =8+43,b

=2+3.

?一点Q 的坐标是(1,2+3).

(Ⅱ)当?O Q C =90?时,?Q O A ??O C Q ,

?一

O Q C O =A Q Q

O ,即O Q 2=O C A Q .又一O Q 2=O A A B ,

?一O C A Q =O A A B ,即b 4 A Q =1?b .

解得A Q =4,此时b =17>2符合题意.

?一点Q 的坐标是(1,4).

?一综上可知,存在点Q (1,2+3)或Q (1,4),使得?Q C O 二?Q O A 和?Q A B 中的任意两个三角形均相似.

26.(1)将A (-3,0),D (-2,-3)的坐标代入y =x 2+b x +c

得,

9-3b +c =0,

4-2b +c =-3.{

解得

b =2,

c =-3.

{

故抛物线的解析式为y =x 2+2x -3.由x 2+2x -3=0,

得x 1=-3,x 2=

1,?一点B 的坐标是(1,0).

设直线B D 的解析式为y =k x +b ,则k +b =0,

-2k +b =-3.

{

解得

k =1,

b =-1.

{

故直线B D 的解析式为y =x -1.

(2)?一直线B D 的解析式是y =x -1,且E F ?B D ,?一直线E F 的解析式为y =x -a .

若四边形B D F E 是平行四边形,则D F ?x 轴.?一D 二F 两点的纵坐标相等,即点F 的纵坐标为-3.由

y =x 2

+2x -3,y =x -

a ,{

得y 2+(2a +1)y +a 2+2a -3=0,解得y =-(2a +1)?13-4a 2.

令-(2a +1)?13-4a 2

=-3,

解得a 1=1,a 2=

3.当a =1时,点E 的坐标为(1,0),这与点B 重合,舍去;当a =3时,点E 的坐标(3,0

),符合题意.?一存在实数a =3,使四边形B D F E 是平行四边形.

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