历年数列高考题汇编答
案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
历年高考《数列》真题汇编
1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中,113
a =,公比1
3q =.
(I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12n
n a S -=
(II )设31323log log log n n b a a a =++
+,求数列{}n b 的通项公式.
解:(Ⅰ)因为.31)3
1
(311
n n n a =?=-,23113
11)311(3
1n
n n S -=--= 所以,2
1n
n a S --
(Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++= )
.......21(n +++-= 2
)
1(+-
=n n
所以}{n b 的通项公式为.2
)
1(+-
=n n b n 2、(2011全国新课标卷理)
等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.
(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??
????
的前项和.
解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32349a a =所以21
9
q =
。有条件可知a>0,故1
3
q =。
由12231a a +=得12231a a q +=,所以11
3
a =。故数列{a n }的通项式为
a n =13
n 。 (Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++
(12...)(1)2
n n n =-++++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21
n n -+
3、(2010新课标卷理)
设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S
解(Ⅰ)由已知,当n ≥1时,111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+
21233(222)2n n --=++
++2(1)12n +-=。
而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。 (Ⅱ)由212n n n b na n -==?知
35211222322n n S n -=?+?+?+
+? ①
从而 23572121222322n n S n +?=?+?+?+
+? ②
①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-?=+++
+-? 。
即 211
[(31)22]9n n S n +=-+
4、(20I0年全国新课标卷文) 设等差数列{}n a 满足35a =,109a =-。 (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。 解:(1)由a m = a 1 +(n-1)d 及a 1=5,a 10=-9得
112599{
a d a d +=+=-
解得
19
2
{a d ==-
数列{a n }的通项公式为a n =11-2n 。 ……..6分
(2)由(1) 知S n =na 1+
(1)
2
n n -d=10n-n 2。
因为S n =-(n-5)2+25.
所以n=5时,S n 取得最大值。 5、(2011年全国卷)
设等差数列{}n a 的前N 项和为n S ,已知26,a =12630,a a +=求n a 和n S
6、( 2011辽宁卷)
已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10 (I )求数列{a n }的通项公式; (II )求数列?
??
??
?-12n n a 的前n 项和. 解:(I )设等差数列{}n a 的公差为d ,由已知条件可得11
0,
21210,a d a d +=??+=-?
解得11,
1.
a d =??=-?
故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 (II )设数列1
{
}2
n n n a n S -的前项和为,即2
111,122
n
n n a a S a S -=+++
=故, 12
.224
2n n
n
S a a a =+++
所以,当1n >时,
121
1111222211121()2422
121(1)22
n n n n n n
n n n n
S a a a a a a n n
------=+++--=-+++--=---
=
.2n n 所以1.2
n n n S -= 综上,数列11{
}.22
n n n n a n
n S --=的前项和 7、(2010年陕西省)
已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n }的通项;
(Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n . 解 (Ⅰ)由题设知公差d ≠0, 由a 1=1,a 1,a 3,a 9成等比数列得
121d +=1812d
d
++, 解得d =1,d =0(舍去), 故{a n }的通项a n =1+(n -1)×1=n . (Ⅱ)由(Ⅰ)知2m
a =2n ,由等比数列前n 项和公式得
S n =2+22
+23
+ (2)
=2(12)12
n --=2n+1
-2
8、(2009年全国卷)
设等差数列{n a }的前n 项和为n s ,公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为
n T ,已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。
解: 设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q
由3317a b +=得212317d q ++= ① 由3312T S -=得24q q d +-= ②
由①②及0q >解得 2,2q d == 故所求的通项公式为 121,32n n n a n b -=-=? 9、(2011福建卷)
已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (I )求数列{a n }的通项公式;
(II )若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.
10、(2011重庆卷)
设
是公比为正数的等比数列,
,
.
(Ⅰ)求的通项公式。
(Ⅱ)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列
的前项和
.
11、(2011浙江卷)
已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈,且
11a ,21a ,4
1
a 成等比数列.
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)对*N n ∈,试比较
n a a a a 2
322221...111++++与11
a 的大小.
解:设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意可知2214
111()a a a =? 即2111()(3)a d a a d +=+,从而21a d d = 因为10,.d d a a ≠==所以
故通项公式.n a na =
(Ⅱ)解:记2
222211
1
,2n n
n n T a a a a a =
+++
=因为
所以211(1())
111111122()[1()]1222
2
12
n n n n T a a a -=
+++=?=--
从而,当0a >时,11n T a <
;当1
10,.n a T a <>时
12、(2011湖北卷)
成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。 (I) 求数列{}n b 的通项公式;
(II) 数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:数列54n S ?
?
+
????
是等比数列。
13、(2010年山东卷)
已知等差数列{}n a 满足:73=a ,2675=+a a ,{}n a 的前n 项和为n S (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令1
12
-=
n n a b (*
N n ∈),求数列{}n b 的前n 项和为n T 。 解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,
由于73=a ,2675=+a a ,所以721=+d a ,261021=+d a , 解得31=a ,2=d ,由于d n a a n )1(1-+=,2
)
(1n n a a n S += , 所以12+=n a n ,)2(+=n n S n
(Ⅱ)因为12+=n a n ,所以)1(412+=-n n a n
因此)1
1
1(41)1(41+-=+=
n n n n b n
故n n b b b T +++= 21)1
113121211(41+-++-+-=
n n )1
1
1(41+-=
n )1(4+=
n n 所以数列{}n b 的前n 项和)1(4+=n n T n 14、(2010陕西卷)
已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n }的通项;
(Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n .
解 (Ⅰ)由题设知公差d ≠0, 由a 1=1,a 1,a 3,a 9成等比数列得
121d +=1812d
d
++, 解得d =1,d =0(舍去), 故{a n }的通项a n =1+(n -1)×1=n . (Ⅱ)由(Ⅰ)知2m
a =2n ,由等比数列前n 项和公式得
S m =2+22
+23
+ (2)
=2(12)12
n --=2n+1
-2.、
15、(2010重庆卷)
已知{}n a 是首项为19,公差为-2的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和. (Ⅰ)求通项n a 及n S ;
(Ⅱ)设{}n n b a -是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .
16、(2010北京卷)
已知||n a 为等差数列,且36a =-,60a =。 (Ⅰ)求||n a 的通项公式;
(Ⅱ)若等差数列||n b 满足18b =-,2123b a a a =++,求||n b 的前n 项和公式
解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差d 。
因为366,0a a =-= 所以11
26
50a d a d +=-??+=? 解得
110,2a d =-=
所以10(1)2212n a n n =-+-?=-
(Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-
所以824q -=- 即q =3
所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)
4(13)1n n n b q S q
-=
=-- 17、(2010浙江卷)
设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数{a n }的前n 项和为S n ,满足S 2S 6+15=0.
(Ⅰ)若S 5=S .求S n 及a 1;
(Ⅱ)求d 的取值范围. 解:(Ⅰ)由题意知S 0=
5
-15
S -3,a =S -S =-8 所以11
105,58.Sa d a d +=??-=-?解得a 1=7所以S =-3,a 1=7
(
Ⅱ)因为SS +15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12+9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d )2=d 2-8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤-22 18、(2010四川卷) 已知等差数列
{}
n a 的前3项和为6,前8项和为-4。 (Ⅰ)求数列{}
n a 的通项公式;
(Ⅱ)设
1*(4)(0,)
n n n b a q q n N -=-≠∈,求数列
{}
n b 的前n 项和
n
S
Ⅱ)由(Ⅰ)得解答可得,1
n n b n q -=,于是
0121
123n n S q q q n q -=+++
+.
若1q ≠,将上式两边同乘以q 有()121121n n
n qS q q n q n q -=+++-+.
两式相减得到
()121
11n n n q S n q q q q --=-----
11n n
q nq q -=-
- ()1
11
1n n nq
n q q +-++=-.
于是
()()
12
11
1n n n nq n q S q +-++=
-.
若1q =,则
()11232n n n S n +=+++
+=
.
所以,()
()()()()1
21,1,211,1.1n n n n n q S nq n q q q ++?=??
=?-++?≠?-?…………………………………(12分) 19、(2010上海卷)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且585n n S n a =--,*n N ∈ 证明:{}1n a -是等比数列;
解:由*585,n n S n a n N =--∈ (1) 可得:1111585a S a ==--,即114a =-。 同时 11(1)585n n S n a ++=+-- (2) 从而由(2)(1)-可得:1115()n n n a a a ++=--
即:*15
1(1),6
n n a a n N +-=-∈,从而{1}n a -为等比数列,首项1115a -=-,公比
为56,通项公式为15115*()6n n a --=-,从而15
15*()16n n a -=-+ 20、(2009辽宁卷) 等比数列{n a }的前n 项和为n
s ,已知
1S ,3S ,2
S 成等差数列
(1)求{n
a }的公比q ;
(2)求
1a -3a =3,求n s
解:(Ⅰ)依题意有
)(2)(2
111111q a q a a q a a a ++=++ 由于 01≠a ,故
022
=+q q 又0≠q ,从而
21
-
=q
(Ⅱ)由已知可得3212
1
1=--)(a a
故41=a
从而)
)(()
()
)((n n
n 211382112114--=----=S