数字信号处理(方勇)第三章习题答案
3－1 画出)
5.01)(25.01()
264.524.14)(379.02()(2
1
1
2
1
1
------+--+--=z z
z z
z
z
z H 级联型网络结构。
解：
2
4
3－2 画出11
2
1
1
2
(23)(465)
()(17)(18)
z z z
H z z z
z
--------+=--+级联型网络结构。
解：
()
x n ()
y n 24
3－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为1
2
11
2
52333()111(1)(1)
3
2
2
z
z
H z z z
z
-----+
+=
-
+
+
，试画出其并联型网络结构。
解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：
()H z 1
1
1
2
2111111322
z z
z
z
----+=+-
+
+
由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：
)
题3-3图
3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)H z z z z ---=-++，画出该FIR
滤波器的线性相位结构。
解： 因为121123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z z z z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类
线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：
()
x n 1-1
-1
z -
题3-4图
3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为：
1
2
3
4
5
()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z z
z
z
z
z
-----=+--++
求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。
解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5
阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。而最高阶5-z 的系数为
+1，所以1-=z 为其零点。)(z H 中包含11-+z 项。所以：1
1()()(1)H z H z z -=+。
1()H z 为一四阶子系统，设1234
1()1H z bz cz bz z ----=++++，代入等式，两边相
等求得1234
1()10.2530.25H z z z z z ----=+-++，得出系统全部零点，如图3-5（b ）
所示。 系统流图如题3-5（a ）图所示。
)
(n x )
(n y 1
-z
1
-z
1
-z
题3-5（a ）图
MATLAB 程序如下，结果如题3-5（b ）图所示： b=[1 1.25 -2.75 -2.75 1.25 1];
a=[1]; figure(1) zplane(b,a);
figure(2);
OMEGA =-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEGA);
subplot(2,1,1),plot(OMEGA ,abs(H));
subplot(2,1,2),plot(OMEGA ,180/pi*unwrap(angle(H)));
题3-5（b ）图
3－6 给定2
6
()1(164)H j Ω=+Ω，确定模拟滤波器的系统函数()H s 。 解：根据给定的平方幅度响应，得
2
6
23
11()
1641(
)
0.5
H j ?Ω=
=Ω+Ω
+
与2
21()1(
)
N
c
H j Ω=
Ω+Ω比较，得到3,0.5c N =Ω=。取左半平面的三个极点，得
1262θπππ=+=，极点111(cos sin )c s j θθ=Ω+；
222θπππ=+=，极点222(cos sin )c c s j θθ=Ω+=-Ω；
因此由()()
N
c
k k
H s s s Ω=
-∏，得
3
123()()()()
c
H s s s s s s s Ω=
---
对共轭极点1s ，3s 有
22
13111()()()()2cos c c s s s s s s s s s s θ*
--=--=-Ω+Ω
代入上式，得
2
0.125
()(0.5)(0.50.25)
H s s s s =
+++
3－7 模拟低通滤波器的参数如下：3dB p α=，25dB s α=，25H z p f =，50Hz s f =，
用巴特沃斯近似求()H s 。
解：已知3dB p α=，25dB s α=，25H z p f =，50Hz s f =，确定巴特沃斯滤波器的阶
数如下：
250lg
)lg
)225
s p
N ππΩ?≥=Ω?
50lg ) 4.1525
==
取 5N =。
本题由于p α正好是3dB ，故低通滤波器的3dB 截止频率为：
222550157()c p p f rad s πππΩ=Ω==?==
或者，由下式来求取c Ω。
1
1
0.10.13
210
225
157()(10
1)(10
1)p
p
c N ra
d s απ?Ω?Ω=
=
=--
将c Ω代入五阶巴特沃斯模拟低通传递函数
5
4
3
2
1
()(
) 3.236(
) 4.236(
) 4.236(
) 3.236(
)1
c
c
c
c
c
H s s s s s s =
+?+?+?+?+ΩΩΩΩΩ 11
59
49
46
34
2
1
1.04810
5.32610
5.32610
1.09510
1.71910
0.0211
s s s s s s -----=
?+?+?+?+?++
3－8 已知1()1/a c
H s s =
+Ω，使用脉冲响应不变法和双线性方法分别设计数字低通滤波
器，使得3dB 截止频率为c ω=0.25π。
解：（1）双线性变换法：3d B 截止频率为c ω=0.25π，20.250.828tan(
)2
c T T
πΩ=
=
于是1()1/0.828
a H s sT =
+
∴1
1
11
2111
()()
1(2/0.828)[(1)(1)]
a z s T z H z H s z z -----=?
+==
+-+
=0.2920
1
1
110.4159z
z
--+-
参数T 不参与设计
（2）脉冲响应不变法：3d B 截止频率为c ω=0.25π，20.250.828tan(
)2
c T
T
πΩ==
于是1()1/0.828
a H s sT =
+0.828/0.828/T s T
=
+
因为脉冲响应不变法是由下面的映射完成的：
1
111l p T
l
s p e
z
--→
+-
所以0.828/1
0.828
1
0.828/0.828/()11T T
T T H z e
z
e
z
-?--?-=
=
--
3－9 用脉冲响应不变法将()H s 转换为()H z ，采样周期为T
0()()
m
A H s s s =-，其中m 为任意整数
解： []0-1
1
()()()(1)!
s nT
m A h t H s e
t
u t m -==
-L
01
()()()(1)!
m
s nT
m AT
h n Th nT n
e
u n m -==
-
[]0011
1
1
1
10
1()()(1)
(1)!
(1)!
1m
m
m s nT
m n
m m s T m n AT
AT
d
H z h n n
e
z
z
m m dz
e z -∞
------=??
==
=
- ?
---??
∑L 上式递推可得：
00011
1,1
1(),2,3,(1)s T s T m s T m AT m e z H z AT e z m e z ---?
=?-?
=??=?-?
3－10 要求设计一个数字低通滤波器，在频率低于0.2613ωπ=的范围内，低通幅度特性
为常数，并且不低于0.75d B ，在频率0.4018ωπ=和π之间，阻带衰减至少为20d B 。试求出满足这些指标的最低阶巴特沃斯滤波器的传递函数)(z H ，采用双线性变换。
解：令2
()a H j Ω为模拟滤波器的平方幅度函数，且由于采用双线性变换，2tan(/2)T
ωΩ=
若1T =，故我们要求
0.261320lg (2tan())0.75
20.401820lg (2tan(
))20
2
a H j H a j π
π
≥-≤-
因此巴特沃斯滤波器的形式为：
2
21
()
1(/)
a N
a H j Ω=
+ΩΩ
所以
20.075
22
2tan(0.1306)
1()102tan(0.2009)
1(
)
10
N
c
N
c
ππ+=Ω+=Ω
因此：2
0.075
1lg[(101)/(10
1)]
2lg[tan(0.2009)/tan(0.1306)]
N ππ--=
=
1lg[99/0.1885]220.136160.36153?
-+
=1 2.72033 6.035252
0.22537
?
=
指标放松一点，可以取6N =，代入上式得
26
2
1/12
2tan(0.2009)
1()
10
2tan(0.2009)
99
0.9967
c
c
c ππ?+=Ω=
ΩΩ=
对于这个0.9967c Ω=值，通带技术指标基本达到，阻带技术指标刚好满足，在s 平
面左半部由三个极点对，其坐标为1
()
2(1)
c j N
p s Ω=-。极点对1：0.25790.9627j -±；
极点对2：0.70470.7047j -±；极点对3：0.96270.2579j -±。 于是 2
2
2
0.9804
()(0.51580.9933)( 1.40940.9933)( 1.92560.9933)
a H s s s s s s s =
++++++
以112(1)/(1)s z z --=-+代入上式，最后可得
16
1
2
0.0044(1)()1 1.09150.8127z H z z
z
---+=
?
-+121
2
10.86910.443410.93920.5597z z z
z
-----+-+
3－11 试设计一巴特沃斯数字低通滤波器，设计指标为：在0.3π通带频率范围内，通带幅
度波动小于1d B ，在0.5π π阻带频率范围内，阻带衰减大于12d B 。 解： 由题意可以得出：p ω＝ 0.3πrad , p α＝1dB
s ω＝ 0.5πrad , s α＝12dB
（1）频率预畸变
p Ω
＝
2
2p
tg
T
ω
＝
π15.02tg T ＝ 1.019/T rad/s
s Ω＝
2
2s
tg
T
ω ＝
π25.02
tg T
＝ 2/T rad/s
（2）确定滤波器阶数：
sp k ＝
1
10
1101.01.0--s
p
αα
＝1
10
1102
.11.0-- ＝ 0.1321
sp λ＝
p
s Ω
Ω ＝
T
T 019.11
2?
＝1.9627
N ＝ －
sp
sp k λlg lg ＝ －
9627
.1lg 1321.0lg ＝ 3.002 ， 取N ＝ 3
（3）查表求归一化低通滤波器函数
)(p H a ＝
1
221
2
3
+++p p p
（4）求模拟滤波器系统函数 110.10.1
26
1.019 1.2764(10
1)
(10
1)
p
N
c p T
T
α-
-
Ω=Ω-=
-=
（/rad s ）
)(s H a ＝ )(p H a c
s p Ω=
|
＝
3
3
2
23
22c
c c c s s s Ω+Ω+Ω+Ω
3
3
2
2
2
2.0793
2*1.27642*1.2764 2.0793
s T T s Ts =
+++
(5) 求系统函数)(z H
将 1
12(1)(1)
z s T z ---=
+代入得：)(z H =
1
2
3
1
2
3
0.07660.23270.23270.076610.80040.50400.6799z z
z
z
z z
------+++-+-
3－12 用双线性变换法设计数字低通滤波器，等效模拟滤波器指标参数如下：输入模拟信号
)(t x a 的最高频率100H d f z =；选用巴特沃斯滤波器，3d B 截止频率100H c f z =，
阻带截止频率150H s f z =，阻带最小衰减s α=20d B 。
解：（1）因为采用双线性变换法设计，数字频率ω与相应的模拟频率Ω之间为非线性关系
??
? ??
=Ω2tan 2ωT 。但采样数字滤波器要求其中的数字滤波器)(jw
e H 与总等效模拟滤
波器)(Ωj H a 之间的频率映射关系为线性关系ω＝T Ω。所以，不能直接按等效模拟滤波器技术指标设计相应模拟滤波器)(s H a ，再将其双线性变换法映射成数字滤波器()H z 。
因此，我们必须按)(jw
e H ???
????? ??
Ω∑∑∞
-∞
==Ω∞
-∞
=k T j H k T j j H k a T
k a πωπω22/－＝
＝ 将等效模拟滤波器指标参数转换成采样数字滤波器系统中数字滤波器指标参数，再用双线性变换法的一般步骤设计该数字滤波器。 通带边界频率：p ω＝T f p π2＝4001002?π＝rad 2π
；通带最大衰减：p α＝3 d B
阻带截至频率：s ω＝T f s π2＝
400
1502?π＝
rad 4
3π
；阻带最小衰减：s α＝20 d B
以下为双线性变换法设计数字滤波器的一般过程。 （2）预畸变校正，确定相应的模拟滤波器指标参数：
p Ω＝
2
tan
2p T
ω＝8004
tan
π
＝800s rad /，p α＝3 d B
s Ω＝
2
tan
2s
T
ω＝8008
3tan
π＝1931.37s rad /，s α＝20d B
（3）确定滤波器阶数N ：
sp k ＝
1
10
1101.01.0--s
p
αα
＝
1
10
1102
3.0--＝0.1003
sp λ＝
p
s Ω
Ω＝
800
37.1931＝2.414
N ＝sp
sp k λlg lg -
＝414
.2lg 1003.0lg -
＝2.609
取 N ＝3。
（4）查表求归一化低通滤波器函数
)('
p H a ＝
2
3
1
122p p p
+++
（5）求模拟滤波器系统函数
)(s H a ＝800
')
(s s p a
c
p H =
Ω=
＝
8
6
2
3
3
8
10
12.51028.1106.110
12.5?+?+?+?s s s
(6) 求系统函数)(z H ()z H ＝1
1112)
(--+-=z z T s a s H
＝
3
16
2
1
15
3
2
1
10362.33333.010
3278.111667.05.05.01667.0------?++?-+++z
z
z
z
z z
3－13 试设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率0.8p ωπ=rad 。阻带上限频率为
0.44s ωπ=，通带衰减不大于3d B ，阻带衰减不小于20d B 。
解：（1）已知数字高通滤波器指标：
p ω＝0.8πrad ， p α＝3d B
s ω＝0.44πrad ， s α＝20d B
（2）由于设计的是高通数字滤波器，所以采用双线性变换法，所以要进行预畸变校正，确定相应的模拟高通滤波器指标（为了计算方便，取T ＝2s ）：
p Ω＝
2
2p
tg
T
ω
＝π4.0tg ＝3.0777rad/s
s Ω＝
2
2s
tg
T
ω ＝π22.0tg ＝ 0.8273rad/s
（3）将高通滤波器指标转换成模拟低通指标。高通归一边界频率为（本题p Ω＝c Ω）：
p η＝
c
p
ΩΩ
＝1 s η＝
0.82730.26883.0777
s p
Ω==Ω
低通指标为：
p λ＝
p
η
1
＝1
s λ＝
s
η1
＝3.7203
（4）设计归一化低通)(p G :
sp k ＝
1
10
1101.01.0--s
p
αα
＝1
10
1108
.13.0-- ＝ 0.1003
sp λ＝
p
s λλ ＝ 3.7203
N ＝ －
sp
sp k λlg lg ＝1.75，取N ＝2
查表可得
)(p G ＝
1
212
++
p p
（5）频率变换，求模拟高通()s H a ：
()s H a ＝ ()p G a |
p p s
Ω=
2
2
2
4.35259.4722
s
s s =
++
（6）用双线性变换法将()s H a 转换成()z H ： ()z H ＝ ()s H a |s ＝1
1
11--+-z
z ＝11
-12
-1
2
1s=
10.06745(1-z )
()
=
1+1.143z 0.428a z z
H s z
----++
3-14 一个数字系统的抽样频率2000H z s F =，试设计一个为此系统使用的带通数字滤波器
()H z ，希望采用巴特沃斯滤波器，通带范围为300H z 到400H z ，在带边频率处的
衰减不大于3d B ；在200H z 以下和500H z 以上衰减不小18d B 。 解：（1）确定带通滤波器技术指标：因为2/s f F ωπ=，所以得出：
0.4u ωπ= rad ， 0.3l ωπ= rad
20.5s ωπ= rad ， 10.2s ωπ= rad
通带内最大衰减3p α=d B ，阻带内最小衰减15s α=d B 。 （2）确定相应模拟滤波器技术指标。为计算简单，设2T s =。
u Ω＝
2
2u
tg
T ω＝0.20.7265tg π= /rad s
l Ω＝
2
2
l
tg
T ω＝0.150.5095tg π= /rad s
1s Ω＝
2
21
s tg
T
ω＝0.10.3249tg π= /rad s
2s Ω＝
2
22
s tg
T
ω＝0.251tg π= /rad s
通带中心频率
0Ω
0.6084= /rad s
带宽
B ＝u Ω－0.217l Ω= /rad s
将以上边界频率对B 归一化，得到相应归一化带通边界频率：
u η＝ 3.3479u B Ω= ， l η＝
2.3479l B Ω=
2s η＝
2 4.6081s B
Ω=， 1s η＝
1 1.4973s B
Ω=
0η
2.8037=
（3）由归一化带通指标确定相应模拟归一化低通技术指标。 归一化阻带截止频率为：
s λ＝
2
2
20
2
2.9026s s ηηη-=
归一化通带截止频率为
1p λ=
3p α=d B ， 18s α=d B
（4）设计模拟归一化低通()G p
sp k ＝
1
10
1101.01.0--s
p
αα
0.1266=
sp λ＝ 2.9026s p
λλ=
N = －lg lg sp sp
k λ= －
lg 0.1266 1.9394lg 2.9026
=
取2N =，因为1.9394很接近2，所以取2N =基本满足要求，且系统简单。 查表可得归一化低通系统函数：
)(p G ＝
1
412.11
2
++p p
（5）频率变换，将()G p 转换成模拟带通()a H s
()s H a ＝22
()|
s p sB
G p +Ω=
＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
00() 1.412()B s
s s sB s B
+Ω++Ω+
＝
2
4
3
2
0.04710.78780.30640.11340.1370
s
s s s s ++++
（6）用双线性变换公式将()a H s 转换成
()()
a s H z H s =
=1
1112--+-z
z T ＝
24
1
2
3
4
0.0471(12)
2.3446
3.838 5.2464 3.066 1.505z
z
z
z z z
-------+-+-+
3-15 一个数字系统的抽样频率为1000H z ,已知该系统受到频率为100H z 的噪声干扰，
现设计一带阻滤波器()H z 去掉该噪声。要求3d B 的带边频率为95H z 和105H z ，阻带衰减不小于14d B ，阻带的下边和上边频率分别为99H z 和101H z 。 解： （1）确定带阻滤波器技术指标：因为2/s f F ωπ=，所以得出：
0.21u ωπ= rad ， 0.19l ωπ= rad 20.202s ωπ= rad ， 10.198s ωπ= rad
通带内最大衰减3p α=d B ，阻带内最小衰减14s α=d B 。 （2）确定相应模拟滤波器技术指标。为计算简单，设2T s =。
u Ω＝
2
2u
tg
T
ω＝0.1050.3424tg π= /rad s
l Ω＝
2
2l
tg
T ω＝0.0950.3076tg π= /rad s
1s Ω＝
2
21
s tg T
ω＝0.990.3214tg π= /rad s
2s Ω＝
2
22
s tg
T
ω＝0.1010.3284tg π= /rad s
阻带中心频率
0Ω
0.3245= /rad s
带阻带宽
B ＝u Ω－0.0348l Ω= /rad s
将以上边界频率对B 归一化，得到相应归一化带阻边界频率：
u η＝9.8447u B Ω= ， l η＝8.8442l B Ω=
2s η＝
29.4422s B
Ω=， 1s η＝
19.2409s B
Ω=
0η
9.3311=
（3）由归一化带阻指标确定相应模拟归一化低通技术指标。 归一化阻带截止频率为：
2
2
110/() 5.517
s s s ληηη-=-=-，22220/() 4.526s s s ληηη=-=
取 4.526s λ=，1p λ=。 （4）设计模拟归一化低通()G p
3p α=d B ， 18s α=d B
sp k ＝
1
10
1101.01.0--s
p
αα
0.2031=
sp λ＝ 4.526s p
λλ=
N = －lg lg sp sp
k λ= －
lg 0.2031 1.055lg 4.526
=
取1N =，因为1.055很接近1，所以取1N =，基本满足要求，且系统简单。 查表可得归一化低通系统函数：
)(p G ＝
1
1+p
（5）频率变换，将()G p 转换成模拟带阻()H s ()H s ＝2
2
()|
sB p s G p =
+Ω2
2
2
2
2
2
0.10530.03480.1053
s s s sB s s +Ω+=
=
++Ω++
（6）用双线性变换公式将()H s 转换成
2
12
1
1(
)0.1053
1
()()
=11(
)0.0348(
)0.1053
1
1z s z z z H z H s z z z z -=+-++=--++++=
1
2
1
2
0.969(1 1.633)
1 1.5830.939z z z
z
-----+-+
3－16 试用矩形窗口设计法设计一个FIR 线形相位低通数字滤波器，已知0.5c ωπ=，N =
21。画出()h n 和()20lg
(0)
H H ω曲线，再计算正、负肩峰值的位置和过渡带宽度。
解： 写出理想的频响为
12,()0,N j j c d c e
H e ω
ω
ωωωωπ
--??≤=?≤≤??
求得理想冲激响应为
110.50.522
0.50.5111()()222N N j n j
j j n
j n
d d h n H e
e d e
e
d e
d ω
π
ππω
ω
ωωπ
π
π
ωωωπ
π
π
-?
?--- ??
?-
--=
=
=
??
?
()()1s i n 0.5s i n 100.521102N n n N n n ππππ?-?
??-? ???-???
?????
?=
=--??- ?
?
?
计算得
1111111111(),0,,0,,0,,0,,0,,0.5,,0,,0,,0,,0,,0,97533579d h n ππππππππππ----??
=??
??
加矩形窗： ()()()d N h n h n R n =? 所以
1111111111()0,,0,,0,,0,,0,,0.5,,0,,0,,0,,0,,097533579d h n ππππππππππ----??
=????
即
(){0,0.0354,0,0.0455,0,0.0637,0,0.1061,0,0.3183,0.5,0.3183,0,0.1061,0,0.0637,0,0.0455,0,0.0354,0}
h n =----正、负肩峰值的位置如题3-16表所示。 题3-16表
过渡带宽度为
2244()()0.1921
c c N
N N
ππππωωπ+
--
=
==
利用MATLAB 演示其结果如题3-16图所示：
N=21;a=(N-1)/2;Wc=0.5*pi; n=[0:1:(N-1)]; m=n-a+eps;避免被零除 hd=sin(Wc*m)./(pi*m); [H1,W]=freqz(hd,1); figure(1); subplot(211);
stem(n,hd);xlabel('n');ylabel('h(n)'); subplot(212);
plot(W/pi,20*log10(abs(H1)/max(H1))); xlabel('频率');ylabel('幅频响应');
题3-16图 加矩形窗时的脉冲响应及其频谱图
3－17 试用窗函数法设计一个第一类线性相位FIR 数字高通滤波器，已知()j j d H e
e
ω
-ωα
=
，
3||,()04
j d H e
ω
π≤ω≤π=，30||4
π≤ω<
，对于矩形窗，过渡带宽度为。
（1）确定()h n 的长度；（2）求()h n 的表达式；（3）α=？ 解： （1）4,64,16
N N
ππ?ω=
== 偶数，取N =65 (2) 1()()2j j n
d d h n H e
e d πω
ω-π
=
ωπ
? 1
2c c
j j n
j j n
e
e
d e
e
d -ωπ-ωα
ω-ωα
ω-π
ω=
ω+
ωπ
??
1
3[sin(())sin(
())]()
4
n n n ππααπα=
----
)()()(65n R n h n h d =
(3) 1651322
2
N --α=
==
3－18 用矩形窗设计线性相位数字低通滤波器，理想滤波器传输函数()j d H e
ω
为：
,0||()0,||j j c
d c
e H e
ωαω
ωωωωπ-?≤≤=?≤≤?
（1）求出相应的理想低通滤波器的单位脉冲响应()d h n 。
（2）求出用矩形窗函数法设计的FIR 滤波器的()h n 表达式。
解：（1）----11()=
()22c
c
j j n
j j n
d d h n H e
e
d e
e
d ωπ
ω
ωωα
ωπ
ωωωπ
π
=
?
?
sin[()]
()
c n n ωαπα-=
-
（2）为满足线性相位条件，要求1=2
N α-，N 为矩形窗函数的长度。加矩形窗函数
得()h n 。
sin[()]
()()()()()
c d N N n h n h n R n R n n ωαπα-=?=
-。
3－19 用矩形窗设计线性相位高通滤波器，逼近滤波器传输函数()j d H e ω为
()j d H e ω
＝其他
,
0,π
ωωωα
<≤?
?
?-c j e
（1） 求出相应于理想低通的单位脉冲响应)(n h d ； （2） 求出矩形窗设计法的)(n h 表达式，确定α与N 之间的关系； （3） N 的取值有什么限制？为什么？ 解： （1） 直接IDTFT [()j d H e ω]计算：
)(n h d ＝
1()2j j n
d H
e e
d ωωπ
ωπ
π
-?
＝
12c j j n
j j n c e e d e e d ωαωωαωπωωωωππ---??+??-??
?? ＝
()()12c j n j n c e d e d ωαωαπωωωωππ---??+??-??
?? ＝
[])
()
()
()
()
(21αωαπαπαωαπ-------+--n j n j n j n j c c e
e
e
e
n j
＝
()[]()[]{}αωαπαπ----n n n c sin sin )
(1
＝)
()]
(sin[)(απαωαδ---
-n n n c
)(n h d 表达式中第2项???
?
??--)()](sin[απαωn n c 正好是截止频率为c ω的理想低通滤波器的单位脉冲相应。而)(αδ-n 对应于一个线性相位全通滤波器：
)(ω
j dap e
H ＝ωαj e -
即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。
（2）用N 表示
)(n h ＝)()(n R n h N d ?＝????
??
----)()](sin[)(απαωαδn n n c )(n R N
为了满足线性相位条件：
)(n h ＝)1(n N h --
要求α满足α＝
2
1-N
（3）N 必须取奇数。因为N 为偶数时（情况2），)(πj e H ＝0，不能实现高通。
3－20 使用频率取样设计法（第一种形式取样）设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。
已知0.5,51c N ωπ==。
解： 理想低通0到0.5π和1.5π到2π处幅度函数为1，其余为0。采样频率间隔为
2N
π=
251
π，c ω的位置在0.5(251)12.7ππ=，即12k =和13k =之间，其对称点位置是
()N k -，即(5113)38k =-=和(5112)39k =-=之间。对理想低通采样，可得
1,
012,3950
()0,
1338
k k H k k ≤≤≤≤?=?
≤≤?
第一类FIR DF 的相位特性为
(1)
50()51
k N k k N
πφπ-=-
=-
综合幅度和相位，FIR DF 的离散频域抽样值为
50
51,
012,3950()0,
1338j k e k k H k k π-??≤≤≤≤=?
?≤≤?
1
1()
()1j N
N j k j k N
e
H k H e
N
W
e
ωω
ω
----=-=
-∑
2512
1
515151sin sin()sin()22251
sin sin()sin()2251251j k k k e
k k ω
ωωωππωωπωπ-=??
??-+??????=
++?
?????
??-+?????
?
∑
3－21 用频率采样法设计第一类线性相位FIR 低通滤波器，要求通带截止频率 p ω=
3
π
，阻
带最大衰减25d B ，过渡带宽度ω?=
16
π
，问滤波器长度至少为多少才可能满足要求．
解： 因为阻带最大衰减为25d B 所以需要一个过渡点即1m = ，所以得出滤波器长度为
64/2)1(=?+≥ωπm N
3－22 利用频率采样法设计线性相位FIR 低通滤波器，设N ＝16，给定希望逼近滤波器的幅
度采样为
)(k H
dg
＝??
?
??===7,6,504389.03,2,1,01k k k ，，，
解：有希望逼近的滤波器幅度采样)(k H dg 可构造出)(jw
d e
H 的)(k H d ：
)(k H d ＝＝??
?
??11
,10,9,8,7,6,5,012,4,389.015,14,13,3,2,1,0,16
151====---k k k e e
k
j
k N
N j
α
ππ
)(n h ＝IDFT [)(k H d ]＝
∑=-15
1616)()(16
1
k kn
d
n R W k H =
n
j
j
n
j
j
n
j
j
n
j
j
j
j
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
158
1516
1548
416
1538
316
1528
216
158
16
151[16
1π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
-----+++++
]128
1216
15138
1316
15148
1416
15n
j
j
n
j j
n
j
j e
e
e
e
e
e
ππ
ππ
ππ
---+++=
???
??
???? ??-+????????? ??-+????????? ??-
+???21583cos 22154cos 22158cos 21161n n n πππ ?
??
????
????? ??-+215
2cos 778.0n π 阻带最小衰减接近－40dB 。 3－23 一个IIR 网络的差分方程为)(n y ＝
)()1(4
1n x n y ＋－，当输入序列)(n x ＝
)(21n u
时。
（1） 试求在无限精度运算下网络输出)(n y ,以及∞→n 时的输出稳态值。 （2） 当网络采用4=b 位字长的定点运算时，尾数采取截尾处理，试计算0≤
20n ≤以内21点输出值)(?n y 。并求其稳态响应)(?∞y
。 解： （1）由题中已知条件，可以得到该系统的系统函数
1
()1()1()
14Y z H z X z z
-=
=-
因此
)()4
1()(n u n h n
=
k
n
k k k n h k x n y ∑∑
=∞
-∞
==
-=
0)4
1
(21
)()()( ＝1
11()1412
14
n +-?-
1
21[1()]34
n +=-
故 2
lim ()3
n y n →∞=
（2）为了求?(),1,2,,20y
n n = ，我们首先求出()y n ，可以用下式进行迭代 1()(1)()4
y n y n x n =
-+
未量化则有：
1521853411365(0),(1),(2),(3),(4),(5),2832128
512
2048
y y y y y y =
=
=
=
=
=
量化后，有
?(0)0.1000?(1)0.1010?????(2)(3)(4)(5)(20)0.1010y
y
y
y y y y ========
可见其稳态响应值为?()0.1010y
∞=，所以实际实现时稳态值为0.625。 3－24 在用模型表示数字滤波器中舍入和截尾效应时，把量化变量表示()[()]y n Q x n =
()()x n e n =+，式中[Q ]表示舍入或截尾操作，()e n 表示量化误差。在适当的
假定条件下，可以假设()e n 是白噪声序列，即2
[()()]()x E e n e n m m σδ+=。舍入
误差的一阶概率分别是如题3-24（a ）图所示的均匀分布，截尾误差是如题3-24（b ）图所示的均匀分布。
数字信号处理试卷
数字信号处理试卷集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
数字信号处理试卷 一、填空题 1、序列()0n n -δ的频谱为 。 2、研究一个周期序列的频域特性，应该用 变换。 3、要获得线性相位的FIR 数字滤波器，其单位脉冲响应h （n ）必须满足条件： ； 。 4、借助模拟滤波器的H （s ）设计一个IIR 高通数字滤波器，如果没有强调 特殊要求的话，宜选择采用 变换法。 5、用24kHz 的采样频率对一段6kHz 的正弦信号采样64点。若用64点DFT 对其做频谱分析，则第 根和第 根谱线上会看到峰值。 6、已知某线性相位FIR 数字滤波器的一个零点为1+1j ，则可判断该滤波器 另外 必有零 点 ， ， 。 7、写出下列数字信号处理领域常用的英文缩写字母的中文含义： DSP ，IIR ，DFT 。
8、数字频率只有相对的意义，因为它是实际频率对 频率 的 。 9、序列CZT 变换用来计算沿Z 平面一条 线 的采样值。 10、实现IIR 数字滤波器时，如果想方便对系统频响的零点进行控制和调 整，那么常用的IIR 数字滤波器结构中，首选 型结构来实现该IIR 系统。 11、对长度为N 的有限长序列x （n ） ，通过单位脉冲响应h （n ）的长度 为M 的FIR 滤波器，其输出序列y （n ）的长度为 。若用FFT 计算x （n ） *h （n ） ，那么进行FFT 运算的长度L 应满 足 。 12、数字系统在定点制 法运算和浮点制 法运算中要进行尾数处理， 该过程等效于在该系统相应节点插入一个 。 13、，W k x l X DFT N k kl M ∑-==1 0)()( 的表达式是某 由此可看出，该序列的时域长度 是 ，M W 因子等于 ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点 之间的间隔是 。 14、Z 平面上点的辐角ω称为 ，是模拟频率Ω对 （s f ）的归一化，即ω= 。 15、在极点频率处，)(ωj e H 出现 ，极点离单位圆越 ，峰值 越大；极点在单位圆上，峰值 。 16、采样频率为Fs Hz 的数字系统中，系统函数表达式中1-z
数字信号处理填空题库
填空题(每空2分，共20分) 信号与系统的时域分析与处理 1.序列x(n)的能量定义为__________。 2.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是__________。 3.设两个有限长序列的长度分别为N 和M ，则它们线性卷积的结果序列长度为__________。 4.线性系统同时满足_____和_____两个性质。 5.某线性移不变系统当输入x(n) =δ(n-1)时输出y(n) =δ(n -2) + δ(n -3)，则该系统的单位冲激响应h(n) =__________。 6.序列x(n) = cos (3πn)的周期等于__________。 7.线性移不变系统的性质有______、______和分配律。 8. 已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是__________。 9.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是________。 10．序列x(n) = nR 4(n -1)，则其能量等于 _______ 。 11.两序列间的卷积运算满足_______，_______与分配率。 12信号处理有两种形式;其中一种是（ASP 模拟信号处理）;另一种是（DSP ：数字信号处理）。 13数字信号处理可以分为两类：信号(分析)和信号 (过滤) . 14数字信号是指 (时间) 和 (幅度)都离散的信号. 15．一个离散LTI 系统稳定的充要条件是系统的脉冲响应 h(n)满足关系式: ( ()h n ∞-∞<∞∑).LTI 离散系 统因果的充要条件是当且仅当 (h(n)=0,n<0). 16．互相关 ryx(l) 可以用卷积运算表示为（ryx(l)=y(l)*x(-l)）, 自相关 rxx(l)可写为 (rxx(l)=x(l)*x(-l) ) 17．若 LTI 系统的脉冲响应是有限长的,则该系统可称为(FIR:有限长脉冲响应) 滤波器, 否则称为 (IIR ：无 限长脉冲响应) 滤波器. 18．2n u(n)*δ(n-1)=( ). 0.8 n u(n)* 0.8 n u(n)=( ) 离散时间傅里叶变换（DTFT ） 1. 输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x(n)cos(4 πn)中包含的频率为__________。 2．输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x 2(n)中包含的频率为__________。 3．系统差分方程为y(n)=x(n)-x(n-1) 的系统被称为 (数字微分器). 4．实序列的DTFT 有两个重要属性:(周期性)和 (对称性), 根据这两个性质,我们只需要考虑[0,π]频率范围上的X(ejw) . 5．若DTFT[x(n)]= X(ejw), 则 DTFT[x*(n)]=(X*(e-jw)), DTFT[x(-n)]=( X(e-jw)); DTFT[x(n-k)]=( X(ejw) e-jwk). 6．DTFT[ (0.5)n u(n)]=（1 10.5jw e --）; 7．x(n)={ 1,2,3,4},DTFT[x(n)]=(1+2 e-jw+3 e-j2w+4 e-j3w ) .
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处
理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π
数字信号处理试卷及答案
A 一、 选择题（每题3分，共5题） 1、)6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作 20 点 DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 围时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分 习题答案 第1 1．简述典型实时数字信号处理系统组成部分。 答：包括：抗混叠滤波器（ Anti-aliasing filter ）、模数转换器 ADC （ Analog-to-Digital Converter ）、数字信号处理、数模转换器 DAC （ Digital-to-Analog Converter ）和抗镜像滤波器（ Anti-image filter ）。 2．简述X86 处理器完成实时数字信号处理的优缺点。 答：利用 X86 处理器完成实时数字信号处理。特点是处理器选择范围宽，主板及外设资源丰富，有多种操作 系统可供选择，开发、调试较为方便；缺点是数字信号处理能力不强，硬件组成较为复杂，系统体积、重量较大，功耗较高，抗环境影响能力较弱。 3．简述数字信号处理器的主要特点。 答：（ 1）存储器采用哈佛或者改进的哈佛结构；（2）内部采用了多级流水；（3）具有硬件乘法累加单元；（4）可以实现零开销循环；（ 5）采用了特殊的寻址方式；（6）高效的特殊指令；（ 7）具有丰富的片内外设。 4．给出存储器的两种主要结构，并分析其区别。 答：存储器结构分为两大类：冯?诺依曼结构和哈佛结构。冯?诺依曼结构的特点是只有一个存储器空间、一套 地址总线和一套数据总线；指令、数据都存放在这个存储器空间中，统一分配地址，所以处理器必须分时访问程序和数据空间。哈佛结构程序存储器空间和数据存储器空间分开，具有多套地址、数据总线，哈佛结构是并行体系结构，程序和数据存于不同的存储器空间，每个存储器空间独立编址、独立访问。 5．简述选择数字信号处理器所需要考虑的因素。 答：应考虑运算速度、算法格式和数据宽度、存储器类型、功耗和开发工具。 6．给出数字信号处理器的运算速度指标，并给出其具体含义。 答：常见的运算速度指标有如下几种： （1）指令周期：执行一条指令所需的最短时间，数值等于主频的倒数；指令周期通常以ns （纳秒）为 单位。例如，运行在 200MHz 的 TMS320VC5510 的指令周期为 5ns。 （ 2） MIPS ：每秒百万条指令数。 （3）MOPS :每秒百万次操作数。 （4）MFLOPS :每秒百万次浮点操作数。 （5）BOPS：每秒十亿次操作数。 （6）MAC时间：一次乘法累加操作花费的时间。大部分 DSP芯片可在一个指令周期内完成 MAC操作； （7）FFT 执行时间：完成 N 点 FFT 所需的时间。 FFT 运算是数字信号处理中的典型算法而且应用很广，因此该指标常用于衡量 DSP芯片的运算能力。 第2 1．TMS320C55x DSP 有哪些特征和优点？ 数字信号处理期末试卷(含答案) 填空题（每题2分，共10题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再 进行幅度量化后就是 信号。 2、 2、 )()]([ωj e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列 为 。 ３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。 ４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。 ６、FFT 利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。 ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2 )4()1(5 .1)5()0(======h h h h h h ，其幅 度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为 ∑=--= N K k k z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。 １０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。 一、 选择题（每题3分，共6题） 1、 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期 6π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 1、一线性时不变系统，输入为x (n)时，输出为y (n);则输入为2x (n)时，输出为2y(n) ;输入为x (n-3)时，输出为y(n-3) ________________________________ 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最咼频率f max关系为：fS> = 2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X(e jw)，它的N点 离散傅立叶变换X ( K是关于X (e jw)的_N ________ 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X ( K),则X (K) = _________ 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠 所产生的混叠_________ 现象。 6、若数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是奇对称的，长度为N,贝陀的对称中心是(N-1)/2_______ 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波 器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应(IIR )滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30n n /120)是周期的，则周期是N二8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11、DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12、对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用Xn(n)表示，其数学表达式为x m(n)= x((n-m)) N R(n)。 13、对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基 2-FFT流图。 14、线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 数字信号处理习题及答案1 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出 y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ） 的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即 可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理 想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 第1章选择题 1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。 A.离散值；连续值 B.离散值；离散值 C.连续值；离散值 D.连续值；连续值 2．数字信号的特征是（ B ） A ．时间离散、幅值连续 B ．时间离散、幅值量化 C ．时间连续、幅值量化 D ．时间连续、幅值连续 3．下列序列中属周期序列的为（ D ） A ．x(n) = δ(n) B ．x(n) = u(n) C ．x(n) = R 4(n) D ．x(n) = 1 4．序列x(n)=sin ??? ??n 311的周期为（ D ） A ．3 B ．6 C ．11 D ．∞ 5. 离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π )的周期是 ( C ) A. 7 B. 14/3 C. 14 D. 非周期 6．以下序列中（ D ）的周期为5。 A ．)853cos( )(ππ+=n n x B. )853sin()(ππ+=n n x C. )852()(π+=n j e n x D. )852()(ππ+=n j e n x 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（ C ）。 A ．sin100n B. n j e 2 C. n n ππ30sin cos + D. n j n j e e 5431 π - 8．以下序列中 D 的周期为5。 A.)853cos( )(π+=n n x B.)853sin()(π+=n n x C.)852 ()(π +=n j e n x D.)852 ()(ππ+ =n j e n x 9．离散时间序列x (n )=cos ??? ??+353ππ n 的周期是( C ) A.5 B.10/3 C.10 D.非周期 10.离散时间序列x(n)=sin （ 5n 31π+）的周期是( D ) A.3 B.6 C.6π D.非周期 11.序列x (n )=cos ? ?? ??n 5π3的周期为( C ) A.3 B.5 C.10 D.∞ 12．下列关系正确的为（ C ） A ．u(n)=∑=n k 0 δ (n) B ．u(n)=∑∞=0k δ (n) C ．u(n)=∑-∞=n k δ (n) D ．u(n)=∞-∞=k δ (n) 江 苏 大 学 试 题 课程名称 数字信号处理 开课学院 使用班级 考试日期 江苏大学试题第2A页 江苏大学试题第3A 页 江苏大学试题第页 一、填空题：（每空1分，共18分） 8、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 9、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 10、 某序列的DFT 表达式为∑-== 10 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 11、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ； 终值)(∞h 不存在 。 12、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长 序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 13、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换 关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之 间的映射变换关系为)2tan(2ωT = Ω或)2 arctan(2T Ω=ω。 当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ， ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 第一章引言 1. 一个存储单元有哪两个属性？寄存器与存储器有什么不同？ 一个存储单元的两个属性是：地址与值。寄存器是特殊的存储器，读写寄存器可引发相关电路的动作。 2. 由单片机构成的最小系统有哪几部分构成？ 由单片机构成的最小系统包括电源和晶体振荡器。 3. DSP是哪三个英文词的缩写？中文意义是什么？ DSP是Digital Signal Processor的缩写，中文意义是数字信号处理器。 4. 哈佛结构计算机与冯?诺伊曼结构计算机有什么差别？ 哈佛结构计算机有独立的数据总线和程序总线，冯?诺伊曼结构计算机数据和程序共用一套总线。 5. 微控制器与微处理器有什么不同？ 微控制器内部可固化程序，而微处理器内部不含程序。 6. TMS320LF24xA系列单片机有几套总线？分别起什么作用？总线中数据线和地址线分别有多少条？最 大可以访问多少存储单元？每个存储单元由多少位组成？ TMS320LF24xA系列单片机有三套总线，分别是程序读总线、数据读总线和数据写总线。每套总线中各有16条数据线和16条地址线，最大可以访问64K个存储单元，每个存储单元由16位组成。 7. 什么是操作码？什么是操作数？ 操作码用于表示指令所要执行的动作，操作数表示指令所涉及的数据。 8. 实现一条指令的功能要经过哪四个阶段？CPU为什么要采用流水线结构？ 实现一条指令的功能要经过“取指”、“译码”、“取操作数”和“执行”四个阶段，CPU采用流水线结构可以同时使多条指令处于不同的处理阶段，实现并行处理，提高CPU的指令吞吐率。 第二章寻址方式与主要寄存器操作 1. 有哪三种寻址方式？ 三种寻址方式是：立即数寻址、直接寻址和间接寻址。 2. 指令LACL #10与LACL 10有什么区别？各为什么寻址方式？含义是什么？ 指令LACL #10将常数10装载到累加器，指令LACL 10将地址10（假设DP为0）处的值装载到累加器。前者是立即数寻值，操作数在指令中；后者是直接寻址，操作数的地址最低7位在指令中。 3. 指令LACC #1234h和LACC #0ABCDh执行后累加器ACC中为何值？与SXM 的状态有关吗？ 指令LACC #1234h执行后累加器ACC中为0x00001234。 北京信息科技大学 2010 ~2011 学年第一学期 《数字信号处理》课程期末考试试卷（A） 一、填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分） 1.两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积 后结果的长度是，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至为线性卷积结果。 W的、和三个固有特性来实现2.DFT是利用nk N FFT快速运算的。 3.IIR数字滤波器设计指标一般由、、和等 四项组成。 4.FIR数字滤波器有和两种设计方法，其结构 有、和等多种结构。 二、判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正 确打√，错误打×） 1.相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（） 2.Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（） 3.按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（） 4.冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（） 5.双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（） 6.巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等 波纹特性。（ ） 7. 只有FIR 滤波器才能做到线性相位，对于IIR 滤波器做不到线性相 位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR 滤波器实现其阶数一定低于 FIR 阶数。（ ） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT ，X (k)=？ 2) 若)()]([)(26k X W n g DFT k G k ==，试确定6点序列g(n)=? 3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？ 四、 IIR 滤波器设计（本题满分20分，每小问5分） 设计一个数字低通滤波器，要求3dB 的截止频率f c =1/π Hz ，抽样频率f s =2 Hz 。 1. 导出归一化的二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数H an (s)。 2. 试用上述指标设计一个二阶巴特沃思模拟低通滤波器，求其系 统函数H a (s)，并画出其零极点图。 3. 用双线性变换法将H a (s)转换为数字系统的系统函数H(z)。 4. 画出此数字滤波器的典范型结构流图。 五、 FIR 滤波器设计（本题满分16分，每小问4分） 第三章习题答案 3.1 （1）非周期 （2）N=1 （3）N=10 （4）N=4 （5）N=20 3.2 02s f f ωπ =，1s s f T = （1）0153,2f ωπ== ；0.3s T =，05 f π = （2）010,25f ωπ==；0.3s T =，050 3 f = （3）0,0.55f πω==；0.3s T =，01 3 f = （4）03.5,8.75f ωπ==；0.3s T =，035 6 f = （5） ()() ()(){ } 0.20.2 1 0.20.2 0.20.2(0.2)(0.2) 1 c o s (0.2)() 2130.6c o s (0.2)() 1.8()0.6() 211.8 0.6()0. 6() 2110.910.610.6j n j n n n j n j n n n j n j n j j n e e F n u n F e e u n F e u n F e u n e e ππππππωπωπππ-+-----+=+?? ??-=-?+-??? ?? ? ????=-?-+-? ??? ?? =-+ ?++?? 3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w) % 计算DTFT % [X]=myDTFT(x, n, w) %X=输出的DTFT 数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n ’*w) 3.4 (1) 7 ()10.3j j X e e ω ω -= - （2）20.51 ()(10.5)10.5j j j j e X e e e ωω ωω ---=--- （3）2()0.80.1610.4j j j e X e e ω ω ω --=??- A 一、选择题（每题3分，共5题） 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20 点 DFT ，得 )(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理复习题 一、选择题 1、某系统)(),()()(n g n x n g n y =有界，则该系统（ A ）。 A.因果稳定 B.非因果稳定 C.因果不稳定 D. 非因果不稳定 2、一个离散系统（ D ）。 A.若因果必稳定 B.若稳定必因果 C.因果与稳定有关 D.因果与稳定无关 3、某系统),()(n nx n y =则该系统（ A ）。 A.线性时变 B. 线性非时变 C. 非线性非时变 D. 非线性时变 4.因果稳定系统的系统函数)(z H 的收敛域是（ D ）。 A.9.0 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w += 即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------= 一 判断 1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可以了。 （╳） 2、 已知某离散时间系统为 ，则该系统为线性时不变系统。(╳) 3、 一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT ），也就能对其做 变换。（╳） 4、 用双线性变换法进行设计 数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非线性畸变。 （√） 5、 时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是一个周期序列 （√） 二 填空题（每题3分，共5题） 1对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是_____信号，再进行幅度量化后就是_____信号。 2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须_____，这就是奈奎斯特抽样定理。 3、系统稳定的充分必要条件_____。 4、快速傅里叶变换（FFT ）算法基本可分为两大类，分别是：_____；_____。 5、线性移不变系统的性质有______、______和分配律。 1.离散 数字2大于2倍信号最高频率3系统的单位脉冲响应绝对可和4时间抽取法和频率抽取法5交换率，结合律 三 大题 1、对一个带限为3f kHz ≤的连续时间信号采样构成一离散信号，为了保证从此离散信号中能恢复出原信号，每秒钟理论上的最小采样数为多少？如将此离散信号恢复为原信号，则所用的增益为1，延迟为0的理想低通滤波器的截止频率该为多少？ 答：由奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于两倍的信号最高频率，236s f kHz kHz >?=每秒钟理论上得最小采样数为6000。如将此离散信号恢复为原信号，为避免混淆，理想低通滤波器的截止频率为采样频率的一半，即32s kHz Ω=。 2、有限频带信号11()52cos(2)cos(4)f t f t f t ππ=++，式中，11f kHz =。用5s f kHz =的冲激函数序列()T t δ进行取样。 （1）画出()f t 及采样信号()s f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频谱图。 （2）若由()s f t 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率c f 。 解：（1）()f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频谱图 /kHz -10 0 1 2 10 ()s f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频0谱图数字信号处理完整试题库
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