数学考题
14.已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,且∠AOC=60o,点B的坐标是(0,8),点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动,设t(0
(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)当a=3,OD=时,求t的值及此时直线PQ的解析式;
(4)当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB不相似?请给出你的结论,并加以证明.天利38套13B23
解: (1)因为四边形ABCO是菱形,∠AOC=60o,所以,∠AOB=30o.
连接AC交OB于M,则OM=1/2×OB,AM⊥OB.
所以AM=tan30o×OM=4. 所以,OA=AM/sin30o=8.
(2)由(1)可知A(4,4),B(0,8),C(-4,4).
设经过A,B,C三点的抛物线为y=ax2+c.
所以,16a+c=4, c=8.
a=-/4.
所以,经过A,B,C三点的抛物线为y=
(3)当a=3时,CP=t,OQ=3t, OD=.
所以,PB=8-t,BD=8-=.
由△OQD∽△BPD得
BP/OQ=BD/OD.即,所以,t=1/2.
当t=1/2时,OQ=3/2.同理可求Q(3/4, ).
设直线PQ的解析式为y=kx+b,则
k+b=, b=.
所以,k=-.
所以,直线PQ的解析式为y=-x+.
(4)当a=1时, △ODQ∽△OBA;当1
理由如下:
① 若△ODQ∽△OBA,可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ∥AB.故四边形PCOQ为平行四边形,所以,CP=OQ.
即at=t(0
② 若△ODQ∽△OBA.
(I)如果P点不与B点重合,此时必有△PBD∽△QOD.
所以,PB/OQ=BD/OD.
所以,,即
所以,OD=.
因为△ODQ∽△OAB,所以,OD/OA=OQ/OB.即.
a=1+.
因为0
所以,即1
(II)当P与B重合时,此时D点也与B点重合.
可知此时t=8.由△ODQ∽△OAB得OD/OA=OQ/OB.
所以,OB2=OA×OQ.即(8)2=8×8a.
所以a=3,符合题意.
故当a=3时, △ODQ∽△OAB.
15.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)若∠DBC=30o,DE=1cm,求BD的长. 天利38套14B24
(1)证明:连接OA,因为DA平分∠BDE,所以,∠BDA=∠EDA.
因为OA=OD,所以,∠ODA=∠OAD.
所以,∠OAD=∠EDA,所以,OA∥CE.
因为AE⊥OA,所以,AE是⊙O的切线.
(2)因为BD是直径,所以,∠BCD=∠BAD=90o.
因为∠DBC=30o,所以,∠BDC=60o.
所以,∠BDE=120o.
因为DA平分∠BDA=∠EDA=60o.
所以,∠ABD=∠EAD=30o.
在直角三角形AED中,∠AED=90o,∠ABD=30o,所以,AD=2DE.
在直角三角形ABD中,∠BAD=90o,∠ABD=30o,所以,BD=2AD=4DE.
因为DE的长是1cm,所以,BD的长是4cm.
16.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90o,AB=AC=2,D,E两点分别在AC,BC上,且DE∥AB,CD=2.将△CDE绕点C顺时针旋转,得到△CD′E′(如图2,点D′,E′分别与点D,E对应),点E′在AB上,D′E′与AC相交于点M.(1)求∠ACE′
的度数;
(2)求证四边形ABCD′是梯形;(3)求△AD′M的面积.
天利38套14B27
解:(1)如图1,因为∠BAC=90o，AB=AC,所以,∠B=∠ACB=45o.
因为DE∥AB,所以,∠DEC=∠DCE=45o,∠EDC=90o,DE=CD=2,所以,CE= CE′=4.
如图2,在Rt△ACE′中,∠E′AC=90o,AC=2,CE′=4,所以,cos∠ACE′=.
所以,∠ACE′=30o.
(2)如图2,因为∠D′CE′=∠ACB=45o,∠ACE′=30o,
所以,∠D′CA=∠E′CB=15o.
又CD′/CE′=AC/BC=,所以,△D′CA∽△E′CB.
所以,∠D′AC=∠B=45o.
所以,∠ACB=∠D′AC,所以,AD′∥BC.
因为∠B=45o,∠D′AC=60o,所以,∠ABC与∠D′CB不互补,AB与D′C不平行.
所以,四边形ABCD′是梯形.
(3)在图2中,过点C作CE⊥AD′,垂足为F.因为AD′∥BC,所以,CF⊥BC.
所以,∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30o.
在Rt△ACF中,AF=CF=,所以,S△ACF=3.
在Rt△D′CF中,CD′=2,∠FCD′=30o,所以,D′F=,所以,S△D′CF=.
同理,S△AE′C=2,S△D′E′C=4.
因为∠AME′=∠D′MC,∠E′AM=∠CD′M,所以,△AME′∽△D′MC.
所以,S△AME′/S△D′MC=(AE′)2/(CD′)2=(1/2×CE′)2/(CD′)2=1/2.
所以,S△AE′M=1/2S△CD′M.
因为S△E′MC+S△AE′M=S△AE′C=2,
S△E′MC+S△CD′M=S△D′E′C=4.
上面两式相减得S△CD′M-S△AE′M=4-2.
因为S△CD′M=8-4,所以,
S△AD′M=S△ACF-S△D′CF-S△CD′M=3-5.
所以,△AD′M的面积是3-5.
17.已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0,1),B(0,3),第三个顶点C在x轴的正半轴上.关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A,D(3,-2),P三点,且点P关于直线AC的对称点在x轴上.(1)求直线BC的解析式;(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(3)设M是y轴上的一个动点,求PM+CM的取值范围. 天利38套14B28
解:(1)因为A(0,1),B(0,3),所以,AB=2.
因为△ABC是等腰三角形,且点C在x轴的正半轴上,所以,AC=AB=2.
所以,OC2=AC2-OA2=3, OC=,所以,C(,0).
设直线BC的解析式为y=kx+3,所以, k+3=0,所以,k=-.
直线BC的解析式为y=-x+3.
(2)因为抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称,所以,b=0.
又抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,1),D(3,-2)两点,所以,c=1,9a+c=-2.
解得 a=-, c=1.
所以抛物线的解析式为y=-x2+1.
在直角△AOC中,OA=1,AC=2,易得∠ACO=30o.
在直角△BOC中,OB=3,OC=,易得∠BCO=60o.
所以,直线BC与x轴关于直线AC对称.
点P关于直线AC的对称点在x轴上,则符合条件的点P就是直线BC与抛物线
y=-x2+1的交点.
因为点P在直线BC: y=-x+3上,故设点P(x,-x+3).
又点P(x,-x+3)在抛物线y=-x2+1上,
所以, -x+3=-x2+1,解得x1=,x2=2.
故所求的点P的坐标是P1(,0),P2(2,-3).
(3)要求PM+CM取值范围,可先求PM+CM的最小值.
(I)当点P的坐标为(,0)时,点P与点C重合,故PM+CM=2CM.显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为.
因为点M是y轴上的动点,所以,PM+CM无最大值.
所以,PM+CM≥2.
(II)当点P的坐标为(2,-3)时,由点C关于y轴的对
称点C′(-,0),故只要求PM+MC′的最小值.显然线段PC′最短,易求得PC′=6.所以,PM+CM的最小值是6.
同理PM+CM没有最大值,所以,PM+CM的取值范围是PM+CM≥6.
综上所述,当点P的坐标为(,0)时,PM+CM≥2;当点P的坐标是(2,-3)时,PM+CM≥6.
18. 如图,在⊙O中,AB是直径,∠BOC=120o,PC是⊙O的切线,切点是C,点D在劣弧BC上运动.当∠CPD满足什么条件时,直线PD与直线AB垂直?证明你的结论. 天利38套15A21(2)
答案:∠CPD=60o(或∠AOC)时,直线PD与直线AB垂直.
证明:过点P作直线PD⊥AB于E,交劣弧BC于点D.
因为PC是⊙O的切线,所以,∠OCP=90o.
因为四边形PCOE内角和为360o,又因为∠CPE=∠CPD=60o,∠EOC=∠BOC=120o,
所以,∠PEO=360o-120o-90o-60o=90o.
所以,当∠CPD=60o时,直线PD与直线AB垂直.
19.如图,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC与BE相交于点F,连接DF.(1)在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形;(2)连接AE,试判断AE与DF的位置关系,并证明你的结论;(3)延长DF交BC于点M,试判断BM与MC的数量关系.(直接写出结论). 天利38套15B25
解:(1)△ADC≌△ABC, △ADF≌△ABF, △CDF≌△CBF.
(2)AE⊥DF.
证明:设AE与DF相交于H点.
因为四边形ABCD是正方形,所以,AD=AB,∠DAF=∠BAF.
又因为AF=AF,所以, △ADF≌△ABF,∠1=∠2.
又因为AD=BC,∠ADE=∠BCE=90o,DE=CE,所以, △ADE≌△BCE,∠3=∠4.
因为∠2+∠4=90o,所以∠1+∠3=90o,
所以,∠AHD=90o,AE⊥DF.
20.关于x的二次函数:y=-x2+(k2-4)x+2k-2,以y轴为对称轴,且与y轴的交点在x轴上方.
(1)求此抛物线的解析式,并在下面的直角坐标系中画出函数的草图;
(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂直于x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D,过点D作DC垂直于x轴于点C,得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为L,点A的横坐标为x,试求L关于x的函数关系式;
(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由. 天利38套15B26
解:(1)据题意得:k2-4=0,所以,k=±2.
当k=2时,2k-2=2>0.
当k=-2时,2k-2=-6<0.
又抛物线与y轴的交点在x轴上方,所以,k=2.
所以,抛物线的解析式为:y=-x2+2.
(2)解:令-x2+2=0,得x=±.
当0
所以L=2(A1B1+A1D1)=-2x2+4x+4.
当x>时,A2D2=2x.
A2B2=-(-x2+2)=x2-2.
所以,L=2(A2D2+A2B2)=2x2+4x-4.
(3)当0
解得x=-1-(舍去),或x=-1+.
将x=-1+代入L=-2x2+4x+4,得L=8-8.
当x>时,令A2B2=A2D2得:x2-2x-2=0,解得x=1-(舍去),或x=1+.
代入L=2x2+4x-4,得L=8+8.
综上,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1时正方形的周长是8-8,
当x=+1时,周长为8+8.
21.如图,等腰△ABC中,P为底边BC上任意点,过P作两腰的平行线分别与AB,AC相交于Q,R两点,有P′是P关于直线RQ
的对称点,证明:P′在△ABC的外接圆上.
邓均P270_题15
证明:如图,连结P′B,P′C,P′Q,P′R, P′P.
因为PQ∥AC,所以,∠QPB=∠ACB.又∠ACB=∠ABC,所以,∠QPB=∠QBC.
所以,QP=QB.
又P,P′关于QR对称,所以,QP=QP′.
故P′Q=QP=QB.
所以,Q为△P′BP的外心.
∠P′QB=2∠P′PB=2(180o-∠P′PC)=360o-∠P′PC-∠P′RC,且QP′=QB,
RP′=RC,即QP′/QB=RP′/RC=1.
所以,△P′QB∽△P′RC,所以,∠P′BA=∠P′CA.
所以,P′,B,C,A四点共圆.
22.如果抛物线y=x2-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A,B,顶点为C,那么△ABC的面积的最小值是多少? 邓均P276_题2
解:由△=(k-1)2-4(-k-1)=k2+2k+5=(k+1)2+4>0,知对任意的k值,抛物线与x轴总有两个交点.
设抛物线与x轴交点的横坐标为x1,x2,则
|AB|=|x1-x2|=
而抛物线的顶点坐标是C(),
故S△ABC==.
由k2+2k+5=(k+1)2+4≥4,当k=-1时,等号成立,所以,k=-1时,S△ABC的最小值是1.
23.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∠BOC=60o,E,F,G,分别是OB,CD,OA的中点.求证:△EFG是等边三角形. 邓均P299_题6
证明:连结CE,DG.因为四边形ABCD是等腰梯形,所以,△OBC和△OAD都是等腰三角形.
又∠BOC=60o,进而得△OBC和△OAD都是等边三角形.
又因为E,G分别是OB,OA的中点,所以,CE⊥DE,DG⊥GC.
在Rt△CED和Rt△CGD中,F是斜边CD的中点,所以,EF=FG=1/2×CD.
在△OAB中,EG是中位线,所以,EG=1/2×AB.
又AB=CD,所以,EF=FG=EG.
即△EFG是等边三角形.
24.如图,AB是半圆的直径,线段CA⊥AB于点A,线段DB⊥AB于点B,AB=2,AC=1,BD=3;P是半圆上的一个动点,则封闭图形ACPDB的最大面积是____.邓均P329_题9
解:如图,连结DC,并延长交BA的延长线于点G,欲使封闭图形ACPDB的面积最大,因梯形ACDB的面积为定值,故只需△CPD的面积最小.而CD为定值,故只需使动点P到CD的距离最小.为此作半圆的平行于CD的切线EF,设切点为P′,并分别交BD及BA的延长线于点F,E.连结OC,由△CGA∽△DGB,知CA/DB=GA/GB.易得GA=AO=AC=1.
∴OC⊥GD. OC⊥EF.
∴切点P′就是OC与半圆的交点.
即当动点P取在P′的位置时,到CD的距离最小.
而OC=,
∴CP′=-1.
∴S△CP′D=1/2×2×(-1)=2-.
因此,封闭图形ACPDB的最大面积为: 1/2×(1+3)×2-(2-)=4-2+=2+.
25.已知等边△OAB的边长为a,以AB边上的高OA1为边,按逆时针方向作等边△OA1B1,A1B1与OB相交于点A2. (1)求线段OA2的长;(2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2,A2B2与OB1相交于点A3,按此作法进行下去,得到△OA3B3,△OA4B4,…..,△OAnBn(如图).求△OA6B6的周长. 天利38套8B_20
A解: (1) OA2=OA1=×(OA)= OA=a.
(2)依题意,OA1=OA,OA2=OA1=()2OA,
OA3=OA2=()3OA,
以此类推,OA6=()6OA=a.
周长L=3×OA6=3×a=a.
26.如图,P1是一块半径为1的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为1/2的半圆后得到图形P2,然后依次剪去一
个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图形P3,P4,…..,Pn,…..,记纸板Pn的面积Sn,试计算求出S2=_________;S3=_________;并猜测得到Sn-Sn-1=__________.(n≥2)
天利38套9A_16
答案: ,,.
解: S2=.
S3=
……………………………………………………………………
Sn-1=
Sn=
所以,Sn-Sn-1=