高考数学冲刺专题复习之——圆锥曲线(二)(学生版)
高考数学（文）冲刺专题复习之——圆锥曲线（二）
一、知识点梳理
（一）直线与圆锥曲线的位置关系
1、掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识
(1)直线和圆
①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是：(ⅰ)倾斜角α的范围是：0≤α<π；(ⅱ)所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率.
②直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴,y轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况.
③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何特征较为简捷、实用.
(2)椭圆
①完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用.椭圆是平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a＞｜F1F2｜)的动点的轨迹.还有另一种定义（圆锥曲线的统一定义）：平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0＜e＜1)的动点轨迹为椭圆，（顺便指出：e＞1，e=1时的轨迹分别为双曲线和抛物线）.
②椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴.焦点
是F（±c,0）时，标准方程为
22
22
x y
a b
+=1(a＞b＞0)；焦点是F（0，±c）
时，标准方程为
22
22
y x
a b
+=1(a＞b＞0).这里隐含222
a b c
=+，此关系体现在△
OFB(B为短轴端点)中.
③深刻理解a，b，c，e，
2
a
c
的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何
性质.
(3)双曲线
①类比椭圆，双曲线也有两种定义，两种标准方程形式.同样要重视
定义在解题中的运用，要深刻理解几何量a，b，c，e，
2
a
c
的本质含义及其相
互间的关系.
②双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直线（参照课本）.
③双曲线
22
22
x y
a b
-=±1(a＞0,b＞0)隐含了一个附加公式222
c a b
=+此关
系体现在△OAB (A ,B 分别为实轴，虚轴的一个端点)中；特别地，当a =b 时的双
(4)抛物线
①抛物线的定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹（F ?l ）.定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用.
②抛物线方程（标准）有四种形式：22y px =±和22x py =± (p ＞0)，选择时必须判定开口与对称轴.
③掌握几何性质，注意分清2p , p ,
2
p
的几何意义. 2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法
(1)判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系，可将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x 的一元方程Ax 2+Bx+c=0，然后利用“Δ”法.
直线与的圆锥曲线位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与圆锥曲线方程联立的方程组有无实数解及实
数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用．即把圆锥曲线方程122
22=-b y a x 与
直线y ＝kx 十m 联立方程组消去y ，整理成Ax 2+Bx+c=0的形式 (这里的系数一
定不为0), 设其判别式为?，则:
①当?>O 时，直线与圆锥曲线有两个公共点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可结合韦达定理代入弦长| MN|＝
2
12212)()(y y x x -+-=
)4))((1(212212x x x x k -++=|
|12a k ??
+ ②当?＝0时，直线与圆锥曲线相切，?＝0是直线与圆锥曲线相切的
充要条件．
③当?<0时，直线与圆锥曲线相离，? 条件 (2)有关弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求;有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线的定义的运用，以简化运算. (3)有关弦的中点问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算. (4)有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系(或向量方法)及韦达定理，设而不求，整体处理. (5)有关圆锥曲线关于直线l 的对称问题中，若A ，A ′是对称点，则应抓住AA ′的中点在l 上及k AA ′·k l =－1这两个关键条件解决问题. (6)有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决. （二）题型常见设计形式 近几年新课标高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程(类型确定、类型未定)；②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题)；③与曲线有关的最(极)值问题；④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征； 解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个.如： ①求直线与圆锥曲线的方程；②求动点的轨迹或轨迹方程；③求特定对象的值；④求变量的取值范围或最值；⑤不等关系的判定与证明；⑥圆锥曲线有关性质的探求与证明等.对各类问题，应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性.如“求变量的取值范围”，可掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法. 从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助找到解题切入点，优化解题过程。 常用的解题策略有：①建立适当的平面直角坐标系；②设而不求，变式消元；③利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；④发掘平面几何性质，简化代数运算；⑤用函数与方程思想沟通等与不等的关系；⑥注意对特殊情形的检验和补充；⑦充分利用向量的工具作用；⑧注意运算的可行性分析，等等。 运算是解析几何的瓶颈，它严重制约考生得分的高低，甚至形成心理障碍，应注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，回避非必求量，注意整体代换等运算技能，从能力的角度提高对运算的认识，反思运算失误的经验教训，不断提高运算水平. （三）思想、方法与技巧 1．突出解析几何的基本思想：解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质。 （1）求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一.求曲线的方程的常用方法有两类： 一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等)，常用待定系数法求方程. 第二类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式. （2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程. （3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程. （4）交轨法：动点是两条动曲线的交点构成的，由X、Y满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程.故交轨法也属参数法. 2、解决直线与圆锥曲线的位置关系——设而不求法 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存； （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程； （4）一元二次方程的判别式； （5）韦达定理，同类坐标变换； （6）同点纵横坐标变换； （7）x ，y ，k(斜率)的取值范围； （8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围，最值，定值等等 3、运用的基本知识： （1）、中点坐标公式：1212 ,y 22 x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 （2）、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 弦长AB 为：1212AB x y y =-=- AB === =（横坐标和、差、积的转换） 或者 2 2 ) A =- =注：若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长． （3）、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则 1212,b c x x x x a a +=-= 三、考点及题型 考点1 弦长问题 例题 已知斜率为1的直线l 过椭圆14 22 =+y x 的右焦点， 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长. 考点2 中点弦问题 例题 已知一直线与椭圆4x 2+9y 2=36相交于A 、B 两点，M(1，1)为弦AB 的中点，求直线AB 的方程. 思路方法：中点问题解法：（1）点差法；（2）联立方程，用韦达定理求解. 考点3 对称问题 例题 已知椭圆C: 1342 2=+y x ,试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y=4x+m 对称； 考点4 直线与椭圆的位置关系（用△解决） 例题 1 直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，则m 的取值范围 是 . 训练1 过点()01，与抛物线2(0)y mx m =>只有一个公共点的直线有 条. 训练2 设双曲线22 221(0)x y a b a b -=>，的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于 A ，若FA 与双曲线的左右支都相交，则离心率e 的取值范围是 . 例题2 （广东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22 221x y a b +=（0a b >>） 的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程； （2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 考点5 求值问题 例题（安徽文）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22 b y =1（0>>b a ）的左、右 焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值. 训练 （北京文）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0）， 离心率为 ， 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与不同的两点M,N （Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）当△AMN 的面积为 时，求k 的值 22x a 2 2y b 2 3 考点6 向量问题 例题 （江西）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1 (1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB → ，求λ的值． 例题 （四川）已知定点A (－1，0)，F (2，0)，定直线l ：x ＝，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N （Ⅰ）求E 的方程； （Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由. 训练1 直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。 （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？ 12 若存在，求出k 的值。若不存在，说明理由. 考点7 定值问题 例题 过点C (0，1)的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>> x 轴交于 两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ， 直线AC 与直线BD 交于点Q ． （I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ?为定值． 考点8 定点问题 例题 （福建文）如图，等边三角形OAB 的边长为，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2=2py （p ＞0）上。 （1） 求抛物线E 的方程； （2） 设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y=-1相较于点Q 。证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点。 考点9 最值问题 例题 已知椭圆C :2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36 ,短轴一个端点到右焦点 的距离为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2 3 ，求△AOB 面积的最大值. 训练 如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为 4 π的 直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 考点10 弦的垂直平分线问题 例题 已知椭圆过点，且离心率。 （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。 解题思路：弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式） 如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：y kx m =+，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。 三、高考链接 1、（四川）在抛物线上取横坐标为、的两点，过这两点 引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） )0(1:2 2 22>>=+b a b y a x C )23,1(21=e )0(:≠+=k m kx y l M N MN )0,8 1 (G k 25(0)y x ax a =+-≠14x =-22x =225536x y +=(2,9)--(0,5)-(2,9)-(1,6)- 2、（陕西文）已知椭圆2 21:14 x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相 同的离心率。 （1）求椭圆2C 的方程； （2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程。 3、（四川）已知椭圆2221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2e =， 右准线方程为2x =。（1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l 与该椭圆交于,M N 两点，且2223 F M F N +=，求直线l 的方程。 4、如图，F 是椭圆122 22=+b y a x (a>b>0)的一个焦点，A,B 是椭圆的两个顶点， 椭圆的离心率为 2 1 ．点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线l 1 ：30x +=相切． （Ⅰ）求椭圆的方程： （Ⅱ）过点A 的直线l 2与圆M 交于PQ 两点，且2-=?，求直线l 2的方程． 5、【浙江】如图，椭圆C ：22 22+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2， 1) O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线 OP 平分． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 求?ABP 的面积取最大时直线l 的方程． 6、设上的两点，已知， ，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 )0(1),(),,(22 222211>>=+b a b x a y y x B y x A 是椭圆),(11a y b x m = ),(22a y b x n = 0=?n m ,23=e O 7、(北京)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R) （1） 若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围； （2） 设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线 y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线。 8、（江西） P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为1 5 . (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值． 9、如图，A 为椭圆122 22=+b y a x (0)a b >>上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点 F 1、F 2．当AC 垂直于x 轴 时，恰好|AF 1|:|AF 2=3:1 （I ）求该椭圆的离心率； （II ）设F 111λ=，F AF 222λ=，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定 值；若不是，请说明理由． 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾 股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤： 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) ) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ？ 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满 足021=?PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是 （4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 . 9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端 点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点， 与x 轴正向的夹角为60°，则||为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ． 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程. 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 1.已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?= 6 2 ,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22 12y y +均为定值; （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值； （Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6 2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设1 2 e = ，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2 =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。 5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22 221 x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ； （Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程． 6.已知抛物线1C :2 x y =，圆2C :2 2 (4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离； （Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线 l 的方程 7.如图7，椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线 b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长. ()I 求1C ，2C 的方程； ()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1 C 相交于点 D ， E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥; (ⅱ)记MAB ?,MDE ?的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得32 17 21=S S ？请说明理由. 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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