解直角三角形导学案(第一课时)

解直角三角形（第一课时）

学习内容：P85~P86页

学习目标：1、理解解直角三角形的概念

2、探索解直角三角形至少需要多少元素

3、会用公式解直角三角形

学习重难点：由已知元素求未知元素的方法及过程的探究和应用 学习过程

一、自学提纲（阅读课文P85页~P86页）

1、根据右图1，用标出的字母填写出下列问题：

（1）在Rt △ABC 中，除∠C=90°外，其两个锐角及三条边叫做直角三角形的五大元素，它们分别是 、 、 、 、 。

（2）Rt △ABC 的三边关系是：

，它两个锐角关系是： ，

它的边角关系是： sinA=----------- cosA=----------- 2、根据三角函数的值填出相应的角度数 sin( )=21 cos( )=23 tan( )=33 sin( )=22 cos( )=2

2 tan( )=1 二、合作交流：（阅读课文P85页~P86页）

1、在直角三角形中，由 的过程，叫做解直角三角形

2、探索解直角三角形至少需要多少元素（条件）？

在直角三角形中，（1）若已知一条边和一个锐角，你能把这个直角三角形未知的元素都求出来吗？那怎么求？（2）若已知两条边呢？你又能求吗？怎么求呢？（3）那已知两个角呢？又能求吗？

三、例题点评

（一）例1、如图（2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2, BC=6，解

这个直角三角形。

点评：已知的元素有： 、 （除∠C=90°外） 需求的元素有： 、 、 。

C B A 2 6

（二）、试一试

1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a =6, b=8，则c= ,sinA= ,tanA=

2、在Rt △ABC 中，∠C=90°,c =25, a =7，则b= ,sinB= ,cosB=

3、在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=5, BC=3，则AC= ,cosA= ,tanB =

4、在Rt △ABC 中, ∠C=90° ,AC=1, BC=2，则AB= ,sinA= , ∠B = ，∠A=

5、在Rt △ABC 中, ∠C=90° ,AB=2, BC=3，则AC= ,cosA= , ∠A = ，∠B= ,tan 2

A = . 6、在Rt △ABC 中, ∠C=90° ,a =2, b=2，则c= ,tanB= , ∠

B = ，∠A=

7、在Rt △ABC 中, ∠C=90° ,AB=2, BC=3，则AC= ,sinA= , ∠A = ，∠B=

8、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=6cm, AC=3cm ，则BC= sinB= ,∠B= ,∠A= .

（三）例2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°, BC=3，解这个直角三角形。

（四）达标演练

1、如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°, BC=2，则∠B= AB= ,AC=

2、如图（2），在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=45°,A B=2，则∠A= BC= ,AC=

C A B 图（2） C

A B 图（1） C A B

四、互相探讨

1、在直角三角形中，若仅知道两个锐角，能求出三边吗？为什么 （大家一齐举例说明理由）

2、若把例2中的∠B=60°改为∠B=35°其它变，能解直角三角形吗？ 求法是否类似例2呢？

五、展示自我

1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°, c =32，解这个直角三角形。

2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB =6, AC =3，解这个直角三角形。

3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=35°, a=3，解这个直角三角形。 （精确到0.1，参考值：tan35°≈0.70,sin35°≈0.57）

C

A B 60° ° c=32 6 C 3 B A C A

35°

°

c B b a=3

六、课堂总结

1、同学们你们在这节课里，学会了什么？

2、解直角三角形必备什么条件（元素）？

七、布置作业

1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm, ∠A=60°，解这个直角三角形。

1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=37°，b=10cm ，

解这个直角三角形。（精确到0.1cm,参考数据：sin37°≈53,cos 37°≈5

4）

八、课后反思：

C B

A C A 37° ° c

B b=10cm

解直角三角形的应用导学案

桃溪中学师生共用导学案 内容：解直角三角形（1） 执笔： 【学习目标】 ⑴： 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会使用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵： 通过综合使用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的水平． ⑶： 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】 直角三角形的解法． 【学习难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活使用 【导学过程】 一、自学提纲： 知识回顾： 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，a ，b ，c ，分别为∠A,∠B,∠C 所对的边， 则边之间的关系为 ，角之间的关系为 ， 角与边之间的关系为 ， 自主预习： 1．在三角形中共有几个元素？ 2、解直角三角的概念： 有直角三角形中 求出 元素的过程，叫做解直角三角形。 3、解直角三角形的两种情况。 （1）已知 ，求第三边及两锐角。 （2）已知 和一个 ，求其它两边及另一锐角。 导学探究： 1、在Rr △ABC 中，共有六个量，三条边a ，b ，c ，三个角∠A ，∠B ，∠C ，其中∠C 是已知的，其它的五个量都是未知的。 （1） 已知∠A ，∠B ，能求出其它的三个量a ，b ，c 吗？ （2） 已知两条边的长，能求出其它的三个量吗？ （3） 已知一角和一边，能求出其它的三个量吗？ 你有什么发现？ 2、直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就能够写成. (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作交流： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问： (1)使用这个梯子最高能够安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子 b a A c b A c a A = = = ; tan ; cos ; sin a b B c a B c b B = = = ; tan ; cos ; sin ； 的邻边 的对边 ； 斜边 的邻边 ； 斜边 的对边 α α α α α α α ∠ ∠ = ∠ = ∠ = tan cos sin

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是 （）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线 外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直 线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线 关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为 ，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在

解直角三角形教学设计及反思.doc

解直角三角形教学设计及反思 教学内容分析: 本节内容是在学习了“锐角三角函数” “勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。对部分学生来说，有一定的难度。 教学目标： 1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、过程与方法：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、情感态度与价值观：形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心, 养成良好的学习习惯。 教学课时：一课时教学重难点:

创设情境: 2.4米时，梯子与地面所称的角a 等于多少（精 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 问题1:如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距 地面3米，且树干与地面的夹角是30° ,大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角Q —般要满足50° W a W 75。（如图）,现有一个长6米的梯 子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位） 确到1。）？这时人是否能够安全使用这个梯子 ? （2）当梯子底端距离墙

解直角三角形教案设计

解直角三角形教案设计 教学建议 1.知识结构： 本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2.重点和难点分析： 教学重点和难点：直角三角形的解法. 本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键. 3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化. 锐角三角函数的定义： 实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中. 当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素. 由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求

边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例. 例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图) 这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个解直角三角形的问题. 在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了. 掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法 是十分重要的，如 (1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角

《解直角三角形复习一》学案

《解直角三角形（一）》学案 学习目标： 1、 理解三角函数的有关概念，掌握特殊角的三角函数值； 2、 弄清解直角三角形的含义，掌握直角三角形中的边角关系，会应用这些关系解直角三角形； 3、 能够利用构造直角三角形的方法解决求角度和线段长度的问题； 4、 在弄清基本概念、基础知识、基本题型的同时，不断归纳数学思想和方法，进一步深刻理解数形结合、转化在数学学习中的作用。 一、知识点归纳 1、锐角α的三角函数定义: ∠α的正弦：sin α= ∠α的余弦：cos α= ∠α的正切：tan α= 思考：根据三角函数的定义，你能正确填空吗你是怎样得到的 ① ＜sin α＜ ② ＜cos α＜ “ ③ ＜tan α＜ ④sin α+ cos α 1 ⑤tan α sin α（填“＜”或“＞”） ②观察表格，猜想：随着∠α的增大，sin α ；cos α ； tan α 。（填增大或减小） 3、由直角三角形中的已知元素（边和角），求出其它所有未知元素的过程，叫 做 。其主要依据如下： ⑴边的关系： ； ⑵角的关系： ； ⑶边角之间的三角函数关系： SinA= cosA= tanA= SinB= cosB= tanB= 思考：解直角三角形有哪几种基本类型在练习本上列举出来，并进行口头解答。 二、热点示例与题组练习 目标1、特殊角三角函数值 题组一 1、已知∠A 为锐角，且sinA= 23，则sin 2 A = . 2、计算：0 030 60sin cos -tan450 的值是 。 3、若tan α= 3 1 tan600,则α的度数是 。 4、在△ABC 中，若-+A B cos 21 -（sin 2 3)2=0，则∠C 的度数是 。 目标2、解直角三角形 题组二 在Rt △ABC 中，∠C=90° ①已知 a=23,b=2,则∠A= ； ②已知a=10, ∠B=600，则C = 。 ③已知BC=6cm,sinA=5 3 ,则AB 的长是 cm 。 ④已知cosB=5 3 ,则tanA= ; 题组三 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，BD=63，BC=9，求 AC 的长。 c b a C B A c a C B A D A B C

新人教版高中数学必修五 第一章解直角三角形教案： 正弦定理和余弦定理

1.1 正弦定理和余弦定理 【知识要点】 1. 正弦定理：在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 是三 角 形ABC 的外接圆的半径，则有===2sin sin sin a b c R A B C 。文字语言表述为：在一 个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 2.余弦定理：在三角形ABC 中，有： 222222222=+-2cos ;=a +-2cos ;=+-2cos a b c bc A b c ac B c a b ab C ； 变形后：222222222 +-+-+-cos =,cos =,cos =222b c a a c b a b c A B C bc ac ab 。 3. 解三角形的基本类型及解法 a. 一般的，把三角形的三个内角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角 形的元素。已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。 b. 解三角形有一下几种类型： （1）已知一边和两角 （2）两边和夹角 （3）三边 （4）两边和其中一边对角 4. 判断三角形的形状 常见结论：（1）若222+=a b c ，则C=90? （2）若2 2 2 +a b c >，则C <90? （3）若2 2 2 +a b c <，则C 90>? （4）sin 2sin 2,+= 2 A B π =若则A=B,或A B 5. 三角形的综合问题 【知识应用】 1. 研究三角形问题的一般有两种思路：一是边化角，二是角化边。在解题时要结合题设，发现题设结构，再结合正弦定理解决。 【J 】例1 （1）三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。若c=2,6,120b B ==?，则a=______。 （2）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 (3)cos cos , cos b c A a C A -=则=________。

九年级数学下册28.2.1解直角三角形学案

28.2.1解直角三角形 【学习目标】 1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系． 2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 【重点难点】 重点：解直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 【新知准备】 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 、 ∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系． 【课堂探究】 一、自主探究 探究1要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a 一般要满足50°≤a ≤75°.现有一个长6m 的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m ）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A ＝75°，斜边AB ＝6，求∠A 的对边 BC 的长． 问题（2）可以归结为在Rt △ABC 中，已知AC ＝2.4，斜边AB ＝6， 求锐角a 的度数 A B α C

AD 探究2 （1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？ （2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？ 解直角三角形： . 注意： 二、尝试应用 1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b a ， 解这个三角形． 2、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B =35°，b =20， 解这个三角形（结果保留小数点后一位）． 三、补偿提高 1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =6， ∠BAC 的平分线 解这个直角三角形。 2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B ＝72°，c = 14. 【学后反思】 1.通过本节课的学习你有那些收获? 2. 你还有哪些疑惑？ A B C 26 A B C a b =20 c 35° A C A B C b=20 a =30 c B A B C b a c=14

新人教版初中数学导学：二十八章第二节解直角三角形导学案(带答案)人教版

28.2.1解直角三角形回忆旧知：根据上节课所学内容，把下表填写完整： 30?45?60? sinα1 2 2 2 3 2 cosα 3 2 2 2 1 2 tanα 3 3 1 3 【知识点一】知道解直角三角形的定义，知道解直角三角形时的常用的关系式，会熟练解直角三角形.（用15分钟精读一遍教材P72至P73的内容，用蓝色笔进行勾画；用红色笔标注自己的疑惑，准备课上讨论质疑.）（1）三边之间的关系：222 a b c += . （2）两锐角之间的关系：_∠A+∠B=90°______________________________. （3）边角之间的关系: sinA= cosA= tanA= 【激情探究】根据教材例题及所做练习，请归纳出解直角三角形的类型. 已知条件解法 一条边和一个锐 角 斜边c和锐角∠A ∠B= 90°-∠A ，a= c sinA ，b= c cosA . 直角边a和锐角∠A ∠B= 90°-∠A，c= sin a A ，b= tan a A . 两条边两条直角边a和b c=22 a b +，由tan a A b =求∠A，∠B= 90°- ∠A. 直角边a和斜边c b=22 c a -，由sin a A c =求∠A，∠B=90°-∠ A. 【本节小测】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，sinB= 5 3 ，则AB=（A ） A．15 B．12 C．9 D．6 2.（2014浙江杭州）在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC ＝（ D ） A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50° 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB= 1 2 ，若BC=1，则AC=（C ） A．1 B．2 C．3D．2 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA= 5 3 ，则斜边上的高等于（B ） A． 25 64 B． 25 48 C． 5 16 D． 5 12 5.如图，△ABC中，AC=5，cosB= 2 2 ，sinC= 3 5 ，则△ABC的面积是（A ）a c b c a b

解直角三角形的应用教案

解直角三角形的应用教案

解直角三角形的应用教案 ―－俯角仰角问题教学目标： 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合的思想方 法。 教学重点： 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点： 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。 教学方法：三疑三探 教学过程： 一、复习引入新课 如图：在△ABC中，∠C=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为； 锐角之间关系为；边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题： 问题：小玲家对面新造 了一幢图书大厦，小玲心想： “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高，站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？ ο 46A B C Cο 29 A

AE ＝DE ×tan a ＝BC ×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17 AB ＝BE ＋AE ＝AE ＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米） 答:旗杆的高度约为10.4米． 2、解：在ΔABC 中，∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中，∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答：大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。 三、 运用拓展 １、 生自编题 ２、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C

人教版初三数学下册28.2.2解直角三角形的应用举例(1)导学案

28.2.2 解直角三角形的应用举例（1） 【学习目标】 1.了解仰角、俯角概念，提高计算能力，能应用解直角三角形解决观测中的 实际问题. 2.学会把实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形 的问题）. 3.经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体会数学与生活的密切联系. 【重点难点】 重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测中的实际问题. 难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型． 预习案 (一)温故知新 1.如图1，在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ （1）锐角之间的关系： 边之间的关系： 角与边之间的关系(以∠A为例)： (2)至少知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？图1 2.请写出30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值： （二）问题导学 1.如图2，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为________. 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称_________. 图2 2.如图3，2016年10月19日，“神舟”十一号载人航天飞船与“天宫”二号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”十一号与“天宫”二号的组合体在离地 球表面393km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数,参考数据：cos18.16°≈0.9502,cos19.59°≈0.9421，cos21.35°≈0.9314)？ 图3 探究案

探究：利用视角解直角三角形 例: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为100m ，这栋高楼有多高（结果取整数）？ 变式：直升飞机在高为63米的郑州二七纪念塔AB 斜上方P 点处，从塔的顶部和底部测得飞机的仰角为31°和42°，求飞机的高度PO (参考数据sin31°≈0.52，cos31°≈0.86,tan31°≈0.60, sin42°≈0.67，cos42°≈0.74,tan42°≈0.90) 训练案 （C 级做1～4题，B 级、A 级全做） 1.如图1所示，已知楼房AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD ? O B

公开课--解直角三角形的方法和技巧

教师 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 解直角三角形的方法和技巧 课 次 第（ 1 ）次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。 分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。本题图中有三个三角形， 直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以先直接解，然后为解Rt △BDE 提供条件。 解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20. 在Rt △BDE 中，BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈7.96 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。 例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长． 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。 解：设BC=x ∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90° ∴BC=CD=x 在Rt △DAC 中，∠DAC=30°，AC=x+26 tan30°=26+x x ，3x= 3 （x+26），x=3 3326-, x=13（ 3 +1）∴BC=13（ 3 +1）.

解直角三角形及其应用导学案

解直角三角形及其应用 导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

九年级（上）数学导学案 课题：23.2 解直角三角形及其应用（2）编号9S046 教学思路（纠错栏） 教学思路（纠错栏）学习目标： 1.知道仰角、俯角等有关概念； 2.能把实际问题转化为数学问题来解决. 学习重点：利用三角函数解决实际问题； 学习难点：把实际问题转化为数学问题. ☆预习导航☆ 一、链接：什么叫解直角三角形在解直角三角形时用到的边、角数量关系有哪些 二、导读： 1.阅读课本126页，重点思考如何把实际问题转化为数学问题来解答，边角之间的关系有： sinA = ______ , cosA = ________ , tanA = _______ . 2.仰角、俯角的定义： 从低处观测高处的目标时， 视线与水平线所成的锐角叫做仰 角； 从高处观测低处的目标时， 视线与水平线所成的锐角叫做俯 角． ☆合作探究☆ 1. 上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜 中，当时其高度列亚洲第一、世界第 三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相 望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜 收．运用本章所学过的知识，能测出东 方明珠塔的高度来吗？ 为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48 ′． A B E C D

根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′ 根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB 的长吗？ 2. 如图，厂房屋顶人字架的跨度为10 米，上弦AB＝BD，∠A = 260 ．求中柱BC 和上弦AB 的长（精确到0 . 01 米）. ☆归纳反思☆ ☆达标检测☆ 1 ．如图，在电线杆上离地面6 米处 用拉线固定电线杆，拉线和地面之间的 夹角为60° , 求拉线AC 的长和拉线下 端点A 与线杆底部D 的距离（精确到 0 . 1 米）. 2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶 端到地面的距离BC = 3.2 米，底端到墙 根的距离AC = 2.4 米． (1)求梯子的长度和梯子与地面所成角的大小(精确到1 ' ) ; (2) 如果把梯子的底端到墙角的距离减少0 . 4 米，那么梯子与地面所成的角是多少？ 6 米 A B C D A C B

解直角三角形知识点整理

在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，。 二、 锐角三角函数的有关性质： 1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > 2、 在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、 cot ）的值，随角度的增大而减小。 三、 同角三角函数的关系： 22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A = c o s c o t sin A A A = 常用变形：2 sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =- 四、 正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a A B A c = ==?- 同理可得： sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?- c o t t a n (90A A =?- 五、 特殊角的三角函数值： 三角函数 sin α cos α tan α cot α 30° 12 32 33 3 45° 22 22 1 1 60° 32 12 3 33 六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60° 30° 32 1 B C A 45° 22 2 B C A

解直角三角形(一)学案

测试3 解直角三角形(一) 学习要求 理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型． 课堂学习检测 一、填空题 1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， 第1题图 ①三边之间的等量关系： __________________________________． ②两锐角之间的关系： __________________________________． ③边与角之间的关系： ==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______； == B A tan 1 tan _____； ==B A tan tan 1 ______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 第④小题图 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ． CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)． 第⑤小题图 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________． 若r 是Rt △ABC (∠C ＝90°)的内切圆半径，则r ＝_________＝_________． ⑥直角三角形的面积公式．

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， S △ABC ＝_________．(答案不唯一) 2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角) 3 二、解答题 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． (1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ； (2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (3)已知：3 2 sin =A ，6=c ，求a 、b ； (4)已知：,9,2 3 tan ==b B 求a 、c ； (5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ． 综合、运用、诊断 5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2α ，OC ⊥AB 于C 点．

《解直角三角形复习》公开课教案

《解直角三角形复习》教案 单位：泸县一中 年级： 九 学科： 数 学 设计者：_______ 时间：2015年 4月14日 【学习目标】： 1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学重点】：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 【教学难点】：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 【教学过程】： 一、考点梳理： 1.锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 2、特殊角的三角函数值 三角函数 角α sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1sin =A A A ∠=∠———— ——— ————的、正弦函数：的=A A A ∠= ∠———— ——— ———— 的2、余弦函数：cos 的=A A A ∠=∠———— ——— ———— 的3、正切函数：tan 的

3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 4、解直角三角形的应用 （1）仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. (2）方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。如下图： OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角表示为 。 （3）坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的i =1:表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系： 二、基础巩固： 1. 如图,在Rt △ABC 中, ∠ C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( ) 2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( ) 3 . 4A 4. 3B 3. 5 C 4. 5 D 3.12A m .43B m .53C m .63D m

28.2.1 解直角三角形(导学案)

28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 一、新课导入 1.课题导入 如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线 的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题. 2.学习目标 （1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系. （2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 3.学习重、难点 重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形. 难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容. （2）自学时间：8分钟. （3）自学要求：完成探究提纲. （4）探究提纲： ①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. ②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： a.两锐角互余,即∠A＋∠B＝90 °. b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2 . c.边角关系：sinA＝a c ，sinB＝ b c ； cosA＝b c , cosB＝ a c ； tanA＝a b , tanB＝ b a .

③已知直角三角形中除直角外的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考） 已知其中两个元素（其中至少有一个是边）. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误. 4.强化 （1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）. （2）解直角三角形的条件：必须已知除直角外的两个元素（其中至少有一个是边）. ①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边. ②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角. 1.自学指导 （1）自学内容：教材P73例1、例2. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠. （4）自学参考提纲： ①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC 、BC ，需求出的未知元素是：斜边AB 、锐角A 、锐角B. 方法一：∵tanA = BC AC ∴∠A= 60 °,∠B=90°- ∠A = 30 °. ∵，,∴AB = 方法二：∵，,∴由勾股定理可得AB= sinA= BC AB A= 60 °,∴∠B=90°-∠A = 30 °. 这里∠B 的度数也可用三角函数来求，你会吗？ ②比较上述解法，体会其优劣. ③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b 和一锐角B ，则要求的未知元素有直角边a 、斜边c 、锐角A. ④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.

解直角三角形单元备课

第九章解直角三角形单元备课 陈光双 一、地位和作用 锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用．锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础．因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一． 二、教学内容 本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用．研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想．因此本章还包含了数形结合的思想． 本章内容之间的相互关系可用如下的结构框图表示： 角确定时，斜面的高度与斜面在水平方向的距离之比随之确定，说明斜面的倾斜角和斜面的高度与斜面在水平方向的距离的比值之间存在着某种函数关系．（2）锐角三角函数是指本学段所学的三角函数限定在锐角，本章所指的锐角三角函数包括正弦（sin A）、余弦（cos A）和正切（tan A）三种．（3）三角函数的计算包括已知锐角求三角函数值和已知三角函数值求锐角两个方面，当已知角或所求的角不是30°、45°和60°这三个特殊角时，需要使用计算器进行计算．

（4）锐角三角函数的运用主要包含解直角三角形与现实生活中的实际问题两个方面，而能用锐角三角函数解决的实际问题，都可归结为解直角三角形的数学问题，因此，锐角三角函数的运用核心是解直角三角形． 二、教学目标 三、教法学法建议 1．边角之间的关系用函数来定义，学生理解有困难，教学时应引导学生适当回顾函数的概念，使学生体会三角函数的定义的合理性． 2．注意创设学生熟悉的问题情境．如引入锐角三角函数时，若农村学生没有见过电梯，可以用山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等创设问题情境．使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系．3．注意引导学生进行合作交流．如在探索锐角三角函数时，在已知角的边上选点、作垂线、测量、计算比值后让学生及时交流，体会当角的大小固定时，比值与所选点的位置无关；当任意画一个锐角再选点、作垂线、测量、计算比值后，及时交流，体会当角的大小变化时，比值也随之变化，由此体验比值是角的函数．

解直角三角形教学设计1

解直角三角形教学设计 【教学目标】 1．知识与技能： 使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形； 2．过程与方法： 通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决； 3．情感态度与价值观： 通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。 【教学重点、难点】 1．重点：直角三角形的解法。 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 3. 疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。【教学准备】 多媒体（课件），学案，圆规，刻度尺，计算器。 【课堂教学过程设计】 【课前预习】 完成以下题目 1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系： sinA=＿ cosA=＿ tanA= ＿cotA=__ (2)三边之间关系：勾股定理_______ (3)锐角之间关系：________。 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12,求∠A的各个三角函数值。 3、自述30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切、余切值。 4、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知c=15,∠B=60°,求a. 5、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知∠A=45°,b=3，求c. 你有哪些疑问？小组交流讨论。 （1） (2) 生甲：如果不是特殊值，怎样求角的度数呢? 生乙：我想知道已知哪些条件能解出直角三角形？ ◆师：你有什么看法？

《解直角三角形》导学案

28．2．1 解直角三角形 【学习目标】 ⑴ 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵ 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶ 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】 直角三角形的解法． 【学习难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 【导学过程】 一、自学提纲： 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作交流： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精 确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子 三、教师点拨： 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．