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2018高考复习——高中数列压轴

一．解答题（共40小题）

1．已知等差数列{b n}的前n项和为T n，且T4=4，b5=6．

（1）求数列{b n}的通项公式；

（2）若正整数n 1，n2，…，n t，…满足5＜n1＜n2＜…＜n t，…且b3，b5，，，…，，…成等比数列，求数列{n

}的通项公式（t是正整数）；

（3）给出命题：在公比不等于1的等比数列{a n}中，前n项和为S n，若a m，a m

，a m+1成等差数列，则S m，S m+2，S m+1也成等差数列．试判断此命题的真假，并证明你的结论．

2．已知数列A n：a1，a2，…a n（n∈N*，n≥2）满足a1=a n=0，当2≤k≤n（k∈N*）时，（a k﹣a k﹣1）2=1，令S（A n）=a i．

（1）直接写出S（A5）的所有可能的值；

（2）求证：S（A2k

）的最大值为k2，其中k∈N*；

（3）记S（A n）的所有可能的值构成的集合为Гn，若0∈Гn，求出n（n≥2）的所有取值构成的集合．

3．如图，已知曲线C1：y=（x＞0）及曲线C2：y=（x＞0），C1上的点P1

的横坐标为a1（0＜a1＜）．从C1上的点P n（n∈N

）作直线平行于x轴，交曲

线C2于点Q n，再从点Q n作直线平行于y轴，交曲线C1于点P n

．点P n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a n}

（Ⅰ）试求a n

+1与a n之间的关系，并证明：a2n

﹣1

＜；

（Ⅱ）若a1=，求证：|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|a n+1﹣a n|＜．

4．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．

（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；

b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．

（Ⅱ）若b n

（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；

（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．

5．设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k（n）都成立．

（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；

（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a n}能成等差数列．

6．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、P n（x n，y n）（0＜y1＜y2＜…＜y n）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点A i（a i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正

A i P i是正三角形（A0是坐标原点）．

半轴上，且△A i

﹣1

（1）写出a1，a2，a3；

（2）求出点A n（a n，0）（n∈N*）的横坐标a n关于n的表达式；

（3）设，若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．

7．正整数数列{a n}满足：a1=1，

（Ⅰ）写出数列{a n}的前5项；

（Ⅱ）将数列{a n}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n k}，试用n k表示n k

（不必证明）；

（Ⅲ）求最小的正整数n，使a n=2013．

8．已知数列{x n}和{y n}的通项公式分别为和．（1）当a=3，b=5时，

①试问：x2，x4分别是数列{y n}中的第几项？

是数列{y n}中的②记，若c k是{y n}中的第m项（k，m∈N+），试问：c k

第几项？请说明理由；

（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2}，使得数列{x n}和{y n}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{z n}，若不存在，请说明理由．

9．若正项数列{a n}满足：=a n+1﹣a n（a∈N*），则称此数列为“比差等数列”．（1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值；

（2）设数列{a n}是一个“比差等数列”

（i）求证：a2≥4；

（ii）记数列{a n}的前n项和为S n，求证：对于任意n∈N*，都有S n＞．10．已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）若a m a m+1=a m+2，求正整数m的值；

（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列{a n}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．

11．已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，其前n项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2n﹣1（n≥3）．令

b n=．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：T n=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）＜（n≥1）．12．设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a n}：a1是自然数，a n=f（a n﹣1）（n∈N*，n≥2）．

（Ⅰ）求f（99），f（2014）；

（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；

（Ⅲ）求证：存在m∈N*，使得a m＜100．

13．已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{a n}的首项a1=1．

（1）若q=，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，b k，使得a1，b1，b2，…，b k，a2，a3成等差数列，求这k个数；

（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列{a n}的每相邻两项a k，a k

之间插入c k（k∈N*，c k∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及{c n}的通项公式（用q表示）．

14．若数列{a n}的前n项和为S n，且满足等式a n+2S n=3．

（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；

（2）能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列，且使它的所有项和S满足，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？

15．如图，过曲线C：y=e﹣x上一点P0（0，1）做曲线C的切线l0交x轴于Q1（x1，0）点，又过Q1做x轴的垂线交曲线C于P1（x1，y1）点，然后再过P1（x1，y1）做曲线C的切线l1交x轴于Q2（x2，0），又过Q2做x轴的垂线交曲线C于P2（x2，y2），…，以此类推，过点P n的切线l n与x轴相交于点Q n+1（x n+1，0），再过点Q n+1

做x轴的垂线交曲线C于点P n

+1（x n

，y n

）（n=1，2，3，…）．

（1）求x1、x2及数列{x n}的通项公式；

（2）设曲线C与切线l n及垂线P n

Q n+1所围成的图形面积为S n，求S n的表达式；

（3）若数列{S n}的前n项之和为T n，求证：（n∈N+）．

16．若数列{a n}的前n项和S n是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）若数列{b n}满足b1=﹣1，b n+1=b n+（2n﹣1），且，求数列{c n}的通项及其前n项和T n．

（3）求证：T n?T n+2＜T n+12．

17．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．

（1）试求b、c满足的关系式．

（2）若c=2时，各项不为零的数列{a n}满足4S n?f（）=1，求证：

＜＜．

（3）设b n=﹣，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T2009﹣1＜ln2009＜T2008．18．各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，满足=1（n∈N*），

且S5+2=a6．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）证明：7（a n

）2＞3n+1（n∈N*）；

﹣1

（Ⅲ）若n∈N*，令b n=a n2，设数列{b n}的前n项和为T n（n∈N*），试比较

与的大小．

19．已知函数f n（x）=x+，（x＞0，n≥1，n∈Z），以点（n，f n（n））为切点作函数y=f n（x）图象的切线l n，记函数y=f n（x）图象与三条直线x=n，x=n+1，l n 所围成的区域面积为a n．

（Ⅰ）求a n；

（Ⅱ）求证：a n＜；

（Ⅲ）设S n为数列{a n}的前n项和，求证：S n＜．

20．已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．

（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；

（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n；

（3）设c n=a n sin，数列{c n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．

21．给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满=f（a n），n∈N*．

足a n

（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；

（2）求证：对任意n∈N*，a n

﹣a n≥c；

（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

22．已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*

（1）若a1=0，求a2，a3，a4；

（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值

（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．

23．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=，且a n+2=．

（I）求证：数列为等差数列；

（II）求数列{a n}的通项公式；

（III）求下表中前n行所有数的和S n．

24．已知数列{a n}满足，1+a1+a2+…+a n﹣λa n+1=0（其中λ≠0且λ≠﹣1，n ∈N*），S n为数列{a n}的前n项和．

（1）若，求λ的值；

（2）求数列{a n}的通项公式a n；

（3）当时，数列{a n}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

25．已知数列{a n}是以d为公差的等差数列，数列{b n}是以q为公比的等比数列．（1）若数列{b n}的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜5b2+a88﹣180，求整数q 的值；

（2）在（1）的条件下，试问数列{b n}中是否存在一项b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项和？请说明理由；

（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数）求证：数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．

26．已知数列a，b，c为各项都是正数的等差数列，公差为d（d＞0），在a，b 之间和b，c之间共插入m个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列{a n}是等比数列，其公比为q．

（1）若a=1，m=1，求公差d；

（2）若在a，b之间和b，c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m个数的乘积（用a，c，m表示），求证：q是无理数．

27．设数列{b n}满足b1=1，b n+1=2b n+1，若数列{a n}满足：a1=1，且当n≥2，n∈

N*时，

（I）求b2，b3，b4及b n；

（II）证明：，（注：

）．

28．已知函数f（x）=（x＞0），设f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为b n，数列{a n}满足：a1=N*）．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）在数列中，仅当n=5时，取最小值，求λ的取值范围；（Ⅲ）令函数g（x）=f（x）（1+x）2，数列{c n}满足：c1=，c n+1=g（c n）（n∈N*），求证：对于一切n≥2的正整数，都满足：1＜＜2．

29．设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．

（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；

（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；

（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且

．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．

30．已知数列{a n}是等差数列，c n=a n2﹣a n+12（n∈N*）

（1）判断数列{c n}是否是等差数列，并说明理由；

（2）如果a1+a3+…+a25=130，a2+a4+…+a26=143﹣13k（k为常数），试写出数列{c n}的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若数列{c n}得前n项和为S n，问是否存在这样的实数k，

使S n当且仅当n=12时取得最大值．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

31．设a＞0，函数．

（Ⅰ）证明：存在唯一实数，使f（x0）=x0；

（Ⅱ）定义数列{x n}：x1=0，x n+1=f（x n），n∈N*．

（i）求证：对任意正整数n都有x2n

﹣1

＜x0＜x2n；

（ii）当a=2时，若，证明：对任意m∈N*都有：

．

32．定义数列{a n}：a1=1，当n≥2 时，a n=．

（1）当r=0时，S n=a1+a2+a3+…+a n．

①求：S n；

②求证：数列{S2n}中任意三项均不能构成等差数列．

（2）若r≥0，求证：不等式（n∈N*）恒成立．

33．已知数列{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和．

（1）当首项a1=2，公比q=时，对任意的正整数k都有（0＜c＜2）成立，求c的取值范围；

（2）判断S n S n+2﹣的符号，并加以证明；

（3）是否存在正常数m及自然数n，使得lg（S n﹣m）+lg（S n

+2﹣m）=2lg（S n

﹣m）成立？若存在，请求出相应的m，n；若不存在，说明理由．34．（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d ≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列

（i）当n=4时，求的数值；

（ii）求n的所有可能值．

（2）求证：存在一个各项及公差均不为零的n（n≥4）项等差数列，任意删去

其中的k项（1≤k≤n﹣3），都不能使剩下的项（按原来的顺序）构成等比数列．35．设S n为数列{a n}的前项和，且对任意n∈N*都有S n=2（a n﹣1），记f（n）=．（1）求a n；

（2）试比较f（n+1）与f（n）的大小；

（3）证明：①f（k）+f（2n﹣k）≥2f（n），其中k≤n且k∈N*；②（2n﹣1）f （n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）＜3．

36．对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，…，a k}（k=1，2，…，m），即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．

（1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n}．

=C（C为常数，k=1，2，…，m），（2）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m

﹣k+1

求证：b k=a k（k=1，2，…，m）．

（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是{a n}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）．

37．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．

（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．38．对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．

（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；

（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；

（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．

39．在直角坐标平面上有一点列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），…，对一切正整数n，点P n在函数的图象上，且P n的横坐标构成以为首项，﹣1为公差的等差数列{x n}．

（1）求点P n的坐标；

（2）设抛物线列C1，C2，C3，…，C n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C n的顶点为P n，且过点D n（0，n2+1）．记与抛物线C n相切于点D n的直线

的斜率为k n，求；

（3）设S={x|x=2x n，n∈N*}，T={y|y=4y n，n∈N*}，等差数列{a n}的任一项a n ∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大数，﹣265＜a10＜﹣125，求数列{a n}的通项公式．

40．有n个首项为1的等差数列，设第m个数列的k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．

（1）当d3=2时，求a32，a33，a34以及a3n；

（2）证明d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；（3）当d1=1，d2=3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列），设前m组中所有数之和为（c m）4，（c

＞0），求数列的前n项和S n．

2018高考复习——高中数列压轴

参考答案与试题解析

一．解答题（共40小题）

1．已知等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且T 4=4，b 5=6．

（1）求数列{b n }的通项公式；

（2）若正整数n 1，n 2，…，n t ，…满足5＜n 1＜n 2＜…＜n t ，…且b 3，b 5，，，…，

，…成等比数列，求数列{n

t }的通项公式（t 是正整数）；

（3）给出命题：在公比不等于1的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m +2，a m +1成等差数列，则S m ，S m +2，S m +1也成等差数列．试判断此命题的真假，并证明你的结论．

【考点】8M ：等差数列与等比数列的综合．【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．

【分析】（1）本题是对数列的基本量的考查，根据通项公式、前n 项和公式公式，算出公差和首项，写出通项公式．

（2）根据等比数列中前两项求出公比，写出通项=b 5?3t =2?3t +1 ，又是{bn }中的第n t 项，又可表示成b nt =2n t ﹣4．根据这两式的相等性写出{n t }的通项．

（3）由a m ，a m +2，a m +1成等差数列，求出公比q=﹣

再利用等差数列定义判断S m ，S m +2，S m +1

是否成等差数列．

【解答】解：（1）由已知，

，∴d=2，b 1=﹣2，∴bn=b 1+（n ﹣1）d=2n ﹣4．

（2）b3=2，且b 3，b 5，，，…，，…成等比数列，所以公比q==3，所以b nt =b 5?3t =2?3t +1，t ∈N *．

又b nt =2n t ﹣4，所以2n t ﹣4=2?3t +1，所以n t =3t +1+2，t ∈N *．

（3）此命题为真命题．

若a m，a m

+2，a m

成等差数列，即a1q m﹣1+a1q m=2a1q m+1，移向化简整理得qm﹣1

（2q2﹣q﹣1）=0，q=﹣

，

S m+2﹣S m=a m+1+a m+2=a m+2 （+1）=﹣a m+2．S m+1﹣S m+2=﹣a m+2．∴S m，S m+2，S m+1也成等差数列．

【点评】本题考查等差数列通项公式求解，等差数列的判定，等比数列的通项公式及应用．考查阅读分析、理解、计算能力．

2．已知数列A n：a1，a2，…a n（n∈N*，n≥2）满足a1=a n=0，当2≤k≤n（k∈N*）时，（a k﹣a k﹣1）2=1，令S（A n）=a i．

（1）直接写出S（A5）的所有可能的值；

（2）求证：S（A2k

）的最大值为k2，其中k∈N*；

（3）记S（A n）的所有可能的值构成的集合为Гn，若0∈Гn，求出n（n≥2）的所有取值构成的集合．

【考点】8B：数列的应用．

【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题；54 ：等差数列与等比数列．

【分析】（1）由题设，即可满足条件的数列A5的所有可能情况．

（2）由题设，确定c1，c2，…，c n

﹣1

的由前项取1，后项取﹣1时，S（A n）最大，S（A n）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+﹣（…

+2+1）=，即可得到S（A2k

）的最大值．

（3）由（2）可知，如果c1，c2，…，c n

﹣1

的前项中恰有t项cm1，cm2，…，cmt取﹣1，c1，c2，…，c n﹣1的后项中恰有t项cn1，cn2，…，cnt取1，

从（1）问发现：前4，5项和出现0∈Гn；由前8，9项和出现0，此可知数列确定0∈Гn时，n（n≥2）的所有取值构成的集合．

【解答】解：（1）由题设，满足条件的数列A5的所有可能情况有：

（1）0，1，2，1，0．此时S（A5）=4；（2）0，1，0，1，0．此时S（A5）=2；（3）0，1，0，﹣1，0．此时S（A5）=0；（4）0，﹣1，﹣2，﹣1，0．此时S

（A5）=﹣4；（5）0，﹣1，0，1，0．此时S（A5）=0；（6）0，﹣1，0，﹣1，0．此时S（A5）=﹣2；

所以，S（A5）的所有可能的值为：4，2，0，﹣2，﹣4

（2）由，（a k﹣a k

﹣1

）2=1

可设a k﹣a k

﹣1

=c k﹣1，则c k﹣1=1或c k﹣1=﹣1（2≤k≤n，k∈N*），

因为a n﹣a n

﹣1

=c n﹣1，所以a n=a n﹣1+c n﹣1=a n﹣2+c n﹣2+c n﹣1=…=a1+c1+c2+…+c n﹣2+c n﹣1．因为a1=a n=0，所以c1+c2+…+c n﹣1=0，且n为奇数，c1，c2，…，c n﹣1是由个1和个﹣1构成的数列．

所以S（A n）=c1+（c1+c2）+…+（c1+c2+…+c n

﹣1）=（n﹣1）c1+（n﹣2）c2+…+2c n

﹣

2+c n

﹣1

．

则当c1，c2，…，c n

﹣1

的由前项取1，后项取﹣1时S（A n）最大，此时S（A n）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+﹣（…+2+1）=

∴S（A2k

）的最大值为k2．

（3）记S（A n）的所有可能的值构成的集合为Гn，

由题意a1=a n=0，当2≤k≤n（k∈N*）时，（a k﹣a k﹣1）2=1，∴a k﹣a k﹣1=±1

有（1）问可知，数列A n：a1，a2，…a n，对应等于0，1，0，﹣1，…（n∈N*，n ≥2）时，

前4或5项和出现0，前8或9项和出现0，前12或13项和出现0，

此可知数列n=4/5，n=8/9…．记S（A n）的所有可能的值构成的集合为Гn，

若0∈Гn，n（n≥2）的所有取值构成的集合为{n∈N*|4n或4n+1}（n≥2）．【点评】本题主要考查数列的最值的求解，利用递推数列求出数列的通项公式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．

3．如图，已知曲线C1：y=（x＞0）及曲线C2：y=（x＞0），C1上的点P1

的横坐标为a1（0＜a1＜）．从C1上的点P n（n∈N

）作直线平行于x轴，交曲

线C2于点Q n，再从点Q n作直线平行于y轴，交曲线C1于点P n

．点P n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a n}

（Ⅰ）试求a n

+1与a n之间的关系，并证明：a2n

﹣1

＜；

（Ⅱ）若a1=，求证：|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|a n+1﹣a n|＜．

【考点】8D：等比关系的确定；8E：数列的求和．

【专题】16 ：压轴题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．

【分析】（Ⅰ）由已知，P n，从而有，由Q n在y=

上，代入可得，由a1＞0，及，知a n＞0，下证：

解法一：由=，可得a n

与异号，即可证明．

解法二：由，可得=，=，可得

，利用等比数列的通项公式可得a n，进而证明．

（Ⅱ）由a2n

===，可得a2n+1﹣a2n﹣1=﹣a2n﹣1=，由，可得a2n+1＞a2n﹣1，可得

＞a2n

﹣1＞a2n

﹣3

＞…＞a1．可知a n≥a1，因此|a n

﹣a n

|==

=，利用递推关系及其等比数列的前n项和公式即可证明．

【解答】解：（Ⅰ）由已知，P n，从而有，

因为Q n在y=上，所以有=，

解得，…（3分）

由a1＞0，及，知a n＞0，

下证：

解法一：因为=，所以a n

与异号，

注意到＜0，知＜0，＞0，

即…（8分）

解法二：由，可得=，=，

所以有，即是以为公比的等比数列；

设，则

解得，…（6分）

从而有由可得，所以，．所以．…（8分）

（Ⅱ）证明：因为a 2n +1===，

所以a 2n +1﹣a 2n ﹣1=

﹣a 2n ﹣1=，因为

，所以a 2n +1＞a 2n ﹣1，所以有＞a 2n ﹣1＞a 2n ﹣3＞…＞a 1．

从而可知a n ≥a 1 …（10分）

故|a n +2﹣a n +1|====

…（12分）

所以

…（13分）

所以|a 2﹣a 1|+|a 3﹣a 2|+|a 4﹣a 3|+…+|a n +1﹣a n |=

=…（15分）

【点评】本题考查了函数关系式、等比数列的通项公式及其前n 项和公式、不等

式的性质、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

4．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．

（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；

b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．

（Ⅱ）若b n

（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；

（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．

【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定．

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题；32 ：分类讨论．

【分析】（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n}的通项公式；

=b n，然后求出c n+1﹣c n为定值，便（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n

可证明数列{c n}为等差数列；

（ⅱ）数列{a6n

}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当

时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件．

【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，

有a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）

=a1+b1+b2+…+b n﹣1（2分）

=．（3分）

又因为a1=1也满足上式，

所以数列{a n}的通项为．（4分）

b n=b n+1，b n+1b n+3=b n+2得b n+3b n=1，（Ⅱ）由题设知：b n＞0，对任意的n∈N*有b n

于是又b n

b n+6=1，故b n+6=b n（5分）

=b1=1，b6n﹣4=b2=2，b6n﹣3=b3=2，b6n﹣2=b4=1，

∴b6n

﹣5

（ⅰ）c n

﹣c n=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n

≥1），

所以数列{c n}为等差数列．（7分）

（ⅱ）设d n=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）

所以d n

所以数列{a6n

}均为以7为公差的等差数列．（9分）

设，

（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），

当时，对任意的n=6k+i有=；（10分）

由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；

此时重复出现无数次．

当时，=

＜f k，所以数列为单调减数列；

①若，则对任意的k∈N有f k

＞f k，所以数列为单调增数列；

②若，则对任意的k∈N有f k

（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，

即数列中任意一项的值最多出现六次．

综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．

（14分）当a1?B时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．

【点评】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．5．设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k（n）都成立．

（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；

（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a n}能成等差数列．

【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定；8D：等比关系的确定．

【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．

【分析】（Ⅰ）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）．即a n+S n=c，结合数列中a n与S n关系求出数列{a n}的通项公式后再证明．

（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知a n+S n=f k（n）考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．

【解答】（Ⅰ）证明：若k=0，则f k（n）即f0（n）为常数，

不妨设f0（n）=c（c为常数）．

因为a n+S n=f k（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．

而且当n≥2时，

a n+S n=2，①

a n﹣1+S n﹣1=2，②

=0（n∈N，n≥2）．

①﹣②得2a n﹣a n

﹣1

若a n=0，则a n﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以a n≠0（n∈N*）．

故数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．

（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），

当n≥2时，a n+S n=bn+c，③

a n﹣1+S n﹣1=b（n﹣1）+c，④

=b（n∈N，n≥2）．

③﹣④得2a n﹣a n

﹣1

要使数列{a n}是公差为d（d为常数）的等差数列，

必须有a n=b﹣d（常数），

而a1=1，故{a n}只能是常数数列，通项公式为a n=1（n∈N*），

故当k=1时，数列{a n}能成等差数列，其通项公式为a n=1（n∈N*），

此时f1（n）=n+1．

（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），