(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结

第1章
n Pm ?
随机事件及其概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)! m! n!(m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数
（2）加法 和乘法原 理
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样 本空间和 事件
（6）事件 的关系与 运算
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种 方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个 步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用 大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定 是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：A? B 如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。
1 / 33

属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为
A-B， 也可表示为 A-AB 或者 A B ， 它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A ? B，或者 AB。A ? B=?，则表示 A 与 B 不可能同
时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。
? -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示
A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率： i ?1
? Ai ? ? Ai
i ?1
?
?
A? B ? A? B ， A? B ? A? B
设 ? 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1 （7）概率 3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A 2 ，…有 的公理化 ?? ? ? 定义 P? ? ? Ai ? ? ? ? P( Ai ) ? i ?1 ? i ?1 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 1° ? ? ? ?1 ,? 2 ?? n ?，
1 。 n 设任一事件 A ，它是由 ?1 , ? 2 ?? m 组成的，则有
2° P(?1 ) ? P(? 2 ) ? ? P(? n ) ? （8）古典 概型
?
P(A)= ?(?1 ) ? (? 2 ) ? ? ? (? m )? = P(?1 ) ? P(? 2 ) ? ? ? P(? m )
m A所包含的基本事件数 ? n 基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， （9）几何 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A， 概型 L( A) P( A) ? 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 L (?) （ 10 ） 加 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 法公式 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （ 11 ） 减 P(A-B)=P(A)-P(AB)
2 / 33

法公式
当 B ? A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B)
P ( AB) 为事件 A 发生条 P ( A) P ( AB) （ 12 ） 条 件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) ? 。 件概率 P ( A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 ?P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB) ? P( A) P( B / A) （ 13 ） 乘 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有 P( A1 A2 … An ) ? P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) …… P( An | A1 A2 … 法公式 An ? 1) 。
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
①两个事件的独立性 设事件 A 、 B 满足 P( AB) ? P( A) P( B) ，则称事件 A 、B 是相互独 立的。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) ? 0 ，则有
P( B | A) ? P( AB) P( A) P( B) ? ? P( B) P( A) P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都 （ 14 ） 独 相互独立。 立性 必然事件 ? 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。 ? 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1, B 2,?, Bn 满足 1° B1, B 2,?, Bn 两两互不相容， P( Bi ) ? 0(i ? 1,2,?, n) ，
n （ 15 ） 全 A ? ? Bi 概公式 i ?1 2° ， （分类讨论的 则有 P( A) ? P( B1) P( A | B1) ? P( B2) P( A | B2) ? ? ? P( Bn) P( A | Bn) 。
（ 16 ） 贝 叶斯公式
设事件 B1 ， B 2 ，…， Bn 及 A 满足 1° B1 ， B 2 ，…， Bn 两两互不相容， P( Bi) >0， i ? 1，2，…， n， 2° 则
A ? ? Bi
i ?1 n
， P( A) ? 0 ， （已经知道结果 求原因
3 / 33

P( Bi / A) ?
P( Bi ) P( A / Bi )
? P( B ) P( A / B )
j ?1 j j
n
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。 （ i ? 1 ， 2 ，…， n ） ，通常叫先验概率。 P( Bi / A) ， （i ? 1， P( Bi ) ， 2 ，…， n ） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概 率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了 n 次试验，且满足 ? 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； ? n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。 （ 17 ） 伯 这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。 努利概型 用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1 ? p ? q ，用
Pn(k ) 表示 n 重伯努利试验中 A 出现 k (0 ? k ? n) 次的概率，
Pn (k ) ? C n p k q n ? k
k
， k ? 0,1,2,?, n 。
（1）离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律
第二章 随机变量及其分布 设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的 概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分 布列的形式给出： X x1, x 2,?, xk ,? | P( X ? xk ) p1, p 2,?, pk ,? 。 显然分布律应满足下列条件： （1） pk ? 0 ， k ? 1,2,? ， （2） k ?1
?p
?
k
?1
。
（ 2 ） 连 设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f ( x) ，对任意实 续 型 随 数 x ，有 机 变 量 x F ( x ) ? ??? f ( x)dx ， 的 分 布 密度 则称 X 为连续型随机变量。f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° f ( x) ? 0 。 2°
?
??
??
f ( x)dx ? 1
。
4 / 33

（3）离 P( X ? x) ? P( x ? X ? x ? dx) ? f ( x)dx 散 与 连 续 型 随 积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X ? xk ) ? pk 机 变 量 的关系 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 （4）分 设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 布函数 F ( x) ? P( X ? x) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a ? X ? b) ? F (b) ? F (a)
可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。
分布函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°
0 ? F ( x) ? 1,
? ? ? x ? ?? ；
F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 ? x2 时，有 F ( x1) ? F ( x2) ；
F ( ?? ) ? lim F ( x) ? 0 ，
x ? ??
F (?? ) ? lim F ( x) ? 1 ；
x ? ??
F ( x ? 0) ? F ( x) ，即 F ( x) 是右连续的； P( X ? x) ? F ( x) ? F ( x ? 0) 。
xk ? x
x
对于离散型随机变量， F ( x) ? 对于连续型随机变量， F ( x) ? （ 5 ） 八 0-1 分布 大分布
?p
k
；
??
? f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
5 / 33

二项分布
在 n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。 事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为
0,1,2,?, n 。
k k n?k P( X ? k ) ? Pn(k ) ? Cn p q
，
其
中
q ? 1 ? p,0 ? p ? 1, k ? 0,1,2,?, n ，
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
当 n ? 1 时， P( X ? k ) ? p k q1?k ， k ? 0.1 ，这就是（0-1） 泊松分布 分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 设随机变量 X 的分布律为
P( X ? k ) ?
?k
k!
e ?? ， ? ? 0 ， k ? 0,1,2? ，
则称随机变量 X 服从参数为 ? 的泊松分布，记为
X ~ ? (? ) 或者 P( ? )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ ，n→∞） 。 超几何分 布
P( X ? k ) ?
k n?k k ? 0,1,2?, l CM ? CN ?M , n l ? min(M , n) CN
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布
P( X ? k ) ? q k ?1 p, k ? 1,2,3,?，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
6 / 33

均匀分布
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f ( x) 在 1 [a，b]上为常数 ，即 b?a
? 1 , ? f ( x) ? ? b ? a ? ?0,
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 X 在[a， b]上服从均匀分布， 记为 X~U(a， b)。 分布函数为
0， xb。
x?a , b?a
F ( x) ? ? f ( x)dx ?
??
x
1，
当 a≤x1f ( x) ?
0,
?e ??x ,
x ? 0,
x ? 0,
其中 ? ? 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分 布。 X 的分布函数为
1 ? e ??x ,
F ( x) ?
0,
x ? 0,
x<0。
记住积分公式：
??
?x
0
n
e ? x dx ? n!
7 / 33

正态分布
设随机变量 X 的密度函数为 ( x?? )2 ? 1 2 f ( x) ? e 2? ， ? ? ? x ? ?? ， 2? ? 其中 ? 、? ? 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为
? 、 ? 的 正 态 分 布 或 高 斯 （ Gauss ） 分 布 ， 记 为
X ~ N ( ? ,? 2 ) 。
f ( x) 具有如下性质： f ( x) 的图形是关于 x ? ? 对称的；
1° 2°
为最大值； 2 ? ? 2 (t ? ? ) ? ,? 2 ) X 的分布函数为 若 X ~ N (1 ? x ，则 2? 2 F ( x) ? e dt 2?? ??? 。 。 参数 ? ? 0 、 ? ? 1 时的正态分布称为标准正态分布，记
,1) ，其密度函数记为 x2 为 X ~ N (01 ? ? ( x) ? e 2 2? ， ? ? ? x ? ?? ，
当 x ? ? 时， f ( ? ) ?
1
分布函数为 t2 x ? 1 ? ( x) ? ? e 2 dt 。 2? ?? ? ( x ) 是不可求积函数， 其函数值， 已编制成表可供查用。 1 Φ (-x)＝1-Φ (x)且 Φ (0)＝ 。 2 X ?? 如果 X ~ N (?,? 2 ) ，则 ~ N (0,1) 。 ? ?x ??? ?x ??? P( x1 ? X ? x2 ) ? ?? 2 ? ? ?? 1 ?。 ? ? ? ? ? ? （6）分 下分位表： P( X ? ?? )＝? ； 位数 上分位表： P( X ? ?? )＝? 。 （ 7 ） 函 离散型 已知 X 的分布列为 数分布 x1, x 2, ?, xn, ? X ， P( X ? xi ) p1, p 2, ?, pn, ? Y ? g ( X ) 的分布列（ y i ? g ( xi ) 互不相等）如下： g ( x1), g ( x 2), ?, g ( xn), ? Y ， P(Y ? y i ) p1, p 2, ?, pn, ? 若有某些 g ( xi ) 相等，则应将对应的 pi 相加作为 g ( xi ) 的 概率。
8 / 33

连续型
先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)＝ P(g(X) ≤ y) ， 再 利 用 变 上 下 限 积 分 的 求 导 公 式 求 出 fY(y)。
第三章
（1）联合 分布 离散型
二维随机变量及其分布
如果二维随机向量 ? （X，Y）的所有可能取值为至多可列 个有序对（x,y） ，则称 ? 为离散型随机量。 设 ? =（X，Y）的所有可能取值为 ( xi , y j )(i, j ? 1,2, ?) ， 且事件{ ? = ( xi , y j ) }的概率为 pij,,称
P{( X , Y ) ? ( xi , y j )} ? pij (i, j ? 1,2, ?)
为 ? =（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分 布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y X x1 x2
y1 p11 p21
y2 p12 p22
… … …
yj p1j p2j
… … …
?
xi
?
pi1
?
…
?
?
…
pij
?
?
?
?
?
这里 pij 具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…） ； （2）
??
i j
pij ? 1.
9 / 33

连续型
对 于 二 维 随 机 向 量 ? ? (X ,Y ) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
f ( x, y)(?? ? x ? ??,?? ? y ? ??) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|aP{( X , Y ) ? D} ? ?? f ( x, y)dxdy,
D
则称 ? 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 ? =（X，Y）的分布 密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。 分布密度 f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2） （2）二维 随机变量 的本质 （3）联合 分布函数
? ?
?? ??
?? ??
f ( x, y)dxdy ? 1.
? ( X ? x, Y ? y) ? ? ( X ? x ? Y ? y)
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数
F ( x, y) ? P{X ? x, Y ? y}
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函 数。 分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件
{(?1 , ? 2 ) | ?? ? X (?1 ) ? x,?? ? Y (? 2 ) ? y} 的概率为函数值的一个实值函
数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质： （1） 0 ? F ( x, y) ? 1; （2）F（x,y）分别对 x 和 y 是非减的，即 当 x2>x1 时，有 F（x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1 时，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即
F ( x, y) ? F ( x ? 0, y), F ( x, y) ? F ( x, y ? 0);
（4） F (??,??) ? F (??, y) ? F ( x,??) ? 0, F (??,??) ? 1. （5）对于 x1 ? x2，y1 ? y 2，
F ( x2，y 2 ) ? F ( x2，y1 ) ? F ( x1，y 2 ) ? F ( x1，y1 ) ? 0 .
（4）离散 型与连续 型的关系
P( X ? x，Y ? y) ? P( x ? X ? x ? dx，y ? Y ? y ? dy) ? f ( x，y)dxdy
10 / 33

（5）边缘 分布
离散型
X 的边缘分布为
Pi? ? P( X ? xi ) ? ? pij (i, j ? 1,2, ?) ；
j
Y 的边缘分布为
P? j ? P(Y ? y j ) ? ? pij (i, j ? 1,2, ?) 。
i
连续型
X 的边缘分布密度为
f X ( x) ? ? f Y ( y) ? ?
（6）条件 分布 离散型
??
??
f ( x, y)dy；
Y 的边缘分布密度为
?? ??
f ( x, y)dx.
在已知 X=xi 的条件下，Y 取值的条件分布为
P(Y ? y j | X ? xi ) ?
pij pi ?
；
在已知 Y=yj 的条件下，X 取值的条件分布为
P( X ? x i | Y ? y j ) ?
连续型
pij p? j
,
在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
f ( x | y) ?
f ( x, y) ； f Y ( y)
在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为
f ( y | x) ?
（7）独立 性 一般型 离散型
f ( x, y) f X ( x)
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
pij ? pi? p? j
有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形
连续型
二维正态分 布
f ( x, y ) ?
1 2?? 1 ? 2 1 ? ? 2
?
e
? ? x ? ? ? 2 2 ? ( x ? ? )( y ? ? ) ? y ? ? 1 1? 1 2 2 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 (1? ? 2 ) ? 2 ? ?? 1 ?
? ? ? ?
2?
? ? ?
,
? ＝0
随机变量的 函数 若 X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和 g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。 11 / 33

（8）二维 均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
? 1 ?S ? D f ( x, y ) ? ? ?0, ? ?
( x, y ) ? D 其他
其中 SD 为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）～ U（D） 。 例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y
1
D1 O
图 3.1 1
x
y
1 D2
O
1
2 x
图 3.2
y d c O a
图 3.3
D3
b
x
12 / 33

（9）二维 正态分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
f ( x, y ) ?
1 2?? 1 ? 2 1 ? ? 2
?
e
? ? x ? ? ? 2 2 ? ( x ? ? )( y ? ? ) ? y ? ? 1? 1 2 2 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 (1? ? ) ? 2 ? ?? 1 ? 1
2
? ? ? ?
2?
? ? ?
,
其中 ?1 , ? 2,? 1 ? 0, ? 2 ? 0, | ? |? 1是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分 布，
2 2 记为（X，Y）～N（ ?1 , ? 2,? 1 ,? 2 , ? ).
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，
2 2 即 X～N（ ?1 , ? 1 ),Y ~ N (? 2,? 2 ). 2 2 但是若 X～N（ ?1 , ? 1 ),Y ~ N (? 2,? 2 ) ，(X，Y)未必是二维正态分布。
（10）函数 分布
Z=X+Y
根据定义计算： FZ ( z) ? P(Z ? z ) ? P( X ? Y ? z)
??
对于连续型，fZ(z)＝
??
? f ( x, z ? x)dx
2 2 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ?1 ? ? 2 , ? 1 ） 。 ??2
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
? ? ? Ci ? i ， ? 2 ? ? Ci2? i2
i i
Z=max,min( X1,X2,…Xn)
若 X1, X 2 ? X n 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为
Fx1 ( x)，Fx2 ( x) ? Fxn ( x) ，则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布
函数为：
Fmax ( x) ? Fx1 ( x) ? Fx2 ( x)?Fxn ( x) Fmin ( x) ? 1 ? [1 ? Fx1 ( x)] ? [1 ? Fx2 ( x)]?[1 ? Fxn ( x)]
13 / 33

? 2 分布
设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , ?, X n 相互独立，且服从标准正态分 布，可以证明它们的平方和
W ? ? X i2
i ?1
n
的分布密度为
n u ?1 ? ? 1 2 u e 2 ? n ? n ? f (u ) ? ? 2 2 ?? ? ? ? ? 2? ? 0 , ?
u ? 0, u ? 0.
我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 ? 2 分布， 记为 W～ ? 2 (n) ， 其中
? n ? ?? ?1 ?? ? ? ? x 2 e ? x dx. ?2? 0
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。
n
? 2 分布满足可加性：设
Yi ? ? 2 (ni ),
则
Z ? ? Yi ~ ? 2 (n1 ? n2 ? ? ? nk ).
i ?1
k
t 分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且
X ~ N (0,1),Y ~ ? 2 (n),
可以证明函数
T?
的概率密度为
X Y /n
? n ? 1? ?? ? t2 ? 2 ? ? ?1 ? f (t ) ? n ?n?? n? ?? ? ? ? 2?
? ? ? ?
?
n ?1 2
(?? ? t ? ??).
我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T～t(n)。
t1?? (n) ? ?t? (n)
14 / 33

F 分布
设 X ~ ? 2 (n1 ), Y ~ ? 2 (n2 ) ， 且 X 与 Y 独 立 ， 可 以 证 明
F?
X / n1 的概率密度函数为 Y / n2
? ? n1 ? n 2 ? ? ? ?? n 2 ? ? ? ? ? 1 ? f ( y ) ? ? ? n1 ? ? n 2 ? ? ? n2 ? ?? ? ?? ? ? ?2? ? 2? ? ?
? ? ? y ?
n1 2
n1 ?1 2
? n1 ? ? ?1 ? n y ? ? 2 ? ?
?
n1 ? n2 2
,y?0
0, y ? 0
我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2 的 F 分布，记为 F～f(n1, n2).
F1?? (n1 , n2 ) ?
1 F? (n2 , n1 )
第四章
（1） 一 维 期望 随 机 期望就是平均值 变 量 的 数 字 特 征 离散型
随机变量的数字特征
连续型 设 X 是连续型随机变量， 其概率密 度为 f(x)，
??
设 X 是离散型随机变量， 其分布 律 为 P( X ? x k ) ＝ pk ， k=1,2,…,n，
E( X ) ?
E ( X ) ? ? xk pk
k ?1
n
??
? xf ( x)dx
（要求绝对收敛）
（要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)
n
E (Y ) ? ? g ( x k ) p k
k ?1
??
E(Y ) ?
??
? g ( x) f ( x)dx
??
方差 2 D(X)=E[X-E(X)] ， 标准差
D( X ) ? ?[ xk ? E ( X )] pk
2 k
D( X ) ? ? [ x ? E ( X )]2 f ( x)dx
??
? ( X ) ? D( X ) ，
15 / 33

矩
①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 ν k=E(X )=
k
①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点 矩，记为 vk,即 ν k=E(X )=
k
?x
i
k i
pi ,
?
??
??
x k f ( x)dx,
k=1,2, …. ②对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期
k=1,2, …. ②对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X
望为 X 的 k 阶中心矩， 记为 ? k ， 的 k 阶中心矩，记为 ? k ，即 即
? k ? E ( X ? E ( X )) k
.
=
? k ? E ( X ? E ( X )) k
.
= ，
? (x
i
i
? E ( X )) pi
k
?
??
??
( x ? E ( X )) k f ( x)dx,
k=1,2, ….
2
k=1,2, …. 切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=μ ，方差 D（X）=σ ，则对于 任意正数ε ，有下列切比雪夫不等式
P( X ? ? ? ? ) ?
?2 ?2
P( X ? ? ? ? )
切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率
的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2） 期 望 的 性 质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E (
? C X ) ? ? C E( X )
i ?1 i i i ?1 i i
n
n
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 （3） 方 差 的 性 质 （1） （2） （3） （4） （5） D(C)=0；E(C)=C 2 D(aX)=a D(X)； E(aX)=aE(X) 2 D(aX+b)= a D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b 2 2 D(X)=E(X )-E (X) D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 期望 0-1 分布 B(1, p ) 方差
（4） 常 见 分 布
p
p(1 ? p)
16 / 33

的 期 望 和 方差
二项分布 B(n, p) 泊松分布 P (? )
np
np(1 ? p)
?
1 p
nM N a?b 2
?
1? p p2
几何分布 G ( p )
超几何分布 H (n, M , N )
nM ? M ?? N ? n ? ?1 ? ?? ? N ? N ?? N ? 1 ?
(b ? a ) 2 12
1 ?2
均匀分布 U (a, b) 指数分布 e(? ) 正态分布 N (? , ? 2 )
1
?
?
n 0
?2
2n
? 2 分布
t 分布 （5） 期望 二 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征 函数的期望
n
n (n>2) n?2
??
E ( X ) ? ? xi p i ?
i ?1
E( X ) ?
?? ??
? xf
X
( x)dx
E (Y ) ? ? y j p? j
j ?1
n
E (Y ) ?
??
? yf
Y
( y)dy
E[G( X , Y )] ＝
E[G( X , Y )] ＝
?? G( x , y
i i j
j
) pij
?? ??
－? －?
? ? G( x, y) f ( x, y)dxdy
?? ??
方差
D( X ) ? ? [ xi ? E ( X )] pi?
2 i
D( X ) ? ? [ x ? E ( X )]2 f X ( x)dx D(Y ) ? ? [ y ? E (Y )]2 f Y ( y)dy
?? ??
D(Y ) ? ?[ x j ? E(Y )]2 p? j
j
17 / 33

协方差
对于随机变量 X 与 Y， 称它们的二阶混合中心矩 ? 11 为 X 与 Y 的协方 差或相关矩，记为 ? XY 或 cov(X , Y ) ，即
? XY ? ?11 ? E[( X ? E( X ))(Y ? E(Y ))].
与记号 ? XY 相对应， X 与 Y 的方差 D （X） 与D （Y） 也可分别记为 ? XX 与 ? YY 。 相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）>0, D(Y)>0，则称
? XY
D( X ) D(Y )
为 X 与 Y 的相关系数，记作 ? XY （有时可简记为 ? ） 。
P( X ? aY ? b) ? 1 | ? |≤1， 当| ? |=1 时， 称 X 与 Y 完全相关：
完全相关 ?
?正相关，当? ? 1时(a ? 0)， ?负相关，当? ? ?1时(a ? 0)，
而当 ? ? 0 时，称 X 与 Y 不相关。 以下五个命题是等价的： ① ? XY ? 0 ； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵
? ? XX ? ?? ? YX
? XY ? ? ? YY ? ?
混合矩
对于随机变量 X 与 Y，如果有 E( X k Y l ) 存在，则称之为 X 与 Y 的
k+l 阶混合原点矩，记为? kl ；k+l 阶混合中心矩记为：
u kl ? E[(X ? E( X ))k (Y ? E(Y ))l ].
（6） 协 方 差 的 性质 (i) (ii) (iii) (iv) cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
18 / 33

（7） （i） 独 立 和 不 （ii） 相关
若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ? XY ? 0 ；反之不真。
2 2 若（X，Y）～N（ ?1 , ? 2 , ? 1 ， ,? 2 ,?）
则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。
第五章
（1）大数定律
大数定律和中心极限定理
X ??
切比雪 夫大数 定律
设随机变量 X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一 常数 C 所界：D（Xi）?1 n ? 1 n ? lim P? X ? E ( X ) ? ? ? ? i i ? ? 1. n ?? ? n n i ?1 ? i ?1 ?
特殊情形：若 X1，X2，…具有相同的数学期望 E（XI）=μ ， 则上式成为
?1 n ? lim P? X i ?? ? ? ? ? ? ? ? 1. n ?? ? n i ?1 ?
伯努利 大数定 律 设μ 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在 每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε ，有
?? ? lim P? ? p ??? ? ? ? 1. n ?? ? n ?
伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
?? ? lim P? ? p ??? ? ? ? 0. n ?? ? n ?
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大 数定律 设 X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且 E （Xn）=μ ，则对于任意的正数ε 有
?1 n ? lim P? X i ?? ? ? ? ? ? ? ? 1. n ?? ? n i ?1 ?
19 / 33

（2）中心极限定 理
X ? N (? ,
?2
n
列维－ 林德伯 格定理
相
设随机变量 X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有 同 的 数 学 期 望 和 方 差 ：
)
E( X k ) ? ?, D( X k ) ? ? 2 ? 0(k ? 1,2, ?) ，则随机变量
Yn ?
?X
k ?1
n
k
? n?
n?
的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有
? n ? X k ? n? ? ? ? 1 ? ? lim Fn ( x) ? lim P ? k ?1 ? x? ? n ?? n ?? n? 2? ? ? ? ? ? ?
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗 －拉普 拉斯定 理
?
x
??
e
?
t2 2
dt.
设随机变量 X n 为具有参数 n, p(02
（3）二项定理
t ? ? 1 x ?2 ? X n ? np ? ? lim P ? ? x? ? ? e dt. n ?? 2? ?? ? ? ? np(1 ? p) ? M ? p(n, k不变 ) ，则 若当 N ? ?时, N
k n?k CM CN k k ?M ? Cn p (1 ? p) n?k n CN
( N ? ?).
超几何分布的极限分布为二项分布。 （4）泊松定理 若当 n ? ?时, np ? ? ? 0 ，则
k k Cn p (1 ? p) n ?k ?
?k
k!
e ??
(n ? ?).
其中 k=0，1，2，…，n，…。 二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章 样本及抽样分布
（1）数理 统计的基 本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 体称为总体 （或母体） 。 我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量（或随机向量） 。 总体中的每一个单元称为样品（或个体） 。
个体
20 / 33

概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学

第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338412 131425=C C C C ；

2020年浙江大学在杭州高中录取数据汇总

浙江大学作为浙江省内唯一一所985、211高校，一直都备受关注。今天给大家盘 点一下杭州市各高中近年来被浙大录取的人数情况，大家可以参考一下~ 杭州各高中浙大录取情况汇总 从表中数据可以看出，学军西溪、杭二滨江、萧山中学位列浙大录取数量前茅。余杭高级中学每年的录取数量在稳定增加。 再者，自2020年浙江大学录取数据来看，学军西溪录取数量位列浙江省第一，有159人。其次是杭二滨江，达到了108人。而萧山中学排在第三，录取101人。 2020年浙大各专业选科情况汇总

根据2020年浙江大学招生简章，2020年浙大在浙江省统招计划数1638人， 其中理工科以及医学类的专业占主要部分，招生1166人，占总计划数的71.18%。 其中人文社科类的专业招生472人，占总计划数的28.82%。 其中单限物理的专业计划招生达1099人，占比达67.09%;限物理+化学的专业，招生计划达67人，占比达4.09%;限制历史+地理的专业，招生计划达92人，占比 达5.62%;不限选科的专业，招生计划达380人，占统招数的23.2%。由此可见，在浙江省2020年的高考志愿填报中，选考物理是十分重要的。 2020年浙大医学院各专业选科情况汇总 2020年浙江大学医学院对浙江招生计划中，均要求选科化学+生物，想要学医 的同学着重关注这两门选科。2020年浙江大学医学院招生211人，最低分数线659分，位次为5490。 浙大在浙录取情况汇总

由上述数据可以看出，2020年通过保送的方式被浙大录取的有12人，被强基计划录取的有15人，通过三位一体综合评价考核录取的有850人，通过统招录取1638人，总计2515人。 从2020年浙江大学对浙江招生录取结果来看，选考物理变的十分重要，单限物理的专业占比高达70%以上。

概率论与数理统计浙大四版习题答案第六章1

第六章 样本及抽样分布 1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。 解： 8293 .0)7 8( )7 12( } 6 3.68.16 3.6526 3.62.1{}8.538.50{),36 3.6, 52(~2 =-Φ-Φ=< -< - =<15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}. 解：（1）??? ???? ?? ?????>-=?????????? ?? ?? > -=>-255412 25415412 }112 {|X P X P X P =2628.0)]2 5(1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]2 1215( [1}15{15 5 1 =-Φ-=≤-∏=i i X P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]2 1210( 1[1}10{15 55 1 =Φ-=-Φ--=≥-∏=i i X P 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32 ）的一个样本，求}.44.1{10 1 2>∑=i i X P

概率论与数理统计答案第四版第2章(浙大)

1、考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万元， 若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。 解：设X为公司的赔付金额，X=0,5,20 P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988 P（X=5）=0.0010 P（X=20）=0.0002 X 0 5 20 P 0.9988 0.0010 0.0002 2.(1) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律. 解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有=10种取法，数量不多可以枚举来解此题。 设样本空间为S S=｛123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 ｝ 易得，P｛X=3｝=；P｛X=4｝=；P｛X=5｝=； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 方法二：X的取值为3,4,5 当X=3时，1与2必然存在，P｛X=3｝= =; 当X=4时，1,2,3中必然存在2个，P｛X=4｝= =； 当X=5时，1,2,3,4中必然存在2个，P｛X=5｝= =； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 (2)将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律. 解：P｛X=1｝= P (第一次为1点)+P（第二次为1点）- P（两次都为一点） = =； P｛X=2｝= P (第一次为2点，第二次大于1点)+P（第二次为2点，第一次大于1点）- P（两次都为2点） = =； P｛X=3｝= P (第一次为3点，第二次大于2点)+P（第二次为3点，第一次大于2点）- P（两次都为3点）

2017年浙江大学硕士各专业报录比及平均分

2017年浙江大学硕士各专业报录比及平均分 下列统计中不含非全日制、推免生、单独考试、强军计划、退役士兵计划以及少民骨干计划考生；录取人数中包括了由本校其他相近专业调剂到该专业录取的考生。 010 经济学院020101 政治经济学19 1 393 393 393 010 经济学院020102 经济思想史 2 1 372 372 372 010 经济学院020104 西方经济学25 5 395 367 383 010 经济学院020105 世界经济 1 1 396 396 396 010 经济学院020106 人口、资源与环境经济学 6 1 389 389 389 010 经济学院020201 国民经济学 4 1 378 378 378 010 经济学院020202 区域经济学 6 1 365 365 365 010 经济学院020203 财政学10 1 394 394 394 010 经济学院020204 金融学85 3 398 389 393 010 经济学院020205 产业经济学63 2 423 396 409 010 经济学院020206 国际贸易学27 2 398 380 389 010 经济学院020207 劳动经济学7 1 371 371 371 010 经济学院020209 数量经济学10 1 406 406 406 010 经济学院0202Z1 互联网金融学13 1 402 402 402 010 经济学院025100 金融(专业学位) 451 52 438 394 408 010 经济学院025300 税务18 5 397 378 389 010 经济学院025400 国际商务(专业学位) 58 11 399 368 379 020 光华法学院030101 法学理论12 4 387 342 366 020 光华法学院030103 宪法学与行政法学23 1 410 410 410 020 光华法学院030104 刑法学14 2 368 344 356 020 光华法学院030105 民商法学42 2 350 344 347 020 光华法学院030106 诉讼法学15 1 384 384 384 020 光华法学院030107 经济法学25 3 387 371 381 020 光华法学院030108 环境与资源保护法学 5 1 385 385 385 020 光华法学院030109 国际法学21 3 402 345 366 020 光华法学院035101 法律（非法学）(专业学位) 259 50 408 341 370 020 光华法学院035102 法律（法学）(专业学位) 31 2 336 321 328 030 教育学院040101 教育学原理17 1 396 396 396

概率论与数理统计浙大四版习题答案

概率论与数理统计浙大四版习题答案 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-

第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为 未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,) 1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1） X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== = +-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令，得 c X X θ-= （2） ,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =?

3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn n n i i x x x c θx f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑==n i i n i i x c n n θ θd θL d x θc θn θn θL ∑=-= n i i c n x n θ1 ln ln ? （解唯一故为极大似然估计量） （2） ∑ ∏=-- =-+-=== n i i θn n n i i x θθn θL x x x θ x f θL 1 1 212 1 ln )1()ln(2)(ln ,) ()()( ∑∑ ====+?-=n i i n i i x n θx θ θn θd θL d 1 2 1 ) ln (?,0ln 21 12)(ln 。(解唯一)故为极大 似然估计量。 （5）∑∑==- =-??? ? ?????? ??===∏ n i n i i i x mn x n n i i p p x m x m x X P p L 1 1 )1(}{)(11 ， ()),1ln()(ln ln )(ln 1 1 1 p x mn p x p L n i i n i i n i m x i -- ++= ∑∑∑=== 01) (ln 1 1 =--- =∑∑==p x mn p x dp p L d n i i n i i 解得 m X mn x p n i i = = ∑=2 ，（解唯一）故为极大似然估计量。 4．[四(2)] 设X 1，X 1，…，X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。

《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )

浙江大学硕士报考录取人数统计表模板

浙江大学硕士报考录取人数统计表

浙江大学硕士报考录取人数统计表( 按专业代码排序) 下列统计中不含免试、单独考试、强军计划以及少民骨干计划考生; 录取人数中包括了由本校其它相近专业调剂到该专业录取的考生。招生专业和招生人数会有较大变动, 届时请查询硕士招生目录。 学院代码学院名称专业代码专业名称报考人数录取人数最高分最低分平均分040 人文学院010101 马克思主义哲学 5 2 384 340 362.0 040 人文学院010102 中国哲学22 4 423 393 413.0 040 人文学院010103 外国哲学25 2 412 384 398.0 040 人文学院010104 逻辑学7 2 380 367 373.5 040 人文学院010105 伦理学 6 1 373 373 373.0 230 传媒与国际文化学院010106 美学17 5 377 357 368.4 040 人文学院010107 宗教学 1 1 382 382 382.0 040 人文学院010108 科学技术哲学13 4 389 357 378.7 040 人文学院010120 休闲学16 2 380 368 374.0 010 经济学院0 1 政治经济学44 5 411 389 397.2 010 经济学院0 2 经济思想史 4 1 395 395 395.0 010 经济学院0 3 经济史 1 0 010 经济学院0 4 西方经济学39 6 414 382 401.8 010 经济学院0 5 世界经济9 1 399 399 399.0

010 经济学院0 6 人口、资源与环境经济学7 0 010 经济学院020201 国民经济学8 0 010 经济学院020202 区域经济学14 1 383 383 383.0 010 经济学院020203 财政学20 1 377 377 377.0 010 经济学院020204 金融学188 10 424 395 403.6 010 经济学院020205 产业经济学118 6 409 376 392.3 010 经济学院020206 国际贸易学108 6 392 372 383.8 010 经济学院020207 劳动经济学11 1 403 403 403.0 010 经济学院020207 劳动经济学11 5 395 368 381.6 220 公共管理学院020207 劳动经济学11 1 403 403 403.0 220 公共管理学院020207 劳动经济学11 5 395 368 381.6 010 经济学院020208 统计学 6 1 384 384 384.0 010 经济学院020209 数量经济学 5 0 010 经济学院025100 金融硕士127 20 413 367 386.7 010 经济学院025400 国际商务硕士31 16 426 363 396.7 020 光华法学院030101 法学理论16 3 355 342 350.3 020 光华法学院030102 法律史 2 1 364 364 364.0 020 光华法学院030103 宪法学与行政法学31 3 373 347 360.0 020 光华法学院030104 刑法学21 1 341 341 341.0 020 光华法学院030105 民商法学53 3 375 345 356.0 020 光华法学院030106 诉讼法学15 2 370 346 358.0 020 光华法学院030107 经济法学38 5 395 351 363.6

概率论与数理统计第四版-课后习题答案_盛骤__浙江大学

完全版 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8 508143=+-

概率论与数理统计浙大四版习题答案

第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解： μ ， σ 2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未 知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,) 1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-===+-∞+-∞+∞ -? ?1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （ 2 ） ,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

解：（1）似然函数 1211 )()()(+-===∏θn θn n n i i x x x c θx f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL ∑=-= n i i c n x n θ1 ln ln ? （解唯一故为极大似然估计量） （ 2 ） ∑ ∏=-- =-+-=== n i i θn n n i i x θθn θL x x x θ x f θL 1 1 212 1 ln )1()ln(2)(ln ,) ()()( ∑∑====+?-=n i i n i i x n θx θ θn θd θL d 1 2 1 ) ln (?,0ln 21 12)(ln 。(解唯一)故为极大似 然估计量。 （5）∑∑==- =-??? ? ?????? ??===∏ n i n i i i x mn x n n i i p p x m x m x X P p L 1 1 )1(}{)(11 ， ()),1ln()(ln ln )(ln 1 1 1 p x mn p x p L n i i n i i n i m x i -- ++= ∑∑∑=== 01) (ln 1 1 =--- =∑∑==p x mn p x dp p L d n i i n i i 解得 m X mn x p n i i = = ∑=2 ，（解唯一）故为极大似然估计量。 4．[四(2)] 设X 1，X 1，…，X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λ?=X 为矩估计

浙大版概率论与数理统计答案第八章

第八章 假设检验 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1 、解 由题意知： ~(0,1)/X N n μ σ- （1）对参数μ提出假设： 0: 2.3H μ≤， 1: 2.3H μ> （2）当0H 为真时，检验统计量 2.3 ~(0,1)0.29/35 X N -，又样本实测得 2.4x =，于 是 002.4 2.3( )( 2.04)1(2.04)0.0207/0.29/35/H H X X P P P n n μμ σσ----=≥=≥=-Φ= （3）由（2）知，犯第I 类错误的概率为0.0207 （4）如果0.05α=时，经查表得 1.645z α=，于是 2.3 2.3{ }{ 1.645}/0.29/35 X X W z W n ασ-->=> （5）是。 2、 14.5515x =<故将希望得到支持的假设“15μ>”作为原假设，即考虑假设问题 0H ： 15μ≥，1H ：15μ< 因2 σ未知，取检验统计量为0 /X T S n μ-= ，由样本资料10n =，14.55x =， 1.2445s =和015μ=代入得观察值0 1.2857t =-，拒绝域为 ()0 0.059/X W T t S n μ??-==≤-?? ??，查分布表得()0.059 1.8331t =，()00.059t t >- 故接受原假设0H ，即认为该广告是真实的。 3、 解（1）由题意得，检验统计量1 /X Z n σ-= ，其拒绝域为

1 {}{ 1.66}/X W Z z W X n ασ-== ≥=≥ 当2μ=时，犯第II 类错误的概率为： 0021.662 {|}{ 1.66|2}P{ }=0.198//X P H H P X n n βμσσ--==≤==≤接受是错误的 （2） 2 22 (n 1)S ~(n 1)χσ --，当2σ未知时，检验统计量224S ，其拒绝域为： 2221W {24S (24)}{S 0.577}αχ-=<=< 当21.25σ=时，检验犯第I 类错误的概率为： 22 2 0024S 240.577 {|}{S 0.577| 1.25}P{}=0.012 1.251.25 P H H P ασ?==<==<拒绝是正确的 4、 (1)提出假设0H ：3000μ=，1H ：3000μ≠ 建立检验统计量0 /X T S n μ-= ，其中03000μ= 在显著水平0.05α=下，检验的拒绝域为 ()0 0.0257 2.3646/X W T t S n μ??-==≥=?? ??，由样本资料得观察值()00.0252958.753000 2.97271348.4375/8 t t -= =>，故有显著差异。 (2)μ的95%的置信区间为()()/2/21,1S S X t n X t n n n αα??- -+- ?? ? ，由样本资料得μ的95%的置信区间为()2925.93,2991.57 (3)(){}(){} 02127 2.9720.0207P P t n t P t =-≥=≥=。 5、 解 （1） ~(1)S /X t n n μ --。由题意得，样本测得的值为167.2x =， 4.1s =，100n =，经查表得()/299 1.984t α=，于是均值μ的95%的置信区间为： ()()/2/2(99s /,99s /)(166.4,168.0)x t n x t n αα+-=

有意报浙大附中的进来深入了解一下吧(历年中考录取及高考情况)

杭州重点高中前八所学校之一——浙大附中，按录取分数线高低来排名，浙大附中的录取线仅次于杭十四中凤起校区，排于杭四中吴山校区之前，列于前八所的第五位。 师资 浙大附中在师资上现有正教授级教师1人，特级教师5人，研究生学历教师20余人，省市级名师、学科带头人、教坛新秀、优秀班主任50余名，高级教师占全体教师比例超过60%。作为浙大的附属中学，享受着浙大全方位的眷顾和丰富的教育教学资源，浙大的联系更加密切和方便。 住宿情况 浙大附中有住宿，但非寄宿制学校，为高一新生中部分路远的学生提供80人住宿。学生寝室以学生需求为前提，配套设施一应俱全，设有独立卫生间、空调、独立写字台和橱柜。 奖励制度 按有关政策对特困生实行免学杂费制度，对困难学生实行助学金制度。对贫困学生和特长学生设立了每年5万的“汉蓝”资助金和奖励基金。 新生分班情况 历年是招收576人，包括保送生、特长生和中考招生，新生录取后会进行分班考试，分出4个实验班，所有保送生、特长生、中考生都参加，对数学、英语、物理、化学进行测试。 高考成绩：

近年文理两科高考一本率一直稳定在40％～50％(官方数据)，没有具体数据来加以论证。就2011年、2012年的一本率来看，2012年的43.67%是在此范围内，但2011年的32%并不在范围内。 以下是整理出2009年-2012年浙大附中的中考招生录取情况以及高考情况，给大家作个了解参考。 2009201020112012录取分数线479477483489 计划招生人数576576576576 实际中考招生365367362330 保送生人数——191195221 特长生人数—— 18人 (体育14人 科技2人 艺术2人) 22人 (体育20人 艺术2人) 25人 (体育22人 科技1人 艺术2人) 高考成绩 一本上线人 数 ——185212156

概率论与数理统计浙大第四版习题答案全

概率论与数理统计习题答案 完全版 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ? ??????=n n n n o S 1001 , ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C

（4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8 508143=+- 8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26

统计同成绩学生人数

统计同成绩学生人数 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 18844 Accepted Submission(s): 10627 Problem Description 读入N名学生的成绩，将获得某一给定分数的学生人数输出。 Input 测试输入包含若干测试用例，每个测试用例的格式为 第1行：N 第2行：N名学生的成绩，相邻两数字用一个空格间隔。 第3行：给定分数 当读到N=0时输入结束。其中N不超过1000，成绩分数为（包含）0到100之间的一个整数。 Output 对每个测试用例，将获得给定分数的学生人数输出。 Sample Input 3 80 60 90 60 2 85 66 5 60 75 90 55 75 75 Sample Output 1 2

Hint Hint Huge input, scanf is recommended. Source 浙大计算机研究生复试上机考试-2006年 Recommend JGShining | We have carefully selected several similar problems for you: 1230 1229 1237 1234 1236 #include int main() { int N; int a[1000]; int i,num=0,score; scanf("%d",&N); while(N!=0) { for(i=0;i

认识浙江大学-报考浙江大学的十大理由

认识浙江大学 ——报考浙江大学的十大理由 （一）东方剑桥，江南名校之首 浙江大学历史悠久，其前身求是书院始建于1897年，是近代中国人自己创办的最早的高等学府之一。 创建初期，浙江大学广延名师、精研学术、彰显文明，成为民国时期最顶尖的四所国立大学之一，被誉为“东方剑桥”。当时著名的英国牛津大学承认中国七所大学的优秀毕业生可以直接升入牛津大学研究生院，给浙江大学的名额排在第一位。 建国以来，浙江大学励精图治、统一壮大、创新体制，始终站在高等教育改革开放大潮的最前沿，是全国发展最为迅速的高等学府，成为首批设立研究生院、首批进入“211工程”、首批进入“985工程”的若干所重点大学之一。 在1995年国家教委直属高校综合办学水平评估中，浙江大学高居第三。在近年来众多官方、民间的排行榜上，浙江大学也都雄踞全国高校三甲之列，是当之无愧的“江南名校之首”。 （二）海纳百川，综合实力超群 浙江大学位于经济体制发展最彻底、市场发育最成熟、社会富有程度最高的浙江省，具有全国高校中最大的物理发展空间，在“985工程”层次的38所大学中覆盖了最大的区域GDP体量，在全国少有的若干所文、理、工、农、医综合性大学中具有最好的学科融合度，是全国学科门类最齐全、综合实力最强劲的高校之一。 在2006年教育部组织的31个一级学科评估中，浙江大学排名前10的学科数量列全国高校首位，排名前3和前5的学科数量均列第三位，充分展示了其全面而强大的综合实力。 浙江大学有全国高校最齐全的115个本科专业设置和312个硕士点，还有最多的41个一级学科博士点、237个二级学科博士点和39个博士后流动站。 浙江大学现有24个国家重点学科；有10个国家重点实验室，居全国高校第二位；还有4个国家专业实验室、2个国家工程研究中心、3个国家工程技术研究中心、7个教育部重点实验室和3个国家人文社科重点研究基地，都位于全国高校前列。 浙江大学具有最精致的中华文明传统和深厚广博的科学人文底蕴。浙江大学图书馆藏书丰富，总藏书量逾600万册，在全国高校中居前两位。浙江大学是1999年通过的首批国家大学生文化素质教育基地，有7个国家基础科学研究和教学人才培养基地、4个国家工科基础课程教学基地、3个国家级战略产业人才培养基地、20门国家级精品课程和25门国家理科基地创名牌课程，均位居全国高校前列。 （三）群星璀璨，师资力量雄厚

浙江高考报考及招生人数解读

27日上午，浙江省普通高校招生视频会议召开，这也意味着浙江高考工作已全面启动。浙江2013年的高考与去年相比，有何变化和调整？ 记者了解到，针对当前高考工作面临的严峻挑战和社会公众的热切期盼，2013年，浙江省将进一步强化“安全、公平、改革”意识和责任，通过有效机制着力打造安全高考、公平 高考和素质高考。 变化一： 高考人数略有所减，浙大招生计划增加 相关数据显示，2013年全省普通高考考生31.3万，比去年减少2700人，减幅为0.9%，其中文科约11万人，比去年增5000人；理科20.3万，比去年减7700人。另外，高职单考单招考生4.5万人，比去年增加近1000人，增幅为2.2%。据初步统计，今年本省地方属高校本科招生计划将增加1000人，专科增加400。今年浙大在省内投放的计划数也会有所增加。目前，生源计划正值审核过程，在高考填报志愿前将由省统一公布。新高考以来的最近几年，浙江省普通高考年均30多万人报考，高考录取率基本稳定在高位，预计今年还会有 所提高。 变化二： 烈士子女加分调整为20分，自招预录考生5月中旬填志愿 2013年与录取相关的政策有两个新的调整。一是按照教育部和国家军委的规定，将烈士子女加分由10分调整为20分；另外，复旦大学、上海交大面向上海和浙江自主选拔预录取考生，需与其他高水平大学自主招生的考生一样，于5月中旬同步填报自主招生志愿，不 参加这次统一填报志愿的将视为自愿放弃。 变化三： 高中会考明年将结束，有关科目“二考合一” 据悉，高中会考明年将结束。浙江省决定，以此为基础，2013年全省首次实施学业水平考试制度。为减轻学生考试负担，从2013年9月起，技术科目(包括信息技术和通用技术)、英语听力考试，实行高考与普通高中学业水平考试“二考合一”，考试成绩既用于高校招生 录取，又用于高中学业水平等第评定。 2013年，浙江省高考继续实行“分类测试、分批选拔、综合评价、全面考核、择优录取”的选拔模式。考生在6月7日-9日参加高考后，于6月26日-27日在网上填报文理科第一批、艺术第一批和第二批本科、体育类本科以及高职单考单招志愿；7月上旬开始招生录取。 高考科类、分值计算、志愿设置等规定均与往年基本一致。