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107499-概率统计随机过程课件-第七章(第一,二节)

第七章统计量及其分布

数理统计学的任务

在实际问题中，经常遇到要确定一个随机变量的概率分布或它的某些数字特征。

例确定某厂年生产灯泡的次品率。灯泡的质量通常用寿命这个指标来衡量，若规定，寿命低于1000小时者为次品，那么确定该厂生产灯泡的次品率可以归结为求灯泡的寿命x这个随机变量的分布函数F(x)，因为若F(x)已知，则X

<就是所要确定

(

)

1000

)

的次品率。

如何确定灯泡寿命x的分布函数呢？一个很自然的想法是：把每个灯泡的寿命都测试出来，根据测试的结果，就可以确定x的分布函数。然而这种做法在实际中是不可行的，因为灯泡的寿命试验具有破坏性，一旦我们获得所有灯泡的寿命数据，这些灯泡也就全部报废了。

因此，在灯泡寿命试验中，一般只能从整批灯泡中选取若干个来进行测试，这样就产生一个问题，如何从试验所得的部分数据推断整批灯泡的寿命x的分布函数呢？

例确定某半导体厂生产的三极管的电流放大倍数X的平均值。这个问题就是确定X的数字特征E(X)。此时，测试三极管电流放大倍数虽不会遇到上例中的破坏性问题，但想通过逐个测试来计算算术平均值求得E(X)也是不可取的，因为逐个测试需要耗费大量的人力、物力和时间。因此，在实际工作中，也只能对其中一部分三极管进行测试。这样又产生与上例相类似的问题，即如何从试验所得到的部分数据来推断三极管电流放大倍数的平均值呢？

从以上两例可以看到，在实际问题中经常需要通过试验所得的部分（或局部）数据来推断整体的种种性质（如分布、数字特征等）。怎

样进行合理的推断呢？这就是数理统计所要解决的主要任务。

由于这种从局部观察去推断整体的方法有着普遍的意义，因此数理统计的方法应用非常广泛，目前已应用于教育科学、工程技术、管理科学、自然科学以及社会科学等领域。例如，教育科学中的教学质量评估、预测以及试卷质量的评价，工业生产中的产品质量控制于抽样检查，气象学中的天气预报，地震学中地震预报，医学中的疾病分析、药品疗效检验，农业生产中的产品估计于种子优选，人口学中的优生学和人口控制等等都渗透了数理统计的方法。

第一节总体与样本

在概率论部分，我们初步研究了随机事件的概率、随机变量及其分布。在实际问题中，随机现象可以用随机变量来描述。为了较全面的了解随机变量的规律性，就必须知道它的概率分布，或至少要知道

它的一些数字特征，如数学期望、方差等。用什么方法才能确定出这个随机变量的概率分布或数字特征呢？这是我们十分关心的问题，也是我们所要着眼解决的问题。

由于大量的随机实验必能呈现出随机现象的规律性，因此从理论上说，只要对随机现象进行足够多次的观察，它的规律一定能清楚的呈现出来。但在实际中，我们只能对随机现象进行有限次的观察或实验，以取得有代表性的观察数据，再对这些数据进行分析，从而找出相应的随机变量的概率分布或数字特征。

一、总体与个体

概念：在数理统计中，我们把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的每一个单元称为个体。

（如同集合与元素的概念）。

总体通常用}

Ω或用}

{ω

表示。

例如，我们要研究某批灯泡的

平均寿命（平均耐用实数）时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体。

在研究某钢铁厂某一天生产的

10000根钢筋的强度时，这10000根钢筋就组成一个总体，而每一根钢筋就组成一个个体。

在实际中，我们主要关心的常

常是研究对象的某个数据指标)(ωX X =（如灯泡的寿命，钢筋的强度），它是一个随机变量。

例如,总体}{ω=Ω表示参加高

考的全体考生,)(ωX X =表示考生ω的高考总分数，因此，ω与数量)(ωX 有对应关系。各种需要转化为考察分数集}|)({Ω∈ωωX .

总体}{ω=Ω的某数量指标

)(ωX X =，随机变量X 取值的全体}|)({Ω∈ωωX ，从而研究总体的数量指标，只要研究随机变量X 或X 取值的全体}|)({Ω∈ωωX 。

因此，总体通常是指某个随机

变量取值的全体，其中每一个体都是一个实数。以后我们就把总体和数量指标X 可能取值的全体组成的集合等同起来。随机变量X 的分布就是总体的分布。

总体就是指随机变量X 或X 的

取值集合。

二、样本与样本值

数理统计学中我们总是通过观

测和试验以取得信息.我们可从客观存在的总体(母体)中按机会均等的原则随机地抽取一些个体,然后对这些个体进行观测或测试某一指标X 的数值.这种按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测试的过程称为随机抽样.

从一个总体X 中（它是数值集合}|)({Ω∈ωωX ）,随机的抽取n 个个体(有放回的重复的抽样)

n n x X x X x X =???==)(,,)(,)(2211ωωω, 其中每个i

x 是一次抽样观察（记录）值结果。我们称n

x x x ,,,21???为总体X 的

一组样本观察值，对于某一次抽样结果来说，它是完全确定的一组数。但由于抽样的随机性，所以它又是随每次抽样观察而改变的。

记),,,(21n ωωωω???=→

，令 i i i x X X ==→

)()(ωω n i ,,2,1???=，则n X X X ,,,21???都是随机变量；

这样每个i x 都可以看作随机变量i X （n i ,,2,1???=）所取的观察值。

我们将n X X X ,,,21???称为总体X

的样本,样本中个体的数目n 称为样本容量，n x x x ,,,21???就是样本n X X X ,,,21???的一组观察值，称为样本值。

由于每次抽取是独立重复的

(或可以这样认为),所以n X X X ,,,21???是相互独立的随机变量,i X 与总体X 有相同的分布.

我们把n X X X ,,,21???所有可能取

值的全体称为样本空间。

由于我们抽取样本的目的是为了对总体X 的某些特性进行估计、推

断，因而要求抽取的样本具有：（1）独立性，（2）与总体X 有相同的分布，这样的样本称为简单随机本，获得简单随机样本的方法称为简单随机抽样。进行重复抽样所得的随机样本,就是简单随机本.

今后，如不作特殊声明，所提

到的样本都是简单随机样本。

综上所述，所谓总体就是一个随

机变量X ,所谓样本就是n 个相互独立且与X 有相同分布的随机变量n X X X ,,,21???。

显然，若总体X 具有分布函数

)(x F ,设n X X X ,,,21???为来自于总体X 的样本，则n X X X ,,,21???相互独立， i X 的分布函数

)(}{}{)(i

i i i i X x F x X P x X P x F i =≤=≤=， ),,,(21n

X X X ???的分布函数为 )(),,,(121∏==???n

i i n x F x x x F . 例如，设总体X 服从参数为λ的

指数分布，???≤>-=-0,00,1)(x x e x F x

λ ；

X X X ,,,21???为来自于总体X 的样本,则),,,(21n

X X X ???的分布函数为 )(),,,(121∏==???n

i i n x F x x x F ?????>???>-=∏=-其它,00,,0),1(11n

i n x x x e i λ .

第二节样本矩和统计量

一、样本矩

设n

X X X ,,,21???为来自于总体X

的一个样本,称 ∑==n

i i

X n X 11, (7.1) 为样本均值；

12)(11X X n S i

i --=∑= , (7.2) 为样本方差;

∑==n i k

k X n A 11 为样本k 阶矩（或k 阶原点矩）；

i k X X n B )(11-=∑= 为样本k 阶中心矩。

显然，样本均值，样本方差，

样本k 阶矩，样本k 阶中心矩都是随机变量。

如果n x x x ,,,21???是样本

X X X ,,,21???的一组观察值（称为样本值），则 ∑==n

i i

x n x 11, 2

12)(11x x n s i

i --=∑= ， ∑==n i k

k x n a 11 ， k

i k x x n b )(11-=∑=，分别是X ，2S ，k A ，k B 的观察值。

总体矩：

k k

k EX X E EX EX )(,,-===νμμ等称为总体矩。

人们也许会问：样本矩与相应的

总体矩有什么关系？可以证明，只要总体的k 阶矩存在，样本k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩。

例如 )(,∞→?→?

n A k P k μ .

二、统计量

在研究总体的性质时，除了用到样本外，还要用到由样本构造的某种函数。这种函数在数理统计中称为统计量。

定义1 设n X X X ,,,21???为总体的一个样本，),,,(21n x x x g ???为一个连续函数，则称),,,(21n X X X g ???为一个统计量。

显然，),,,(21n X X X g ???是一个随机变量。如果n x x x ,,,21???是样本n X X X ,,,21???的观察值（称为样本值）,则),,,(21n x x x g ???是),,,(21n X X X g ???的观察值。

若总体),(~2σμN X ，其中μ，

2σ是已知参数，而X 1,X 2,…,X n

为来自X

的样本，则∑=n

i 1X i ，X 21+X 22，∑=n i 1

(X i

-μ2)等都是统计量。

三、顺序统计量与经验分布函数

设n X X X ,,,21???为来自于总体X

的一个样本，n x x x ,,,21???(可以有相等的)是样本观察值，将观察值按大小次序排列，得到

*1x ≤*2x ???≤≤*

x 我们规定*k X 取值为*k x ，由此得到的**2*1,,,n X X X ???，称为n X X X ,,,21???的一组顺序统计量。显然，有

*2*1n

X X X ≤???≤≤ 且 i n i X X ≤≤=1*1min , i

n i n X X ≤≤=1*

max . 令)(i i X x ω=，),,,(21n

ωωωω???=→，记函数

????

?????≥-???=<≤<≤<==+→**1**

2*1

*1,1)1,,1(,,1,0),()(n k k

n n x x n k x x x n k x x x n x x x F x F ω

显然，)(x F n

是一非减右连续函数，

且满足，0)(=-∞n F 和1)(=+∞n F ，由此可见，)(x F n

是一个分布函数，称它为总体X 的经验分布函数或样本分布函数。

对于每一固定x ，n k x F n

=)(是事件}},,,{|)({21n

x X ωωωωω???∈≤发生的频率，当n 固定时，),()(→

=ωx F x F n n 是一个随机变量。

)(x F n 可以作为X 的未知分布

函数)(x F 的一个近似，当n 越大时，近似程度越好。事实上，当∞→n 时，)(x F n 以概率1关于x 均匀的收敛于)(x F ,即(格里汶科定理) 1}0|)()(|sup lim {==-+∞<<∞-+∞→x F x F P n

x n . 于是 )()(x F x F n ≈ .

例如,随机地观察总体X ,得10

个数据如下:

3.2, 2.5, -4, 2.5, 0, 3, 2,

2.5,

3.2, 2 .

将它们由小到大排列为

2.32.335.25.25.22204=<<==<=<<- 其经验分布函数是:

?????????????????≥<≤<≤<≤<≤<≤--<=2

.3,1,2.33,1083

5.2,1075

.22,10420,10

204,1014,0)(10x x x x x x x x F .

例设n X X X ,,,21???为(0—1)分布的一个样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差,求)(X E ,)(X D 和)(2S E .

解由于n X X X ,,,21???同服从(0—1)分布,p EX i =,)1(p p DX i -=;

又n

X X X ,,,21???相互独立,

)1()(1∑==n

i i

X n E X E

∑∑=====n i n

i i i p EX n X E n 11

1)(1, ∑∑====n i i n i i DX n

X n D X D 1211)1( ∑=-=-?=-=n i n p p p np n p p n 1

22)1()1(1)1(1 , 下面计算2ES ,

X n X n

i i =∑=1,

)()(1

p X n p X

n i i -=-∑=, ])(11[212∑=--=n i i

X X n E ES })]()[(11{21p X p X n E n

i i ----=∑=

]})())((2)[(11{21

2p X p X p X p X n E i n

i i -+-----=∑=]})()()(2)([11{21

112p X p X p X p X n E n i n i i n i i -+-----=∑∑∑===]})()()(2)([11{21

12p X p X n p X p X n E n i n i i -+-?----=∑∑==]})()(2)([11{221

2p X n p X n p X n E n i i -+----=∑=]})()([11{21

2p X n p X n E n i i ----=∑= ])()([1121

2p X nE p X E n n i i ----=∑=

][111∑=--=n

i i

X nD DX n ])1()1([111

∑=-?---=n i n p p n p p n )]1()1([11p p p np n ----=

)1()1()1(1

1p p p p n n -=---= .

2012北京邮电大学概率论与随机过程试题

北邮人：一、填空题 1. 设事件,A B 满足()0.7,()0.3P A P AB ==, 则()P AB = 2. 袋中有10个球，其中1个红球，10个人不放回地依次抽取，每次抽取一个，问最后一个人取到红球的概率是 3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由21,0,x y y x ===围成。现向D 内依次随机地投掷质点，问第3次投掷的质点首次落在1D 内的概率是 4. 设随机变量(1,2),(2,4)X N Y N 且相互独立，求23X Y +-的概率密度函数()f x = 5. 设平稳过程{(),0}X t t ≤≤+∞的功率谱密度为28()+14X S ωω= +，则其自相关函数为 6.设一灯管的使用寿命X 服从均值为1/λ的指数分布，现已知该灯管用了10小时还没有坏，该灯管恰好还能再用10小时的概率为 7.设电话总机在(0,]t 内接受到电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，(0)0N =，则2分钟收到3次呼叫的概率 8.设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即(1,4)Y N ，求103()E tX t dt ??= ??? ? 二、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 , 0(,)0, 其他 y e x y f x y -?<<=??

(1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ， |(|)X Y f x y ，(3)求条件概率(1|1),{1}P Y X P X Y ≤≤+<. 三、在某交通路口设置了一个车辆计数器，记录南行北行的车辆总数。设X(t)和Y(t)分别表示在[0,t]内南行和北行的车辆数，它们是强度分别为1λ和2λ的possion 过程，且相互独立。如果在t(>0)时记录的车辆总数为n ，求其中南行车辆有k(0

概率论与随机过程题集

第二章概率论与随机过程 2 2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程 X(t)，且E[X(t)]=O, xx ()= (),即X(t)为白噪过程。 (a )试求谱密度 yy ( f )。 2 (b )试求 yy ( )和 E[Y (t)]。 ----kW 1 R X(t) 图 P2-16 2 (b) E [y (t)]= yy (0) 解：由功率密度谱的定义知 C 二 Y(t) xx xx ( )e j2f d ()e j2f d 又系统函数 H(f)=^ X(f) 1 j2 fc 1 j 2 fc 1 __ j2 fc yy (f) xx (f)H(f)2 (2 fcR)2 yy () yy (f)e j2 df 2 1 R 2f^e j2f df 莎汀 2 ?- E [y (t)]= yy (0) 2Rc 2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是 (k) (1/2)W ，试求其功率密度谱。 (f)= k (k)e j2 fk

2-24 系统的噪声等效带宽定义为 B eq 认 2 H(f) df 1/知 o XJ) ???命题得证。 2-23 试证明函数在区间［ (f) 1 (2) k 2 I k l e 2 j fk / 1 2 j f 、 2 1e j2f 2 1 !e j2f 2 1e j2f 2 1 1 e j2 2 sin[2 W(t f k (t)= ］上为正交的，即 G e o 2 1 1 le j2f 2 即为所求。 2W )] k 2 W(t ) 2W ,k = o , 所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号 s(t)的级数展开式，其中权值为 s(t)的样值, 且｛ f k (t )｝是级数展开式中的正交函数集。证明：由题得 k sin[2 W(t -)] f k (t)f j (t)dt = ---------- 2 W(t —) 2W sin[2 W(t j )] 込dt 2 W(t j ) 1 cos[( j k) 2 cos[4 wt (k j) ] dt (2 wt k)(2 wt j)

《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（5）一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（9）有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。（10）测量一汽车通过给定点的速度。（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1） A 发生，B 与C 不发生。（2） A 与B 都发生，而C 不发生。（3） A ，B ，C 都发生。（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。（5） A ，B ，C 都不发生。（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。（7） A ，B ，C 中至多于二个发生。（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。（2）B A ?。（3）B A 。（4） BC A 。（5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。（1）B A ?。（2）B A ?。（3）B A 。（4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++；（D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

《概率论与随机过程》第1章习题

3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。（2）B A ?。（3）B A 。（4） BC A 。（5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。（1）B A ?。（2）B A ?。（3）B A 。（4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。（1）在第5次测试发现。（2）在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品。（2）二只都是次品。（3）一只是正品，一只是次品。（4）第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率

第2章随机过程习题及答案

第二章随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?

05-06概率论与随机过程试题(A卷)

05-06概率论与随机过程试题（A ）一、选择题 1．设0

2．设随机变量X 的密度函数为, 0 1, ()0, .ax x f x <

《概率论与随机过程》课程自学内容小结

大学2015～2016学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号：07275061 报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生：学号：任课教师：成绩：评阅日期：

随机序列在通信加密的应用 2015年10月10日摘要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。 1. 引言在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。 2. 自学容小结与分析 2.1 随机变量的特征函数在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为：定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==? +∞ ∞ - (1) 性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。性质2 求矩公式：0)(|) ()(][=-=u n u x n n n du C d j X E (2) 性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0 00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞ ==∞ === (3) 2.2 大数定律与中心极限定理定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2 ==k X D k σ, 则0∈>?,有

《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。解：{}18,,4,3 =S 。（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。解： {}10,,4,3 =S 。（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。解： { } ,11,10=S 。（5）一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。（9）有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放在盒子A 中，余者类推。（10）测量一汽车通过给定点的速度。解：{}0>=v v S （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1） A 发生，B 与C 不发生。解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式（1）B A 。解： {}5=B A ；（2）B A ?。解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ；（3）B A 。解：{}5,4,3,2=B A ；

随机过程习题第2章

2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<<ΛΛ121。试证明： )/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n ΛΛ 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。证明：首先，由条件概率的定义式得 ) ,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++= ΛΛΛΛΛΛ 根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得 ) () ()/()()/()/() ()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++== n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n ΛΛΛΛ 于是， )/() (),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++== n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n ΛΛ 2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。试证明： )/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t = 证明：首先，由条件概率的定义式得 ) () ,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t = 然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得 ) (),() /()() ()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t ==

概率论与随机过程论文

随机过程论文题目: 通信系统中随机过程的模型研究姓名刘鲁鹏学院电子工程学院专业电子科学与技术班级概率论与随机过程1班学号2014110632 本人签字 2014 年12月

通过幅度概率分布研究通信系统中的骚扰问题摘要：通过目前学术界广泛关注的幅度概率分布(APD)检测方法与传统电磁兼容测量方法的比较,说明了幅度概率分布统计测量方法的优越性.并且采用统计测量方法来研究骚扰对数字通信系统的影响,以PAM二进制调制系统为例,推导出了骚扰的APD与通信系统误码概率之间的关系式,给出了骚扰的幅度概率分布测量结果与对应干扰下的数字通信系统的误码概率两者之间的联系.本文的研究结果对于制订电子设备的电磁辐射限值具有参考价值. 关键词：电磁兼容;幅度概率分布;数字通信系统;误码概率;测量检波器

随着数字通信技术的飞速发展,各种电子设备大量涌现,这使得我们的电磁环境变得越来越复杂.如何保证通信系统在如此复杂的电磁环境下能够正常工作是通信技术发展面临的难题,因此电磁兼容性问题变得越来越重要.研究骚扰对通信系统的影响就是要求当骚扰通过通信系统之后,对接收机所产生的最终结果.现有标准中所采用的方法是直接测量这种最终结果,以表示干扰的大小.例如在话音通信中,接收者就是凭听觉来判断干扰的存在和强弱的.由于骚扰经准峰值检波器之后的电表指示与人耳的主观感觉一样,所以准峰值常用来评价骚扰对调幅通信系统的影响,在国际无线电干扰特别委员会(CISPR)出版物中规定的各种骚扰限值都是以准峰值表示的.但是现在面临的问题是准峰值无法反映出骚扰对数字通信系统的影响,如何解决这一问题,是目前CISPR关注的焦点.目前针对这一问题的解决方案主要有:①研究一种新型的加权评估检波器;②采用传统的有效值(RMS)检波器;③采用APD统计测量方法. 其中,方案①研究进展比较缓慢,很难找到一种新型的评估检波器,能像准峰值检波器对模拟通信系统的评估一样有效.RMS检波器只是在评估类似于高斯型噪声对数字通信系统方面得到了验证,对于脉冲型噪声的评估方面,仍显得无能为力.APD统计参量描述的是,骚扰的随机包络的统计特性,它与数字通信系统的误码率有着紧密的联系,而且可以用来建立脉冲干扰的统计模型.目前APD统计测量方法已经得到了CISPR的初步认可,CISPR已经投票通过了APD测量仪的标准草案,而关于APD限值标准则,正在征求各个产品分委会的意见. 本文分析了APD测量方法的理论基础及APD测量方法的优越性,推导了干扰的APD统计结果与二进制PAM调制系统误码率之间的关系,并通过实验数据说明了干扰APD测量结果对于预测通信系统性能的可行性. 1.APD统计测量基础 APD统计测量方法是建立在概率论和数理统计的基础之上的,统计测量最重要的一个目的是获得无线电骚扰的概率密度函数. CISPR给出的APD定义为:干扰幅度超过规定电平的时间概率,用下式表示为式中:R是门限电平;T是测量总时间;tk是第k个幅度超过R的脉冲的持续时间应用概率论的知识可以把APD表示为式中,P(R)是干扰包络的累积概率分布. 从式(1)中可以看出,APD与包络的概率密度函数有着直接的联系.以高斯白噪声为例,其概率密度函数满足正态分布为式中,mx和σ2分别是随机变量x的均值和方差. 由式(1)可以得出高斯白噪声的APD分布为

第二章随机过程汇总

第 2 章随机过程 2.1 引言 ?确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。 ?通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。 ?描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。 2.2 随机过程的统计特性一.随机过程的数学定义： ?设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t) 是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作)(t g 。随机过程举例：

二.随机过程基本特征其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 ● 随机过程)(t g 在任一时刻都是随机变量； ● 随机过程)(t g 是大量样本函数的集合。三.随机过程的统计描述设)(t g 表示随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是一个一维随机变量。 1.一维分布函数：随机变量)(t g 小于或等于某一数值x 的概率，即 })({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.1 2.一维概率密度函数:一维概率分布函数对x 的导数. x t x P t x p ??= ) ;(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的二维分布 })(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.3 4.二维分布密度定义为 2 12121221212) ,;,(),;,(x x t t x x P t t x x p ???= 2.2.4 四.随机过程的一维数字特征设随机过程)(t g 的一维概率密度函数为),(1t x p . 1.数学期望(Expectation) dx t x xp t g E t g );()]([)(1?∞ ∞ -==μ 2.2.5 2.方差(Variance)

北邮-概率论与随机过程-年期末试题A标准答案

北邮-概率论与随机过程-年期末试题A答案

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3 北京邮电大学2009——2010学年第二学期《概率论与随机过程》期末考试试题（A ）考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上一律无效一．填空 (每小题4分，共40分) 1. 若321,,A A A 相互独立，且3,2,1,)(==i p A P i i ，则321,,A A A 这3个事件至少有一个发生的概率为 )1)(1)(1(1321p p p ---- ． 2. 设连续型随机变量X 的分布函数为 ????? >+=-他其, 0; 0,)(22 x be a x F x 则b a ,分别为 1，-1 ． 3. 设),(Y X 的概率密度为 )]2(1[1Φ---πe ?? ?>>=+-他其, 0; 0,0,),()1(y x xe y x f y x 则=>-}1{Y X P （用标准正态分布的分布函数表示）． 4. 设),(Y X 的概率密度为 ?? ???<<<-= ,其它 , 0, 10 ,11 ),(y x x y x f 则对任意给定的)10(<

4 10 ． 6. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从]1,0[上的均匀分布，则 Y X Z -=的分布函数?? ? ??≥<≤-<=1,110,20, 0)(2z z z z z z F Z ． 7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，)0()()(2≥+=t t t W t X ，则)(t X 的相关函数=),(t s R X 222),m in(t s t s +σ ． 8. 设平稳过程)(t X 的均值为8，且)()(t X t Y '=，则)(t Y 的均值为 0 ． 9. 设随机过程t Z Y t X +=)(，t ∈T =(-∞,+∞),其中Y ，Z 是相互独立的服从N (0,1)的随机变量，则?t ,)(t X 服从 )1,0(2t N + 分布（写明参数）． 10. 设马氏链},2,1,0,{Λ=n X n 的状态空间为}2,1{=E ,转移概率矩阵为 ,32313132 ???? ? ? ??则=∞→)(11 lim n n p 1/2 ．二．（10分）某保险公司多年的统计表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。(1) 写出X 的概率分布；(2) 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率的近似值． [附表]设)(x Φ是标准正态分布的分布函数 x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 )(x Φ 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 解 (1))2.0,100(~b X ，即

北邮概率论与随机过程2009-2010期末试题B答案

北京邮电大学2009——2010学年第2 学期 3《概率论与随机过程》期末考试答案（B ）考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效。一．填空题（45分，每空3分） .1 设两两独立的事件,,A B C 满足,()()()1/2ABC P A P B P C =?==<，且 ()9/16P A B C ??=,求()P A = 1/4 2. 袋中有5个球，其中1个红球，每次从中任取1个球，取出后不放回，问前3次取到红球的概率为3/5 3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由2 ,y x y x ==围成。现向D 内依次随机投掷质点，问第3次投掷的质点恰好第二次落在1D 内的概率是 4/27 4. 设随机变量X 的概率分布函数为2 2 ,0,()0,0,x A Be x F x x - ??+>=??≤? ，问B = -1 5．随机变量k 在(5,5)-上服从均匀分布，即(5,5)k U - ，则方程 2 4420x k x k +++=有实根的概率为 7/10 6．设随机变量序列{,1,2,}n X n = 独立同分布于(3,3)-上的均匀分布，即(3,3)U -，则11lim 0n i n i P X n →∞ =?? <=???? ∑ 1/2 7. 已知随机变量(0,1)X N ,定义函数2 2 ()x u g x e du - -∞ = ?,求()Y g X =的密度函数 ()Y f y = 1,2)()0, Y y f y ?∈? =? ??其他 8. 设随机变量(,)X Y 服从区域{(,):01,01}D x y x y =<<<<上的均匀分布,求

概率论与随机过程题集

k 第二章概率论与随机过程 2 2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程 X(t)，且E[X(t)]=O, xx ()= (),即X(t)为白噪过程。 (a )试求谱密度 yy ( f )。 2 (b )试求 yy ( )和 E[Y (t)]。 ----kW 1 R X(t) 图 P2-16 2 (b) E [y (t)]= yy (0) 解：由功率密度谱的定义知 C 二 Y(t) xx xx ( )e j2f d ()e j2f d 又系统函数 H(f)=^ X(f) 1 j2 fc 1 j 2 fc 1 __ j2 fc yy (f) xx (f)H(f)2 (2 fcR)2 yy () yy (f)e j2 df 2 1 R 2f^e j2f df 莎汀 2 ?- E [y (t)]= yy (0) 2Rc 2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是 (k) (1/2)W ，试求其功率密度谱。 (f)= k (k)e j2 fk

〔 2-24 系统的噪声等效带宽定义为 B eq 认 2 H(f) df 1/知 o XJ) ???命题得证。 2-23 试证明函数在区间［ (f) 1 (2) k 2 I k l e 2 j fk / 1 2 j f 、 2 1e j2f 2 1 !e j2f 2 1e j2f 2 1 1 e j2 2 sin[2 W(t f k (t)= ］上为正交的，即 G e o 2 1 1 le j2f 2 即为所求。 2W )] k 2 W(t ) 2W ,k = o , 所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号 s(t)的级数展开式，其中权值为 s(t)的样值, 且｛ f k (t )｝是级数展开式中的正交函数集。证明：由题得 k sin[2 W(t -)] f k (t)f j (t)dt = ---------- 2 W(t —) 2W sin[2 W(t j )] 込dt 2 W(t j ) 1 cos[( j k) 2 cos[4 wt (k j) ] dt (2 wt k)(2 wt j)

107499-概率统计随机过程课件-第七章(第一,二节)

2012北京邮电大学概率论与随机过程试题

概率论与随机过程题集

《概率论与随机过程》第1章习题

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

《概率论与随机过程》第1章习题

第2章 随机过程习题及答案

05-06概率论与随机过程试题(A卷)

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最新随机过程练习(第二章)

《概率论与随机过程》第1章习题答案

随机过程习题第2章

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