21.1二次根式
●教学目标
知识与技能
1.经历二次根式概念的发生过程.
2.了解二次根式的概念.
3.理解二次根式何时有意义,何时无意义,会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围.
4.使学生初步掌握利用(a)2=a(a≥0)进行计算.
5.让学生理解并能熟练运用公式a2=a(a≥0)进行计算.
●教学重点
重点
1.二次根式的概念.
2.利用二次根式的两个公式进行运算或化简.
难点
1.确定二次根式中字母的取值范围.
2.对公式a2=a(a≥0)的运用.
教学设计一师一优课一课一名师(设计者:)
教学过程设计
一、创设情景,明确目标
根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件,完成以下填空:
1.直角三角形的斜边长是________;
2.正方形的边长是________;
3.等边三角形的边长是________.让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子.问:你认为所得的各代数式的共同特点是什么?
(学生通过观察,从中感知二次根式的特征.鼓励学生用自己的语言总结出共同特征.从
而引出课题,教师鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题).
二、自主学习,指向目标
自学课本第2页的内容,然后做《名师学案》“知识储备”栏目.
三、合作探究,达成目标
探究点一二次根式的概念
活动:
(引导学生概括二次根式的定义:像a2+4,2,这样一个非负数的算术平方根表示的式子叫做二次根式.)
概念深化:
提问:a+1是不是二次根式?a+1呢?议一议:二次根式a+1表示什么意义?
此算术平方根的被开方式是什么?被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义?
其中字母a需满足什么条件?为什么?
【展示点评】
经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.
最后教师归纳:如果无法判断被开方数是非负数,则这个式子就不能说是二次根式.a+1中的a可能为正,也可能为负数,所以不能说这个式子是二次根式,a+1中的a+1也可能为正,也可能为负数,所以也不能说这个式子是二次根式.
【反思小结】
教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:
(1)必须有二次根号;
(2)被开方数不能小于0.
【针对训练】
(1)使1-x有意义的x的取值范围是________.
(2)下列式子是二次根式的有:________.
①a+b,②2
a,③a4,④-5.
探究点二二次根式的意义
活动:
例题讲解
例1求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1)a +1;(2)
11-2a
;(3)(a -3)2. 【展示点评】 按教师提问,学生回答,教师板书解题过程.问题设计:
(1)被开方式需满足什么?
(2)由此可得怎样的不等式?
(3)第(1)(2)两题可以转化为解怎样的不等式?第(3)题不解不等式就能确定a 的取值范围吗?
解:(1)由a +1≥0,得a ≥-1
∴字母a 的取值范围是大于或等于-1的实数.
(说明:这个问题实质上是在求当a 是什么数时,a +1是非负数,式子a +1有意义,以下类同). (2)11-2a
>0,得1-2a >0,即a <12. ∴字母a 的取值范围是小于12
的实数. (3)因为无论a 取何值,都有(a -3)2≥0,所以a 的取值范围是全体实数.
【反思小结】
教师归纳:由于负数不能开平方,因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0. (学生与教师一同探索确定二次根式中字母的取值范围的求解过程,通过交流体会到求解二次根式中字母的取值范围过程的策略.本题的设置从二次根式的概念出发,把问题转化为求不等式,思路清晰自然,利于分散难点).
【针对训练】
求下列二次根式中字母的取值范围:
(1)a +3;(2)-13-a
;(3)a 2+1. 探究点三 (a)2=a (a ≥0) 活动
做一做:根据算术平方根的意义填空:
(4)2=________; (2)2=________; (9)2=________; (3)2=________;
(13)2=________; (72
)2=________; (0)2=________. 【展示点评】
4是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,4是一个平方等于4的非负数,因此有(4)2=4.
同理可得:(2)2=2,(9)2=9,(3)2=3,(1
3)
2=1
3,(
7
2)
2=7
2,(0)
2=0.
【反思小结】
由以上我们可以得到下面这个公式:
(a)2=a(a≥0)
在使用过程中,要注意公式的使用前提条件是a≥0.【例题讲解】
例1计算
(1)(3
2)
2(2)(35)2(3)(5
6)
2(4)(7
2)
2
分析:我们可以直接利用(a)2=a(a≥0)的结论解题.
解:(3
2)
2=3
2,(35)
2=32·(5)2=32·5=45,(5
6)
2=5
6,(
7
2)
2=
(7)2
22=
7
4.
【针对训练】
计算下列各式的值: (18)2 (
23)2 (94)2 (0)2 (478
)2 (35)2-(53)2. 探究点四
a 2=∣a ∣ 活动 填空:
22=________;
0.012=________; (110)2=________; (23)2=________;
02=________; (37)2=________; (-2)2=________. 【展示点评】 根据算术平方根的意义,我们可以得到:
22=2;0.012=0.01;(110)2=110;(23)2=23;02=0;(37)2=37
;(-2)2=2. 【反思小结】
由以上计算我们知道:a 2=a (a ≥0)
当a <0时,则有:a 2=-a.
在使用公式时,一定要判断出a 的符号是正还是负,如果无法判断,则要进行讨论.
【针对训练】
1.(-3)2=________.
2.计算:
(1)(9)2 (2)-(3)2 (3)(126)2 (4)(-323)2 (5)(23+32)(23-32) 3.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
(1)5 (2)3.4 (3)16
(4)x (x ≥0) 4.(213)2+(-213
)2的值是( ) A .0 B.23 C .423
D .以上都不对 5.-0.0004=________.
6.若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________.
四、总结梳理,内化目标
本节我们学习了以下内容:(板书)
1.二次根式的概念:形如a(a≥0)的式子叫做二次根式;
2.二次根式的非负性:被开方数a是非负数,且二次根式a≥0. 3.公式:(a)2=a(a≥0)
4.公式:a2=a(a≥0)
五、达标检测,反思目标
1.下列各式是二次根式的是()
A.x
B.5
C.3
3 D.a+1
2.式子x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是() A.x<1 B.x≤1 C.x>1 D.x≥1
3.如果代数式
4
x-3
有意义,则x的取值范围是()
A.x≠3 B.x<3 C.x>3 D.x≥3
4.若x-2y+9与|x-y-3|互为相反数,则x+y的值为() A.3 B.9 C.12 D.27
5.当x________时,二次根式1
x有意义.
6.先化简再求值:当a=9时,求a+1-2a+a2的值,甲乙两人的解答如下:
甲的解答为:原式=a+(1-a)2=a+(1-a)=1;
乙的解答为:原式=a+(1-a)2=a+(a-1)=2a-1=17.
两种解答中,________的解答是错误的,错误的原因是________.
7.若│1995-a│+a-2000=a,求a-19952的值.
(提示:先由a-2000≥0,判断1995-a的值是正数还是负数,去掉绝对值)
8.若-3≤x≤2时,试化简│x-2│+(x+3)2+x2-10x+25.
六、布置作业,巩固目标
课堂练习:
1.见课本第3页练习第1,2题.
2.见课本第4页习题第1题.
●教学反思
本节课是本章的第一节课,主要是要建立二次根式的概念.教学中要注意二次根式的非
负性.
16.1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 (a ≥0)的意义解答具体题目. 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键 1(a ≥ 0)的式子叫做二次根式的概念; 2(a ≥0)”解决具体问题. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个课本 P2的三个思考题: 二、探索新知 像这样一些正数的算术平方根(a ≥0)?的式子叫做二 (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0有意义吗? 老师点评:(略) 例1.下列式子,哪些是二次根式, 、x>0) 、、、 (x ≥0,y ?≥ 0). 分析”;第二,被开方数是正数 或0. (x>0、(x ≥0,y ≥0);不是二、. 1 x 1x y +1x 1x y +
例2.当x 分析: 由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P5练习1、2、 3. 四、应用拓展 例3.当x +在实数范围内有意义? 分析+中的≥0和中的x+1 ≠0. 解:依题意,得 由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1+ 在实数范围内有意义. 例4(1)已知+5,求 的值.(答案:2) (2) =0,求a 2004+b 2004的值.(答案: ) 五、归纳小结(学生活动,老师点评) 本节课要掌握: 1(a ≥0”称为二次根号. 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 13 13 11 x +11 x +11 x +23010 x x +≥??+≠?32 32 11x +x y 25
最新初中数学二次根式真题汇编及答案 一、选择题 1.下列各式中,是最简二次根式的是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法,是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式,据此可解答. 【详解】 (1)A被开方数含分母,错误. (2)B满足条件,正确. (3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. (4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. 所以答案选B. 【点睛】 本题考查最简二次根式的定义,掌握相关知识是解题关键. 2.a的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同,然后列一元一次方程求解即可. 【详解】 根据题意得,3a-8=17-2a, 移项合并,得5a=25, 系数化为1,得a=5. 故选:D. 【点睛】 本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键. x=-时,二次根m等于() 3.当3 A B. C D 2 【答案】B 【解析】
解:把x=﹣3代入二次根式得,原式=,依题意得: 2 =.故选B. 4.已知n是整数,则n的最小值是(). A.3 B.5 C.15 D.25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解:= Q也是整数, ∴n的最小正整数值是15,故选C. 5.下列各式计算正确的是( ) A.2+b=2b B=C.(2a2)3=8a5D.a6÷ a4=a2【答案】D 【解析】 解:A.2与b不是同类项,不能合并,故错误; B不是同类二次根式,不能合并,故错误; C.(2a2)3=8a6,故错误; D.正确. 故选D. 6.若x、y4 y=,则xy的值为() A.0 B.1 2 C.2 D.不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得,2x?1?0且1?2x?0, 解得x?1 2 且x? 1 2 , ∴x=1 2 , y=4, ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C.
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当a <0,a 2 =______. 根据绝对值的意义: 当a ≥0时,|a |=a ;当a <0时,|a |=-a , 由此可知:a 2 =|a |. 性质应用、学习例题: 计算. (1)4; (2)2)5.1(-; (3)2(1)x -(x ≤1) . 学生练习: 1.计算. (1)25; (2)9 4; (3)2(7)-; (4)244x x -+(x ≥2). 2.指出下列运算过程中的错误. 2211()22?? ??? =-,可以写2255(2)(2)22-=-, 两边开平方得,2255(2)(2)22-=-,所以552222-=-,即1122=-. 拓展延伸: 1.二次根式a 与2a 中,a 可以是怎样的实数? 2.2)(a 与2a 是否相等? 本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语
第十六章 二次根式 课题:16.1二次根式 课型:新授课 教学目标: 1、理解二次根式的定义,会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件,知道a (a ≥0)是非负数,并会运用会进行二次根式的平方运算, 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析,归纳并掌握性质 教学重点: 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点: 当a <0时2a 的化简 教学过程: 一、复习引入 在七年级实数中,已经用到过简单的二次根式,在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 (一)定义及非负性 活动1、填空,完成课本思考1: 65,S ,2,5h 活动2、观察其形式上的共同点,被开方数的共同点,说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义,介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题: ①9的运算结果是3,9是不是二次根式?3是不是? ②定义中为什么要加a ≥0?若a<0,a 表示什么?有无意义? ③当 a=0时,a 表示什么?结果是什么?当 a>0时,a 表示什么?可不可能为负数?a (a ≥0)是什么样的数呢? 例1、当x 是怎样的实数时,下列二次根式有意义?在下列二次根式有意义的情况下,其运算结果是怎 样的实数? 2-x , 11 +x , 32+x 练习:1、课本思考2:当x 是怎样的实数时, 2x ,3x 有意义?
2、已知053=-+ +y x ,求y x ,的值各是多少? (二)两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先开方再平方,结果不变. 练习:课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先平方再开方,结果不变;一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习:课本例3 补充练习: 1、化简:2)4(-π,2)32(-; 2、直角三角形的三边分别为a ,b ,c ,其中c 为斜边,则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系? 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质,平方为“父对象”,开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题,供学生记录. 五、作业设计 必做:P5:1、2、3、4、5、6 选做:P5:7、8、9、10 教学反思
初中数学二次根式经典测试题 一、选择题 1.5 x+有意义,那么x的取值范围是() A.x≥5B.x>-5 C.x≥-5 D.x≤-5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可. 【详解】 Q式子5 x+有意义, ∴x+5≥0,解得x≥-5. 故答案选:C. 【点睛】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件,解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 2.二次根式2 a+在实数范围内有意义,则a的取值范围是() A.a≤﹣2 B.a≥﹣2 C.a<﹣2 D.a>﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 a+在实数范围内有意义,则其被开方数大于等于0;分析已知和所求,要使二次根式2 易得a+2≥0,解不等式a+2≥0,即得答案. 【详解】 a+在实数范围内有意义, 解:∵二次根式2 ∴a+2≥0,解得a≥-2. 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目,应熟练掌握二次根式有意义的条件; 3.下列计算正确的是() A.+=B.﹣=﹣1 C.×=6 D.÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断.
解:A、B与不能合并,所以A、B选项错误; C、原式= ×=,所以C选项错误; D、原式==3,所以D选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 4.下列式子为最简二次根式的是() A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:选项A,被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式, A符合题意;选项B,被开方数含能开得尽方的因数或因式,B不符合题意; 选项C,被开方数含能开得尽方的因数或因式, C不符合题意; 选项D,被开方数含分母, D不符合题意, 故选A. 5.2 (21)12 a a -=-,则a的取值范围是() A. 1 2 a≥B. 1 2 a>C. 1 2 a≤D.无解 【答案】C 【解析】 【分析】 2 (21) a-=|2a-1|,则|2a-1|=1-2a,根据绝对值的意义得到2a-1≤0,然后解不等式即可. 【详解】 2 (21) a-=|2a-1|, ∴|2a-1|=1-2a, ∴2a-1≤0, ∴ 1 2 a≤. 故选:C.
4.1.1二次根式 教学目标 知识与技能: 1、了解二次根式的定义,会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意 义的条件。 2、会根据公式2) (a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。 过程与方法:经历观察、比较、总结二次根式的定义,发展学生的归纳能力。情感、态度与价值观:经历观察、比较、总结和应用等教学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用意识。 教学重难点 1.重点:会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意义的条件。 2.难点:会根据公式2) (a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列问题: 1、4的平方根是?4的算术平方根是? 2、0的平方根是?0的算术平方根是? 3、2的平方根是?2的算术平方根是? 4、-7有没有平方根?-7有没有算术平方根? 对于每一个正实数a有且只有个平方根,记作,其中一个正的平方根叫做a的记作,另一个平方根是。 0的平方根记作,即。 二、探索新知 一般地,我们把形如a(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号,简称根号,根号下的数叫做被开方的数。 由于二次根式的被开方数只能取非负值,因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。 从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件: ( 1 ) 必须有二次根号; ( 2 ) 被开方数不能小于0 。
例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: (1)32; (2)6; (3)12- ; (4)m -(m ≤0); (5)xy (x y 异号) (6)12+a ; (7)38 解:二次根式有:(1)32; (2)m -(m ≤0); (3)12+a ; 例2当x 是多少时,二次根式1-x 在实数范围内有意义? 解:由x-1≥0,得:x ≥1 当x ≥1时,1-x 在实数范围内有意义. 例3计算: 讨论:如果将上题中的数字换成字母,你发现2)(a 与 2a 有何异同呢? 三、巩固练习:见学案 四、课堂小结: 1、二次根式的概念; 2、二次根式的性质。 五、布置作业: P 131T 1、2、3。 ==2222251))(())((()=?22225 =?248 ()()()???<-≥=≥=0)0(.20.122a a a a a a a a ()()22 0a a a =≥时,当
二次根式综合应用(讲义) ? 课前预习 1. 回顾二次根式的相关概念,并完成下列各题. (1 )2=_____ . (2)二次根式的乘除法则: ①_______________________;②______________________. (3)二次根式的加减法则: ①______________________;②_______________________. 2. 根据幂的运算性质11p p p a a a -?? == ??? (a ≠0,p 为正整数)进行计算: (1 )2 -? ? ; (2 )3-. 3. 有理数混合运算处理方法: ①观察_______划_______; ②有序操作依_______; ③每步推进一点点. 例: 2112(2)(3)2102543.?? -÷ ?--?-+ ??? ① ②③ 思路分析 观察结构,划为①②③三个部分,对①②部分,每步推进一点点. 过程示范
1840.25(3)1 432 31 32 31 34 3 ?? =??--?-+ ??? ?? =---+ ???=-++=- 原式 请你类比有理数混合运算处理方法,处理下面实数混合运算: ? 知识点睛 1. 理解二次根式的双重非负性 (1 0且0x ≥. (2 20y z +=,则x =_____,y =_____,z =_____. 2. 实数混合运算处理方法: ①_____________________; ②_____________________; ③_____________________. 做运算时往往需要估计工作量.....,观察式子结构,巧用公式,可以大大简化运算. (1)22()()a b a b a b +-=-; (2)222()2a b a ab b ±=±+. 3. 比较大小的几种方法:估值法,作差法,乘方法,分母有理化. 4. 二次根式与数形结合 被开方数中出现平方形式,可通过构造直角三角形借助勾股定理............. 解决问题.
八年级初二数学 数学二次根式试题及解析 一、选择题 1.计算3 2782 -?的结果是( ) A .3 B .3- C .23 D .53 2.下列计算正确的是( ) A .235+= B .422-= C .8=42 D .236?= 3.下列二次根式中,最简二次根式是( ) A . 1.5 B . 13 C .10 D .27 4.下列各式计算正确的是( ) A . 1 222 = B .362÷= C .2(3)3= D .222()-=- 5.下列式子一定是二次根式的是 ( ) A .2a B .-a C .3a D .a 6.给出下列结论:①101+在3和4之间;②1x +中x 的取值范围是1x ≥-;③81的平方根是3;④31255--=-;⑤515 28 ->.其中正确的个数为( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 7.已知1200722007n n x ?=?- ??? ,n 是大于1的自然数,那么()21n x x -+的值是 ( ). A . 1 2007 B .1 2007 - C .() 1 12007 n - D .() 1 12007 n -- 8.如图直线a ,b 都与直线m 垂直,垂足分别为M 、N ,MN =1,等腰直角△ABC 的斜边,AB 在直线m 上,AB =2,且点B 位于点M 处,将等腰直角△ABC 沿直线m 向右平移,直到点A 与点N 重合为止,记点B 平移平移的距离为x ,等腰直角△ABC 的边位于直线a ,b 之间部分的长度和为y ,则y 关于x 的函数图象大致为( )
A . B . C . D . 9.下列各式计算正确的是( ) A .235+= B .2 236=() C .824+= D .236?= 10.若75与最简二次根式1m +是同类二次根式,则m 的值为( ) A .7 B .11 C .2 D .1 11.下列各式中,一定是二次根式的是( ) A .1- B .4x C .24a - D .2a 12.下列计算正确的是( ) A .234265+= B .842= C .2733 ÷= D .2(3)3-=- 二、填空题 13.已知a ,b 是正整数,且满足1515 2()a b +是整数,则这样的有序数对(a ,b )共有____对. 14.设四边形ABCD 是边长为1的正方形,以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ,再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ,如此下去……. ⑴记正方形ABCD 的边长为11a =,按上述方法所作的正方形的边长依次为 234,,,,n a a a a ,请求出234,,a a a 的值; ⑵根据以上规律写出n a 的表达式.
浙江版数学八年级下教案一一第一章《二次根式》 §二次根式 教学目标: 1、经历二次根式概念的发生过程; 2、了解二次根式的概念; 3、理解二次根式何时有意义,无意义,会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围; 4、会求二次根式的值。 重点与难点:本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第(2),(3)题学生不容易理解, 是本节教学的难点。 教学设想:课本在回顾算术平方根的基础上,通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念,并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式,在例题和练习的安排上,着重体现三个方面的要求:一是求二次根式中字母的取值范围;二是求二次根式的值;三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图, 按教材的步骤进行 教学,让学生在自主学习的基础上,发现教材中的学习重点,概括学习所得,提升学生的学习能力。 教学过程: 一、引入(合作学习): 根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件,完成以下填空: 直角三角形的斜边长是___________________ ;正方形的边长是___________________ 等边三角形的边长是______________ 。 首先是让学生进行自主学习,并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。提问:你认为所得的各代数式的共同特点是什么 1、表示的是算术平方根; 2、根号内含有字母的代数式。 在学生自主学习的基础上,要求学生对上述答案进行解释。其中学生对于答案3,等边 三角形的边长为.2S,—些学生会采用教材中以下的答案抄写,而不知该答案得到的原因。因此首先选不同程度的几名学生回答,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评。对于该题的答案的得到过程可以用几何的推理的方法,即画出其中一条高后利用勾股定理进行计算的 方法或利用公式S正=-!a2 (a为该三角形的边长)的方法得到。 4 补充练习:判断,下列各式中哪些是二次根式 7;2;y ;x2y2; 3 ;■■■ a ;. a (a v 0 =; 二、新课讲授 1、二次根式的概念: (1)引导学生概括二次根式的定义:像W 4, ― ,J2S这样表示的算术平方根,且 根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便,我们把一个数的算术平方根(如.亍〒) 也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。 (2)概念深化: 提问:a 1是不是二次根式?- 厂呢■ 9呢……学生对于上述的问题,在判断上会产生一定的歧义,此时应按照教参的要求进行教学:.厂、.9是二次根式,而.a 1不是 二次根式,只能称为含有二次根式的代数式。此外对于.2x2 2x . 3这样的代数式,他们的系数或常数项是二次根式,而整个代数式仍看做是整式。
第十六章二次根式 16.1二次根式 第1课时二次根式的概念和性质 1.二次根式的概念和应用. 2.二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师:(多媒体展示)请同学们看屏幕,这是东方明珠电视塔. 电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r=2Rh(R为地球半径).如果两个电视塔的高分别为h1km,h2km,那么它们的传播半径之比为多少?同学们能化简这个式子吗? 由学生计算、讨论后得出结果,并提问. 生:半径之比为2Rh1 2Rh2 ,暂时我们还不会对它进行化简. 师:那么怎么去化简它呢?这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算?如何进行二次根式的化简?这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1:知识迁移,归纳概念 (多媒体演示)用含根号的式子填空. (1)17的算术平方根是________; (2)如图,要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形,斜边长应为________cm; (3)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为________m; (4)面积为3的正方形的边长为________,面积为a的正方形的边长为____________; (5)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,则t=________.【答案】(1)17 (2)65 (3)65 (4) 3 a (5)h 5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子a表示的实际意义是什么?被开方数a满足什么条件时,式子a才有意义? (2)当a>0时,a________0;当a=0时,a________0;二次根式是一个________.【答案】(1)a的算术平方根,被开方数a必须是非负数(2)>=非负数 老师结合学生的回答,强调二次根式的非负性. 当a>0时,a表示a的算术平方根,因此a>0; 当a=0时,a表示0的算术平方根,因此a=0. 也就是说,当a≥0时,a≥0.
新初中数学二次根式经典测试题及答案解析 一、选择题 1.下列计算正确的是( ) A .3= B = C .1= D 2= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得. 【详解】 A 、=,错误; B C 、22 =?= D 2= =,正确; 故选:D . 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则. 2.已知352x x -+-=的结果是( ) A .4 B .62x - C .4- D .26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ,∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4,故选A. 3.x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x ≥1 C .x ≤﹣1 D .x <﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可. 【详解】 解:由题意得,x ﹣1≥0,
解得,x≥1, 故选:B. 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件,熟悉掌握是关键. 4.下列运算正确的是() A. B )2=2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】 根据二次根式的加减,可知 A选项错误; 根据二次根式的性质2=a(a≥0 2=2,所以B选项正确; (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? > < ﹣11|=11,所以C选项错误; D D选项错误. 故选B. 【点睛】 此题主要考查了的二次根式的性质2=a(a≥0 (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? > < ,正确利用性质和运算法则计算是解题关键. 5.下列运算正确的是() A. 12 33 x x -=B.() 326 a a a ?-=- C .1)4 =D.()4 2 2 a a -= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据合并同类项,单项式相乘,平方差公式和幂的乘方法进行判断. 【详解】
第16章二次根式 16.1二次根式(1) 【教学目标】 1.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念;知道被开方数必须是非负数的理由; 2.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系. 【教学重点】 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念. 【教学过程】 一.创设情境提出问题 1.电视塔越高,从塔顶发射的电磁波传得越远,从而能收看到电视节目的区域越广,电视塔高h(单位:km)与电视节目信号的传播半径r(单位:km) 之间存在近似关系r=,其中地球半径R≈6 400 km.如果两个电视塔的 高分别是h1 km、h2 km 你能化简这个 式子吗? 式子 表示什么? 公式中 r=中的 表示什么意义? 2.问题: (1)面积为3 的正方形的边长为_______,面积为S 的正方形的边长为_______. (1)中式子你是怎么得到?得到的两个式子有什么不同? (2)一个长方形围栏,长是宽的2 倍,面积为130m2,则它的宽为______m.(2)中得到的式子有什么意义? (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系h =5t2,如果用含有h 的式子表示t ,则 . (3)中当h 的值分别为0,10,15,20,25时,得到的结果分别是什么?
表示的数怎样变化? 二.合作探究 形成知识 (1)这些式子分别表示什么意义? (2)这些式子有什么共同特征? 分别表示3,S ,65,5 h 的算术平方根 这些式子的共同特征是: 都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根. (3)根据你的理解,请写出二次根式的定义. 用来表示一个非负数的算术平方根的式子,叫做二次根式. a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 三.初步应用 巩固知识 练习2 二次根式和算术平方根有什么关系? 二次根式都是非负数的算术平方根;带有根号的算术平方根是二次根式.