幂级数在近似计算中的应
论文4 幂级数在近似计算中的应用
谢文清 江权霞 (指导老师:陈引兰)
数学与统计学院1001班
摘要：形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞
=-=+-+-+???+-+???∑的函数
项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算.
关键词：幂级数、近似计算
1.理论依据
以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计.
我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项
23012
12135121
1
211
!
2!3!! r (1)!(2)!
(1)(1)213!5!21(1) r 2n n
x
n n n n n n n n n n n n x x x x e x n n x x n n x x x x x n n x n ∞
=++----∞
=+==++++???++???=++???
++--==-+???++???
---=+∑∑①②arctanx 123
21
=1
2123
12311
1(1)
123
(2n 1)!!=+(2)!!21(21)!!(23)!! r
(22)!!23(24)!!25
(1)(1)23(1) r n n n n n n n n n n n
n n n n x n x n n n x n x n n n n x x x x x n n x n ++-∞
++--∞
=+-++???+-?
+++=?+?+???++++--=-++???++???
-=+∑∑③arcsinx x ④ln(1+x)=12
(1)12
n n x n ++-+
+
2．π的近似计算
本节利用两个函数的幂级数展开式来近似计算π，在相同的误差条件下，取不同的x ，若取级数的前n 项和作为π的近似值，对应的n 值不一样，这就为幂级数在近似计算中的应用提供了很大的空间.
⑴由函数arctan y x =的幂级数展开式知121
1
(1)21n n n x n --∞
=-=-∑arctanx
①若取1x =时，
111
1(1)43521
n n π
=-+-???+-+???
- （1） 111
4(1+(-1))3521
n n π?=-++???+???-
等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。如果取级数前n 项之和作为π的近似值
即111
4(1+(-1))3521
n n π≈-++???+，其误差为
4
2+1
n r n ≤
， 为了保证误差不超过410-，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctan x 展开式而言，当x 越小收敛越快，恰恰在端点1x =收敛最慢. 以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些.
②现若取3
x =
带入展开式得
35121111(1)6
3521n n n π
--=
-?+?+-+???- （2）
123111111111
(1))335373213
n n n π--?=-?+?-?+-?+???-
若取级数的前n 项和作为π的近似值，其误差为
1
231
11111111
(1))
335373213
n
n n
r
n
π-
-
??
=--?+?-?+-?+???
??
-
??
≤
下面实现(2)式的计算，若要求误差小于4
10-(计算π的程序见附录1)
当n=8
时，4
8
10
r-
=<
237
11111111
) 3.14167
335373153
π=-?+?-?+???+?=
③现取
1
2
x=，
1
arctan
2
α=，显见0
4
π
α
<<，记
4
π
βα
=-，而
1
tan tan()
43
π
βα
=-=，所以
1
tan
3
arc
β=，就是
11
tan tan
423
arc arc
π
=+
3513
1
3513
111111
4(...
23252132
111111
...(1))
33353133
n
π
-
=-?+?++?
?
+-?+?++-?
?
(3)
下面实现(3)的计算，若要求误差小于4
10-(计算π的程序见附录2)
当n=7时，
1
35133513 111111111111
4(......(1)) 3.14156 2325213233353133
n
π-
=-?+?++?+-?+?++-?=
??对于arctan
y x
=，误差一样（如要求误差小于4
10-），取不同的x，对应部分和的项数n与近似计算的π值如下表
⑵对于sin
arc x的展开式而言，取
1
2
x=
1
1(21)!!1
62(2)!!21
n
n
n n
π∞
=
-
=
+
∑
+ (4)
下面实现(4)的计算，若要求误差小于410-(计算π的程序见附录3) 当n=4时，
4
49
7!!108!!92r -=
11!!3!!5!! 3.14115622!!324!!526!!72π=+++=??????
综上，知当误差确定时，对相同的幂级数展开式，x 的取值不同，所取部分和的项数不同，近似计算π的值也不同，对不同的幂级数展开式结果亦然.当然， 当误差改变时，我们同样可以利用幂级数展开式估算出π的值，其精确度更高.
3.数e 的近似计算
x e 以的幂级数展开式为基础进行讨论
2301!
2!3!!n n
x
n x x x x e x n n ∞
===++++???++???∑
当x =1时，11
112!!
e n =++
+???++??? 211
(11)
2!!111 (1)!(2)!(3)!
111 (1)
(1)!(2)(2)(3)1111 (1)(1)!1(1)!n r e n n n n n n n n n n n n n
=-+++???+=+++???
+++=+++???++++<+++???=
+++
所以取11112!!n ++
+???+作为近似值，则误差为
1
!n n
. 例如:精确到7110，则需要711
10!10
n r n n n <
111
11 2.71828182!3!10!
e ∴=++++???=.
扩广:利用幂级数推导e 是无理数.
1110(11)0!(11)12!!!2!!n n x x e n n e n n n n ??
<-+++???+
?
1!(11)2!!n x k n n e n ??
=-+++???+???
?令
01k ∴<<
1!(11)2!!11112!!!11 112!!!n x n n e n e n n n
k
n n n ??-+++???+??
??=+++???++=+++???++
反证法:假设e 是有理数，则,,(,)1,p q N p q p q ?∈=>
11!1111!(11)2!!!2!!
p k pn n e n n k q n n n q n =
=+++???++?=+++???++ 等式左边是一个整数，右端第一项是整数，而k 是小数；即右端不是整数，矛盾. 故e 是无理数.
4.对数的计算
利用对数的幂级数展开式，作对数的近似计算。根据对数的特征，只要计算出正整数的特征，那么由对数的运算，其它有理数的对数也就知道了. 以ln(1+x)的麦克劳林级数作为出发点
12311
(1)(1)23n n n n n x x x x x x n n --∞
=--=-++???++???∑ln(1+)=
①当=1x 时,11111
ln 21(1)234n n
-=-+-+???+-+???
当取前n 项作为其近似值，其误差
1111(1)1
)2341
n n n x R n n --+-+???<+=ln2-(1-
如要精确到410-就要截取一万项来计算，另外上面的展开式的收敛域为
11x -≤<,这就不能直接用它来计算其它整数的对数. 下面用一个收敛较快的幂级数来计算ln2
②利用1ln
1x
x
+-的幂级数展开式
233521
ln(1)231ln ln(1)ln(1)2()
13521
n
n x x x x x n
x x x x x x x x n --=----???--???
+∴=+--=+++???++???-- 令
121x x +=-,即1
3
x =带入(5),有 3521
1111ln 22()33353(21)3
n n -=+++???++?????-? 估计余项如下
2+12+3
2+1222-111
=2(
+)
(2+1)3(2+3)32111
<(1+++)=
(2+1)3234(2+1)3n n n n n r n n n n +??????????
如要精确到410-，即使410n r -<,只要 =4n (见附录5）
357
1111ln 22()3335373
2(0.33333+0.02135+0.00084+0.00007) =0.6931
∴≈+++???= 拓展:令
111
1121
x x x N N +=+?=
-+，有 352111111ln(1)2()213(21)5(21)(21)(21)
n N N N N n N -+
=+++???++???+?+?+-?+ 3521
1111
ln(1)ln 2(
)213(21)5(21)(21)(21)n N N N N N n N -?+=++++???++???+?+?+-?+ 这是一个递推公式，所以据此可求任何正整数的对数，相应的也可求有理数的对数.
如:当N=2时，即1
=5
x ，有
35
111
ln 3ln 22() 1.098653555
=++++???=?? ((2k-1)
=1
2
(2k-1)5k ∞
∑
的结果见附录6) 当N=4时，即1
=9
x ，有
35
111
ln 52ln 22() 1.609493959=++++???=??
((2k-1)
=12
(2k-1)9
k ∞
∑
的结果见附录7) 如此进行下去，可得ln6,ln7,…的值
利用上述计算方法，通过换底公式，我们可以计算得到了ln lg =ln10
x
x 的一些近似计算结果并与数学用表中lg x 值进行比较（见表）
表 lg x 的幂级数近似计算结果与数学用表中数值的比较
通过此表，知幂级数作为近似计算的工具，结果与真实值很相近.
参考文献
[1] 董延闿.级数[M].上海:上海科学技术出版社,1982.
[2]华东师范大学数学系.数学分析.[M].北京:高等教育出版社,1999 [3]周晓阳.数学实验与Matlab.武汉:华中科技大学出版社,2002
附录
=0;n=1; ps=pi;
while abs(s-ps)>1e-4
s=(-1)^(n-1)*2*3^(1/2)/[(2*n-1)*3^(n-1)]+s; n=n+1; end s,n
程序所得结果为s=3.
n = 8
即为使计算结果精确到小数后第四位，只需求对应级数前7项的和 利用Matlab 软件算得
17(1)2131n n n --∑-= syms k
symsum((-1)^(k-1)*x^(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8) ans =
x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9-1/11*x^11+1/13*x^13-1/15*x^15
x 当 syms k
f=6*(-1)^(k-1)*(1/sqrt(3))^(2*k-1)/(2*k-1) symsum(f,k,1,7) 结果为 ans = 3.
2. s=0;n=1;
ps=pi;
while abs(s-ps)>1e-4
s=4*(-1)^(n-1)/(2*n-1)*[1/2^(2*n-1)+1/3^(2*n-1)]+s; n=n+1;
end
s,n
计算结果为s =3.
n = 7
3. s=3;n=1;
ps=pi;
while abs(s-ps)>1e-4
s=(2*n-1)!!/[(2*n)!!*(2*n+1)*2^(2*n+1)]+s;
n=n+1;
end
s,n
计算结果为s=
n=4
4.ff=sym('n*n!=10^7');
solve(ff,'n')
ans =
10
先算
10
=11 !
k k
syms k n
symsum(1/sym('k !'),k ,1,10) ans =
则10
=11
=1+=2.7182818!
k e k
5. ff=sym('4*(2*n+1)*3^(2*n-1)=10^4'); solve(ff,'n') ans = 4 syms k n
symsum(2/3^(2*k -1)*(2*k -1),k ,1,4) ans =
6. syms k n
symsum(2/[(2*k-1)*5^(2*k-1)],k,1,inf) ans =
7. syms k n
symsum(2/[(2*k-1)*9^(2*k-1)],k,1,inf)
ans =
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L
函数的幂级数的展开与技巧
1引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。 2 泰勒级数 泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则 ()()()()() () 2 0' ' 00002! x x f x f x f x x x f x -= + -+ () () ()) 00(! n n n x x f x R x n -+++ ， (1) 这里()x R n =()()n x x o 0-称为皮亚诺型余项。如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()() () 1 101 ()1! n n n R x f x x n ξ++= -+ （拉格朗日余项） ()() 1 (1) 001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项） ()() (1) 1! x n n x f t x t dt n += -? ， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。 如果 f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为： ()()()()() () () () 2 0000000"'2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++ -+ (2) 的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子：
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
【精品完整版】解析函数展开成幂级数的方法分析
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名：媛媛 学号：201100171431 专业：物理教育 指导教师：莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名 某某大学物理与电气信息工程学院 摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。 关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。 一前言 解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。 关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析
幂级数求和函数方法概括与汇总
幂级数求和函数方法概括与汇总
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
06-函数展开成泰勒级数的方法--间接展开法PPT
函数展开成幂级数的间接展开法
一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等 方法，求展开式。 ?基本公式：).,( ,)!12()1(sin ). ,( , !).1,1( 1101 200 +∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞ =x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，
二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x =由于令注意到解 . ln , ln a x u e a a x x ==).,( ,! 1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n x 代入上式得 将 ln a x u =
++-+-+-=+)! 12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n , ),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得 +-+-+-=)! 2()1(!41!211cos 242n x x x x n n
.11)( )1(:x x f +='解例3、. 的幂级数展开成将下列函数x ∑?? ∞ =-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则). 1,1( ,1 )1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0 -∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
函数的幂级数展开
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。
常用函数的幂级数展开式
目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法—利用泰勒公式; (2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 x e ?1=) ,(∞+-∞∈x )1(ln x +?x =] 1,1(+-∈x x +2!21x +, ! 1 ΛΛ+++n x n 221x -331x +Λ+-441x 11 )1(++-+n n x n Λ+式的函数. 目录 上页 下页 返回 结束 Λ++-++! )12()1(1 2n x n n x sin ?x =!33x -!55x +Λ+-!77x x cos ?1=!22x - !44x +Λ+-!66x Λ+-+! )2()1(2n x n n m x )1(+?1=x m +2 ! 2)1(x m m -+Λ +ΛΛ++--+n x n n m m m ! )1()1(当m = –1 时x +11 ,)1(132ΛΛ+-++-+-=n n x x x x ) ,(∞+-∞∈x ) ,(∞+-∞∈x ) 1,1(-∈x )1,1(-∈x
目录上页下页返回结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),, (z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v z y x y x d ),,()(2 2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量: ???+=Ω ρz y x z y x y x I z d d d ),,()(2 2=z I d O x y z Ω对z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. 目录上页下页返回结束 类似可得:???=Ω ρz y x z y x I x d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I y d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量 对y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量