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中考数学专题练习二次函数题

二次函数50题

一、选择题：

1.若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( )

A.-1或3

B.-1

C.3

D.-3或1

2.若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系

是（）

A. B. C. D.

3.如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中，①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；正确的是（）

A．①B．②C．③D．①②③都不对

4.已知一条抛物线经过E（0,10）,F（2,2）,G（4,2）,H（3,1）四点,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）

A.E，F

B.E，G

C.E，H

D.F，G

5.已知二次函数y=ax2-1的图象开口向下，则直线y=ax-1经过的象限是( )

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限

D.第二、三、四象限

6.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )

A.5月

B.6月

C.7月

D.8月

7.已知抛物线y=x2﹣x，它与x轴的两个交点间的距离为（）

A．0 B．1 C．2 D．4

8.一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．

9.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是( )

A.5

B.3

C.3或-5

D.-3或5

10.抛物线y=3x2向下平移3个单位,再向左平移2个单位,得到的抛物线解析式为（）

A.y=3(x+2)2+3

B.y=3(x-2)2+3

C.y=3(x+2)2﹣3

D.y=3(x-2)2﹣3

11.已知二次函数y=x2+2x﹣3,当自变量x取m时,对应的函数值小于0,设自变量分别取m﹣4，m+4时对应的函数值为y1，y2，则下列判断正确的是（）

A.y1＜0，y2＜0

B.y1＜0，y2＞0

C.y1＞0，y2＜0

D.y1＞0，y2＞0

12.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到抛物线是( )

A.y=(x+2)2+2

B.y=(x+2)2-2

C.y=x2+2

D.y=x2-2

13.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=﹣n2+14n﹣24，则该企业一年中应停产的月份是（）

A.1月、2月、3月

B.2月、3月、4月

C.1月、2月、12月

D.1月、11月、12月

14.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1

A.y1≤y2

B.y1

C.y1≥y2

D.y1>y2

15.二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是( )

A.﹣1

B.1

C.3

D.5

16.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1＜x2≤0,则下列结论正确的是（）

A.y1＜y2

B.y1＞y2

C.y的最小值是﹣3

D.y的最小值是﹣4

17.二次函数y=ax2＋bx＋c(a

下列结论：①ac＜0；②当x2＋(b-1)x+c=0的一个根；④当-1＜x＜3时，ax2＋(b-1)x＋c＞0.其中正确的个数为( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

18.如图,直线y=0.5x+2与y轴交于点A,与直线y=﹣0.5x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=(x﹣h)2+k的顶点在直线y=-0.5x上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是（）

A.﹣2≤h≤0.5

B.﹣2≤h≤1

C.﹣1≤h≤1.5

D.﹣1≤h≤

0.5

19.下列函数是二次函数的是( )

A.y=2x+1

B.y=-2x+1

C.y=x2+2

D.y=0.5x-2

20.抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到抛物线是（）

A.y=3(x﹣1)2﹣2

B.y=3(x+1)2﹣2

C.y=3(x+1)2+2

D.y=3(x﹣1)2+2

二、填空题：

21.已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点, 则这条抛物线的对称轴是

22.二次函数y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标是 ,与y轴的交点坐标

为

23.对于二次函数，有下列说法：

①如果当x≤1时随的增大而减小，则m≥1；

②如果它的图象与x轴的两交点的距离是4，则；

③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，则m=－1；

④如果当x=1时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2014时的函数值为－3．

其中正确的说法是．

24.如图,坐标平面上,二次函数y=-x2+4x-k的图形与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k>0.若△ABC与△ABD的面积比为1:4,则k值为何？

25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 5，AC= 4，则cos A= ．

A B C

26.抛物线y=2（x﹣3）2+3的顶点在象限．

27.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为元．

28.如图,点A是抛物线y=x2﹣4x对称轴上的一点,连接OA,以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′,当O′恰好落在抛物线上时,点A的坐标为．

29.如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°，按以下步骤作图：

①以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；

②分别以点M、N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧相交于点G；

③连结BG交AC边于点E，交⊙O于点D，连接CD.

则△ABE与△CDE的面积之比为．

30.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．

31.如图，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则使y1＞y2成立的x的取值范围是__ _．

32.如图,抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A,B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是．

33.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（0.5，2.5）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

当△PAC为直角三角形时, 点P的坐标是____________________．

34.如图,已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P,点P的纵坐标为1.则关于x的方程

ax2+bx+=0的解为．

35.二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．

36.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：

①abc＞0；

②9a+3b+c＜0；

③c＞﹣1；

④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为 -a-1.

其中正确的结论个数有（填序号）

37.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为．

38.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.

39.若抛物线y1=a1x2+b1x+c1与y2=a2x2+b2x+c2满足=k（k≠0,1）,则称y1，y2互为“相关抛物线”.给

出如下结论：

①y1与y2的开口方向，开口大小不一定相同；

②y1与y2的对称轴相同；

③若y2的最值为m，则y1的最值为k2m；

④若y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离也为d．

其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

40.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是．

三、解答题：

41.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．

42.一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1< x2)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B,C的横坐标，且此抛物线过点A(3,6)．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）用配方法求此抛物线的顶点为P对称轴

（3）当x取什么值时，y随x增大而减小？

43.某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为AB（单位：米）,现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O.已知AB=8米,设抛物线解析式为y=ax2-4.

（1）求a的值；

（2）点C（-1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD,BC,BD，求△BCD的面积.

44.某公司销售A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：

信息1：销售A种产品所获利润y：（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：

信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y2=0.3x．

根据以上信息，解答下列问题；

（1）求二次函数解析式；

（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，求销售A、B两种产品获得的利润之和最大是多少万元．

45.已知抛物线y=x2﹣2x+1．

（1）求它的对称轴和顶点坐标；

（2）根据图象，确定当x＞2时，y的取值范围．

46. 某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;

(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?

47.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c图象（抛物线）与x轴交于A（1,0）,且当x=0和x=﹣2时所对应函数值相等．（1）求此二次函数的表达式；

（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC 的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积．

48.如图,已知二次函数的图象经过点A（6,0）、B（﹣2,0）和点C（0,﹣8）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为；（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．

①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．

49.如图，直线y=0.5x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx﹣2经过A，B，C，点B坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC上一个动点，DE⊥AC，交直线AC下方的抛物线于点E，EG⊥x轴于点G，交AC于点F，请求出DF长的最大值；

（3）设抛物线对称轴与x轴相交于点H，点P是射线CH上的一个动点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

50.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为（m，m）,点B的坐标为（n，-n）,抛物线经过A、O、B三点,连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2-2x-3=0的两根.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连结OD、BD.

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标.

参考答案

1.C

2.D

3.C

4.C

5.D

6.C

7.C

8.C

9.C

10.C

11.D

12.D

13.C

14.B

15.B

16.D

17.B

18.A

19.C

20.A

21.答案为：(0,6) ； (2,0),(3,0)

22.答案为：（1,0），（2,0）、（0,2），

23.答案为：①②④．

24.答案为：0.8．

25.答案为：0.8

26.答案为：第一．

27.答案为：25

28.答案为：（2，﹣1）或（2，2）．

29.答案为0.5．

30.答案为:12.5;

31.答案为：x＜－2或x＞8

32.解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，

则点A（1，0），B（3，0），

由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），

当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1=0，

△=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=﹣3，

当﹣3＜m＜﹣时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故答案是：﹣3＜m＜﹣．

33.答案为：（3，5）或（3.5，5.5）

33.答案为：x=﹣3．

34.答案为：﹣4．

35.答案为：①③④；

36.答案为：x1=4，x2=﹣2

37.答案为:0.5

38.答案为：①②④．

39.答案为：-1＜x＜3．

40.解：把点（0，2）和（1，﹣1）代入y=x2+bx+c得，解这个方程组得，所以所求二

次函数的解析式是y=x2﹣4x+2；

因为y=x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，所以顶点坐标是（2，﹣2），对称轴是直线x=2．

y=0.5(x+1)2 -2 ∴它的顶点坐标为（-1，-2）对称轴为直线x=-1.

当y=0时，即0.5(x+3)(x-1)=0解得x1=-3，x2=1.

∴x＜-3时…当x取什么值时， y随x增大而减小.

41.解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知,∴（4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a.

（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.

∵ a=,∴ -4.当-1时，m=×-4=-,∴ C（-1,-）.

∵点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1,）.∴ .

∴△BCD的面积为15平方米.

42.解：（1）根据题意，设销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=ax2+bx，

将（1，1.4）、（3，3.6）代入解析式，得：a+b=1.4,9a+3b=3.6，解得：a=-0.1,b=1.5，

∴销售A种产品所获利润y与销售产品x之间的函数关系式为y=﹣0.1x2+1.5x；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）2+6.6，

∵﹣0.1＜0，∴当m=6时，W取得最大值，最大值为6.6万元，

答：购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．44.【解答】解：（1）y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0）；

（2）抛物线图象如下图所示：

由图象可知当x＞2时，y的取值范围是y＞1．

45.解答：解：（1）y=（30－20+x）（180－10x）=－10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；

（2）当x=时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元．

答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；

（3））1920=－10x2+80x+1800 ， x2－8x+12=0，即（x－2）（x－6）=0，

解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2，

∴售价为32元时，利润为1920元．

46.【解答】解：（1）∵当x=0和x=﹣2时所对应的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），

∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3；

（2存在．连结BC交直线x=﹣1于点D，则DB=DA，∴DC+DA=DC+DB=BC，

∴此时DA+DC最小，△ADC的周长最小，当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3），

设直线BC的解析式为y=kx+m，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=x+3，当x=﹣1时，y=x+3=2，∴D点坐标为（﹣1，2）；

（3）作MN∥y轴交BC于N，如图，设M（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜x＜0），则N（t，t+3），

S△BCM=S△MNB+S△NMC=?3?MN=（﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3）=﹣t2﹣t=﹣（t+）2+，

∴当t=﹣时，△MBC的面积的最大值为，此时M点坐标为（﹣，）．

47.解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x﹣6）∵图象过点（0，﹣8）∴a=

∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣8；

（2）∵y=x2﹣x﹣8=（x2﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）2﹣∴点M的坐标为（2，﹣）∵点C的坐标为（0，﹣8），∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）

∴直线C′M的解析式为：y=﹣x+8令y=0得﹣x+8=0解得：x=∴点K的坐标为（，0）；（3）①不存在PQ∥OC，若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，此时，1＜t＜2

∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC∴∵AP=6﹣3tAQ=18﹣8t，∴

∴t=∵t=＞2不满足1＜t＜2；∴不存在PQ∥OC；

②分情况讨论如下，情况1：0≤t≤1S=OP?OQ=×3t×8t=12t2；

情况2：1＜t≤2作QE⊥OA，垂足为E，S=OP?EQ=×3t×=﹣+

情况3：2＜t＜作OF⊥AC,垂足为F,则OF=S=QP?OF=×(24-11t)×=-+；

③当0≤t≤1时，S=12t2，函数的最大值是12；

当1＜t≤2时，S=﹣+，函数的最大值是；

当2＜t＜，S=QP?OF=﹣+，函数的最大值为；∴S0的值为．

49.

50.解（1）解方程，得，.

∵，∴，∴A（-1，-1），B（3，-3）.

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为.

∴解得，.∴抛物线的解析式为. （2）①设直线AB的解析式为.

∴解得，. ∴直线AB的解析式为.

∴C点坐标为（0，）.

∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），∴直线OB的解析式为.

∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.设，，

（i）当OC=OP时, .解得，（舍去）. ∴ P（,）.

（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴ (,.

（iii）当OC=PC时，由，解得，（舍去）. ∴ P(.

∴P点坐标为P1（,）或(,或P(.

②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H.

设Q（，），D(，).

==，

∵0＜＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（，.

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解答：

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．